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浙江省杭州市余杭区部分学校2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．下列实数中，属于无理数的是（　　）
A． B．0.4 C．0 D．-1
2．由4个相同小正方形体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．据统计，发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，在1月份累计获得1.25亿用户．数据1.25亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．将下面数据分组：83，85，87，89，84，85，86，88，87，90，这组的频数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在数轴上点表示数，点表示数1，O是原点，点表示的数是．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．如图，是的内切圆，分别切AB，BC，AC于点，，，，是上一点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，把一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将它悬挂．在中点的左侧与中点的距离为处挂一个重的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点时，弹簧秤的读数应为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在边长为6的菱形中，，点在边上，连接，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，连接，．当时，的面积为（　　）
A． B．6 C． D．9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式∶　 　．
12．下表是小叶同学根据某地一周的气温测量数据制作成的统计表，则这一周的气温测量数据的平均数是　 　．
天数 3 1 1 1 1
气温 25 23 20 27 30
13．如图，在中，点D，E分别在，边上，，且，则的值为　 　．
14．如图，该款载物机器狗的最快移动速度与载重后总质量成反比例．已知该款机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度v为；若其最快移动速度大于，则其载重后总质量的取值范围是　 　kg．
15．《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于的方程为　 　．
16．如图，在正方形与正方形中，点是的三等分点，点与点关于点成中心对称．连结．若，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解方程组：
19．火箭发射升空的示意图如图所示．火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；1s后火箭到达点，此时测得仰角为，根据以上信息，解答下列问题：
（1）求的度数；
（2）求的长（结果保留一位小数）．
（参考数据：，，）
20．为了解某社区20~60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题：
（1）求参与问卷调查的总人数．
（2）补全条形统计图．
（3）该社区中20~60岁的居民约5000人，估算这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数．
21．在数学实践课中，老师给每位同学发了一张直角三角形纸板，如图1中，其中，要求同学用剪刀剪一次，把它剪拼成一个矩形．
小明的剪法是：找到边，的中点D，E，连结DE，沿剪一刀，再把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．请利用所学的数学知识，完成下列问题：
（1）老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法；
（2）把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图．
22．在平面直角坐标系中，抛物线：y=-x2+2tx+3经过点（3，0).
（1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
（2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（n>0）个单位，图象
恰好经过点（5，-2)，求n的值.
23．在一条笔直的公路上，甲车从地到地，乙车从地到地，乙先出发．图表示甲、乙两车之间的距离与行驶时间的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题：
（1）求出乙车的速度．
（2）两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为时，求甲车行驶的时间．
（3）若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量．
24．如图1，已知内接于，点是上的一点，连结，．
【证明体验】
（1）求证：．
【思考探究】
（2）如图2，连结，交于点，作交于点．
①试猜想，，之间存在怎样的数量关系？写出你的结论并说明理由．
②如图3，若经过圆心，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A.是无理数，故A符合题意；
B.0.4是分数，是有理数，故B不符合题意；
C.0是整数，是有理数，故C不符合题意；
D.-1是整数，是有理数，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据无理数的概念：无限不循环小数，判断即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的俯视图有两列两层，第一列只在第二层有一个正方形，第二列的每一层都有一个正方形，
故答案为：D．
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1.25亿．
故答案为：B．
【分析】由题意，先将单位亿户化为单位户，然后根据科学记数法的定义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”并结合题意可求解.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项符合题意；
D、，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知a4和a2不是同类项，所以不能合并；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
5．【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：数值在之间的数据有87，88，87，共3个；
故答案为：C．
【分析】由题意，找出在之间的数据的个数即可求解．
6．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据小刚家的位置坐标建立平面直角坐标系，
根据图形得学校的位置坐标为．
故答案为：C．
【分析】由题意，从原点出发，向南走即沿轴负半轴平移了1500，向东走，即沿轴正方向平移了，由此可求得小敏家的位置．
7．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：A、当时， Q所表示的数为，，∴此选项符合题意；
B、当时，Q所表示的数为，此时，
∴此选项不符合题意；
C、当时，Q所表示的数为，此时，
∴此选项不符合题意；
D、若，Q所表示的数为，此时，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据各个选项给出的的取值范围，可得Q所表示的数的取值范围，结合题意即可求解.
