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四川省绵阳普明中学2024—2025学年下学期七年级数学期中考试模拟测试
一、单选题
1．下列四个数，，，，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．冰墩墩：2022年北京冬季奥运会的吉祥物．请问：由图中所示的冰墩墩通过平移后得到的图案是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如果点在x轴上，那么点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重 斤（古代 斤= 两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为 两、 两，下列方程组正确的为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，，直线分别截，于，，已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在直角三角形中，，为所在直线上一动点，连接，则线段的最小值是（　　）
A．5 B．4.8 C．4.5 D．4
9．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
10．如图，将一个等腰直角三角尺放置在一张矩形纸片上，使点G，E，F分别在矩形的边上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．把一根长为7m的钢管截断，从中得到两种不同规格的钢管，已知两种规格的钢管长分别为2m和1m，为了不造成浪费，不同的截法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
12．如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列选项错误的是（　　）
A． B．
C．平分 D．为定值
二、填空题
13． 8 的平方根为　 　，的立方根为　 　.
14．若是关于x，y的二元一次方程，那么的值为　 　．
15．已知点A在x轴的下方，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点A的坐标为　 　.
16．将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式　 　.
17．买2只签字笔，3只圆珠笔，1个笔记本，共需32元；买3只签字笔，5只圆珠笔，1个笔记本，共需45元．那么签字笔、圆珠笔、笔记本各买一件共需　 　元．
18．如图，已知，则的度数为　 　．
三、解答题
19．计算题：
（1）计算：
（2）解方程：
（3）解方程组：
（4）解方程组：
20．甲、乙两人解方程组：，由于甲看错方程①中的而得到方程组的解为，乙看错子方程②中的b而得到的解为，假如按正确的计算，试求出原方程组的解.
21．如图是广州市某区部分区域简图，图中每个小正方形的边长代表100米长，为了确定各标志物的位置，请解答一下问题：
（1）以文化宫为原点建立平面直角坐标系，并写出市场、超市的坐标；
（2）在（1）中，小明从医院出发，沿A（500，﹣300），B（500，200），C（100，200）的路线走了一段路，问：他经过了哪些标志物，走了多少米？离C最近的标志物是哪一个？
22．某班级去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
（1）求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
（2）在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
（3）小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？
23．如图，，．
（1）求证：；
（2）若于点C，，求的度数．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移16个单位长度得到点C．当线段上的动点M从点B以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点N同时从点A以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为t（）．问：
（1）求点C的坐标．
（2）点M，点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由．
（3）是否存在某个时间t，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：都是有理数，是无理数，
故选：B．
【分析】本题主要考查无理数的概念，即无限不循环小数。逐一判断各数：-5是整数，为有理数；3.14是有限小数，为有理数； 是分数，为有理数；只有 - 是开方开不尽的数，属于无理数。
2．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】∵B图案上的每个点都移动了相同的方向，相等的距离，∴冰墩墩通过平移后得到的图案是B：
故选：B．
【分析】本题主要考查平移变换的基本性质。找原图形在平移过程中，图形的大小、形状和方向均保持不变，仅位置发生改变，且对应点之间的连线平行且相等的即可。
3．【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，正确，本选项不符合题意；
B、，正确，本选项不符合题意；
C、，原计算错误，本选项符合题意；
D、，正确，本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、正数的算术平方根即正的平方根，0的算术平方根是0，负数没有平方根，也没有算术平方根；
B、正数一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0；
C、；
D、正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
4．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ 点 A(m-8， m-2) 在 x 轴上，
∴ 其纵坐标 m-2 = 0，解得 m = 2。
则点 B 的坐标为 (2+1， 2-6) = (3， -4)，横坐标为正、纵坐标为负，
故点 B 在第四象限。
故选： D。
【分析】本题主要考查坐标系中点的坐标特征，关键是利用 x 轴上点的纵坐标为零这一条件求出 m 的值，再代入点 B 的坐标判断其所在象限。
5．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据勾股定理求出BD，则，故点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，在根据数轴上两点间的距离即可求解。
6．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：C.
【分析】 设每只雀、燕的重量各为 两、 两 ，由 五只雀、六只燕，共重 斤 ，及 六只雀、五只燕的重量一样重列出方程组.
