资源简介

浙江省台州椒江北书学校2024-2025学年下学期八年级期中测试试卷(数学)
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列长度（单位：）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．2，2，3 D．4，5，6
3．下列式子计算结果是的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列图象中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．在平行四边形中，如果，那么等于（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
7．已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
9．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点E从B点出发，沿B﹣C﹣D﹣A运动至A点停止，设运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（　　）
①；②四边形是菱形；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．当　 　时，是整数．（写出一个符合条件的x的值）
12．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则（2）处可以添加的条件是　 　．
13．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是　 　．
14．已知直角三角形的两条边长分别为6和8，那么该直角三角形斜边上的中线长是　 　．
15．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是　 　．
16．如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，．
（1）比较，的大小：　 　；
（2）若，则的值为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上．
（1）请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹）
（2）求的长度．
19．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
20．如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点P，与y轴相交于点C．
（1）求直线的解析式．
（2）求时x的取值范围．
21．如图，平行四边形中，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）填空：若，，，则当______时，四边形是菱形．
22．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于，故由上面的③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边的长分别是6，7，8，则该三角形的形状是 三角形．
（2）若一个三角形的三边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．
（3）若一个三角形的三条边的长分别是，，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．
23．【概念引入】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数．
例如：一次函数，它的伴随函数为．
【理解运用】（1）对于一次函数，请写出它的伴随函数的表达式．
（2）为了研究函数的伴随函数的图象，小红同学制作了如下表格：
… 0 1 2 …
…
2 0
…
请你补全表格中空白处的数据，并根据表中的数据在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象．
【拓展提升】已知直线与的伴随函数的图象交于A，B两点（点A在点B的下方），点在y轴上，当的面积为8时，求m的值．
24．已知在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上．
（1）如图1，若，求的长．
（2）如图2，过点B作，交于点H，G．求证：．
（3）如图3，在（2）条件下，连接，求证：四边形是菱形．
（4）如图4，在（2）、（3）条件下，作平分，交于点M，请直接写出线段之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数为，存在分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数是25，25=52是完全平方数，即被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、， 被开方数为3，不含分母且无法开方得到整数，是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数27=9×3，27是完全平方数，即被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，
∴长为1，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴长为2，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为4，5，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”可判断A选项；如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此可判断B、C、D三个选项.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、4与不能合并，故计算结果不等于，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B选项；
根据二次根式乘法法则“”可判断C选项；
根据二次根式的除法法则“”可判断D选项.
4．【答案】B
【知识点】函数的概念；数形结合
【解析】【解答】解：A、 表示y不是x的函数，该选项不符合题意的；
B、 表示y是x的函数，该选项是符合题意的；
C、 表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的；
D、 表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的.
故答案为：B．
【分析】 在一个变化过程中有两个变量x与y，对于变量x的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数， 据此，可以通过垂直x轴的任意一条直线来判断，若任意一条鱼x轴垂直的直线与图象最多只有一个交点，则y就是x的函数，若有多个交点就不是，据此逐一判断即可.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴
故答案为：D．
【分析】 由平行四边形的对角相等得∠A=∠C，结合∠A+∠C=160°可求出∠A=80°，然后根据平行四边形的邻角互补可求出∠B的度数.
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】菱形的对角线互相垂直且平分，C符合题意
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质和判定定理，可求解。
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由图象得一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限.
故答案为：D．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此求解即可.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米，
米，（米），
（米），
故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米），
故选：A．
【分析】如图是圆柱体的侧面展开图，根据题意可知AB=6，AE=8，根据勾股定理可得出BE=10，进一步即可得出答案为20米。
9．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，最大面积===6；
当点E在DC上运动时，三角形的面积为定值6．
当点E在AD上运动时三角形的面不断减小，当点E与点A重合时，面积为0．
故选B．
【分析】根据三角形面积分情况讨论即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵O为的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
，
，
，，
在等边中，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
平分，
，，
垂直平分，
如图，连接，
AI
在矩形中，为的中点，
，，三点在同一直线上，
在线段的垂直平分线上，
，
，
是等边三角形，
，
故①符合题意；
由①得和是等边三角形，
，
四边形是菱形；
故②符合题意；
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
同理可得，
∴故③符合题意；
在和中，
，
，
，
，，
∴
，故④不符合题意，
综上所述，正确的结论有①②③，
故选：C．
【分析】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、含角的直角三角形的性质，三角形面积计算. 解题核心是：①先利用矩形对角线的性质证得为等边三角形，再通过全等三角形、等边三角形的判定，验证①②结论；②结合含角的直角三角形性质，推导线段比例关系，验证③结论；③通过全等三角形转化面积，结合线段比例计算面积比，验证④结论，最终统计正确结论的个数.
