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四川省成都市第七中学育才学校2024-2025学年七年级下学期数学期中考试卷
一、选择题（32分）
1．2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．某型号手机搭载的麒麟9020芯片工艺接近工艺水平（），数据0.000000004用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
4．将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠1＋∠3＝90° B．∠2＋∠3＝90°
C．∠2＋∠4＝180° D．∠1＝∠2
5．若等腰三角形的两边长分别为6和8，则周长为（　　）
A．20或22 B．20 C．22 D．无法确定
6．如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
7．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，　∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（　　）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
8．七年级某生物课外兴趣小组观察一棵植物的生长，得到植物高度y（）与观察时间x（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．自变量为植物高度y（）
B．刚开始观察时该植物的高度为10
C．观察第10天时，该植物的高度为40
D．该植物从观察时起50天内平均每天长高4
二、填空题（20分）
9．已知，则　 　 ．
10．等腰三角形的一个底角为35°，则顶角的度数是　 　度．
11．如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD，则　 　．
12．如图，在中，．分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，交于点D，连接，则的度数为 　 　．
13．中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为　 　．
三、解答题（10分）
14．（1）计算：；
（2）计算：；
15．先化简，再求值：，其中，．
16．如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，，求证．
17．如为小强在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程与时间的变化图．根据图回答问题：
（1）图象中自变量是 _______ ，因变量是_____ ；
（2）9时，10时30分，12时小强所走的路程分别是_____千米，______ 千米，_____ 千米；
（3）小强休息了多长时间：______ 小时；
（4）求小强从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度．
18．如图，已知ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．
（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，BPD与CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
四、填空题（20分）
19．若，则的值是　 　 ．
20．若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为　 　．
21．如图，AB//CD，∠CDP＝140゜，∠P＝3∠A，则∠P＝　 　゜．
22．一张纸片，点M、N分别是上的点，若沿直线折叠后，点A落在边的下面的位置，如图所示，则之间的数量关系式是 　 　．
23．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为　 　．
五、解答题
24．【阅读材料】
我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法．
【类比探究】
（1）利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为 (请填序号)．
①；
②；
③；
④．
【解决问题】
利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题：
（2）已知，，则 ；
（3）若，求的值；
25．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为（km），慢车离乙地的距离为（km），慢车行驶时间为x（h），两车之间的距离为S（km），与x的函数关系图象如图1所示，S与x的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：
（1）图中的 ；
（2）当x何值时两车相遇？
（3）当x何值时两车相距200千米？
26．已知：为等边三角形．
（1）如图1，点、分别为边、上的点，且．求证：；
（2）如图2，点为外一点，、的延长线交于点，连接，已知，且，，求的长；
（3）如图3，线段的长为，线段的长为，连接，以为边作等边，连接，直接写出当线段取最大值与最小值时的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴．根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，写出即可．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B正确；
C、，C错误；
D、，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据幂的乘方可判断A；根据同底数幂的乘法可判断B；根据同底数幂的除法可判断C；根据积的乘方可判断D．
4．【答案】C
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，
∴∠1=∠2，
∴选项D不符合题意；
∵∠1=∠2，∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴选项A不符合题意；
∴∠2+∠3=90°，
∴选项B不符合题意；
∵两直线平行，同旁内角互补，
