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浙江省温州市洞头区温州外国语学校九年级2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．比较下列各数的大小：，0，，，其中最小的数是（　　）
A． 1.5 B． C．0 D．
2．如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．2025年春节后，的下载量迅速飙升，达到了6300万次，数63000000可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．某校九年级有13个班进行大合唱比赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小林已经知道了自己班的成绩，她想知道自己班能否进入决赛，还需要知道这13个班合唱成绩的（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
6．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，平移后点，的坐标分别为，，则的值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图，四边形是一张正方形纸片，其面积为．分别在边，，，上顺次截取，连接，，，．分别以，，，为轴将纸片向内翻折，得到四边形．若四边形的面积为，则等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．如图，是菱形的对角线，，为边上的一个动点（不与端点重合），点在的延长线上，且，过点作于点，连结，则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：a2﹣3a=　 　
12．计算 的结果是　 　
13．如图，点C是的直径延长线上一点，且，与相切于点P，连接，则的度数为　 　．
14．一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　.
15．如图，已知矩形的对角线与相交于点，，将沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长为　 　．
16．如图，在中，，，是的中点，连结，将绕点逆时针旋转至，连结，交于点，交于点，则　 　．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解方程组：．
19．如图，在中，，，．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的值．
20．为了有效控制垃圾对环境造成的污染，我们需要对垃圾进行分类处理．某校从1600名学生中随机抽取200名学生进行了“垃圾分类投放和分类处理”的问卷测试，并将测试成绩（满分为100分）绘制成如下不完整的统计图表．
成绩统计表
组别 成绩（分） 百分比
A组
B组
C组
D组
E组
成绩条形统计图
请回答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中__________，并补全条形统计图．
（2）这200名学生成绩的中位数会落在__________组（填A，B，C，D或E）．
（3）试估计该校1600名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数．
21．小聪与小慧、小明一起研究尺规作图问题：
如图，在锐角三角形中，，现要在所在的平面内找一点，使，小聪、小慧、小明的作图思路分别如下：
小聪：只要作其中两条边的中垂线，其交点即为；
小慧：只要作其中两个内角的平分线，其交点即为；
小明：可以在内作，使交边于点即可．
（1）填空：判断三位同学的作图思路是否正确．（填“正确”或“错误”）
小聪的作图思路_______；小慧的作图思路_______；小明的作图思路_______．
（2）请你选择一个正确的思路进行尺规作图，并证明．
22．某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以3m/s的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示．
（1）求，的值．
（2）求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式．
（3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时的值．
23．已知二次函数．
（1）若二次函数的图象与轴交于点，求该二次函数的表达式．
（2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
（3）若二次函数经过点，，当时，求的取值范围．
24．如图1，四边形是圆的内接四边形，交的延长线于点，平分，是的中点．
（1）若，求的度数．
（2）如图2，连结．求证：
①；
②．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵
∴，
又∵，
∴，
所以最小的数是；
故答案为：B.
【分析】根据被开方数越大，其算术平方根就越大估算出的范围，然后根据不等式的性质得出的范围，最后根据 正数大于0，负数都小于0，两个负数、绝对值大的反而小即可解答.
2．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看下面一层是1个正方形，上面一层是3个正方形．即：
故答案为：A．
【分析】从小正方体组合上面向下看得到的平面图形就是俯视图，俯视图反应的是该小正方体组合底层小正方形的个数，该小正方体组合的俯视图共三列两行，从左至右各列依次有小正方形的个数为2、1、1；从下到上，各行小正方形的个数依次为1、3，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，正确，故A符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D.不能再开方， 故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简的运算法则进行计算即可求解.
5．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：共有13个班进行大合唱比赛，取前6名，
所以小林已经知道了自己班的成绩，她想知道自己班能否进入决赛，是否进入前六、我们把所有班级按大小顺序排列，第7个班级的成绩是这组数据的中位数，
所以小林知道这组数据的中位数，才能知道自己班是否进入决赛．
故答案为：A．
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数是一种衡量集中趋势的量，据此解答即可.
6．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，
∴a+2＞b+2，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴，故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴-2a＜-2b，故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴a2＜b2或a2＞b2，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用不等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的性质2可对B作出判断；利用不等式的性质3，可对C作出判断；利用平方的非负性，可对D作出判断.