11．【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：若二次根式有意义，
则，
解得：，
∵是整数，
∴10-x是一个完全平方数，
∴x可以等于1，当x=1时，是整数.
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】首先根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式得出x的取值范围，再根据该二次根式的值是整数，可得10-x是一个完全平方数，据此在x的取值范围内取值求解即可.
12．【答案】有一组邻边相等（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填一个角是直角；对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填对角线相等；
有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填有一组邻边相等；对角线互相垂直的矩形是正方形，则（2）处可填 对角线互相垂直 ；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处填有一组邻边相等； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则（3）处填 对角线互相垂直；
有一个角是直角的菱形是正方形，则（4）处可填有一个角是直角；对角线相等的菱形是正方形，则（4）处可填 对角线相等 .
故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）．
【分析】由于矩形、菱形是特殊的平行四边形，故在平行四边形的基础上添加矩形具有的特殊性质“一个内角是直角或对角线相等”可得该平行四边形是矩形；在平行四边形的基础上添加菱形具有的特殊性质“邻边相等或对角线互相垂直”可得该平行四边形是菱形；由于正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故在菱形基础上添加矩形的特殊性质“一个内角是直角或对角线相等”可得该菱形是矩形；在矩形基础上添加菱形的特殊性质“邻边相等或对角线互相垂直”可得该矩形是正方形，据此解答即可.
13．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：挂上的物体后，弹簧伸长，
挂上的物体后，弹簧伸长，
弹簧总长．
故答案为：．
【分析】弹簧总长由原长和伸长部分组成，伸长部分与所挂重的质量成正比，由“ 挂上1kg的质量后弹簧伸长2cm ”可得挂上xkg的物体后，弹簧伸长2xcm，从而即可写出总长的表达式.
14．【答案】4或5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：分为两种情况：当6和8都是直角边时，斜边为 =10，
则该直角三角形斜边上的中线长为 ；
当6为直角边，8为斜边时，
则此时该直角三角形斜边上的中线长是 =4；
故答案为：4或5．
【分析】根据题意得出两种情况，求出斜边，即可得出答案．
15．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：设点坐标为，
将代入中，
∴，
∴，
即点坐标为，
∴由图象可得关于的方程的解是，
故答案为：．
【分析】
本题考查一次函数与一元一次方程的关系、正比例函数的性质、函数图象交点的意义. 先通过正比例函数的解析式，结合交点P的纵坐标，求出P点的横坐标，再根据函数交点与方程解的对应关系，直接确定方程的解.