∴∠3+∠4=180°，但∠3≠∠2
∴∠2+∠4≠180°
选项C不符合题意；
故选：C．
【分析】本题以直尺与三角板摆放为背景，考查平行线的性质及直角三角形的角度关系。由直尺两边平行可得同位角相等，即1 = 2；根据三角板直角顶点放在直尺边上，得 1 +3 = 90，从而2 + 3 = 90°；而 2 与 4 不一定互补，因为 4 的同旁内角是 3 而非 2，故 2 + 4 = 180°不一定成立。逐项判断找出不一定正确的选项。
5．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若6是腰长， 则三角形的三边分别为6、6、8，
能组成三角形，
周长=6+6+8=20，
若6是底边长，则三角形的三边分别为6、8、8，
能组成三角形，
周长=6+8+8=22，
综上所述，三角形的周长为20或22．
故选A．
【分析】分6是腰长与底边两种情况分情况讨论，再利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
B、添加，可得到，不能判定，故本选项符合题意．
C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
D、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
故答案为：B
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴；
∴，，
∴，
故选：C．
【分析】本题以矩形木块和等腰直角三角形为背景，考查全等三角形的判定与性质的实际应用。由题意可知 AD DE，BE DE，结合等腰直角三角形的两腰相等及直角条件，利用“同角的余角相等”证得 DAC = BCE，进而用 AAS 证明。根据全等三角形的对应边相等可得 EC = AD，DC = BE，而两木塔之间的距离即为 DE = DC + CE，代入木块高度计算即可。
8．【答案】C
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解： A、由图可知，自变量为观察时间x（天），A错误；
B、由图可知，刚开始观察时该植物的高度为20cm，B错误；
C．由图可知，观察第10天时，该植物的高度为40cm，C正确；
D．由图可知，该植物从观察时起50天内平均每天长高为：（200-20）÷50=3.6（cm），D错误．
故答案为：C．
【分析】根据函数的定义和图像逐一进行判断即可．
9．【答案】12
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可．
10．【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：180°-35°-35°
=145°-35°
=110°
故答案为：110.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等结合内角和定理进行计算.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；补角
【解析】【解答】解：∵，
由折叠可知，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题以三角形折叠为背景，考查折叠的性质以及三角形内角和定理。由折叠可知 CD 平分ACB，且 ADC = EDC。先求出 ACD = 45，在 △ ADC 中利用内角和得 ADC = 85°，则 EDC = 85°，最后根据平角定义求出 EDB = 180° - ADC - EDC = 10°。
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据作图得到垂直平分线段，再根据线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角和三角形的内角和求解即可．
13．【答案】
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：．
【分析】根据图形得到每增加一个木构件，长度增加5，列出关系式即可．
14．【答案】解：（1）
．
（2）
．
【知识点】单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂；单项式除以单项式；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先根据负整数次幂、零次幂、有理数乘方进行化简，再计算加减即可；
（2）先根据积的乘方计算，再根据单项式的乘除混合运算法则计算求解即可．
15．【答案】解：[（x﹣2y）2﹣（3y+x）（x﹣3y）+3y2]÷4y
＝[x2﹣4xy+4y2﹣x2+9y2+3y2]÷4y
＝[﹣4xy+16y2]÷4y
＝﹣x+4y
当x＝2020，时，
原式＝﹣2020+4×=-2019
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式展开化简，再根据多项式除单项式化简，最后代值计算即可.
16．【答案】证明：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先根据两直线平行，内错角相等证出，再根据角平分线的定义得到，再根据同旁内角互补，两直线平行证出． 再根据两直线平行内错角相等得到，最后等量代换证出即可.
17．【答案】解：（1）时间，路程；（2）4，9，15；（3）0.5；
（4） ＝4km/时．
∴小强从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是4千米／时．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图可知：图象表示了时间与路程的关系，时间是自变量，路程是因变量，
故答案为：时间，路程；
（2）由图可知y值：4km，9km，15km；
故答案为：4，9，15；
（3）由图可知，路程没有变化，但时间在增长，故表示该旅行者在休息：10.5 10＝0.5小时；
故答案为：0.5；
【分析】（1）根据图象中自变量应看横轴和因变量应看纵轴表示的量，写出即可；
（2）根据时间，看相对应的y的值即可；
（3）根据休息时，时间在增多，路程没有变化，写出即可；
（4）根据平均速度＝这段时间的总路程÷这段时间计算即可．
18．【答案】解：（1）△BPD与△CQP全等；理由如下：当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，
有BP＝2×2＝4cm，AQ＝4×2＝8cm，
