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浙江省舟山市2024-2025学年下学期期中数学素养监测试题卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列数中，能使有意义的是（　　）
A． B．0 C． D．7
3．在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．下列式子计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，四人10次射击的平均成绩都是9.2环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（　　）
A． B． C． D．
7．舟山积极宣传和推广“山海交响，诗画浙江，千岛之城舟山行”海洋文化旅游项目，去年舟山旅游产业获利172亿元，若计划明年旅游产业获利237亿元，设年平均增长率为x，根据题意所列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．为了了解班级同学的家庭用水情况，小明在全班同学中，随机调查了名同学家庭中一年的月平均用水量（单位：吨），绘制了条形统计图如图．这名同学家庭中一年的月平均用水量的中位数与众数分别是（　　）
A．、 B．、 C．、 D．、
9．关于x的一元二次方程 有两个实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥0 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1
10．对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（　　）
①若，则；
②若关于x的方程没有实数根，则；
③代数式有最小值；
④若关于x的方程的解为p和q，则的值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．一个多边形的内角和为，则它的边数为　 　．
12．若方程（为常数）的一个解是，则另一个解　 　．
13．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是（的坡比，坝高，则坡面的长度是　 　．
14．已知一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，则这组数据的标准差为　 　．
15．若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是　 　．
16．如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，F恰好为的中点，则　 　，与平行四边形重叠部分的面积为　 　．
三、简答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
甲同学： 或 ∴或 乙同学： ，， ∵ ∴此方程无实数根
（1）你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”）
（2）请选择合适的方法解一元二次方程．
19．如图，在的方格纸中（每个小方格的长为1），根据要求画出图形；
（1）在图1中画一个面积为6的平行四边形；
（2）在图2中画出关于点C中心对称的图形，其中A的对称点为D，B的对称点为E；
（3）在（2）的条件下，求出和之间的距离．
20．为迎接数学文化节，某校面向全体学生举办了以“践行科学教育，体验数理之美”为主题的数学素养大赛，比赛共设四个项目：24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣，每位同学只能选择一项报名参加．请根据相关信息，完成下列问题：
比赛项目 成绩（分）
七年级 八年级 九年级
24点速算比赛 70 85 80
数学文化知多少 80 70 90
东方快板 85 80 70
环环相扣 90 95 80
（1）根据对各个项目参赛人数的统计，绘制了扇形统计图如图所示，现已知参加“东方快板”项目的有200人，求参加此次数学素养大赛的总人数以及参加“数学文化知多少”项目的人数．
（2）现每个年级段抽取各项目最优异的选手组成4人小分队，进行年级赛，各年级各项目成绩如表所示，老师按照24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣在总分中所占的比例分别为来计算每个年级组的最终成绩，请问各年级组的最终成绩分别为多少？哪个年级组将取得第一名？
21．如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点E，F．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的周长．
22．已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程，根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）下列是“差根方程”的是______；（填写序号）
①；②
（2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值．
（3）已知是直角三角形，的长为，若的两边的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．
23．某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围）
（2）若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？
（3）若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？
24．如图，平行四边形的对角线，交于点O，平分，交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，连接；
①若，求的长；
②设，试求k与m满足的关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴四个数中，只有数字7符合题意，
故答案为：D．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数，据此列出关于字母x的不等式，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】角的运算；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
故选：D．
【分析】
本题考查平行四边形的角度计算，重点考查平行四边形的内角性质. 解题的核心是：先根据平行四边形“对角相等”的性质，由，求出的度数，再利用“邻角互补”的性质，计算出的度数.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，选项正确，符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、和不是同类二次根式，不能进行合并，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、C选项；由二次根式除法法则“”可判断B选项；根据二次根式性质“”可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴这四个人成绩最稳定的是乙，
故选：B．
【分析】
本题考查了方差的意义与作用. 牢记“方差越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，数据的波动越小，稳定性越好”这一核心结论. 解题思路是：在平均成绩相同的前提下，直接比较四人的方差大小，方差最小的选手，成绩波动最小，也就是成绩最稳定的选手.