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，平移后点，的坐标分别为，，
∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
先由点A平移前后纵坐标的变化规律求出n，再由横坐标的变化规律求出m即可．
8．【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且面积为49cm2，
∴，，
∵，
∴，
即，
由折叠的性质可得，，
∴，
同理可得，
∴四边形是正方形，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由正方形性质得AB=BC=CD=DA=7cm，∠A=∠B=90°，结合已知，由等量减去等量差相等可推出BE=CF=DG=AH=(7-a)cm，由折叠性质得，，根据线段和差及等量减去等量差相等可推出A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=(2a-7)cm，从而根据四边相等且有一个内角为直角的四边形是菱形得出四边形A1B1C1D1是正方形，最后根据正方形面积公式即可求出A1D1的长，从而可建立出关于字母a的方程，求解就可得出a的值.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，-(1+k2)＜0，∴函数图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，
∵，， 都在该函数的图象上，
由，
解得
当时，则，且
故，故A选项不符合题意；
当时，则，且
故，故B选项符合题意；
当时，则，且
故，故C选项不符合题意；
当时，则，且，
故，故D选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】反比例函数“中”当k＞0时，图象的两支分布在一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大；据此结合题意判断出函数图象分布的象限及增减性；然后分别求出A、B、C三点横坐标分别等于零时，m的值，进而分四种情况：m＜-1，-1＜m＜0，0＜m＜2及m＞2分别判断出m-2、m及m+1的正负，并判断出三者的大小关系，进而根据函数的增减性判断出y1、y2、y3的正负及大小，即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；求特殊角的三角函数值；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：设的交点为H，
∵是菱形的对角线，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴A，C，D都不符合题意；B符合题意.
故答案为：B．
【分析】由菱形对角相等，且每一条对角线平分一组对角得出∠ABD=∠CBD=∠BDA=∠BDC=30°，由菱形四边相等得CB=CD，由三角形外角相等求出∠HCF=60°，由直角三角形的两锐角互余求出∠F=60°，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得出△CHF是等边三角形，由等边三角形三边相等得CF=FH=CH，结合已知推出CH=BE，由等量减等量差相等得CE=DH，再由余弦函数定义、特殊锐角三角函数值及等角同名三角函数值相等推出，从而即可得出答案.
11．【答案】a（a﹣3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
【分析】直接把公因式a提出来即可．本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
12．【答案】-1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： =
故答案为：-1.
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接；
∵与相切于点P，
∴，
中，，即；
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接OP，由圆的切线垂直经过切点的半径得出OP⊥PC，由POC的余弦函数及特殊锐角三角函数值可求出∠POC=60°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠A的度数.
14．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ，
故答案为： .
【分析】共有8种可能的结果数，其中摸出的小球是红球的有3种结果，然后利用概率公式计算即可.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：过点D作于点M，设的交点为N，
∵矩形的对角线与相交于点，，沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】过点D作DM⊥B'C于点M，设AD、B'C的交点为N，由矩形及翻折的性质得∠ABC=∠AB'C=∠BCD=∠ADC=90°及AB=AB'=CD，OA=OC=OB=OD，由等边对等角及三角形外角性质推出∠OBC=∠OCB=∠OCB'=22.5°，由折叠及角的和差推 ∠ B'CD=45°，由等腰直角三角形性质得CM=MD=MN，AB'=B'N，设CM=MD=MN=x，由勾股定理表示出AB'、AN，由线段和差表示出AD及B'M，在Rt△B'MD中，利用勾股定理建立方程求解可求出x2的值，再根据勾股定理可算出AC.
16．【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点是中点，
∴，
∴
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故答案为： ．
【分析】过点作于点，过点作于点，由旋转的性质得AD=AE，∠DAE=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠AEH=∠CAD，从而利用“AAS”可证，由全等三角形的对应边相等得AH=CD及EH=AC，进而可得；由内错角相等，两直线平行推出EH∥BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边延长线，所截三角形与原三角形相似得△EHF∽△BCF，由相似三角形对应边成比例求出，，设，运用勾股定理表示出AD、EF，根据等面积法建立方程，表示出AT，在Rt△AET中，利用勾股定理表示出ET，再根据正切函数的定义求解即可.
17．【答案】解：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由负整数指数幂的法则“”、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、二次根式的性质“”及绝对值性质分别化简，最后计算有理数的加减法运算法则即可.