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的内切圆，，是切点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接连接，．由切线性质和四边形的内角和等于360°可求出，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半”得∠DPE=∠DOE可求解．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比，
则弹簧秤的读数应为，
故答案为：B．
【分析】由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比，根据比例式即可求解．
10．【答案】A
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于H，过点作交延长线于G，延长交于F，
∵四边形是边长为6的菱形，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
在△ADE 和△CDE中
∴（SAS），
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A．
【分析】过点D作于H，过点作交延长线于G，延长交于F，由菱形的性质得到，则，由旋转的性质可得，用边角边可证得，由全等三角形的对应边（角）相等可得，解和求出的长，结合已知求出的长，然后根据三角形的面积公式即可求解．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】用平方差公式分解因式．
12．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”并结合题意即可求解．
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵，
∴
∴
∴，
故答案为：.
【分析】根据，得，由相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
14．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
∴，
解得，
∴，
当时，，
∵v随M增大而减小，
∴若其最快移动速度大于，则其载重后总质量的取值范围是，
故答案为：．
【分析】由题意，用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当时，，然后根据反比例函数的性质增减性即可求解．
15．【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，且设金色纸边的宽为，整个挂图的长与宽之比为，
则，
故答案为：.
【分析】设金色纸边的宽为，根据整个挂图的长与宽之比为即可求解．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；中心对称的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，
点是的三等分点，
，
则正方形的边长为，
，，
，
则可得方程，
解得（负值舍去），
如图，连接，过点作交于点，
点与点关于点成中心对称，
三点共线，且，
在△ACB和△HCM中
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为，则正方形的边长为，根据阴影部分的面积可得关于a的方程，解方程求得的值；连接，过点作交于点，结合已知，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得MH=AB，在Rt△BMH中，用勾股定理即可求解．
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；求算术平方根
【解析】【分析】由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（）0=1，由算术平方根的定义可得=2，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
18．【答案】解：，
得，，
解得，
把代入①得，，
解得，，
所以，方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组，未知数y的系数成倍数关系，用加减消元法计算即可求解．
19．【答案】（1）解：∵，
∴；
答：∠DAC的度数为47°
（2）解：根据题意，在中，，，
∴，
，
∵在中，，
∴，
∴．
答：AB的长为0.4km
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可求解；（2）在中，用锐角三角函数sin∠ACD=求得AD的值，cos∠ACD=求得CD的值，在中，用三角函数tan∠BCD=求得的值，然后根据线段的和差AB=BD-AD可求解.
（1）解：∵，∴；
（2）解：根据题意，在中，，，
∴，
，
∵在中，，
∴，
∴．
20．【答案】解：（1）（100＋75）÷35%＝500（人）．
答：参与问卷调查的总人数为500人；
（2）500×15% 15＝60（人）．
补全条形统计图，如图所示．
；
（3）5000×（1 35% 10% 15%）＝2000（人）．
答：这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数约为2000人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）观察扇形图和条形图中的信息，根据喜欢微信支付的人数÷其所占各种支付方式的比例＝参与问卷调查的总人数，即可求解；
（2）根据喜欢现金支付的人数（41～60岁）＝参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比例 15，即可求出喜欢现金支付的人数（41～60岁），再将条形统计图补充完整即可；
（3）用样本估计总体即可求解.
21．【答案】（1）证明：∵点D，E为，的中点，
∴，
∵，
∴，
由旋转可得，，
∴四边形是矩形
（2）解：取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．理由如下：
∵点，分别为，的中点
∴
∵
∴
由题意：，
∴，
∵
∴
∴四边形为矩形
【知识点】矩形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，由旋转可得，，然后根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”可得四边形是矩形．
（2）取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，可证明，同理可得四边形就是矩形．
（1）证明：∵点D，E为，的中点，
∴，
∵，
∴，
由旋转可得，，
∴四边形是矩形．
（2）取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．理由如下：
∵点，分别为，的中点
∴
∵
∴
由题意：，
∴，
∵
∴
∴四边形为矩形．
22．【答案】（1）解：把 (3， 0) 代入 得：，
，，
对称轴为直线 ，当 时，，
顶点坐标为 (1， 4).
（2）解：将点（5，-2)向左平移2个单位，向上平移n(n>0)个单位
得到的坐标为(3，-2+n)，
将点(3，-2+n)代入y=-x2+2x+3得：n=2.