则CP＝BC﹣BP＝10﹣4＝6cm，
CQ＝AC﹣AQ＝12﹣8＝4cm，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝×12＝6cm，
∴BP＝CQ，BD＝CP，
又∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）不存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形；理由如下：
设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP＝2tcm，AQ＝4tcm，
∴t的取值范围为0≤t≤3，
则CP＝10﹣2t，CQ＝12﹣4t，
∵△CPQ的周长为16cm，
∴PQ＝16﹣（10﹣2t）﹣（12﹣4t）＝6t﹣6；
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP＝CQ时，则有10﹣2t＝12﹣4t，
解得：t＝1，
∴CP＝CQ＝8cm，
此时不满足△CPQ的周长为16cm，不符合题意，舍去；
②当PQ＝PC时，则有6t﹣6＝10﹣2t，
解得：t＝2，
∴CP＝PQ＝6cm，CQ＝4cm，
∵等腰三角形中的∠C的余弦值＝，△ABC中的∠C的余弦值＝＝，不相等，
∴这种情况不存在；
③当QP＝QC时，则有6t﹣6＝12﹣4t，
解得：t＝1.8，
∴CQ＝4.8cm≠PQ，CP＝6.4cm，不符合题意；
综上所述，不存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】本题以等腰三角形中的动点问题为背景，综合考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及分类讨论思想。
（1）先计算2秒后各线段长度，利用 AB = AC 得B = C，结合 D 为 AB 中点得到 BD = CP，再通过 BP = CQ，用 SAS 证明△BPD≌△CQP。
（2）设运动时间为 t，分别用含 t 的式子表示 CP、CQ、PQ，根据CPQ 是等腰三角形分三种情况（CP = CQ、PC = PQ、QC = QP）讨论，分别求解并检验是否满足边长非负及三角形存在条件，从而判断是否存在符合条件的 t。
19．【答案】
【知识点】幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的除法逆运用和幂的乘方逆运用法则把原式变形，再代值计算即可．
20．【答案】4或16
【知识点】多项式乘多项式；完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴，
∴或，
∵与的乘积中不含x的一次项，，
∴，
∴，
当，时，；
当，时，，
则或16，
故答案为：4或16．
【分析】本题以完全平方式和多项式乘法为背景，考查完全平方公式的构造条件以及乘积中不含某项的系数处理。由 x2 + 2(m-3)x + 1 是完全平方式，根据常数项为1可得一次项系数为 2，即 2(m-3) = 2，解得 m = 4 或 m = 2。由 (x+n)(x+2) 展开后不含 x 的一次项，得 n+2=0，即 n = -2。最后代入分两种情况计算，得到两个可能的值。
21．【答案】60°
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点P作EP//CD，如图所示，
故EP//CD//AB，
∵∠CDP＝140°
∴∠DPE＝180°-∠CDP =40°，
设∠A=x，
∴∠APE=∠A =x，
∵∠APD＝∠APE+∠DPE=3∠A
故x+40°=3x
解得x=20°
∴∠APD＝3∠A=60°
故答案为：60°．
【分析】过点P作EP//CD，得到EP//CD//AB，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠DPE，再设∠A=x，根据两直线平行，内错角相等和∠P＝3∠A得到关于x的方程，求解即可．
22．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，记与的交点为，
由折叠得：，
由题意知，，
同理：，
∴，即：，
故答案为：．
【分析】记与的交点为，由折叠性质可得，根据三角形外角的性质可知，同理，则，即：，即可求出答案.
23．【答案】60
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，连接，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】作点A关于直线的对称点，连接交于P，连接，得到点P就是使的值最大的点， 先根据等腰直角三角形的性质和角的和差关系得到，进而推出是等边三角形，最后根据角的和差关系计算即可．
24．【答案】解：(1)②；(2)；
（3）设，，则，，
；
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，阴影部分也可以看作大正方形面积减去空白部分的面积，即，
所以有，
故答案为：②；
（2），，而，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据阴影部分的面积两种求法写出即可；
（2）根据完全平方公式变形，计算求解即可．
（3）设，，则，，再根据完全平方公式变形计算求解即可．
25．【答案】（1）3
（2）解：由（1）可知，快车的速度为km/h，慢车的速度为km/h，
∴两车相遇所需时间为（h），
∴当x为时两车相遇；
（3）解：①当两车行驶的路程之和为（km）时，两车相距200km，
此时；
②当两车行驶的路程和为（km）时，两车相距200km，
∵时，快车到达乙地，即快车行驶了300km，
∴当慢车行驶200km时，两车相距200km，
此时，
综上所述，x为或时，两车相距200km．
【知识点】通过函数图象获取信息；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）由S与x之间的函数的图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，即此时快车到达乙地，
∴由此可以得到，
故答案为：3；
【分析】（1）根据图2图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，即此时快车到达乙地，写出a的之即可；
（2）先分别求出两车的速度，再根据时间=路程÷两车的速度和求解即可；
（3）分两车行驶的路程之和为100km和两车行驶的路程之和为500km两种情况，求解即可.