6．【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：
，
故选：C．
【分析】
本题考查配方法的应用，重点考查将一元二次方程转化为完全平方式的方法. 掌握配方法的核心步骤：将常数项移到等号右边，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程化为完全平方式.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：D．
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
8．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：在这组样本数据中，出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是．
将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是，
这组数据的中位数是，
故选：B．
【分析】
本题考查条形统计图的解读、中位数的定义、众数的定义. 本题的解题核心是：先读懂条形统计图，还原出10名同学的月均用水量完整数据，再分别依据中位数和众数的定义，对数据进行排序、统计，最终得到对应的结果.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，解得：m≥0且m≠1.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程有两个实数根的条件是，二次项系数a≠0，△≥0，据此分别列不等式求出不等式组的解集，即可得出m的范围，
10．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，故①说法错误；
∵关于x的方程没有实数根，
∴关于x的方程没有实数根，
∴关于x的方程没有实数根，
∴，
∴，故②说法正确；
，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为，故③正确；
∵关于x的方程的解为p和q，
∴关于x的方程的解为p和q，
∴，
∴，
∴，
∴
∴或，故④错误.
故答案为：B．
【分析】将M=3x与N=1代入M2-N2-MN=11可得关于字母x的一元二次方程，据此解方程即可判断①； 将M=3x与N=1代入M2-N-2=x+m得关于x的方程，根据“一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根”结合题意列出关于字母m的不等式，求解得出m的取值范围，即可判断②；将M=3x与N=1代入M2+2M-N，得到关于字母x的二次三项式，利用配方法将该二次三项式配成一个完全平方式与一个常数的和的形式，可判断③； 将M=3x与N=1代入x2+M+N=0得到关于字母x的一元二次方程，然后根据一元二次方程根与系数之间的关系求得求出p+q与pq的值，进而根据完全平方公式的变形得到，再根据即可判断④．
11．【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为（且为整数），
解得．
故答案为：．
【分析】
本题考查了多边形内角和定理．熟练掌握边形内角和公式（且为整数）. 本题的核心是利用多边形内角和定理列方程：设边数为n，代入内角和公式建立方程，解方程后即可得到多边形的边数，解题的关键是牢记公式并正确求解一元一次方程.
12．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个解为，
由一元二次方程的根与系数的关系得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系， 牢记一元二次方程的两根之和为，结合已知根求解另一根. 解题时，可设方程的另一个根为，根据韦达定理中两根之和的公式，结合已知根，列出方程求解n，牢记韦达定理的核心公式是解题的关键.
13．【答案】16
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
在中，，
∴由勾股定理得，
故答案为：．
【分析】根据AB的坡比列出方程求出AC的长，进而再利用勾股定理算出AB即可.
14．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【解答】解：∵一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，
∴，
解得，
∴这组数据的方差为，
∴这组数据的标准差为．
故答案为：2．
【分析】由平均数定义可得这组数据的平均数与这组数据的个数之积等于这组数据的总和，据此列出方程求出a的值；然后根据方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数计算出这组数据的方差，最后根据标准差就是方差的算术平方根求解即可.
15．【答案】或
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程可变形为，
又∵关于x的一元二次方程的解是，，
∴的解满足或，
∴或，
故答案为：或．
【分析】方程关于x的一元二次方程可变形为，观察此方程与题干给出的第一个方程可得该方程的解满足或，据此可得答案．
16．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵F恰好为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴与平行四边形重叠部分的面积为，
故答案为：；．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得到，再由平行线的性质和折叠的性质可证明，由对角对等边得，再根据线段中点的定义得；根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，利用勾股定理求出BD，由于重叠部分的面积为△BDF的面积，且根据等底同高三角形面积相等可得S△BDF=S△ABD，从而结合三角形面积公式列式计算即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则“”及二次根式性质“”进行计算，再计算有理数的加法得出答案；
（2）先根据平方差公式展开括号，再根据二次根式性质“及”分别化简，最后计算加减法得出答案.