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：设与∠1互为对顶角的角为∠4，则∠4 = ∠1 = α。
由AB∥CD可得∠4与∠3、∠2构成同旁内角，即∠4 + ∠3 + ∠2 = 180°。
代入∠4 = α，∠2 = α，得α + ∠3 + α = 180°，
所以∠3 = 180° 2α。
故选：D。
【分析】本题主要考查平行线的性质与对顶角相等，通过引入与∠1成对顶关系的角，结合两直线平行时同旁内角互补这一性质，建立角度间的数量关系即可求出∠3的表达式。
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵为所在直线上一动点，
∴当时，线段的值最小，
∵，，
∴当时，，即：，
∴，即：线段的最小值是4.8；
故选B．
【分析】
由垂线段最短知当时，线段的值最小，再利用等积法求出最小值即可．
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由点 A(4，-3) 平移到点 C(a，2)，横坐标变化为 a-4，纵坐标变化为 2-(-3)=5；
由点 B(-4，b) 平移到点 D(-5，3)，横坐标变化为 -5-(-4)=-1，纵坐标变化为 3-b。
由于平移方式相同，得 a-4 = -1，3-b = 5，解得 a=3，b=-2，
所以 a+b=1。
故选： C。
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是根据对应点坐标的变化确定整体平移的方向与距离，再将其应用于其他点求出未知坐标。
10．【答案】C
【知识点】矩形的性质；余角；平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在矩形中，
故选：C．
【分析】
由矩形的性质结合直角三角形两锐角互余可得，由平角的概念结合角的和差关系可得，再由同角的余角相等可得，再由矩形的性质结合平行线的性质可得即可．
11．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设2m长的钢管截取 x 根，1m长的钢管截取 y 根，
根据总长度7m可得方程 2x + y = 7，即 y = 7 - 2x。
由于 x、y 均为正整数，
当 x = 1 时，y = 5；
当 x = 2 时，y = 3；
当 x = 3 时，y = 1。
共三种符合条件的截法，
故答案为 ：C。
【分析】本题主要考查通过建立二元一次方程模型求解实际问题中的整数解个数，需根据两种规格钢管的总长度列出方程，并在正整数范围内寻找所有可能的取值组合。
12．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
由 AB BC 得 ∠ B = 90°，由 AE DE 得 ∠AED = 90°。结合∠1 +∠ 2 = 90°， 可推出 ∠ C = 90°，则 ∠B +∠ C = 180°，故 ABl CD，A 正确。
由 AE 平分 ∠BAD 得∠ 3 = ∠1，结合互余关系可得∠ 2 =∠ 4，即 DE 平分 ∠ ADC，C 正确。
通过角平分线定义与外角性质可推导∠ EAF +∠EDF = 135°，进而求得 ∠ F = 135°，为定值，D 正确。
若 ∠ AEB + ∠ ADC = 180°，结合图形可得∠AEB = ∠ 2 = ∠ 4 = 60°，与已知条件矛盾，故 B 错误。
故选∶．
【分析】本题以角平分线、垂线和平行线为背景，综合考查平行线的判定、角平分线的性质、三角形内角和定理以及定角问题。由 ABBC 结合 AEDE 及 1 + 2 = 90°，通过角度代换证明 B +C = 180° 得 ABCD；利用角平分线定义及外角性质推导出 ED 平分 ADC；通过计算 EAF + EDF = 135° 得 F = 45°为定值；而 AEB +ADC = 180°无法从已知条件推出，故为错误选项。
13．【答案】；2
【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：8的平方根是
3的立方根为2.
故答案为：
【分析】根据题意直接开平方，进而根据立方根即可求解。
14．【答案】1
【知识点】二元一次方程的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得
解得
∴ a+b = 1.
故答案为：1．
【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，即方程中必须恰好含有两个未知数，且含未知数的每一项的次数均为1。根据此定义确定 a 与 b 需满足的条件，进而求出 a+b 的值。
15．【答案】（3，﹣5）或（﹣3，﹣5）
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵点A在x轴的下方，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，∴点A的纵坐标为：﹣5，横坐标为：±3，故点A的坐标为：（3，﹣5）或（﹣3，﹣5）.