（1）解：由S与x之间的函数的图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，即此时快车到达乙地，
∴由此可以得到，
故答案为：3；
（2）解：由（1）可知，快车的速度为km/h，慢车的速度为km/h，
∴两车相遇所需时间为（h），
∴当x为时两车相遇；
（3）解：①当两车行驶的路程之和为（km）时，两车相距200km，此时；
②当两车行驶的路程和为（km）时，两车相距200km，
∵时，快车到达乙地，即快车行驶了300km，
∴当慢车行驶200km时，两车相距200km，此时，
综上所述，x为或时，两车相距200km．
26．【答案】（1）证明：如图1中，是等边三角形，
，，
，
．
（2）解：在上取一点，使得，如图2所示，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
（3）最大值5时(在上方)，最小值1时(在下方)
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（3）以为边向外作等边，连接，如图3所示，
，，，
，
，
，
，，
，
，
．
的最小值为，最大值为．
最大时在上方，最小时在下方．
【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可．
（2）在上取一点，使得＝，先根据全等三角形的判定SAS证出，进而得到BJ=AD，再根据线段关系求解即可．
（3）以为边向外作等边，连接，根据全等三角形的判定SAS证出，进而得到＝，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可．
（1）证明：如图1中，是等边三角形，
，，
，
．
（2）解：如图2中，在上取一点，使得，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：如图3中，以为边向外作等边，连接．
，，，
，
，
，
，，
，
，
．
的最小值为，最大值为．
最大时在上方，最小时在下方．
1 / 1四川省成都市第七中学育才学校2024-2025学年七年级下学期数学期中考试卷
一、选择题（32分）
1．2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴．根据轴对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
2．某型号手机搭载的麒麟9020芯片工艺接近工艺水平（），数据0.000000004用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，写出即可．
3．下列运算正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B正确；
C、，C错误；
D、，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据幂的乘方可判断A；根据同底数幂的乘法可判断B；根据同底数幂的除法可判断C；根据积的乘方可判断D．
4．将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠1＋∠3＝90° B．∠2＋∠3＝90°
C．∠2＋∠4＝180° D．∠1＝∠2
【答案】C
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，
∴∠1=∠2，
∴选项D不符合题意；
∵∠1=∠2，∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴选项A不符合题意；
∴∠2+∠3=90°，
∴选项B不符合题意；
∵两直线平行，同旁内角互补，
∴∠3+∠4=180°，但∠3≠∠2
∴∠2+∠4≠180°
选项C不符合题意；
故选：C．
【分析】本题以直尺与三角板摆放为背景，考查平行线的性质及直角三角形的角度关系。由直尺两边平行可得同位角相等，即1 = 2；根据三角板直角顶点放在直尺边上，得 1 +3 = 90，从而2 + 3 = 90°；而 2 与 4 不一定互补，因为 4 的同旁内角是 3 而非 2，故 2 + 4 = 180°不一定成立。逐项判断找出不一定正确的选项。
5．若等腰三角形的两边长分别为6和8，则周长为（　　）
A．20或22 B．20 C．22 D．无法确定
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若6是腰长， 则三角形的三边分别为6、6、8，
能组成三角形，
周长=6+6+8=20，
若6是底边长，则三角形的三边分别为6、8、8，
能组成三角形，
周长=6+8+8=22，
综上所述，三角形的周长为20或22．
故选A．
【分析】分6是腰长与底边两种情况分情况讨论，再利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
6．如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
B、添加，可得到，不能判定，故本选项符合题意．
C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
D、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意．
故答案为：B