（1）解：
（2）
18．【答案】（1）不正确；不正确
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：甲、乙两个同学的解法都不正确，理由如下：
甲同学的解题过程中，方程左边分解因式正确，但是方程右边的结果不为0，因此并不能得到或；
乙同学的解题过程中，而不是；
故答案为：不正确，不正确；
【分析】（1）甲同学采用了因式分解法解一元二次方程，使用该方法的前提是方程右边为0，由于 甲同学解题过程中，方程右边的结果不为0， 因此并不能得到或；乙同学采用了求根公式法解一元二次方程，使用该方法的前提是方程必须为一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0的形式，而乙同学解题过程中没有将方程化为一般形式，从而出现常数c的错误；
（2）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程转化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：甲、乙两个同学的解法都不正确，理由如下：
甲同学的解题过程中，方程左边分解因式正确，但是方程右边的结果不为0，因此并不能得到或；
乙同学的解题过程中，而不是；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
19．【答案】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：设和之间的距离为h，由中心对称图形的性质可得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴和之间的距离为．
【知识点】分母有理化；平行四边形的判定与性质；中心对称图形；中心对称的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点、平行四边形面积计算公式及平行四边形的判定方法，画一个底为3，高为2的平行四边形即可；
（2）利用方格纸的特点及中心对称的性质，延长AC到D，使得，延长BC到点E，使CE=BC，顺次连接D、E、C即可；
（3）由对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，利用勾股定理算出AB，则可利用等面积法求出答案．
（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：设和之间的距离为h，
由中心对称图形的性质可得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴和之间的距离为．
20．【答案】（1）解：人，
∴参加此次数学素养大赛的总人数为800人，
人，
∴参加“数学文化知多少”项目的人数为80人；
（2）解：初一：，
初二：，
初三：，
∵，
∴初三取得第一名．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）用参加“东方快板”项目的人数除以其占比可求出参加此次数学素养大赛的总人数 ，再用参加此次数学素养大赛的总人数乘以参加“数学文化知多少”项目的人数占比即可得到答案；
（2）根据加权平均数的计算方法，用各项乘以与其权重的乘积的总和除以权重的总和分别求得三个年级的成绩，比较即可求解．
（1）解：人，
∴参加此次数学素养大赛的总人数为800人，
人，
∴参加“数学文化知多少”项目的人数为80人；
（2）解：初一：，
初二：，
初三：，
∵，
∴初三取得第一名．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴四边形的周长．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，由两直线平行，内错角相等得，从而可根据“AAS”证△AOE≌△COF，由全等三角形的对应边相等即可得到结论；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出OE=OF=3，AE=CF，然后根据四边形周长计算方法、等量代换及线段的和差可将四边形ABFE的周长转化为BC+AB+2OE，从而代值计算可得答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴四边形的周长．
22．【答案】（1）①
（2）解：，
因式分解得：，
解得：，，
关于的方程是“差根方程”，
，即；
（3）解：当为斜边时，如图，
假设，可设，
由勾股定理得，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
则差根方程的两个根为1和2，
∵1+2=3，1×2=2，
∴所求的方程为，
当为直角边时，如图，
设，，
由勾股定理得，
解得，
∴，
解差根方程的两个根为3和2，
∴这个差根方程为，即，
差根方程为或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：①
∴；
解得
∵；
∴是差根方程；
∴
解得
∵；
方程不是差根方程；
故答案为：①；
【分析】（1）分别利用因式分解法求出两个方程的根，然后根据“差根方程”的定义判断即可；
（2）将a作为常数，利用因式分解的方法求出方程的两根为x1=0，x2=-2a，再根据“差根方程”的定义列出关于字母a的含绝对值符号的方程，求解即可；
（3）分类讨论：分BC为斜边时与BC为直角边时两种情况，设AB＞AC＞0，可设AC=x，则AB=x+1，利用勾股定理建立方程求解得出符合题意的x的值，从而即可求出差根方程的两个根，然后根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再根据一元二次方程的定义，并令该二次方程的二次项系数为1，即可写出所求的方程.
