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吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年七年级下学期5月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各式中，属于一元一次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
3．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知、满足方程组，则的值是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
5．把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．用三角板画点到所在直线的垂线段，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，边在直线上，且．将沿直线平移得到，点B的对应点为E．若平移的距离为2，则的长为（　　）
A．2 B．7 C．2或9 D．7或11
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
9．把方程写成含有的式子表示的形式是　 　．
10．不等式 的解集是 ，则a的取值范围是　 　.
11．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长 尺，竿长 尺，则符合题意的方程组是　 　
12．已知三角形的三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是　 　.
13．如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是　 　．
14．在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有　 　．
三、解答题：本大题共10小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）解方程：；
（2）解方程：．
16．（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
17．解下列不等式（组）．
（1）解不等式：
（2）解不等式组：
18．从A城市到B城市，长途汽车原需行驶5个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需2个小时即可到达．求A、B两个城市之间高速公路的距离是多少千米？
19．一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数．
20．图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1）
（1）在图1中，将平移到，使点A与点D对应；
（2）在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形；
（3）在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形．
21．如图，在中，于点平分，求和的度数．
22．某中学计划购买一批篮球和足球供学生使用，已知一个篮球的单价比一个足球的单价贵18元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个足球．
（1）求篮球和足球的单价各是多少元？
（2）由于近期篮球价格涨价（足球价格不变），若此时购买篮球3个，足球2个，则花费资金至少243元，求涨价后篮球的价格至少为多少元？
23．已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．
（1）如图1，平分，平分，与相交于点，则 ；
（2）如图2，平分，平分，点是射线上一点，与交于点．
①若，则 ；
②在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由；
（3）如图3，已知点在射线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，，点、在直线和直线上．在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数．
24．如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）．
（1）当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示）
（2）当点P运动到中点时，求线段的长；
（3）当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值；
（4）当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，A错误；
B、是一元一次方程，B正确；
C、不是等式，故不是一元一次方程，C错误；
D、，是整式的加减运算，不是一元一次方程，D错误．
故答案为：B．
【分析】根据一元一次方程方程的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，逐一判定即可．
2．【答案】A
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：，
实数满足，
当时，，
的值可以是，
故选：A．
【分析】本题以数轴和有理数加法为背景，考查利用数轴判断实数范围以及不等式与绝对值的应用。由数轴可知 -2 < a < -1，要满足 a + b < 0，即 b < -a。由于 -a 的范围在 1 到 2 之间，因此 b 必须小于这个范围的上限，结合选项判断只有 b = 1 符合条件。
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
【分析】本题以轴对称图形的识别为背景，考查轴对称图形的概念。判断一个图形是否为轴对称图形，关键是看能否找到一条直线，使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合。根据这一标准逐项判断，找出不符合条件的选项即可。
4．【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
②①得：，
故答案为：A．
【分析】观察方程组中两个方程未知数x与y的系数，可得用方程②-①，即可求出x-y的值.
5．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜1，
故不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，
在数轴上表示为：
故选C．
【分析】本题主要考查不等式组的求解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来，即可得到答案．
6．【答案】A
【知识点】三角板（量角器）画图-垂线
【解析】【解答】解：根据画垂线段的步骤知，选项A符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据过一点画已知直线的垂线：画图时，三角板的直角一边与边重合，点A在直角的另一边上，进行判断即可．
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
根据作图过程可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，
∴BD=BC，故选项A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，故选项B成立；
没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立；
故选：D．
【分析】本题以等腰三角形和尺规作图为背景，考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及三角形外角性质。由 AB = AC， A = 36 可得底角ABC = ACB = 72。根据作图痕迹可知 BD 平分 ABC，从而 ABD = DBC = 36。利用外角性质或内角和求出相关角度，再逐项判断各选项的正确性，找出错误的一项。
8．【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：当向右平移距离为2时，；
当向左平移距离为2时，，
故答案为：D．
【分析】分向左平移和向右平移两种情况讨论即可．
9．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】根据等式的性质进行变形，写出即可．
10．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵不等式ax > a的解集为x < 1
∴a < 0，
故答案为：a< 0.