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，　∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（　　）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴；
∴，，
∴，
故选：C．
【分析】本题以矩形木块和等腰直角三角形为背景，考查全等三角形的判定与性质的实际应用。由题意可知 AD DE，BE DE，结合等腰直角三角形的两腰相等及直角条件，利用“同角的余角相等”证得 DAC = BCE，进而用 AAS 证明。根据全等三角形的对应边相等可得 EC = AD，DC = BE，而两木塔之间的距离即为 DE = DC + CE，代入木块高度计算即可。
8．七年级某生物课外兴趣小组观察一棵植物的生长，得到植物高度y（）与观察时间x（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．自变量为植物高度y（）
B．刚开始观察时该植物的高度为10
C．观察第10天时，该植物的高度为40
D．该植物从观察时起50天内平均每天长高4
【答案】C
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解： A、由图可知，自变量为观察时间x（天），A错误；
B、由图可知，刚开始观察时该植物的高度为20cm，B错误；
C．由图可知，观察第10天时，该植物的高度为40cm，C正确；
D．由图可知，该植物从观察时起50天内平均每天长高为：（200-20）÷50=3.6（cm），D错误．
故答案为：C．
【分析】根据函数的定义和图像逐一进行判断即可．
二、填空题（20分）
9．已知，则　 　 ．
【答案】12
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算法则求解即可．
10．等腰三角形的一个底角为35°，则顶角的度数是　 　度．
【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：180°-35°-35°
=145°-35°
=110°
故答案为：110.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等结合内角和定理进行计算.
11．如图，在中，，，将其折叠，使点A落在边BC上E处，折痕为CD，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；补角
【解析】【解答】解：∵，
由折叠可知，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题以三角形折叠为背景，考查折叠的性质以及三角形内角和定理。由折叠可知 CD 平分ACB，且 ADC = EDC。先求出 ACD = 45，在 △ ADC 中利用内角和得 ADC = 85°，则 EDC = 85°，最后根据平角定义求出 EDB = 180° - ADC - EDC = 10°。
12．如图，在中，．分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，交于点D，连接，则的度数为 　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据作图得到垂直平分线段，再根据线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角和三角形的内角和求解即可．
13．中国古代有很多极为精巧的发明；榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则关于的关系式可以表示为　 　．
【答案】
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：．
【分析】根据图形得到每增加一个木构件，长度增加5，列出关系式即可．
三、解答题（10分）
14．（1）计算：；
（2）计算：；
【答案】解：（1）
．
（2）
．
【知识点】单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂；单项式除以单项式；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先根据负整数次幂、零次幂、有理数乘方进行化简，再计算加减即可；
（2）先根据积的乘方计算，再根据单项式的乘除混合运算法则计算求解即可．
15．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：[（x﹣2y）2﹣（3y+x）（x﹣3y）+3y2]÷4y
＝[x2﹣4xy+4y2﹣x2+9y2+3y2]÷4y
＝[﹣4xy+16y2]÷4y
＝﹣x+4y
当x＝2020，时，
原式＝﹣2020+4×=-2019
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和平方差公式展开化简，再根据多项式除单项式化简，最后代值计算即可.
16．如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，，求证．
【答案】证明：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先根据两直线平行，内错角相等证出，再根据角平分线的定义得到，再根据同旁内角互补，两直线平行证出． 再根据两直线平行内错角相等得到，最后等量代换证出即可.