（1）解：①
∴；
解得
∵；
∴是差根方程；
∴
解得
∵；
方程不是差根方程；
故答案为：①
（2），
因式分解得：，
解得：，，
关于的方程是“差根方程”，
，即；
（3）当为斜边时，如图，
假设，可设，
由勾股定理得，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
解差根方程的两个根为1和2，
∴这个差根方程为，即，
当为直角边时，如图，
设，，
由勾股定理得，
解得，
∴，
解差根方程的两个根为3和2，
∴这个差根方程为，即，
差根方程为或．
23．【答案】（1）解：设与之间的函数解析式为，
把图象上两点，代入，
得，
解得，
与之间的函数解析式为；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得（舍去）或，
答：应该定价45元；
（3）解：设商店的利润为w元，由题意得
，
∵，
∴，当且仅当，即时取得等号，
∴商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；配方法的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，然后将点（30，100） 与（40，50）分别代入可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解即可得出k、b的值，从而得到所求的函数解析式；
（2）根据总利润等于单件商品的利润乘以销售量，列出方程求解得出x的值，进而根据x≥30判断出符合题意的x的值即可；
（3）设商店的利润为w元，根据总利润等于单件商品的利润乘以销售量，列出总利润w关于销售单价x的函数的关系式，再利用配方法求解即可．
（1）解：设与之间的函数解析式为，
把图象上两点，代入，
得，
解得，
与之间的函数解析式为；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得（舍去）或，
答：应该定价45元；
（3）解：设商店的利润为W元，
由题意得
，
∵，
∴，当且仅当，即时取得等号，
∴商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形；
∴；
（2）解：①∵，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，对角线交于点O，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点A作于G，过点D作交延长线于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得出AD∥BC， ∠ABC=∠ADC=60°， 由二直线平行，同旁内角互补求出∠BAD=120°，由角平分线的定义求出∠BAE=60°，从而根据有两个角为60°的三角形是等边三角形得出△ABE是等边三角形，进而根据等边是哪些的三边相等得出AB=AE；
（2）①易得BC=8，由等边三角形的性质得到AB=BE=AB=4，∠AEB=∠BAE=60°，由线段和差求出CE=AE=4，由等边对等角及三角形外角性质可推出∠EAC=∠ECA=30°，由角的构成推出∠BAC=90°，从而由勾股定理算出AC的长；由平行四边形的对角线互相平分得出OA的长，BD=2OB，再由勾股定理算出OB，即可得出BD的长；
②如图所示，过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，由平行四边形的性质得AD=BC，OA=AC，OB=BD，设AD=BC=2x，则AB=2mx，由三角形外角性质求出，由含30°角直角三角形的性质得到，用勾股定理表示出DH；进而再利用勾股定理表示出BD2；同理可得，，则；根据，可推出，再由，可得，据此可得答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
∴；
（2）解：①∵，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，对角线交于点O，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点A作于G，过点D作交延长线于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
1 / 1浙江省舟山市2024-2025学年下学期期中数学素养监测试题卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．下列数中，能使有意义的是（　　）
A． B．0 C． D．7
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴四个数中，只有数字7符合题意，
故答案为：D．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数，据此列出关于字母x的不等式，求解即可.
3．在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
故选：D．
【分析】
本题考查平行四边形的角度计算，重点考查平行四边形的内角性质. 解题的核心是：先根据平行四边形“对角相等”的性质，由，求出的度数，再利用“邻角互补”的性质，计算出的度数.
4．下列式子计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，选项正确，符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、和不是同类二次根式，不能进行合并，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、C选项；由二次根式除法法则“”可判断B选项；根据二次根式性质“”可判断D选项.
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，四人10次射击的平均成绩都是9.2环，方差分别是，，，，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴这四个人成绩最稳定的是乙，
故选：B．
【分析】
本题考查了方差的意义与作用. 牢记“方差越大，数据的波动越大，稳定性越差；方差越小，数据的波动越小，稳定性越好”这一核心结论. 解题思路是：在平均成绩相同的前提下，直接比较四人的方差大小，方差最小的选手，成绩波动最小，也就是成绩最稳定的选手.
6．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：
，
故选：C．
【分析】
本题考查配方法的应用，重点考查将一元二次方程转化为完全平方式的方法. 掌握配方法的核心步骤：将常数项移到等号右边，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程化为完全平方式.
7．舟山积极宣传和推广“山海交响，诗画浙江，千岛之城舟山行”海洋文化旅游项目，去年舟山旅游产业获利172亿元，若计划明年旅游产业获利237亿元，设年平均增长率为x，根据题意所列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，，
故答案为：D．
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
8．为了了解班级同学的家庭用水情况，小明在全班同学中，随机调查了名同学家庭中一年的月平均用水量（单位：吨），绘制了条形统计图如图．这名同学家庭中一年的月平均用水量的中位数与众数分别是（　　）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：在这组样本数据中，出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是．
将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是，
这组数据的中位数是，
故选：B．
【分析】
本题考查条形统计图的解读、中位数的定义、众数的定义. 本题的解题核心是：先读懂条形统计图，还原出10名同学的月均用水量完整数据，再分别依据中位数和众数的定义，对数据进行排序、统计，最终得到对应的结果.
9．关于x的一元二次方程 有两个实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥0 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m＞0且m≠1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴ ，解得：m≥0且m≠1.