16．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；勾股树模型
【解析】【解答】解：（1）∵为正方形，
∴，，
∵为正方形，
∴，，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）作交的延长线于点Q，则，
设，，则，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】（1）由正方形的性质得AI=AC，AB=AE，∠IAC=∠EAB=90°，根据等式性质推出∠IAB=∠CAE，从而利用SAS判断出△AIB≌△ACE，由全等三角形的对应边相等可得CE=BI，从而可得答案；
（2）作交CA的延长线于点Q，设，，根据正方形面积计算公式表示出，，根据直角三角形量锐角互余及同角的余角相等得∠QAB=∠ABC，从而用AAS判断出△AEQ≌△BAC，由全等三角形的对应边相等得AQ=BC=a，QE=AC=b，则QC=a+b，由含30°角直角三角形的性质得EC=2QE，然后根据勾股定理表示出QC，可得 ，再代入计算即可得出的值．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则“”计算二次根式的乘法，再根据二次根式的性质“”化简二次根式，最后计算加法即可；
（2）先根据完全平方公式展开括号，同时根据二次根式化简二次根式，最后合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：如图所示，连接AC交BD于F，取格点H，连接DH交AC于O，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵DA、DB的中点分别为E，F，
∴是△ABD的中位线，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图所示，由平行四边形的对角线互相平分可得连接AC交BD于F；利用方格纸的特点AB的中点H，连接DH交AC于O，可得点O是三角形ABD的重心，根据三角形重心定义，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理求出AB的长，则由三角形中位线等于第三边的一半可得．
（1）解：如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵的中点分别为E，F，
∴是的中位线，
∴．
19．【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理可求得CD的长，进而即可得出，（米）；（2）首先可求得，进而根据勾股定理可求得（米），进而得出（米），即可得出答案。
（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
20．【答案】（1）解：把和代入得，
解得，
∴直线的解析式为
（2）解：联立方程组，
解得，
则的取值范围为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【分析】（1）将点A和点B的坐标代入直线的y=kx+b得到关于k、b的方程组，求解得k、b的值，于是可得到直线的解析式；
（2）联立直线l1与l2的解析式，求解得出点P的坐标；求不等式的解集， 从函数的角度看，就是寻求直线l1在直线l2下方部分 所有的点的横坐标所构成的集合，结合图形即可得出答案.
（1）解：把和代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：联立方程组，
解得，
则的取值范围为．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
（2）2
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）当时，四边形是菱形，理由如下：
如图：四边形是菱形时，
∵，平行四边形，
∴，CD=AB=3，AD=BC=5，
∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】（1）由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DEG=∠CFG，从而由“AAS”可证△GED≌△GFC，由全等三角形的对应边相等得DE=CF，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的对角相等，对边相等得∠CDB=∠B=60°，CD=AB=3，AD=BC=5，由菱形的四边相等及每条对角线平分一组对角得∠CDF=∠CDE=60°，DE=DF=CE=CF，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△CDF与△CDE都是等边三角形，由等边三角形的三边相等得出DE=CD=3，然后根据线段和差可求出AE=2.
（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
（2）当时，四边形是菱形，理由如下：
如图：四边形是菱形时，
∵，平行四边形，
∴，
∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：2．
22．【答案】（1）锐角
（2）∵这个三角形的三条边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，∴或，
解得或（负值均舍去），
∴x的值为13或．
（3）这个三角形是直角三角形．过程如下：∵
，
∴这个三条边的长分别是，，的三角形是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
解：（1）∵，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
【分析】
本题考查了三角形形状的判定方法、勾股定理、勾股定理的逆定理.
（1）先确定最长边，再比较最长边的平方与另两边平方和的大小，据此判断三角形为锐角三角形；
（2）针对直角三角形，分“x为最长边”和“12为最长边”两种情况，用勾股定理求解x的所有可能值.
（3）先确定三边中的最长边，再通过代数运算验证最长边的平方等于另两边的平方和，用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形.
（1）∵，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形的三条边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，
∴或，
解得或（负值均舍去），
∴x的值为13或．
（3）这个三角形是直角三角形．过程如下：
∵
，
∴这个三条边的长分别是，，的三角形是直角三角形．
23．【答案】解：理解运用：（1）由题意得：一次函数的伴随函数为．
（2）当时，，
当时，．
则补全表格如下：
… 0 1 2 …
… 0 2 0 …
根据表中的数据在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象如下：
拓展提升：如图2，设直线与轴交于点，
∵直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方），
∴联立，解得，即，
联立，解得，即，
将代入得：，即，
∵，
∴，
∵的面积为8，
∴，
∴，
解得或，
所以的值为或
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；描点法画函数图象；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据伴随函数的定义求解即可得；
（2）根据伴随函数的定义将x=-1代入y=2x+2算出对应的函数值，再将x=2代入y=-2x+2算出对应的函数值，从而即可补全表格；再利用描点法画出函数图象即可得；
拓展提升：分别解与，求出点A、B的坐标，根据直线与y轴交点的坐标特点求出直线y=x-1与y轴交点H的坐标，根据y轴上点的坐标特点设P(0，m)，根据两点间的距离公式表示出PH，再根据S△ABP=S△BPH+S△APH建立方程，求解即可.