【分析】根据不等式的性质3：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变可得答案.
11．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：根据题意得： .
故答案为： .
【分析】设绳索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组.
12．【答案】3＜a＜7
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：依题意得：4﹣2＜a﹣1＜4+2，
即：2＜a﹣1＜6，
∴3＜a＜7.
故答案为：3＜a＜7.
【分析】根据构成三角形三条边的条件：两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边，列出不等式组，求解即可.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为，
∴第三块正多边形木板的内角为，
设第三块正多边形木板的边数为，
解得，
即第三块木板的边数应是，
故答案为：
【分析】本题以正多边形平面镶嵌为背景，考查正多边形内角的计算以及平面镶嵌的条件。拼在一起相交于一点时，各正多边形的内角之和必须等于 360°。先计算正方形内角为 90°，正六边形内角为 120°，用 360° 减去这两个内角得到第三块正多边形的内角为 150°。再设其边数为 n，利用正多边形内角和公式 (n-2) = 150°列方程求解即可。
14．【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：③在直角三角形中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴③正确；
②∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴②正确；
①∵的度数不确定，
∴根据已知条件无法证明平分，
∴①不正确；
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，
∴
∴，
即，
∴④正确；
综上，正确的结论为②③④，
故答案为：②③④．
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理可判断③；根据两直线平行，内错角相等和角平分线的定义可判断②；根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据两直线平行，内错角相等和角平分线的定义得到，进而可判断④．
15．【答案】解：（）
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，；
（）
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（）先去括号，移项，合并同类项，再系数化为即可；
（）先去分母，去括号，移项，合并同类项，再系数化为即可．
16．【答案】解：（1）
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴原方程组的解是：；
（2）
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴原方程组的解是：；
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据加减消元法求出y，再代入求出x即可；
（2）先根据加减消元法求出x，再代入求出y即可．
17．【答案】（1）解：∵，
∴2（4 x）＞3x＋6，
8 2x＞3x＋6，
2x 3x＞ 2，
5x＞ 2，
∴x<；
（2）解：解不等式x＋3≥2（x 1），得：x≤5，
解不等式，得：x＜ 1，
则不等式组的解集为x＜ 1．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先去分母、去括号、移项、合并同类项，再系数化为1即可；
（2）先分别求出每一个不等式的解集，再根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找求解即可．
（1）∵，
∴2（4 x）＞3x＋6，
8 2x＞3x＋6，
2x 3x＞ 2，
5x＞ 2，
∴x<；
（2）解不等式x＋3≥2（x 1），得：x≤5，
解不等式，得：x＜ 1，
则不等式组的解集为x＜ 1．
18．【答案】解：设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米，
则未开通高速公路之前的道路为千米，
根据题意有：，
解得：，
答：A、B两个城市之间高速公路的距离是120千米.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米，则未开通高速公路之前的道路为千米，根据速度=路程×时间列出关于x的一元一次方程，求解即可．
19．【答案】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，，
∴ 这个多边形的边数为：9．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】 本题主要考查了多边形外角和和内角和综合， 设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为和外角和为360度，列出方程求解即可．
20．【答案】（1）解：如图所示，
为所求作图形；
（2）解：如图所示，
为所求作图形；
（3）解：如图所示，
四边形为所求作图形．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）先将向右平移，再向下平移，作出图形即可；
（2）作出关于直线的对称点，连接即可；
（3）以直线为对称轴，作出关于直线的对称点，求解即可；
（1）解：如图，
为所求作图形；
（2）解：如图，
为所求作图形；
（3）解：如图，
四边形为所求作图形．
21．【答案】解：在△ABC中，∵∠BAC=90°，∠B=50°，