故答案为：（3，﹣5）或（﹣3，﹣5）.
【分析】根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，又x轴下方的点，纵坐标为负，横坐标可正可负从而即可得出答案。
16．【答案】如果两个三角形全等，那么它们的周长相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…，那么…”的形式：
如果两个三角形全等，那么它们的周长相等，
故答案为：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等．
【分析】本题考查命题的“如果…那么…”形式.命题用“如果…那么…”进行表示，则如果的后面是条件，那么的后面是结论，找出原命题的条件为：两个三角形全等，结论为：两个三角形的周长相等，据此可改写出命题．
17．【答案】19
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设签字笔、圆珠笔、笔记本单价分别为 x、y、z 元，则
② ① 得 x + 2y = 13，代入 ① 得 (x + y + z) + (x + 2y) = 32，即 x + y + z + 13 = 32，
∴ x + y + z = 19.
故答案为：19．
【分析】本题通过设未知数构建三元一次方程组，利用整体思想对方程组进行线性组合，从而直接求出三种物品各一件的总价，无需分别求出每个未知数的值。
18．【答案】30°
【知识点】平行线的性质；乌鸦嘴模型；平行公理
【解析】【解答】解：过点 C 作 CF AB，
∵AB DE，∴ CFDE，
∴∠BCF =∠ ABC = 70°， ∠DCF＝180° ∠CDE＝40° ，
∴∠BCD＝∠BCF ∠DCF＝70° 40°＝30°．
故答案为：30°．
【分析】本题考查平行线的性质与辅助线的构造。解题时需抓住已知平行关系，通过过点 C 作已知直线的平行线，将未知角∠BCD 转化为两个已知角之间的差。利用平行线性质得到内错角相等及同旁内角互补，再结合角度运算即可求出目标角度。
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
所以，，，
解得，或；
（3）解：
，得，化简得，
将①化简得：，
得：，
解得，，
把代入③式得，，
解得，，
因此，原方程组的解为．

（4）解：，
得，，
得，，
由④⑤得，
得：，
解得，，
把代入⑤得，，
解得，，
把，代入②得，，
所以，方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法；实数的混合运算（含开方）；利用开平方求未知数；求算术平方根
【解析】【分析】本题综合考查了实数的运算、平方根的定义、二元一次方程组与三元一次方程组的解法，重点在于基本运算能力与消元思想的运用。
（1）实数的混合运算：先分别计算算术平方根、立方根、二次根式的平方，再合并同类项。注意 需先算根号内的平方再开方，结果为 3，避免符号出错。
（2）平方根解方程：将 (2x+1) 看作一个整体，利用平方根的定义得到 2x+1 =13，再分别解两个一元一次方程，得到两个解。
（3）二元一次方程组（含括号与分式）：先将两个方程分别化简为整式方程。第一个方程去括号整理，第二个方程去分母、移项化简，得到标准形式的二元一次方程组，再通过加减消元法求解。
（4）三元一次方程组：利用加减消元法，先消去一个未知数（如 z），转化为二元一次方程组，再继续消元求解，最后回代得到第三个未知数的值。
（1）解：
；
（2）解：
，
所以，，，
解得，或；
（3）解：
，得，化简得，
将①化简得：，
得：，
解得，，
把代入③式得，，
解得，，
因此，原方程组的解为．
（4）解：，
得，，
得，，
由④⑤得，
得：，
解得，，
把代入⑤得，，
解得，，
把，代入②得，，
所以，方程组的解为．
20．【答案】解：∵甲只看错了方程①中的a，∴甲所得到的解为，应满足无a的正确的方程②，即4×（-3）-b×（-1）=-2．③
同理，，应满足正确的方程①，即a×5+5×4=13．④
解由③，④联立的方程组得：，
∴原方程组应为：，
解得：．
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】根据题意将方程的解代入到正确的方程中得到a，b，再代入原方程，利用加减消元法求出方程组的解即可.