24．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴．
∵与关于直线对称，
∴．
根据勾股定理，得，
∴
（2）证明：由题意得，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴
（3）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形
（4）线段AF、AB与BM之间的关系为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】（4）解：线段之间的数量关系为；
连接，如图3所示：
∵平分，
∴．
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴线段之间的数量关系为．
【分析】（1）根据矩形的对边相等得，再根据轴对称可得，然后根据勾股定理求得，最后根据得出答案；
（2）由轴对称的性质可得，由平行线的性质得，∠BGC=∠EFC=∠D=90°，从而用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等得出BG=CD；
（3）先根据平行线的性质得，由轴对称的性质得，则∠BEH=∠BHE，再根据“等角对等边”得，则，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，最后结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出结论；
（4）连接FM，根据轴对称性质、角平分线的定义及三角形内角和定理推出∠MBC+∠GCM=45°， 由三角形内角和定理求出∠BMC=135°； 由“SAS”证明△BMC≌△FMC，由全等三角形的对应角相等、对应边相等得，由周角定义求出∠FMB=90°，在Rt△BMF与Rt△ABF中，分别利用勾股定理表示出BF2，从而即可得出答案.
（1）解：∵四边形是矩形，
∴．
∵与关于直线对称，
∴．
根据勾股定理，得，
∴；
（2）证明：由题意得，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形；
（4）解：线段之间的数量关系为；
连接，如图3所示：
∵平分，
∴．
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴线段之间的数量关系为．
1 / 1浙江省台州椒江北书学校2024-2025学年下学期八年级期中测试试卷(数学)
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数为，存在分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数是25，25=52是完全平方数，即被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、， 被开方数为3，不含分母且无法开方得到整数，是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数27=9×3，27是完全平方数，即被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
2．下列长度（单位：）的四组线段中，首尾依次连接，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．2，2，3 D．4，5，6
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，
∴长为1，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为6，8，10的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴长为2，2，3的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为4，5，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”可判断A选项；如果一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此可判断B、C、D三个选项.
3．下列式子计算结果是的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、4与不能合并，故计算结果不等于，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B选项；
根据二次根式乘法法则“”可判断C选项；
根据二次根式的除法法则“”可判断D选项.
4．下列图象中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念；数形结合
【解析】【解答】解：A、 表示y不是x的函数，该选项不符合题意的；
B、 表示y是x的函数，该选项是符合题意的；
C、 表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的；
D、 表示 y不是x的函数，该选项不符合题意的.
故答案为：B．
【分析】 在一个变化过程中有两个变量x与y，对于变量x的每一个确定的值，另一个变量y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数， 据此，可以通过垂直x轴的任意一条直线来判断，若任意一条鱼x轴垂直的直线与图象最多只有一个交点，则y就是x的函数，若有多个交点就不是，据此逐一判断即可.
5．在平行四边形中，如果，那么等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴
故答案为：D．
【分析】 由平行四边形的对角相等得∠A=∠C，结合∠A+∠C=160°可求出∠A=80°，然后根据平行四边形的邻角互补可求出∠B的度数.
6．下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】菱形的对角线互相垂直且平分，C符合题意
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质和判定定理，可求解。
7．已知一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由图象得一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限.
故答案为：D．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此求解即可.
8．如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（　　）
A．20米 B．25米 C．30米 D．15米
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；求算术平方根
【解析】【解答】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米，
米，（米），
（米），
故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米），
故选：A．
【分析】如图是圆柱体的侧面展开图，根据题意可知AB=6，AE=8，根据勾股定理可得出BE=10，进一步即可得出答案为20米。
9．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点E从B点出发，沿B﹣C﹣D﹣A运动至A点停止，设运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，最大面积===6；
当点E在DC上运动时，三角形的面积为定值6．
当点E在AD上运动时三角形的面不断减小，当点E与点A重合时，面积为0．
故选B．
【分析】根据三角形面积分情况讨论即可求出答案.