∴∠C=90°-∠B=40°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=90°-∠B=40°；
在△ADC中，
∵∠ADC=90°，∠C=40°，
∴∠DAC=90°-∠C=50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠DAC=25°，
在△DAE中，
∵∠ADE=90°，∠DAE=25°，
∴∠AED=90°-∠DAE=65°，
∴∠AEC=180°-∠AED=180°-65°=115°．
【知识点】三角形内角和定理；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C、∠BAD、∠DAC，再根据角平分线的定义求出∠DAE，进而求出∠AED，最后根据邻补角求出即可．
22．【答案】（1）解：设足球的单价为元/个，篮球的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：足球的单价为36元/个，篮球的单价为54元/个．
（2）解：设涨价后篮球的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：涨价后篮球的价格至少为57元/个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设足球的单价为元/个，篮球的单价为元/个，根据篮球和足球的价格列出关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）设涨价后篮球的单价为元/个， 根据总价单价数量，列出关于的一元一次不等式 ，求解即可．
（1）解：设足球的单价为元/个，篮球的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：足球的单价为36元/个，篮球的单价为54元/个．
（2）解：设涨价后篮球的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：涨价后篮球的价格至少为57元/个．
23．【答案】（1）
（2）解：①；
②不变，
平分，
，
直线与互相垂直，
，
，
，
平分，
，
，
在中，，
∴∠P=；
（3）和
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）直线与互相垂直，
，
平分，平分，
，，
，
在中，，
故答案为：；
（2）①
平分，，
，
直线与互相垂直，
，
，
，
，
平分，
，
，
在中，，
故答案为：；
（3）的平分线，的平分线，
，，
，
，
即，
根据在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，分类讨论，
①当是的4倍时，
在中，，
，，
平分，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
即，
②当是的4倍时，
在中，，
，，
平分，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
即，
故答案为：和．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形的内角和定理求解即可；
（2）①先根据角平分线的定义得到，进而根据直线与互相垂直，得到∠ABC，再根据叫平分线的定义得到∠PBO，最后利用三角形内角和定力计算求解即可；
②先根据角平分线的定义得到，进而根据直线与互相垂直，得到∠ABC，再根据叫平分线的定义得到∠PBO，最后利用三角形内角和定力计算求解即可；
（3）分当是的4倍时和当是的4倍时，两种情况求解即可.
（1）解：直线与互相垂直，
，
平分，平分，
，，
，
在中，，
故答案为：；
（2）解：①
平分，，
，
直线与互相垂直，
，
，
，
，
平分，
，
，
在中，，
故答案为：；
②不变，
平分，
，
直线与互相垂直，
，
，
，
平分，
，
，
在中，，
故答案为：；
（3）解：的平分线，的平分线，
，，
，
，
即，
根据在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，分类讨论，
①当是的4倍时，
在中，，
，，
平分，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
即，
②当是的4倍时，
在中，，
，，
平分，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
即，
故答案为：和．
24．【答案】（1）
（2）解：由题意可得，此时，
∴；
（3）解：点运动到点所需时间为：，点运动到点所需时间为：，全程的运动时间为：，
①时，则：，
∴，
∴，解得：；
②时，则：，
∴，解得：；
③时，，，
∴，解得：（舍去）；
综上：或；
（4）解：当点P在上运动时，则：，
∴，，
当时，则：，即：，解得：；
当时，则：，即：，解得：；
综上：或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，；
故答案为：；
【分析】（1）根据-点的路程，列出代数式即可；
（2）先求出点运动的时间，进而求出点的路程，最后利用线段的和差关系求解即可；
（3）分当时、时和时，三种情况讨论即可；
（4）分和，两种情况讨论即可．
（1）解：由题意，当点P在上运动时，；
故答案为：；
（2）由题意，，
此时，
∴；
故答案为：7；
（3）点运动到点所需时间为：，点运动到点所需时间为：，全程的运动时间为：，
①时，则：，
∴，
∴，解得：；
②时，则：，
∴，解得：；
③时，，，
∴，解得：（舍去）；
综上：或；
（4）当点P在上运动时，则：，
∴，，
当时，则：，即：，解得：；
当时，则：，即：，解得：；
综上：或．
1 / 1吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年七年级下学期5月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各式中，属于一元一次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，A错误；
B、是一元一次方程，B正确；
C、不是等式，故不是一元一次方程，C错误；