21．【答案】解：（1）以文化宫为原点，建立平面直角坐标系如图所示：
由图可知市场的坐标为 （700，200），超市的坐标为 （500，﹣400）；
（2）在平面直角坐标系中将 A（500，﹣300），B（500，200），C（100，200），标出如图所示：
由图可知，小明从医院出发沿 A，B，C 的路线经过宾馆，
共走了 4×100+5×100+4×100＝1300 （米），
由图可知离 C 最近的标志物是体育场．
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】本题主要考查平面直角坐标系的建立、根据实际情境确定点的坐标，以及利用坐标描述运动路径、计算距离与判断位置关系，重点在于将实际问题转化为数学模型的能力。（1）以文化宫为原点，根据小正方形边长确定单位长度，再依据各标志物在网格中的相对位置，分别读出其横纵坐标。注意市场、超市与原点之间的格数对应坐标值。
（2）先根据给出的坐标 A， B， C 在图中描点，结合路径顺序判断经过的标志物；再根据相邻点之间的坐标差，利用网格边长计算各段实际距离并求和；最后观察点 C 周围有哪些标志物，通过坐标比较或图上位置找出距离最近的一个。
22．【答案】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
（2）解：设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
（3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，∵A款不加料的杯数是总杯数的
∴两款奶茶有杯，
设A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
∵均为正整数，
∴，
∴，
答：B款加料的奶茶买了11杯．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用、二元一次方程整数解问题以及基于代数条件的方案分析，重点在于将文字信息转化为数学模型，并通过方程（组）的求解与整数约束得出可行方案。（1）求两款奶茶的单价：设未知数 x， y 分别表示 A、B 的单价，根据两次购买的总价列出两个方程，组成方程组，通过加减消元法或代入法求解，得到单价。
（2）在不加料情况下求购买方案：设购买杯数分别为 m， n，根据总价 220 元列出方程 10m + 12n = 220，化简后通过枚举或整除关系求出所有正整数解，并注意两种款式都要购买这一条件，从而确定方案种数。
（3）在加料与不加料条件下求特定杯数：合理设出不同加料情况的杯数（如 A 款不加料杯数为 a，根据总杯数关系表示出其余部分），再结合总花费 260 元建立方程，通过代数变形和整数条件求解出 B 款加料的杯数。
（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
（2）解：设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，
由题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
（3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，
∵A款不加料的杯数是总杯数的
∴两款奶茶有杯，
设A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
∵均为正整数，
∴，
∴，
答：B款加料的奶茶买了11杯．
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴.
（2）解：，
，
由（1）可知，
．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再结合，可得，从而证出；
（2）结合，，利用角的运算求出即可．
24．【答案】（1）解：，且，
，解得，
，
∵将点 B 向左平移 16 个单位长度得到点 C，
．
（2）解：，∴点 M，N 始终在，上运动，
当运动时间为 t 时，，，
则，
，
由图可知：，
，
和的面积比不会改变，始终等于．
（3）解：由图可知，
，，
，
，
【知识点】一元一次不等式的应用；坐标与图形变化﹣平移；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【分析】本题主要考查非负数的性质、坐标与平移、动点问题下的面积计算与比值的探究，以及一元一次不等式的应用，重点在于将几何图形与代数运算相结合，通过坐标表示线段长度，建立面积函数并分析其变化规律。（1）根据非负数的性质（绝对值和平方均为非负数，和为 0 则每一项为 0）列出关于 a， b 的方程组，解出 A， B 坐标，再根据平移规则（向左平移横坐标减小）求出点 C 的坐标。
（2）用含 t 的代数式表示两个三角形的面积。利用同底（MN）或等高关系转化为线段比，分别表示出 AN， BM， ON， CM 的长度，通过面积公式计算比值，化简后判断是否与 t 无关，从而得出比值不变的结论。
（3）先用含 t 的代数式表示四边形 ANMC 的面积（可视为梯形，利用上底 CM、下底 AN 和高 OB 计算），再求出四边形 AOBC 的面积，根据条件列出不等式，解出 t 的范围，并结合 t 的取值范围进行判断。
（1），
且，
，解得，
，
∵将点 B 向左平移 16 个单位长度得到点 C，
．
（2），
∴点 M，N 始终在，上运动，
当运动时间为 t 时，，，
则，
，
由图可知：，