故答案为：C.
【分析】一元二次方程有两个实数根的条件是，二次项系数a≠0，△≥0，据此分别列不等式求出不等式组的解集，即可得出m的范围，
10．对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（　　）
①若，则；
②若关于x的方程没有实数根，则；
③代数式有最小值；
④若关于x的方程的解为p和q，则的值为．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，故①说法错误；
∵关于x的方程没有实数根，
∴关于x的方程没有实数根，
∴关于x的方程没有实数根，
∴，
∴，故②说法正确；
，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为，故③正确；
∵关于x的方程的解为p和q，
∴关于x的方程的解为p和q，
∴，
∴，
∴，
∴
∴或，故④错误.
故答案为：B．
【分析】将M=3x与N=1代入M2-N2-MN=11可得关于字母x的一元二次方程，据此解方程即可判断①； 将M=3x与N=1代入M2-N-2=x+m得关于x的方程，根据“一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根”结合题意列出关于字母m的不等式，求解得出m的取值范围，即可判断②；将M=3x与N=1代入M2+2M-N，得到关于字母x的二次三项式，利用配方法将该二次三项式配成一个完全平方式与一个常数的和的形式，可判断③； 将M=3x与N=1代入x2+M+N=0得到关于字母x的一元二次方程，然后根据一元二次方程根与系数之间的关系求得求出p+q与pq的值，进而根据完全平方公式的变形得到，再根据即可判断④．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．一个多边形的内角和为，则它的边数为　 　．
【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为（且为整数），
解得．
故答案为：．
【分析】
本题考查了多边形内角和定理．熟练掌握边形内角和公式（且为整数）. 本题的核心是利用多边形内角和定理列方程：设边数为n，代入内角和公式建立方程，解方程后即可得到多边形的边数，解题的关键是牢记公式并正确求解一元一次方程.
12．若方程（为常数）的一个解是，则另一个解　 　．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一个解为，
由一元二次方程的根与系数的关系得：，
解得：．
故答案为：．
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系， 牢记一元二次方程的两根之和为，结合已知根求解另一根. 解题时，可设方程的另一个根为，根据韦达定理中两根之和的公式，结合已知根，列出方程求解n，牢记韦达定理的核心公式是解题的关键.
13．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡的坡比是（的坡比，坝高，则坡面的长度是　 　．
【答案】16
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
在中，，
∴由勾股定理得，
故答案为：．
【分析】根据AB的坡比列出方程求出AC的长，进而再利用勾股定理算出AB即可.
14．已知一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，则这组数据的标准差为　 　．
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【解答】解：∵一组数据：8，4，6，a，5的平均数为5，
∴，
解得，
∴这组数据的方差为，
∴这组数据的标准差为．
故答案为：2．
【分析】由平均数定义可得这组数据的平均数与这组数据的个数之积等于这组数据的总和，据此列出方程求出a的值；然后根据方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数计算出这组数据的方差，最后根据标准差就是方差的算术平方根求解即可.
15．若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是　 　．
【答案】或
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程可变形为，
又∵关于x的一元二次方程的解是，，
∴的解满足或，
∴或，
故答案为：或．
【分析】方程关于x的一元二次方程可变形为，观察此方程与题干给出的第一个方程可得该方程的解满足或，据此可得答案．
16．如图，在平行四边形中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，F恰好为的中点，则　 　，与平行四边形重叠部分的面积为　 　．
【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∵F恰好为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴与平行四边形重叠部分的面积为，
故答案为：；．
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得到，再由平行线的性质和折叠的性质可证明，由对角对等边得，再根据线段中点的定义得；根据等边对等角和三角形内角和定理可证明，利用勾股定理求出BD，由于重叠部分的面积为△BDF的面积，且根据等底同高三角形面积相等可得S△BDF=S△ABD，从而结合三角形面积公式列式计算即可求出答案.
三、简答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘法法则“”及二次根式性质“”进行计算，再计算有理数的加法得出答案；
（2）先根据平方差公式展开括号，再根据二次根式性质“及”分别化简，最后计算加减法得出答案.