10．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接．若，则下列结论中正确结论的个数是（　　）
①；②四边形是菱形；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵O为的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，
，
，
，，
在等边中，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
平分，
，，
垂直平分，
如图，连接，
AI
在矩形中，为的中点，
，，三点在同一直线上，
在线段的垂直平分线上，
，
，
是等边三角形，
，
故①符合题意；
由①得和是等边三角形，
，
四边形是菱形；
故②符合题意；
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
同理可得，
∴故③符合题意；
在和中，
，
，
，
，，
∴
，故④不符合题意，
综上所述，正确的结论有①②③，
故选：C．
【分析】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、含角的直角三角形的性质，三角形面积计算. 解题核心是：①先利用矩形对角线的性质证得为等边三角形，再通过全等三角形、等边三角形的判定，验证①②结论；②结合含角的直角三角形性质，推导线段比例关系，验证③结论；③通过全等三角形转化面积，结合线段比例计算面积比，验证④结论，最终统计正确结论的个数.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．当　 　时，是整数．（写出一个符合条件的x的值）
【答案】1
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：若二次根式有意义，
则，
解得：，
∵是整数，
∴10-x是一个完全平方数，
∴x可以等于1，当x=1时，是整数.
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】首先根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式得出x的取值范围，再根据该二次根式的值是整数，可得10-x是一个完全平方数，据此在x的取值范围内取值求解即可.
12．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则（2）处可以添加的条件是　 　．
【答案】有一组邻边相等（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填一个角是直角；对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填对角线相等；
有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填有一组邻边相等；对角线互相垂直的矩形是正方形，则（2）处可填 对角线互相垂直 ；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处填有一组邻边相等； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则（3）处填 对角线互相垂直；
有一个角是直角的菱形是正方形，则（4）处可填有一个角是直角；对角线相等的菱形是正方形，则（4）处可填 对角线相等 .
故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）．
【分析】由于矩形、菱形是特殊的平行四边形，故在平行四边形的基础上添加矩形具有的特殊性质“一个内角是直角或对角线相等”可得该平行四边形是矩形；在平行四边形的基础上添加菱形具有的特殊性质“邻边相等或对角线互相垂直”可得该平行四边形是菱形；由于正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故在菱形基础上添加矩形的特殊性质“一个内角是直角或对角线相等”可得该菱形是矩形；在矩形基础上添加菱形的特殊性质“邻边相等或对角线互相垂直”可得该矩形是正方形，据此解答即可.
13．一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重的质量成正比。如果挂上的质量后弹簧伸长，则弹簧的总长（单位：）关于所挂重物（单位：）的函数解析式是　 　．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：挂上的物体后，弹簧伸长，
挂上的物体后，弹簧伸长，
弹簧总长．
故答案为：．
【分析】弹簧总长由原长和伸长部分组成，伸长部分与所挂重的质量成正比，由“ 挂上1kg的质量后弹簧伸长2cm ”可得挂上xkg的物体后，弹簧伸长2xcm，从而即可写出总长的表达式.
14．已知直角三角形的两条边长分别为6和8，那么该直角三角形斜边上的中线长是　 　．
【答案】4或5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：分为两种情况：当6和8都是直角边时，斜边为 =10，
则该直角三角形斜边上的中线长为 ；
当6为直角边，8为斜边时，
则此时该直角三角形斜边上的中线长是 =4；
故答案为：4或5．
【分析】根据题意得出两种情况，求出斜边，即可得出答案．
15．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P，则关于x的方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：设点坐标为，
将代入中，
∴，
∴，
即点坐标为，
∴由图象可得关于的方程的解是，
故答案为：．
【分析】
本题考查一次函数与一元一次方程的关系、正比例函数的性质、函数图象交点的意义. 先通过正比例函数的解析式，结合交点P的纵坐标，求出P点的横坐标，再根据函数交点与方程解的对应关系，直接确定方程的解.