，
和的面积比不会改变，始终等于．
（3）由图可知，，，
，
，
．
1 / 1四川省绵阳普明中学2024—2025学年下学期七年级数学期中考试模拟测试
一、单选题
1．下列四个数，，，，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：都是有理数，是无理数，
故选：B．
【分析】本题主要考查无理数的概念，即无限不循环小数。逐一判断各数：-5是整数，为有理数；3.14是有限小数，为有理数； 是分数，为有理数；只有 - 是开方开不尽的数，属于无理数。
2．冰墩墩：2022年北京冬季奥运会的吉祥物．请问：由图中所示的冰墩墩通过平移后得到的图案是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】∵B图案上的每个点都移动了相同的方向，相等的距离，∴冰墩墩通过平移后得到的图案是B：
故选：B．
【分析】本题主要考查平移变换的基本性质。找原图形在平移过程中，图形的大小、形状和方向均保持不变，仅位置发生改变，且对应点之间的连线平行且相等的即可。
3．下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，正确，本选项不符合题意；
B、，正确，本选项不符合题意；
C、，原计算错误，本选项符合题意；
D、，正确，本选项不符合题意；
故选：C．
【分析】
A、正数的算术平方根即正的平方根，0的算术平方根是0，负数没有平方根，也没有算术平方根；
B、正数一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0；
C、；
D、正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
4．如果点在x轴上，那么点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵ 点 A(m-8， m-2) 在 x 轴上，
∴ 其纵坐标 m-2 = 0，解得 m = 2。
则点 B 的坐标为 (2+1， 2-6) = (3， -4)，横坐标为正、纵坐标为负，
故点 B 在第四象限。
故选： D。
【分析】本题主要考查坐标系中点的坐标特征，关键是利用 x 轴上点的纵坐标为零这一条件求出 m 的值，再代入点 B 的坐标判断其所在象限。
5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∴，
∴点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据勾股定理求出BD，则，故点A是以为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，且在左侧，在根据数轴上两点间的距离即可求解。
6．《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重 斤（古代 斤= 两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为 两、 两，下列方程组正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：C.
【分析】 设每只雀、燕的重量各为 两、 两 ，由 五只雀、六只燕，共重 斤 ，及 六只雀、五只燕的重量一样重列出方程组.
7．如图，，直线分别截，于，，已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：设与∠1互为对顶角的角为∠4，则∠4 = ∠1 = α。
由AB∥CD可得∠4与∠3、∠2构成同旁内角，即∠4 + ∠3 + ∠2 = 180°。
代入∠4 = α，∠2 = α，得α + ∠3 + α = 180°，
所以∠3 = 180° 2α。
故选：D。
【分析】本题主要考查平行线的性质与对顶角相等，通过引入与∠1成对顶关系的角，结合两直线平行时同旁内角互补这一性质，建立角度间的数量关系即可求出∠3的表达式。
8．如图，在直角三角形中，，为所在直线上一动点，连接，则线段的最小值是（　　）
A．5 B．4.8 C．4.5 D．4
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵为所在直线上一动点，
∴当时，线段的值最小，
∵，，
∴当时，，即：，
∴，即：线段的最小值是4.8；
故选B．
【分析】
由垂线段最短知当时，线段的值最小，再利用等积法求出最小值即可．
9．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由点 A(4，-3) 平移到点 C(a，2)，横坐标变化为 a-4，纵坐标变化为 2-(-3)=5；
由点 B(-4，b) 平移到点 D(-5，3)，横坐标变化为 -5-(-4)=-1，纵坐标变化为 3-b。
由于平移方式相同，得 a-4 = -1，3-b = 5，解得 a=3，b=-2，
所以 a+b=1。
故选： C。
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是根据对应点坐标的变化确定整体平移的方向与距离，再将其应用于其他点求出未知坐标。
10．如图，将一个等腰直角三角尺放置在一张矩形纸片上，使点G，E，F分别在矩形的边上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；余角；平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在矩形中，