（1）解：
（2）
18．解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
甲同学： 或 ∴或 乙同学： ，， ∵ ∴此方程无实数根
（1）你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”）
（2）请选择合适的方法解一元二次方程．
【答案】（1）不正确；不正确
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：甲、乙两个同学的解法都不正确，理由如下：
甲同学的解题过程中，方程左边分解因式正确，但是方程右边的结果不为0，因此并不能得到或；
乙同学的解题过程中，而不是；
故答案为：不正确，不正确；
【分析】（1）甲同学采用了因式分解法解一元二次方程，使用该方法的前提是方程右边为0，由于 甲同学解题过程中，方程右边的结果不为0， 因此并不能得到或；乙同学采用了求根公式法解一元二次方程，使用该方法的前提是方程必须为一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0的形式，而乙同学解题过程中没有将方程化为一般形式，从而出现常数c的错误；
（2）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程转化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：甲、乙两个同学的解法都不正确，理由如下：
甲同学的解题过程中，方程左边分解因式正确，但是方程右边的结果不为0，因此并不能得到或；
乙同学的解题过程中，而不是；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
19．如图，在的方格纸中（每个小方格的长为1），根据要求画出图形；
（1）在图1中画一个面积为6的平行四边形；
（2）在图2中画出关于点C中心对称的图形，其中A的对称点为D，B的对称点为E；
（3）在（2）的条件下，求出和之间的距离．
【答案】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：设和之间的距离为h，由中心对称图形的性质可得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴和之间的距离为．
【知识点】分母有理化；平行四边形的判定与性质；中心对称图形；中心对称的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点、平行四边形面积计算公式及平行四边形的判定方法，画一个底为3，高为2的平行四边形即可；
（2）利用方格纸的特点及中心对称的性质，延长AC到D，使得，延长BC到点E，使CE=BC，顺次连接D、E、C即可；
（3）由对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，利用勾股定理算出AB，则可利用等面积法求出答案．
（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：设和之间的距离为h，
由中心对称图形的性质可得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴和之间的距离为．
20．为迎接数学文化节，某校面向全体学生举办了以“践行科学教育，体验数理之美”为主题的数学素养大赛，比赛共设四个项目：24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣，每位同学只能选择一项报名参加．请根据相关信息，完成下列问题：
比赛项目 成绩（分）
七年级 八年级 九年级
24点速算比赛 70 85 80
数学文化知多少 80 70 90
东方快板 85 80 70
环环相扣 90 95 80
（1）根据对各个项目参赛人数的统计，绘制了扇形统计图如图所示，现已知参加“东方快板”项目的有200人，求参加此次数学素养大赛的总人数以及参加“数学文化知多少”项目的人数．
（2）现每个年级段抽取各项目最优异的选手组成4人小分队，进行年级赛，各年级各项目成绩如表所示，老师按照24点速算比赛、数学文化知多少、东方快板、环环相扣在总分中所占的比例分别为来计算每个年级组的最终成绩，请问各年级组的最终成绩分别为多少？哪个年级组将取得第一名？
【答案】（1）解：人，
∴参加此次数学素养大赛的总人数为800人，
人，
∴参加“数学文化知多少”项目的人数为80人；
（2）解：初一：，
初二：，
初三：，
∵，
∴初三取得第一名．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）用参加“东方快板”项目的人数除以其占比可求出参加此次数学素养大赛的总人数 ，再用参加此次数学素养大赛的总人数乘以参加“数学文化知多少”项目的人数占比即可得到答案；
（2）根据加权平均数的计算方法，用各项乘以与其权重的乘积的总和除以权重的总和分别求得三个年级的成绩，比较即可求解．
（1）解：人，
∴参加此次数学素养大赛的总人数为800人，
人，
∴参加“数学文化知多少”项目的人数为80人；
（2）解：初一：，
初二：，
初三：，
∵，
∴初三取得第一名．
21．如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，过点O任作一条直线分别交于点E，F．
（1）求证：；
（2）若，，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴四边形的周长．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，由两直线平行，内错角相等得，从而可根据“AAS”证△AOE≌△COF，由全等三角形的对应边相等即可得到结论；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出OE=OF=3，AE=CF，然后根据四边形周长计算方法、等量代换及线段的和差可将四边形ABFE的周长转化为BC+AB+2OE，从而代值计算可得答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴四边形的周长．
22．已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程，根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）下列是“差根方程”的是______；（填写序号）
①；②
（2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值．
（3）已知是直角三角形，的长为，若的两边的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．
【答案】（1）①
（2）解：，
因式分解得：，
解得：，，
关于的方程是“差根方程”，
，即；
（3）解：当为斜边时，如图，
假设，可设，
由勾股定理得，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
则差根方程的两个根为1和2，
∵1+2=3，1×2=2，
∴所求的方程为，
当为直角边时，如图，
设，，
由勾股定理得，
解得，
∴，
解差根方程的两个根为3和2，
∴这个差根方程为，即，
差根方程为或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：①
∴；
解得
∵；
∴是差根方程；
∴
解得
∵；
方程不是差根方程；
故答案为：①；
【分析】（1）分别利用因式分解法求出两个方程的根，然后根据“差根方程”的定义判断即可；
（2）将a作为常数，利用因式分解的方法求出方程的两根为x1=0，x2=-2a，再根据“差根方程”的定义列出关于字母a的含绝对值符号的方程，求解即可；
（3）分类讨论：分BC为斜边时与BC为直角边时两种情况，设AB＞AC＞0，可设AC=x，则AB=x+1，利用勾股定理建立方程求解得出符合题意的x的值，从而即可求出差根方程的两个根，然后根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再根据一元二次方程的定义，并令该二次方程的二次项系数为1，即可写出所求的方程.