18．【答案】解：
由①×3得
6x-3y=15③
由②+③得
10x=5，
解之：x=0.5，
将x=0.5代入①得
1-y=5
解之：y=-4
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由由①×3+②，消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
19．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：设，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由直角三角形两锐角互余得到的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，最后根据角的构成，由∠ACD=∠ACB-∠BCD可算出答案；
（2）设，则，利用勾股定理建立方程求出x的值即可得到AC、AB的长，最后根据正弦的定义即可得到答案．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：设，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
20．【答案】（1）20
解：根据题意，得组的人数为：（人），补图如下：
．
（2）D
（3）解：估计该校学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数为：（人）．
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得，
故答案为：20；
（2）解：根据中位数是第100个数据，第101个数据的平均数，前三组的人数和为80，故一定落在D，
故答案为：D；
【分析】（1）根据各组频率和为1可求出C组的频率，进而用本次调查抽取的总人数减去其它各组的人数即可求出C组的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该学校学生的总人数乘以样本中成绩在80分以上（包括80分）的人数所占的百分比即可估计出该校学生成绩80分以上（包括80分）的人数.
（1）解：根据题意，得，
答案为：20；
根据题意，得组的人数为：（人），补图如下：
．
（2）解：根据中位数是第100个数据，第101个数据的平均数，前三组的人数和为80，故一定落在D，
故答案为：D．
（3）解：根据题意，得（人）．
21．【答案】（1）正确；错误；正确
（2）证明：小聪的作图：
根据基本作图，得到点P是外接圆的圆心，是同一条弧上的圆周角和圆心角，
故．
小明的作图思路：
根据题意，得，，
故．
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：根据三角形中垂线的交点是三角形的外心，利用圆周角定理，根据角的平分线的交点是三角形的内心，三角形外角性质判定：
小聪的作图思路正确；小慧的作图思路错误；小明的作图思路正确．
故答案为：正确；错误；正确；
【分析】（1）根据三角形中垂线的交点是三角形的外心，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可判断小聪的思路；根据角的平分线的交点是三角形的内心，内心是到三边的距离相等，内心与∠BPC=2∠A无必然联系，据此可判断小慧思路；利用三角形外角性质判定小明的思路；
（2）根据尺规作线段垂直平分线的方法作出AB与AC的垂直平分线，则点P就是△ABC外接圆的圆心，圆心角 ∠ BPC与圆周角∠A所对的弧都是弧BC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出结论；利用那个作一个角等于已知角的尺规作图法作∠ABP=∠A，进而根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得结论.
（1）解：根据三角形中垂线的交点是三角形的外心，利用圆周角定理，根据角的平分线的交点是三角形的内心，三角形外角性质判定：
小聪的作图思路正确；小慧的作图思路错误；小明的作图思路正确．
故答案为：正确；错误；正确．
（2）证明：
小聪的作图：
根据基本作图，得到点P是外接圆的圆心，是同一条弧上的圆周角和圆心角，
故．
小明的作图思路：
根据题意，得，，
故．
22．【答案】（1）解：根据题意可列方程：，
解得，
无人机甲速度是，飞行8s时的高度；
（2）解： 设无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为，
将坐标和分别代入，
得，解得：，
则，
当代入，得
则函数关系式为；
（3）解： 两架无人机在飞行过程中高度相差6m时，x的值为2或14或18．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；通过函数图象获取信息；数形结合
【解析】【解答】（3）解：当时，甲无人机与之间的函数关系式为；
当时，乙无人机与之间的函数关系式为，
当时，它们距离地面的高度差为 时，得，
解得；
当时，它们距离地面的高度差为 时，得，解得；
当时，它们距离地面的高度差为 时，得，解得．
答：两架无人机在飞行过程中高度相差时的值为2或14或18．
【分析】（1）根据根据路程等于速度乘以时间分别表示出甲乙两架无人机在甲飞机起飞8秒后飞行的高度，由两飞机飞行的高度相同列出方程，求解即可得出a的值，进而即可根据b=8×3可算出答案；
（2）根据图象提供的信息可得无人机乙所在的函数图象经过点(2，0)及(8，24)两点，从而利用待定系数法可求出y关于x的函数关系式，然后将y=60代入所求的函数解析式算出对应的x的值，即可求出自变量x的取值范围；
（3）根据甲、乙两架无人机与之间的函数关系式，分当、，时三种情况，由它们距离地面的高度差为6m，分别列出方程，求解即可得出答案.