16．如图，在中，，分别以的三边为边向外构造正方形，，，分别记正方形，的面积为，．
（1）比较，的大小：　 　；
（2）若，则的值为　 　．
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；勾股树模型
【解析】【解答】解：（1）∵为正方形，
∴，，
∵为正方形，
∴，，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）作交的延长线于点Q，则，
设，，则，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】（1）由正方形的性质得AI=AC，AB=AE，∠IAC=∠EAB=90°，根据等式性质推出∠IAB=∠CAE，从而利用SAS判断出△AIB≌△ACE，由全等三角形的对应边相等可得CE=BI，从而可得答案；
（2）作交CA的延长线于点Q，设，，根据正方形面积计算公式表示出，，根据直角三角形量锐角互余及同角的余角相等得∠QAB=∠ABC，从而用AAS判断出△AEQ≌△BAC，由全等三角形的对应边相等得AQ=BC=a，QE=AC=b，则QC=a+b，由含30°角直角三角形的性质得EC=2QE，然后根据勾股定理表示出QC，可得 ，再代入计算即可得出的值．
三、解答题（本题有8小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则“”计算二次根式的乘法，再根据二次根式的性质“”化简二次根式，最后计算加法即可；
（2）先根据完全平方公式展开括号，同时根据二次根式化简二次根式，最后合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上．
（1）请用无刻度的直尺分别画出的中点E，F；（保留作图痕迹）
（2）求的长度．
【答案】（1）解：如图所示，连接AC交BD于F，取格点H，连接DH交AC于O，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵DA、DB的中点分别为E，F，
∴是△ABD的中位线，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图所示，由平行四边形的对角线互相平分可得连接AC交BD于F；利用方格纸的特点AB的中点H，连接DH交AC于O，可得点O是三角形ABD的重心，根据三角形重心定义，连接BO并延长交AD于E，则E、F即为所求；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理求出AB的长，则由三角形中位线等于第三边的一半可得．
（1）解：如图所示，连接交于F，取格点H，连接交于O，连接并延长交于E，则E、F即为所求；
（2）解：由网格的特点和勾股定理可得，
∵的中点分别为E，F，
∴是的中位线，
∴．
19．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理可求得CD的长，进而即可得出，（米）；（2）首先可求得，进而根据勾股定理可求得（米），进而得出（米），即可得出答案。
（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线经过和两点，直线与直线相交于点P，与y轴相交于点C．
（1）求直线的解析式．
（2）求时x的取值范围．
【答案】（1）解：把和代入得，
解得，
∴直线的解析式为
（2）解：联立方程组，
解得，
则的取值范围为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【分析】（1）将点A和点B的坐标代入直线的y=kx+b得到关于k、b的方程组，求解得k、b的值，于是可得到直线的解析式；
（2）联立直线l1与l2的解析式，求解得出点P的坐标；求不等式的解集， 从函数的角度看，就是寻求直线l1在直线l2下方部分 所有的点的横坐标所构成的集合，结合图形即可得出答案.
（1）解：把和代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：联立方程组，
解得，
则的取值范围为．
21．如图，平行四边形中，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）填空：若，，，则当______时，四边形是菱形．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
（2）2
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（2）当时，四边形是菱形，理由如下：
如图：四边形是菱形时，
∵，平行四边形，
∴，CD=AB=3，AD=BC=5，
∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】（1）由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DEG=∠CFG，从而由“AAS”可证△GED≌△GFC，由全等三角形的对应边相等得DE=CF，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）由平行四边形的对角相等，对边相等得∠CDB=∠B=60°，CD=AB=3，AD=BC=5，由菱形的四边相等及每条对角线平分一组对角得∠CDF=∠CDE=60°，DE=DF=CE=CF，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△CDF与△CDE都是等边三角形，由等边三角形的三边相等得出DE=CD=3，然后根据线段和差可求出AE=2.
（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形
（2）当时，四边形是菱形，理由如下：
如图：四边形是菱形时，
∵，平行四边形，
∴，
∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：2．
22．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于，故由上面的③可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边的长分别是6，7，8，则该三角形的形状是 三角形．
（2）若一个三角形的三边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，求x的值．
（3）若一个三角形的三条边的长分别是，，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．
【答案】（1）锐角
（2）∵这个三角形的三条边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，∴或，
解得或（负值均舍去），
∴x的值为13或．
（3）这个三角形是直角三角形．过程如下：∵
，
∴这个三条边的长分别是，，的三角形是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
解：（1）∵，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
【分析】
本题考查了三角形形状的判定方法、勾股定理、勾股定理的逆定理.