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)先利用已知点(3，0)代入抛物线方程个求出参数t，再通过顶点坐标公式或配方法求出对称轴和顶点坐标；
(2)将原抛物线的顶点式通过平移变换得到新抛物线的表达式，再代入已知点(5，-2)解方程求n的值.
23．【答案】（1）解：．
答：乙车的速度为
（2）解：乙车到达地的时间为，
，
乙车先到达地，
则甲车的速度为，
．
答：甲车行驶了
（3）解：若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，则乙车用到达地，
则此时乙车的速度应该为，
．
答：乙车的速度应该减小，速度减小．

【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）观察图象中的信息，根据速度路程时间计算即可求解；
（2）先判断哪辆车先到达目的地，再根据速度路程时间求出甲车的速度，从而由（甲车出发时两车之间的距离两车速度之和列式计算即可求解；
（3）判断乙车到达目的地所用时间，再求出其速度，然后求差即可．
（1）解：．
答：乙车的速度为；
（2）解：乙车到达地的时间为，
，
乙车先到达地，
则甲车的速度为，
．
答：甲车行驶了；
（3）解：若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，则乙车用到达地，
则此时乙车的速度应该为，
．
答：乙车的速度应该减小，速度减小．
24．【答案】（1） 证明： ∵已知内接于点是上的一点，
∴，
∵，
∴；
（2）①解：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
在 ABT和 ACD中
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵经过圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，，
∵经过圆心，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
，
整理得，
∴，
∴，
∵
∴
【知识点】圆的综合题；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可得，由三角形内角和等于180°可得，然后由等式的性质即可求解；
（2）①在上截取，连接，由同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD，结合已知，用边角边可证明，由全等三角形的对应边相等可得AT=AD，结合已知，由等腰三角形的三线合一可 得，然后根据线段的和差即可求解；
②如图，在上截取，连接，与①同理可得，由直径所对的圆周角是直角可得由同角的余角相等可得，即，根据锐角三角函数可得，代入得，设，用勾股定理将BC用含r的代数式表示出来，在Rt ABE中，用勾股定理将AB=AC用含r的代数式表示出来，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，整理可将CF、BF、DF用含r的代数式表示出来，然后根据三角形的面积公式可求解．
1 / 1浙江省杭州市余杭区部分学校2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．下列实数中，属于无理数的是（　　）
A． B．0.4 C．0 D．-1
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A.是无理数，故A符合题意；
B.0.4是分数，是有理数，故B不符合题意；
C.0是整数，是有理数，故C不符合题意；
D.-1是整数，是有理数，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据无理数的概念：无限不循环小数，判断即可得出答案.
2．由4个相同小正方形体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的俯视图有两列两层，第一列只在第二层有一个正方形，第二列的每一层都有一个正方形，
故答案为：D．
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可.
3．据统计，发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，在1月份累计获得1.25亿用户．数据1.25亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1.25亿．
故答案为：B．
【分析】由题意，先将单位亿户化为单位户，然后根据科学记数法的定义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”并结合题意可求解.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项符合题意；
D、，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知a4和a2不是同类项，所以不能合并；
B、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
C、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解；
D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解.
5．将下面数据分组：83，85，87，89，84，85，86，88，87，90，这组的频数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：数值在之间的数据有87，88，87，共3个；
故答案为：C．
【分析】由题意，找出在之间的数据的个数即可求解．
6．如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据小刚家的位置坐标建立平面直角坐标系，
根据图形得学校的位置坐标为．
故答案为：C．
【分析】由题意，从原点出发，向南走即沿轴负半轴平移了1500，向东走，即沿轴正方向平移了，由此可求得小敏家的位置．
7．如图，在数轴上点表示数，点表示数1，O是原点，点表示的数是．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：A、当时， Q所表示的数为，，∴此选项符合题意；
B、当时，Q所表示的数为，此时，
∴此选项不符合题意；
C、当时，Q所表示的数为，此时，
∴此选项不符合题意；
D、若，Q所表示的数为，此时，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据各个选项给出的的取值范围，可得Q所表示的数的取值范围，结合题意即可求解.