故选：C．
【分析】
由矩形的性质结合直角三角形两锐角互余可得，由平角的概念结合角的和差关系可得，再由同角的余角相等可得，再由矩形的性质结合平行线的性质可得即可．
11．把一根长为7m的钢管截断，从中得到两种不同规格的钢管，已知两种规格的钢管长分别为2m和1m，为了不造成浪费，不同的截法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设2m长的钢管截取 x 根，1m长的钢管截取 y 根，
根据总长度7m可得方程 2x + y = 7，即 y = 7 - 2x。
由于 x、y 均为正整数，
当 x = 1 时，y = 5；
当 x = 2 时，y = 3；
当 x = 3 时，y = 1。
共三种符合条件的截法，
故答案为 ：C。
【分析】本题主要考查通过建立二元一次方程模型求解实际问题中的整数解个数，需根据两种规格钢管的总长度列出方程，并在正整数范围内寻找所有可能的取值组合。
12．如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列选项错误的是（　　）
A． B．
C．平分 D．为定值
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
由 AB BC 得 ∠ B = 90°，由 AE DE 得 ∠AED = 90°。结合∠1 +∠ 2 = 90°， 可推出 ∠ C = 90°，则 ∠B +∠ C = 180°，故 ABl CD，A 正确。
由 AE 平分 ∠BAD 得∠ 3 = ∠1，结合互余关系可得∠ 2 =∠ 4，即 DE 平分 ∠ ADC，C 正确。
通过角平分线定义与外角性质可推导∠ EAF +∠EDF = 135°，进而求得 ∠ F = 135°，为定值，D 正确。
若 ∠ AEB + ∠ ADC = 180°，结合图形可得∠AEB = ∠ 2 = ∠ 4 = 60°，与已知条件矛盾，故 B 错误。
故选∶．
【分析】本题以角平分线、垂线和平行线为背景，综合考查平行线的判定、角平分线的性质、三角形内角和定理以及定角问题。由 ABBC 结合 AEDE 及 1 + 2 = 90°，通过角度代换证明 B +C = 180° 得 ABCD；利用角平分线定义及外角性质推导出 ED 平分 ADC；通过计算 EAF + EDF = 135° 得 F = 45°为定值；而 AEB +ADC = 180°无法从已知条件推出，故为错误选项。
二、填空题
13． 8 的平方根为　 　，的立方根为　 　.
【答案】；2
【知识点】开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：8的平方根是
3的立方根为2.
故答案为：
【分析】根据题意直接开平方，进而根据立方根即可求解。
14．若是关于x，y的二元一次方程，那么的值为　 　．
【答案】1
【知识点】二元一次方程的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得
解得
∴ a+b = 1.
故答案为：1．
【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，即方程中必须恰好含有两个未知数，且含未知数的每一项的次数均为1。根据此定义确定 a 与 b 需满足的条件，进而求出 a+b 的值。
15．已知点A在x轴的下方，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点A的坐标为　 　.
【答案】（3，﹣5）或（﹣3，﹣5）
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵点A在x轴的下方，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，∴点A的纵坐标为：﹣5，横坐标为：±3，故点A的坐标为：（3，﹣5）或（﹣3，﹣5）.
故答案为：（3，﹣5）或（﹣3，﹣5）.
【分析】根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，又x轴下方的点，纵坐标为负，横坐标可正可负从而即可得出答案。
16．将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式　 　.
【答案】如果两个三角形全等，那么它们的周长相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…，那么…”的形式：
如果两个三角形全等，那么它们的周长相等，
故答案为：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等．
【分析】本题考查命题的“如果…那么…”形式.命题用“如果…那么…”进行表示，则如果的后面是条件，那么的后面是结论，找出原命题的条件为：两个三角形全等，结论为：两个三角形的周长相等，据此可改写出命题．
17．买2只签字笔，3只圆珠笔，1个笔记本，共需32元；买3只签字笔，5只圆珠笔，1个笔记本，共需45元．那么签字笔、圆珠笔、笔记本各买一件共需　 　元．
【答案】19
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设签字笔、圆珠笔、笔记本单价分别为 x、y、z 元，则
② ① 得 x + 2y = 13，代入 ① 得 (x + y + z) + (x + 2y) = 32，即 x + y + z + 13 = 32，
∴ x + y + z = 19.