（1）解：根据题意可列方程：，
解得，
无人机甲速度是，飞行8s时的高度；
（2）设无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为，
将坐标和分别代入，
得，解得：，
则，
当代入，得
则函数关系式为；
（3）解：当时，甲无人机与之间的函数关系式为；
当时，乙无人机与之间的函数关系式为，
当时，它们距离地面的高度差为 时，得，
解得；
当时，它们距离地面的高度差为 时，得，解得；
当时，它们距离地面的高度差为 时，得，解得．
答：两架无人机在飞行过程中高度相差时的值为2或14或18．
23．【答案】（1）解：根据题意，得与y轴的交点坐标为，
又二次函数的图象与轴交于点，
故，
解得，
故．
（2）解：∵中1＜0，且最小值为，
∴
∴，
解得（舍去），
∴，
∴，
∵该函数的图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象，
∴，
∴对称轴为直线，且时，函数取得最小值，最小值为；
当抛物线开口向上，且与对称轴距离越大函数值越大，
∵，
∴时，取得最大值，且，时，，
∵在范围内，
∴函数的最小值为，
∴二次函数的最大值与最小值的和为．
（3）解：二次函数经过点，，
故，
，
又，
故，
故，
令，
当时，，
解得或，
由抛物线开口向上，故时，m的取值范围是或，
又，
综上所述，符合题意的m的取值范围是或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特点，将点C的坐标代入y=x2-2mx-3m可算出m的值，从而求得该二次函数的表达式；
（2）由二次项系数大于零可得抛物线开口向上，故其最小值就是顶点的纵坐标值，据此由顶点纵坐标公式建立方程可求出m的值，得到抛物线的解析式，进而将解析式配成顶点式，根据抛物线平移规律“左加右减改变h，上加下减改变k”再确定平移后的解析式，最后根据抛物线的性质确定在范围内，函数的最小值与最大值，最后求和即可；
（3）将两点的坐标代入抛物线y=x2-2mx-3m，用含m的式子表示出y1与y2，结合y1＞y2建立不等式，求解即可.
（1）解：根据题意，得与y轴的交点坐标为，
又二次函数的图象与轴交于点，
故，
解得，
故．
（2）解：∵根据的最小值为，
∴
∴，
解得（舍去），
∴，
∴，
∵该函数的图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象，
∴，
∴对称轴为直线，且时，函数取得最小值，最小值为；
当抛物线开口向上，且与对称轴距离越大函数值越大，
∵，
∴时，取得最大值，且，时，，
∵在范围内，
∴函数的最小值为，
∴二次函数的最大值与最小值的和为．
（3）解：二次函数经过点，，
故，
，
又，
故，
故，
令，
当时，，
解得或，
由抛物线开口向上，故时，m的取值范围是或，
又，
综上所述，符合题意的m的取值范围是或．
24．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的中点．
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明①∵平分，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②延长到点G，使得，连接，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的中点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由直角三角形两锐角互余及角平分线的定义得到，由圆心角、弧、弦的关系得出BA=BD，由等边对等角及三角形内角和定理得到，根据圆内接四边形的对角互补求出∠BCD的度数，最后根据三角形外角性质可求出∠BDC的度数；
（2）①由角平分线的定义得∠EBA=∠DBA，根据圆的内接四边形的的一个外角等于其内对角得出∠EBA=∠ADC，然后根据同弧所对的圆周角相等得出∠DBA=∠DCA，则∠ADC=∠ACD，由等角对等边得出AC=AD；
②延长CE到点G，使CE=GE，连接AG，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AG=AC，根据等边对等角得∠AGC=∠ACG，由圆心角、弧、弦的关系得出BA=BD，由等边对等角得到，由同弧所对的圆周角相等得∠ACG=∠ADB，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BAD∽△ACG，由相似三角形对应边成比例建立等式，即可得出结论.
（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的中点．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）①证明：∵平分，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②证明：延长到点G，使得，连接，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的中点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省温州市洞头区温州外国语学校九年级2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．比较下列各数的大小：，0，，，其中最小的数是（　　）
A． 1.5 B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵
∴，
又∵，
∴，
所以最小的数是；
故答案为：B.