（1）解：①
∴；
解得
∵；
∴是差根方程；
∴
解得
∵；
方程不是差根方程；
故答案为：①
（2），
因式分解得：，
解得：，，
关于的方程是“差根方程”，
，即；
（3）当为斜边时，如图，
假设，可设，
由勾股定理得，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
解差根方程的两个根为1和2，
∴这个差根方程为，即，
当为直角边时，如图，
设，，
由勾股定理得，
解得，
∴，
解差根方程的两个根为3和2，
∴这个差根方程为，即，
差根方程为或．
23．某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围）
（2）若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？
（3）若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？
【答案】（1）解：设与之间的函数解析式为，
把图象上两点，代入，
得，
解得，
与之间的函数解析式为；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得（舍去）或，
答：应该定价45元；
（3）解：设商店的利润为w元，由题意得
，
∵，
∴，当且仅当，即时取得等号，
∴商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；配方法的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，然后将点（30，100） 与（40，50）分别代入可得关于字母k、b的二元一次方程组，求解即可得出k、b的值，从而得到所求的函数解析式；
（2）根据总利润等于单件商品的利润乘以销售量，列出方程求解得出x的值，进而根据x≥30判断出符合题意的x的值即可；
（3）设商店的利润为w元，根据总利润等于单件商品的利润乘以销售量，列出总利润w关于销售单价x的函数的关系式，再利用配方法求解即可．
（1）解：设与之间的函数解析式为，
把图象上两点，代入，
得，
解得，
与之间的函数解析式为；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得（舍去）或，
答：应该定价45元；
（3）解：设商店的利润为W元，
由题意得
，
∵，
∴，当且仅当，即时取得等号，
∴商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元．
24．如图，平行四边形的对角线，交于点O，平分，交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，连接；
①若，求的长；
②设，试求k与m满足的关系．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形；
∴；
（2）解：①∵，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，对角线交于点O，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点A作于G，过点D作交延长线于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得出AD∥BC， ∠ABC=∠ADC=60°， 由二直线平行，同旁内角互补求出∠BAD=120°，由角平分线的定义求出∠BAE=60°，从而根据有两个角为60°的三角形是等边三角形得出△ABE是等边三角形，进而根据等边是哪些的三边相等得出AB=AE；
（2）①易得BC=8，由等边三角形的性质得到AB=BE=AB=4，∠AEB=∠BAE=60°，由线段和差求出CE=AE=4，由等边对等角及三角形外角性质可推出∠EAC=∠ECA=30°，由角的构成推出∠BAC=90°，从而由勾股定理算出AC的长；由平行四边形的对角线互相平分得出OA的长，BD=2OB，再由勾股定理算出OB，即可得出BD的长；
②如图所示，过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，由平行四边形的性质得AD=BC，OA=AC，OB=BD，设AD=BC=2x，则AB=2mx，由三角形外角性质求出，由含30°角直角三角形的性质得到，用勾股定理表示出DH；进而再利用勾股定理表示出BD2；同理可得，，则；根据，可推出，再由，可得，据此可得答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
∴；
（2）解：①∵，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，对角线交于点O，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点A作于G，过点D作交延长线于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
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