故答案为：19．
【分析】本题通过设未知数构建三元一次方程组，利用整体思想对方程组进行线性组合，从而直接求出三种物品各一件的总价，无需分别求出每个未知数的值。
18．如图，已知，则的度数为　 　．
【答案】30°
【知识点】平行线的性质；乌鸦嘴模型；平行公理
【解析】【解答】解：过点 C 作 CF AB，
∵AB DE，∴ CFDE，
∴∠BCF =∠ ABC = 70°， ∠DCF＝180° ∠CDE＝40° ，
∴∠BCD＝∠BCF ∠DCF＝70° 40°＝30°．
故答案为：30°．
【分析】本题考查平行线的性质与辅助线的构造。解题时需抓住已知平行关系，通过过点 C 作已知直线的平行线，将未知角∠BCD 转化为两个已知角之间的差。利用平行线性质得到内错角相等及同旁内角互补，再结合角度运算即可求出目标角度。
三、解答题
19．计算题：
（1）计算：
（2）解方程：
（3）解方程组：
（4）解方程组：
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
所以，，，
解得，或；
（3）解：
，得，化简得，
将①化简得：，
得：，
解得，，
把代入③式得，，
解得，，
因此，原方程组的解为．

（4）解：，
得，，
得，，
由④⑤得，
得：，
解得，，
把代入⑤得，，
解得，，
把，代入②得，，
所以，方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法；实数的混合运算（含开方）；利用开平方求未知数；求算术平方根
【解析】【分析】本题综合考查了实数的运算、平方根的定义、二元一次方程组与三元一次方程组的解法，重点在于基本运算能力与消元思想的运用。
（1）实数的混合运算：先分别计算算术平方根、立方根、二次根式的平方，再合并同类项。注意 需先算根号内的平方再开方，结果为 3，避免符号出错。
（2）平方根解方程：将 (2x+1) 看作一个整体，利用平方根的定义得到 2x+1 =13，再分别解两个一元一次方程，得到两个解。
（3）二元一次方程组（含括号与分式）：先将两个方程分别化简为整式方程。第一个方程去括号整理，第二个方程去分母、移项化简，得到标准形式的二元一次方程组，再通过加减消元法求解。
（4）三元一次方程组：利用加减消元法，先消去一个未知数（如 z），转化为二元一次方程组，再继续消元求解，最后回代得到第三个未知数的值。
（1）解：
；
（2）解：
，
所以，，，
解得，或；
（3）解：
，得，化简得，
将①化简得：，
得：，
解得，，
把代入③式得，，
解得，，
因此，原方程组的解为．
（4）解：，
得，，
得，，
由④⑤得，
得：，
解得，，
把代入⑤得，，
解得，，
把，代入②得，，
所以，方程组的解为．
20．甲、乙两人解方程组：，由于甲看错方程①中的而得到方程组的解为，乙看错子方程②中的b而得到的解为，假如按正确的计算，试求出原方程组的解.
【答案】解：∵甲只看错了方程①中的a，∴甲所得到的解为，应满足无a的正确的方程②，即4×（-3）-b×（-1）=-2．③
同理，，应满足正确的方程①，即a×5+5×4=13．④
解由③，④联立的方程组得：，
∴原方程组应为：，
解得：．
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】根据题意将方程的解代入到正确的方程中得到a，b，再代入原方程，利用加减消元法求出方程组的解即可.