8．如图，是的内切圆，分别切AB，BC，AC于点，，，，是上一点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的内切圆，，是切点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接连接，．由切线性质和四边形的内角和等于360°可求出，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半”得∠DPE=∠DOE可求解．
9．如图，把一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将它悬挂．在中点的左侧与中点的距离为处挂一个重的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点时，弹簧秤的读数应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比，
则弹簧秤的读数应为，
故答案为：B．
【分析】由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比，根据比例式即可求解．
10．如图，在边长为6的菱形中，，点在边上，连接，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，连接，．当时，的面积为（　　）
A． B．6 C． D．9
【答案】A
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于H，过点作交延长线于G，延长交于F，
∵四边形是边长为6的菱形，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
在△ADE 和△CDE中
∴（SAS），
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A．
【分析】过点D作于H，过点作交延长线于G，延长交于F，由菱形的性质得到，则，由旋转的性质可得，用边角边可证得，由全等三角形的对应边（角）相等可得，解和求出的长，结合已知求出的长，然后根据三角形的面积公式即可求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式∶　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】用平方差公式分解因式．
12．下表是小叶同学根据某地一周的气温测量数据制作成的统计表，则这一周的气温测量数据的平均数是　 　．
天数 3 1 1 1 1
气温 25 23 20 27 30
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”并结合题意即可求解．
13．如图，在中，点D，E分别在，边上，，且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵，
∴
∴
∴，
故答案为：.
【分析】根据，得，由相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
14．如图，该款载物机器狗的最快移动速度与载重后总质量成反比例．已知该款机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度v为；若其最快移动速度大于，则其载重后总质量的取值范围是　 　kg．
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
∴，
解得，
∴，
当时，，
∵v随M增大而减小，
∴若其最快移动速度大于，则其载重后总质量的取值范围是，
故答案为：．
【分析】由题意，用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当时，，然后根据反比例函数的性质增减性即可求解．
15．《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于的方程为　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，且设金色纸边的宽为，整个挂图的长与宽之比为，
则，
故答案为：.
【分析】设金色纸边的宽为，根据整个挂图的长与宽之比为即可求解．
16．如图，在正方形与正方形中，点是的三等分点，点与点关于点成中心对称．连结．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；中心对称的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，
点是的三等分点，
，
则正方形的边长为，
，，
，
则可得方程，
解得（负值舍去），
如图，连接，过点作交于点，
点与点关于点成中心对称，
三点共线，且，
在△ACB和△HCM中
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为，则正方形的边长为，根据阴影部分的面积可得关于a的方程，解方程求得的值；连接，过点作交于点，结合已知，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得MH=AB，在Rt△BMH中，用勾股定理即可求解．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；求算术平方根
【解析】【分析】由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（）0=1，由算术平方根的定义可得=2，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解．
18．解方程组：
【答案】解：，
得，，
解得，
把代入①得，，
解得，，
所以，方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组，未知数y的系数成倍数关系，用加减消元法计算即可求解．
19．火箭发射升空的示意图如图所示．火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；1s后火箭到达点，此时测得仰角为，根据以上信息，解答下列问题：
（1）求的度数；
（2）求的长（结果保留一位小数）．
（参考数据：，，）
【答案】（1）解：∵，
∴；
答：∠DAC的度数为47°
（2）解：根据题意，在中，，，
∴，
，
∵在中，，
∴，
∴．
答：AB的长为0.4km
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余即可求解；（2）在中，用锐角三角函数sin∠ACD=求得AD的值，cos∠ACD=求得CD的值，在中，用三角函数tan∠BCD=求得的值，然后根据线段的和差AB=BD-AD可求解.
（1）解：∵，∴；
（2）解：根据题意，在中，，，
∴，
，
∵在中，，
∴，
∴．
20．为了解某社区20~60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题：
（1）求参与问卷调查的总人数．
（2）补全条形统计图．
（3）该社区中20~60岁的居民约5000人，估算这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数．
【答案】解：（1）（100＋75）÷35%＝500（人）．
答：参与问卷调查的总人数为500人；
（2）500×15% 15＝60（人）．
补全条形统计图，如图所示．
；
（3）5000×（1 35% 10% 15%）＝2000（人）．
答：这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数约为2000人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）观察扇形图和条形图中的信息，根据喜欢微信支付的人数÷其所占各种支付方式的比例＝参与问卷调查的总人数，即可求解；
（2）根据喜欢现金支付的人数（41～60岁）＝参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比例 15，即可求出喜欢现金支付的人数（41～60岁），再将条形统计图补充完整即可；
（3）用样本估计总体即可求解.