【分析】根据被开方数越大，其算术平方根就越大估算出的范围，然后根据不等式的性质得出的范围，最后根据 正数大于0，负数都小于0，两个负数、绝对值大的反而小即可解答.
2．如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看下面一层是1个正方形，上面一层是3个正方形．即：
故答案为：A．
【分析】从小正方体组合上面向下看得到的平面图形就是俯视图，俯视图反应的是该小正方体组合底层小正方形的个数，该小正方体组合的俯视图共三列两行，从左至右各列依次有小正方形的个数为2、1、1；从下到上，各行小正方形的个数依次为1、3，据此逐一判断得出答案.
3．2025年春节后，的下载量迅速飙升，达到了6300万次，数63000000可用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，正确，故A符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D.不能再开方， 故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简的运算法则进行计算即可求解.
5．某校九年级有13个班进行大合唱比赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小林已经知道了自己班的成绩，她想知道自己班能否进入决赛，还需要知道这13个班合唱成绩的（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：共有13个班进行大合唱比赛，取前6名，
所以小林已经知道了自己班的成绩，她想知道自己班能否进入决赛，是否进入前六、我们把所有班级按大小顺序排列，第7个班级的成绩是这组数据的中位数，
所以小林知道这组数据的中位数，才能知道自己班是否进入决赛．
故答案为：A．
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，数组中，一半的数据比中位数大，另一半的数据比中位数小，中位数是一种衡量集中趋势的量，据此解答即可.
6．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，
∴a+2＞b+2，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴，故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴-2a＜-2b，故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴a2＜b2或a2＞b2，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用不等式的性质1，可对A作出判断；利用不等式的性质2可对B作出判断；利用不等式的性质3，可对C作出判断；利用平方的非负性，可对D作出判断.
7．如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，平移后点，的坐标分别为，，则的值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，平移后点，的坐标分别为，，
∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
先由点A平移前后纵坐标的变化规律求出n，再由横坐标的变化规律求出m即可．
8．如图，四边形是一张正方形纸片，其面积为．分别在边，，，上顺次截取，连接，，，．分别以，，，为轴将纸片向内翻折，得到四边形．若四边形的面积为，则等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且面积为49cm2，
∴，，
∵，
∴，
即，
由折叠的性质可得，，
∴，
同理可得，
∴四边形是正方形，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由正方形性质得AB=BC=CD=DA=7cm，∠A=∠B=90°，结合已知，由等量减去等量差相等可推出BE=CF=DG=AH=(7-a)cm，由折叠性质得，，根据线段和差及等量减去等量差相等可推出A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=(2a-7)cm，从而根据四边相等且有一个内角为直角的四边形是菱形得出四边形A1B1C1D1是正方形，最后根据正方形面积公式即可求出A1D1的长，从而可建立出关于字母a的方程，求解就可得出a的值.
9．已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，-(1+k2)＜0，∴函数图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，
∵，， 都在该函数的图象上，
由，
解得
当时，则，且
故，故A选项不符合题意；
当时，则，且
故，故B选项符合题意；
当时，则，且
故，故C选项不符合题意；
当时，则，且，
故，故D选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】反比例函数“中”当k＞0时，图象的两支分布在一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大；据此结合题意判断出函数图象分布的象限及增减性；然后分别求出A、B、C三点横坐标分别等于零时，m的值，进而分四种情况：m＜-1，-1＜m＜0，0＜m＜2及m＞2分别判断出m-2、m及m+1的正负，并判断出三者的大小关系，进而根据函数的增减性判断出y1、y2、y3的正负及大小，即可得出答案.
10．如图，是菱形的对角线，，为边上的一个动点（不与端点重合），点在的延长线上，且，过点作于点，连结，则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；求特殊角的三角函数值；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：设的交点为H，
∵是菱形的对角线，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴A，C，D都不符合题意；B符合题意.
故答案为：B．
【分析】由菱形对角相等，且每一条对角线平分一组对角得出∠ABD=∠CBD=∠BDA=∠BDC=30°，由菱形四边相等得CB=CD，由三角形外角相等求出∠HCF=60°，由直角三角形的两锐角互余求出∠F=60°，由有两个内角为60°的三角形是等边三角形得出△CHF是等边三角形，由等边三角形三边相等得CF=FH=CH，结合已知推出CH=BE，由等量减等量差相等得CE=DH，再由余弦函数定义、特殊锐角三角函数值及等角同名三角函数值相等推出，从而即可得出答案.