17．如为小强在早晨8时从城市出发到郊外所走的路程与时间的变化图．根据图回答问题：
（1）图象中自变量是 _______ ，因变量是_____ ；
（2）9时，10时30分，12时小强所走的路程分别是_____千米，______ 千米，_____ 千米；
（3）小强休息了多长时间：______ 小时；
（4）求小强从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度．
【答案】解：（1）时间，路程；（2）4，9，15；（3）0.5；
（4） ＝4km/时．
∴小强从休息后直至到达目的地这段时间的平均速度是4千米／时．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图可知：图象表示了时间与路程的关系，时间是自变量，路程是因变量，
故答案为：时间，路程；
（2）由图可知y值：4km，9km，15km；
故答案为：4，9，15；
（3）由图可知，路程没有变化，但时间在增长，故表示该旅行者在休息：10.5 10＝0.5小时；
故答案为：0.5；
【分析】（1）根据图象中自变量应看横轴和因变量应看纵轴表示的量，写出即可；
（2）根据时间，看相对应的y的值即可；
（3）根据休息时，时间在增多，路程没有变化，写出即可；
（4）根据平均速度＝这段时间的总路程÷这段时间计算即可．
18．如图，已知ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．
（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，BPD与CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）△BPD与△CQP全等；理由如下：当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，
有BP＝2×2＝4cm，AQ＝4×2＝8cm，
则CP＝BC﹣BP＝10﹣4＝6cm，
CQ＝AC﹣AQ＝12﹣8＝4cm，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AB＝×12＝6cm，
∴BP＝CQ，BD＝CP，
又∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）不存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形；理由如下：
设当P，Q两点同时出发运动t秒时，
有BP＝2tcm，AQ＝4tcm，
∴t的取值范围为0≤t≤3，
则CP＝10﹣2t，CQ＝12﹣4t，
∵△CPQ的周长为16cm，
∴PQ＝16﹣（10﹣2t）﹣（12﹣4t）＝6t﹣6；
要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论：
①当CP＝CQ时，则有10﹣2t＝12﹣4t，
解得：t＝1，
∴CP＝CQ＝8cm，
此时不满足△CPQ的周长为16cm，不符合题意，舍去；
②当PQ＝PC时，则有6t﹣6＝10﹣2t，
解得：t＝2，
∴CP＝PQ＝6cm，CQ＝4cm，
∵等腰三角形中的∠C的余弦值＝，△ABC中的∠C的余弦值＝＝，不相等，
∴这种情况不存在；
③当QP＝QC时，则有6t﹣6＝12﹣4t，
解得：t＝1.8，
∴CQ＝4.8cm≠PQ，CP＝6.4cm，不符合题意；
综上所述，不存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】本题以等腰三角形中的动点问题为背景，综合考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及分类讨论思想。
（1）先计算2秒后各线段长度，利用 AB = AC 得B = C，结合 D 为 AB 中点得到 BD = CP，再通过 BP = CQ，用 SAS 证明△BPD≌△CQP。
（2）设运动时间为 t，分别用含 t 的式子表示 CP、CQ、PQ，根据CPQ 是等腰三角形分三种情况（CP = CQ、PC = PQ、QC = QP）讨论，分别求解并检验是否满足边长非负及三角形存在条件，从而判断是否存在符合条件的 t。
四、填空题（20分）
19．若，则的值是　 　 ．
【答案】
【知识点】幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的除法逆运用和幂的乘方逆运用法则把原式变形，再代值计算即可．
20．若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为　 　．
【答案】4或16
【知识点】多项式乘多项式；完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴，
∴或，
∵与的乘积中不含x的一次项，，
∴，
∴，
当，时，；
当，时，，
则或16，
故答案为：4或16．
【分析】本题以完全平方式和多项式乘法为背景，考查完全平方公式的构造条件以及乘积中不含某项的系数处理。由 x2 + 2(m-3)x + 1 是完全平方式，根据常数项为1可得一次项系数为 2，即 2(m-3) = 2，解得 m = 4 或 m = 2。由 (x+n)(x+2) 展开后不含 x 的一次项，得 n+2=0，即 n = -2。最后代入分两种情况计算，得到两个可能的值。
21．如图，AB//CD，∠CDP＝140゜，∠P＝3∠A，则∠P＝　 　゜．
【答案】60°
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点P作EP//CD，如图所示，
故EP//CD//AB，
∵∠CDP＝140°
∴∠DPE＝180°-∠CDP =40°，
设∠A=x，
∴∠APE=∠A =x，
∵∠APD＝∠APE+∠DPE=3∠A
故x+40°=3x
解得x=20°
∴∠APD＝3∠A=60°
故答案为：60°．
【分析】过点P作EP//CD，得到EP//CD//AB，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠DPE，再设∠A=x，根据两直线平行，内错角相等和∠P＝3∠A得到关于x的方程，求解即可．
22．一张纸片，点M、N分别是上的点，若沿直线折叠后，点A落在边的下面的位置，如图所示，则之间的数量关系式是 　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，记与的交点为，
由折叠得：，
由题意知，，
同理：，
∴，即：，
故答案为：．
【分析】记与的交点为，由折叠性质可得，根据三角形外角的性质可知，同理，则，即：，即可求出答案.