21．在数学实践课中，老师给每位同学发了一张直角三角形纸板，如图1中，其中，要求同学用剪刀剪一次，把它剪拼成一个矩形．
小明的剪法是：找到边，的中点D，E，连结DE，沿剪一刀，再把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．请利用所学的数学知识，完成下列问题：
（1）老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法；
（2）把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图．
【答案】（1）证明：∵点D，E为，的中点，
∴，
∵，
∴，
由旋转可得，，
∴四边形是矩形
（2）解：取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．理由如下：
∵点，分别为，的中点
∴
∵
∴
由题意：，
∴，
∵
∴
∴四边形为矩形
【知识点】矩形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，由旋转可得，，然后根据矩形的判定“有三个角是直角的四边形是矩形”可得四边形是矩形．
（2）取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，可证明，同理可得四边形就是矩形．
（1）证明：∵点D，E为，的中点，
∴，
∵，
∴，
由旋转可得，，
∴四边形是矩形．
（2）取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．理由如下：
∵点，分别为，的中点
∴
∵
∴
由题意：，
∴，
∵
∴
∴四边形为矩形．
22．在平面直角坐标系中，抛物线：y=-x2+2tx+3经过点（3，0).
（1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
（2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（n>0）个单位，图象
恰好经过点（5，-2)，求n的值.
【答案】（1）解：把 (3， 0) 代入 得：，
，，
对称轴为直线 ，当 时，，
顶点坐标为 (1， 4).
（2）解：将点（5，-2)向左平移2个单位，向上平移n(n>0)个单位
得到的坐标为(3，-2+n)，
将点(3，-2+n)代入y=-x2+2x+3得：n=2.
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)先利用已知点(3，0)代入抛物线方程个求出参数t，再通过顶点坐标公式或配方法求出对称轴和顶点坐标；
(2)将原抛物线的顶点式通过平移变换得到新抛物线的表达式，再代入已知点(5，-2)解方程求n的值.
23．在一条笔直的公路上，甲车从地到地，乙车从地到地，乙先出发．图表示甲、乙两车之间的距离与行驶时间的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题：
（1）求出乙车的速度．
（2）两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为时，求甲车行驶的时间．
（3）若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量．
【答案】（1）解：．
答：乙车的速度为
（2）解：乙车到达地的时间为，
，
乙车先到达地，
则甲车的速度为，
．
答：甲车行驶了
（3）解：若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，则乙车用到达地，
则此时乙车的速度应该为，
．
答：乙车的速度应该减小，速度减小．

【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）观察图象中的信息，根据速度路程时间计算即可求解；
（2）先判断哪辆车先到达目的地，再根据速度路程时间求出甲车的速度，从而由（甲车出发时两车之间的距离两车速度之和列式计算即可求解；
（3）判断乙车到达目的地所用时间，再求出其速度，然后求差即可．
（1）解：．
答：乙车的速度为；
（2）解：乙车到达地的时间为，
，
乙车先到达地，
则甲车的速度为，
．
答：甲车行驶了；
（3）解：若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，则乙车用到达地，
则此时乙车的速度应该为，
．
答：乙车的速度应该减小，速度减小．
24．如图1，已知内接于，点是上的一点，连结，．
【证明体验】
（1）求证：．
【思考探究】
（2）如图2，连结，交于点，作交于点．
①试猜想，，之间存在怎样的数量关系？写出你的结论并说明理由．
②如图3，若经过圆心，且，求的值．
【答案】（1） 证明： ∵已知内接于点是上的一点，
∴，
∵，
∴；
（2）①解：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
在 ABT和 ACD中
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵经过圆心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，，
∵经过圆心，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
，
整理得，
∴，
∴，
∵
∴
【知识点】圆的综合题；解直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可得，由三角形内角和等于180°可得，然后由等式的性质即可求解；
（2）①在上截取，连接，由同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD，结合已知，用边角边可证明，由全等三角形的对应边相等可得AT=AD，结合已知，由等腰三角形的三线合一可 得，然后根据线段的和差即可求解；
②如图，在上截取，连接，与①同理可得，由直径所对的圆周角是直角可得由同角的余角相等可得，即，根据锐角三角函数可得，代入得，设，用勾股定理将BC用含r的代数式表示出来，在Rt ABE中，用勾股定理将AB=AC用含r的代数式表示出来，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，整理可将CF、BF、DF用含r的代数式表示出来，然后根据三角形的面积公式可求解．
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