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：a2﹣3a=　 　
【答案】a（a﹣3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
【分析】直接把公因式a提出来即可．本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．
12．计算 的结果是　 　
【答案】-1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： =
故答案为：-1.
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.
13．如图，点C是的直径延长线上一点，且，与相切于点P，连接，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接；
∵与相切于点P，
∴，
中，，即；
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】连接OP，由圆的切线垂直经过切点的半径得出OP⊥PC，由POC的余弦函数及特殊锐角三角函数值可求出∠POC=60°，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠A的度数.
14．一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 ，
故答案为： .
【分析】共有8种可能的结果数，其中摸出的小球是红球的有3种结果，然后利用概率公式计算即可.
15．如图，已知矩形的对角线与相交于点，，将沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上，连结．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：过点D作于点M，设的交点为N，
∵矩形的对角线与相交于点，，沿着直线翻折，使点的对应点落在原图所在平面上，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴，，
∴，
解得，
∴，
解得，
故答案为：．
【分析】过点D作DM⊥B'C于点M，设AD、B'C的交点为N，由矩形及翻折的性质得∠ABC=∠AB'C=∠BCD=∠ADC=90°及AB=AB'=CD，OA=OC=OB=OD，由等边对等角及三角形外角性质推出∠OBC=∠OCB=∠OCB'=22.5°，由折叠及角的和差推 ∠ B'CD=45°，由等腰直角三角形性质得CM=MD=MN，AB'=B'N，设CM=MD=MN=x，由勾股定理表示出AB'、AN，由线段和差表示出AD及B'M，在Rt△B'MD中，利用勾股定理建立方程求解可求出x2的值，再根据勾股定理可算出AC.
16．如图，在中，，，是的中点，连结，将绕点逆时针旋转至，连结，交于点，交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点是中点，
∴，
∴
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故答案为： ．
【分析】过点作于点，过点作于点，由旋转的性质得AD=AE，∠DAE=90°，由角的构成、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得∠AEH=∠CAD，从而利用“AAS”可证，由全等三角形的对应边相等得AH=CD及EH=AC，进而可得；由内错角相等，两直线平行推出EH∥BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边延长线，所截三角形与原三角形相似得△EHF∽△BCF，由相似三角形对应边成比例求出，，设，运用勾股定理表示出AD、EF，根据等面积法建立方程，表示出AT，在Rt△AET中，利用勾股定理表示出ET，再根据正切函数的定义求解即可.
三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【答案】解：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】由负整数指数幂的法则“”、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、二次根式的性质“”及绝对值性质分别化简，最后计算有理数的加减法运算法则即可.
18．解方程组：．
【答案】解：
由①×3得
6x-3y=15③
由②+③得
10x=5，
解之：x=0.5，
将x=0.5代入①得
1-y=5
解之：y=-4
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由由①×3+②，消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
19．如图，在中，，，．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：设，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由直角三角形两锐角互余得到的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，最后根据角的构成，由∠ACD=∠ACB-∠BCD可算出答案；
（2）设，则，利用勾股定理建立方程求出x的值即可得到AC、AB的长，最后根据正弦的定义即可得到答案．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：设，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
20．为了有效控制垃圾对环境造成的污染，我们需要对垃圾进行分类处理．某校从1600名学生中随机抽取200名学生进行了“垃圾分类投放和分类处理”的问卷测试，并将测试成绩（满分为100分）绘制成如下不完整的统计图表．
成绩统计表
组别 成绩（分） 百分比
A组
B组
C组
D组
E组
成绩条形统计图
请回答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中__________，并补全条形统计图．
（2）这200名学生成绩的中位数会落在__________组（填A，B，C，D或E）．
（3）试估计该校1600名学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数．
【答案】（1）20
解：根据题意，得组的人数为：（人），补图如下：
．
（2）D
（3）解：估计该校学生中成绩在80分以上（包括80分）的人数为：（人）．
【知识点】频数（率）分布表；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得，
故答案为：20；
（2）解：根据中位数是第100个数据，第101个数据的平均数，前三组的人数和为80，故一定落在D，
故答案为：D；
【分析】（1）根据各组频率和为1可求出C组的频率，进而用本次调查抽取的总人数减去其它各组的人数即可求出C组的人数，从而即可补全条形统计图；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（3）用该学校学生的总人数乘以样本中成绩在80分以上（包括80分）的人数所占的百分比即可估计出该校学生成绩80分以上（包括80分）的人数.