（1）先确定最长边，再比较最长边的平方与另两边平方和的大小，据此判断三角形为锐角三角形；
（2）针对直角三角形，分“x为最长边”和“12为最长边”两种情况，用勾股定理求解x的所有可能值.
（3）先确定三边中的最长边，再通过代数运算验证最长边的平方等于另两边的平方和，用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形.
（1）∵，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形的三条边的长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，
∴或，
解得或（负值均舍去），
∴x的值为13或．
（3）这个三角形是直角三角形．过程如下：
∵
，
∴这个三条边的长分别是，，的三角形是直角三角形．
23．【概念引入】对于给定的一次函数（其中k，b为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数．
例如：一次函数，它的伴随函数为．
【理解运用】（1）对于一次函数，请写出它的伴随函数的表达式．
（2）为了研究函数的伴随函数的图象，小红同学制作了如下表格：
… 0 1 2 …
…
2 0
…
请你补全表格中空白处的数据，并根据表中的数据在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象．
【拓展提升】已知直线与的伴随函数的图象交于A，B两点（点A在点B的下方），点在y轴上，当的面积为8时，求m的值．
【答案】解：理解运用：（1）由题意得：一次函数的伴随函数为．
（2）当时，，
当时，．
则补全表格如下：
… 0 1 2 …
… 0 2 0 …
根据表中的数据在图1所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象如下：
拓展提升：如图2，设直线与轴交于点，
∵直线与的伴随函数的图象交于两点（点在点的下方），
∴联立，解得，即，
联立，解得，即，
将代入得：，即，
∵，
∴，
∵的面积为8，
∴，
∴，
解得或，
所以的值为或
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；描点法画函数图象；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）根据伴随函数的定义求解即可得；
（2）根据伴随函数的定义将x=-1代入y=2x+2算出对应的函数值，再将x=2代入y=-2x+2算出对应的函数值，从而即可补全表格；再利用描点法画出函数图象即可得；
拓展提升：分别解与，求出点A、B的坐标，根据直线与y轴交点的坐标特点求出直线y=x-1与y轴交点H的坐标，根据y轴上点的坐标特点设P(0，m)，根据两点间的距离公式表示出PH，再根据S△ABP=S△BPH+S△APH建立方程，求解即可.
24．已知在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上．
（1）如图1，若，求的长．
（2）如图2，过点B作，交于点H，G．求证：．
（3）如图3，在（2）条件下，连接，求证：四边形是菱形．
（4）如图4，在（2）、（3）条件下，作平分，交于点M，请直接写出线段之间的数量关系．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴．
∵与关于直线对称，
∴．
根据勾股定理，得，
∴
（2）证明：由题意得，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴
（3）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形
（4）线段AF、AB与BM之间的关系为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】（4）解：线段之间的数量关系为；
连接，如图3所示：
∵平分，
∴．
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴线段之间的数量关系为．
【分析】（1）根据矩形的对边相等得，再根据轴对称可得，然后根据勾股定理求得，最后根据得出答案；
（2）由轴对称的性质可得，由平行线的性质得，∠BGC=∠EFC=∠D=90°，从而用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等得出BG=CD；
（3）先根据平行线的性质得，由轴对称的性质得，则∠BEH=∠BHE，再根据“等角对等边”得，则，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形是平行四边形，最后结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出结论；
（4）连接FM，根据轴对称性质、角平分线的定义及三角形内角和定理推出∠MBC+∠GCM=45°， 由三角形内角和定理求出∠BMC=135°； 由“SAS”证明△BMC≌△FMC，由全等三角形的对应角相等、对应边相等得，由周角定义求出∠FMB=90°，在Rt△BMF与Rt△ABF中，分别利用勾股定理表示出BF2，从而即可得出答案.
（1）解：∵四边形是矩形，
∴．
∵与关于直线对称，
∴．
根据勾股定理，得，
∴；
（2）证明：由题意得，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形；
（4）解：线段之间的数量关系为；
连接，如图3所示：
∵平分，
∴．
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴线段之间的数量关系为．
1 / 1

展开更多......

收起↑