23．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为　 　．
【答案】60
【知识点】两点之间线段最短；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，连接，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】作点A关于直线的对称点，连接交于P，连接，得到点P就是使的值最大的点， 先根据等腰直角三角形的性质和角的和差关系得到，进而推出是等边三角形，最后根据角的和差关系计算即可．
五、解答题
24．【阅读材料】
我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法．
【类比探究】
（1）利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为 (请填序号)．
①；
②；
③；
④．
【解决问题】
利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题：
（2）已知，，则 ；
（3）若，求的值；
【答案】解：(1)②；(2)；
（3）设，，则，，
；
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，阴影部分也可以看作大正方形面积减去空白部分的面积，即，
所以有，
故答案为：②；
（2），，而，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据阴影部分的面积两种求法写出即可；
（2）根据完全平方公式变形，计算求解即可．
（3）设，，则，，再根据完全平方公式变形计算求解即可．
25．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为（km），慢车离乙地的距离为（km），慢车行驶时间为x（h），两车之间的距离为S（km），与x的函数关系图象如图1所示，S与x的函数关系图象如图2所示．请根据条件解答以下问题：
（1）图中的 ；
（2）当x何值时两车相遇？
（3）当x何值时两车相距200千米？
【答案】（1）3
（2）解：由（1）可知，快车的速度为km/h，慢车的速度为km/h，
∴两车相遇所需时间为（h），
∴当x为时两车相遇；
（3）解：①当两车行驶的路程之和为（km）时，两车相距200km，
此时；
②当两车行驶的路程和为（km）时，两车相距200km，
∵时，快车到达乙地，即快车行驶了300km，
∴当慢车行驶200km时，两车相距200km，
此时，
综上所述，x为或时，两车相距200km．
【知识点】通过函数图象获取信息；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）由S与x之间的函数的图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，即此时快车到达乙地，
∴由此可以得到，
故答案为：3；
【分析】（1）根据图2图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，即此时快车到达乙地，写出a的之即可；
（2）先分别求出两车的速度，再根据时间=路程÷两车的速度和求解即可；
（3）分两车行驶的路程之和为100km和两车行驶的路程之和为500km两种情况，求解即可.
（1）解：由S与x之间的函数的图象可知：当位于C点时，两车之间的距离增加变缓，即此时快车到达乙地，
∴由此可以得到，
故答案为：3；
（2）解：由（1）可知，快车的速度为km/h，慢车的速度为km/h，
∴两车相遇所需时间为（h），
∴当x为时两车相遇；
（3）解：①当两车行驶的路程之和为（km）时，两车相距200km，此时；
②当两车行驶的路程和为（km）时，两车相距200km，
∵时，快车到达乙地，即快车行驶了300km，
∴当慢车行驶200km时，两车相距200km，此时，
综上所述，x为或时，两车相距200km．
26．已知：为等边三角形．
（1）如图1，点、分别为边、上的点，且．求证：；
（2）如图2，点为外一点，、的延长线交于点，连接，已知，且，，求的长；
（3）如图3，线段的长为，线段的长为，连接，以为边作等边，连接，直接写出当线段取最大值与最小值时的度数．
【答案】（1）证明：如图1中，是等边三角形，
，，
，
．
（2）解：在上取一点，使得，如图2所示，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
（3）最大值5时(在上方)，最小值1时(在下方)
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（3）以为边向外作等边，连接，如图3所示，
，，，
，
，
，
，，
，
，
．
的最小值为，最大值为．
最大时在上方，最小时在下方．
【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可．
（2）在上取一点，使得＝，先根据全等三角形的判定SAS证出，进而得到BJ=AD，再根据线段关系求解即可．
（3）以为边向外作等边，连接，根据全等三角形的判定SAS证出，进而得到＝，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可．
（1）证明：如图1中，是等边三角形，
，，
，
．
（2）解：如图2中，在上取一点，使得，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：如图3中，以为边向外作等边，连接．
，，，
，
，
，
，，
，
，
．
的最小值为，最大值为．
最大时在上方，最小时在下方．
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