（1）解：根据题意，得，
答案为：20；
根据题意，得组的人数为：（人），补图如下：
．
（2）解：根据中位数是第100个数据，第101个数据的平均数，前三组的人数和为80，故一定落在D，
故答案为：D．
（3）解：根据题意，得（人）．
21．小聪与小慧、小明一起研究尺规作图问题：
如图，在锐角三角形中，，现要在所在的平面内找一点，使，小聪、小慧、小明的作图思路分别如下：
小聪：只要作其中两条边的中垂线，其交点即为；
小慧：只要作其中两个内角的平分线，其交点即为；
小明：可以在内作，使交边于点即可．
（1）填空：判断三位同学的作图思路是否正确．（填“正确”或“错误”）
小聪的作图思路_______；小慧的作图思路_______；小明的作图思路_______．
（2）请你选择一个正确的思路进行尺规作图，并证明．
【答案】（1）正确；错误；正确
（2）证明：小聪的作图：
根据基本作图，得到点P是外接圆的圆心，是同一条弧上的圆周角和圆心角，
故．
小明的作图思路：
根据题意，得，，
故．
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）解：根据三角形中垂线的交点是三角形的外心，利用圆周角定理，根据角的平分线的交点是三角形的内心，三角形外角性质判定：
小聪的作图思路正确；小慧的作图思路错误；小明的作图思路正确．
故答案为：正确；错误；正确；
【分析】（1）根据三角形中垂线的交点是三角形的外心，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可判断小聪的思路；根据角的平分线的交点是三角形的内心，内心是到三边的距离相等，内心与∠BPC=2∠A无必然联系，据此可判断小慧思路；利用三角形外角性质判定小明的思路；
（2）根据尺规作线段垂直平分线的方法作出AB与AC的垂直平分线，则点P就是△ABC外接圆的圆心，圆心角 ∠ BPC与圆周角∠A所对的弧都是弧BC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出结论；利用那个作一个角等于已知角的尺规作图法作∠ABP=∠A，进而根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得结论.
（1）解：根据三角形中垂线的交点是三角形的外心，利用圆周角定理，根据角的平分线的交点是三角形的内心，三角形外角性质判定：
小聪的作图思路正确；小慧的作图思路错误；小明的作图思路正确．
故答案为：正确；错误；正确．
（2）证明：
小聪的作图：
根据基本作图，得到点P是外接圆的圆心，是同一条弧上的圆周角和圆心角，
故．
小明的作图思路：
根据题意，得，，
故．
22．某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以3m/s的速度匀速上升，后无人机乙从同一地面起飞，以的速度匀速上升，无人机乙起飞后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为，无人机距地面的高度与时间之间的函数图象如图所示．
（1）求，的值．
（2）求无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式．
（3）直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差时的值．
【答案】（1）解：根据题意可列方程：，
解得，
无人机甲速度是，飞行8s时的高度；
（2）解： 设无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为，
将坐标和分别代入，
得，解得：，
则，
当代入，得
则函数关系式为；
（3）解： 两架无人机在飞行过程中高度相差6m时，x的值为2或14或18．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；通过函数图象获取信息；数形结合
【解析】【解答】（3）解：当时，甲无人机与之间的函数关系式为；
当时，乙无人机与之间的函数关系式为，
当时，它们距离地面的高度差为 时，得，
解得；
当时，它们距离地面的高度差为 时，得，解得；
当时，它们距离地面的高度差为 时，得，解得．
答：两架无人机在飞行过程中高度相差时的值为2或14或18．
【分析】（1）根据根据路程等于速度乘以时间分别表示出甲乙两架无人机在甲飞机起飞8秒后飞行的高度，由两飞机飞行的高度相同列出方程，求解即可得出a的值，进而即可根据b=8×3可算出答案；
（2）根据图象提供的信息可得无人机乙所在的函数图象经过点(2，0)及(8，24)两点，从而利用待定系数法可求出y关于x的函数关系式，然后将y=60代入所求的函数解析式算出对应的x的值，即可求出自变量x的取值范围；
（3）根据甲、乙两架无人机与之间的函数关系式，分当、，时三种情况，由它们距离地面的高度差为6m，分别列出方程，求解即可得出答案.