21．如图是广州市某区部分区域简图，图中每个小正方形的边长代表100米长，为了确定各标志物的位置，请解答一下问题：
（1）以文化宫为原点建立平面直角坐标系，并写出市场、超市的坐标；
（2）在（1）中，小明从医院出发，沿A（500，﹣300），B（500，200），C（100，200）的路线走了一段路，问：他经过了哪些标志物，走了多少米？离C最近的标志物是哪一个？
【答案】解：（1）以文化宫为原点，建立平面直角坐标系如图所示：
由图可知市场的坐标为 （700，200），超市的坐标为 （500，﹣400）；
（2）在平面直角坐标系中将 A（500，﹣300），B（500，200），C（100，200），标出如图所示：
由图可知，小明从医院出发沿 A，B，C 的路线经过宾馆，
共走了 4×100+5×100+4×100＝1300 （米），
由图可知离 C 最近的标志物是体育场．
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】本题主要考查平面直角坐标系的建立、根据实际情境确定点的坐标，以及利用坐标描述运动路径、计算距离与判断位置关系，重点在于将实际问题转化为数学模型的能力。（1）以文化宫为原点，根据小正方形边长确定单位长度，再依据各标志物在网格中的相对位置，分别读出其横纵坐标。注意市场、超市与原点之间的格数对应坐标值。
（2）先根据给出的坐标 A， B， C 在图中描点，结合路径顺序判断经过的标志物；再根据相邻点之间的坐标差，利用网格边长计算各段实际距离并求和；最后观察点 C 周围有哪些标志物，通过坐标比较或图上位置找出距离最近的一个。
22．某班级去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
（1）求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
（2）在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
（3）小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？
【答案】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
（2）解：设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
（3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，∵A款不加料的杯数是总杯数的
∴两款奶茶有杯，
设A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
∵均为正整数，
∴，
∴，
答：B款加料的奶茶买了11杯．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用、二元一次方程整数解问题以及基于代数条件的方案分析，重点在于将文字信息转化为数学模型，并通过方程（组）的求解与整数约束得出可行方案。（1）求两款奶茶的单价：设未知数 x， y 分别表示 A、B 的单价，根据两次购买的总价列出两个方程，组成方程组，通过加减消元法或代入法求解，得到单价。
（2）在不加料情况下求购买方案：设购买杯数分别为 m， n，根据总价 220 元列出方程 10m + 12n = 220，化简后通过枚举或整除关系求出所有正整数解，并注意两种款式都要购买这一条件，从而确定方案种数。
（3）在加料与不加料条件下求特定杯数：合理设出不同加料情况的杯数（如 A 款不加料杯数为 a，根据总杯数关系表示出其余部分），再结合总花费 260 元建立方程，通过代数变形和整数条件求解出 B 款加料的杯数。
（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：
，
解得：，
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
（2）解：设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，
由题意得：，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
（3）解：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，
∵A款不加料的杯数是总杯数的
∴两款奶茶有杯，
设A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
∵均为正整数，
∴，
∴，
答：B款加料的奶茶买了11杯．
23．如图，，．
（1）求证：；
（2）若于点C，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴.
（2）解：，
，
由（1）可知，
．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再结合，可得，从而证出；
（2）结合，，利用角的运算求出即可．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移16个单位长度得到点C．当线段上的动点M从点B以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点N同时从点A以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为t（）．问：
（1）求点C的坐标．
（2）点M，点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由．
（3）是否存在某个时间t，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：，且，
，解得，
，
∵将点 B 向左平移 16 个单位长度得到点 C，
．
（2）解：，∴点 M，N 始终在，上运动，
当运动时间为 t 时，，，
则，
，
由图可知：，
，
和的面积比不会改变，始终等于．
（3）解：由图可知，
，，
，
，
【知识点】一元一次不等式的应用；坐标与图形变化﹣平移；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【分析】本题主要考查非负数的性质、坐标与平移、动点问题下的面积计算与比值的探究，以及一元一次不等式的应用，重点在于将几何图形与代数运算相结合，通过坐标表示线段长度，建立面积函数并分析其变化规律。（1）根据非负数的性质（绝对值和平方均为非负数，和为 0 则每一项为 0）列出关于 a， b 的方程组，解出 A， B 坐标，再根据平移规则（向左平移横坐标减小）求出点 C 的坐标。
（2）用含 t 的代数式表示两个三角形的面积。利用同底（MN）或等高关系转化为线段比，分别表示出 AN， BM， ON， CM 的长度，通过面积公式计算比值，化简后判断是否与 t 无关，从而得出比值不变的结论。
（3）先用含 t 的代数式表示四边形 ANMC 的面积（可视为梯形，利用上底 CM、下底 AN 和高 OB 计算），再求出四边形 AOBC 的面积，根据条件列出不等式，解出 t 的范围，并结合 t 的取值范围进行判断。
（1），
且，
，解得，
，
∵将点 B 向左平移 16 个单位长度得到点 C，
．
（2），
∴点 M，N 始终在，上运动，
当运动时间为 t 时，，，
则，
，
由图可知：，
，
和的面积比不会改变，始终等于．
（3）由图可知，，，
，
，
．
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