（1）解：根据题意可列方程：，
解得，
无人机甲速度是，飞行8s时的高度；
（2）设无人机乙在上升期间高度与时间的函数关系式为，
将坐标和分别代入，
得，解得：，
则，
当代入，得
则函数关系式为；
（3）解：当时，甲无人机与之间的函数关系式为；
当时，乙无人机与之间的函数关系式为，
当时，它们距离地面的高度差为 时，得，
解得；
当时，它们距离地面的高度差为 时，得，解得；
当时，它们距离地面的高度差为 时，得，解得．
答：两架无人机在飞行过程中高度相差时的值为2或14或18．
23．已知二次函数．
（1）若二次函数的图象与轴交于点，求该二次函数的表达式．
（2）若的最小值为，将该函数的图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象，当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
（3）若二次函数经过点，，当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意，得与y轴的交点坐标为，
又二次函数的图象与轴交于点，
故，
解得，
故．
（2）解：∵中1＜0，且最小值为，
∴
∴，
解得（舍去），
∴，
∴，
∵该函数的图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象，
∴，
∴对称轴为直线，且时，函数取得最小值，最小值为；
当抛物线开口向上，且与对称轴距离越大函数值越大，
∵，
∴时，取得最大值，且，时，，
∵在范围内，
∴函数的最小值为，
∴二次函数的最大值与最小值的和为．
（3）解：二次函数经过点，，
故，
，
又，
故，
故，
令，
当时，，
解得或，
由抛物线开口向上，故时，m的取值范围是或，
又，
综上所述，符合题意的m的取值范围是或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特点，将点C的坐标代入y=x2-2mx-3m可算出m的值，从而求得该二次函数的表达式；
（2）由二次项系数大于零可得抛物线开口向上，故其最小值就是顶点的纵坐标值，据此由顶点纵坐标公式建立方程可求出m的值，得到抛物线的解析式，进而将解析式配成顶点式，根据抛物线平移规律“左加右减改变h，上加下减改变k”再确定平移后的解析式，最后根据抛物线的性质确定在范围内，函数的最小值与最大值，最后求和即可；
（3）将两点的坐标代入抛物线y=x2-2mx-3m，用含m的式子表示出y1与y2，结合y1＞y2建立不等式，求解即可.
（1）解：根据题意，得与y轴的交点坐标为，
又二次函数的图象与轴交于点，
故，
解得，
故．
（2）解：∵根据的最小值为，
∴
∴，
解得（舍去），
∴，
∴，
∵该函数的图象向右平移2个单位，得到新的二次函数图象，
∴，
∴对称轴为直线，且时，函数取得最小值，最小值为；
当抛物线开口向上，且与对称轴距离越大函数值越大，
∵，
∴时，取得最大值，且，时，，
∵在范围内，
∴函数的最小值为，
∴二次函数的最大值与最小值的和为．
（3）解：二次函数经过点，，
故，
，
又，
故，
故，
令，
当时，，
解得或，
由抛物线开口向上，故时，m的取值范围是或，
又，
综上所述，符合题意的m的取值范围是或．
24．如图1，四边形是圆的内接四边形，交的延长线于点，平分，是的中点．
（1）若，求的度数．
（2）如图2，连结．求证：
①；
②．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的中点．
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明①∵平分，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②延长到点G，使得，连接，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的中点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由直角三角形两锐角互余及角平分线的定义得到，由圆心角、弧、弦的关系得出BA=BD，由等边对等角及三角形内角和定理得到，根据圆内接四边形的对角互补求出∠BCD的度数，最后根据三角形外角性质可求出∠BDC的度数；
（2）①由角平分线的定义得∠EBA=∠DBA，根据圆的内接四边形的的一个外角等于其内对角得出∠EBA=∠ADC，然后根据同弧所对的圆周角相等得出∠DBA=∠DCA，则∠ADC=∠ACD，由等角对等边得出AC=AD；
②延长CE到点G，使CE=GE，连接AG，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AG=AC，根据等边对等角得∠AGC=∠ACG，由圆心角、弧、弦的关系得出BA=BD，由等边对等角得到，由同弧所对的圆周角相等得∠ACG=∠ADB，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△BAD∽△ACG，由相似三角形对应边成比例建立等式，即可得出结论.
（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的中点．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）①证明：∵平分，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②证明：延长到点G，使得，连接，
∵，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的中点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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