D、，是整式的加减运算，不是一元一次方程，D错误．
故答案为：B．
【分析】根据一元一次方程方程的定义：含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，逐一判定即可．
2．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数满足，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：，
实数满足，
当时，，
的值可以是，
故选：A．
【分析】本题以数轴和有理数加法为背景，考查利用数轴判断实数范围以及不等式与绝对值的应用。由数轴可知 -2 < a < -1，要满足 a + b < 0，即 b < -a。由于 -a 的范围在 1 到 2 之间，因此 b 必须小于这个范围的上限，结合选项判断只有 b = 1 符合条件。
3．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
【分析】本题以轴对称图形的识别为背景，考查轴对称图形的概念。判断一个图形是否为轴对称图形，关键是看能否找到一条直线，使图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合。根据这一标准逐项判断，找出不符合条件的选项即可。
4．已知、满足方程组，则的值是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
②①得：，
故答案为：A．
【分析】观察方程组中两个方程未知数x与y的系数，可得用方程②-①，即可求出x-y的值.
5．把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜1，
故不等式组的解集为：﹣3≤x＜1，
在数轴上表示为：
故选C．
【分析】本题主要考查不等式组的求解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来，即可得到答案．
6．用三角板画点到所在直线的垂线段，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角板（量角器）画图-垂线
【解析】【解答】解：根据画垂线段的步骤知，选项A符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据过一点画已知直线的垂线：画图时，三角板的直角一边与边重合，点A在直角的另一边上，进行判断即可．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
根据作图过程可知：BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故选项C成立；
∵∠BDC=∠ACB=72°，
∴BD=BC，故选项A成立；
∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，故选项B成立；
没有条件能证明CD=AD，故选项D不成立；
故选：D．
【分析】本题以等腰三角形和尺规作图为背景，考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及三角形外角性质。由 AB = AC， A = 36 可得底角ABC = ACB = 72。根据作图痕迹可知 BD 平分 ABC，从而 ABD = DBC = 36。利用外角性质或内角和求出相关角度，再逐项判断各选项的正确性，找出错误的一项。
8．如图，在中，边在直线上，且．将沿直线平移得到，点B的对应点为E．若平移的距离为2，则的长为（　　）
A．2 B．7 C．2或9 D．7或11
【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：当向右平移距离为2时，；
当向左平移距离为2时，，
故答案为：D．
【分析】分向左平移和向右平移两种情况讨论即可．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
9．把方程写成含有的式子表示的形式是　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：．
【分析】根据等式的性质进行变形，写出即可．
10．不等式 的解集是 ，则a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵不等式ax > a的解集为x < 1
∴a < 0，
故答案为：a< 0.
【分析】根据不等式的性质3：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变可得答案.
11．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长 尺，竿长 尺，则符合题意的方程组是　 　
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：根据题意得： .
故答案为： .
【分析】设绳索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组.
12．已知三角形的三边分别为2，a﹣1，4，那么a的取值范围是　 　.
【答案】3＜a＜7
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：依题意得：4﹣2＜a﹣1＜4+2，
即：2＜a﹣1＜6，
∴3＜a＜7.
故答案为：3＜a＜7.
【分析】根据构成三角形三条边的条件：两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边，列出不等式组，求解即可.
13．如图，要用三块正多边形的木板铺地，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两块木板的边数分别是4和6，则第三块木板的边数应是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵正方形的内角为，正六边形的内角为，
∴第三块正多边形木板的内角为，
设第三块正多边形木板的边数为，
解得，
即第三块木板的边数应是，
故答案为：
【分析】本题以正多边形平面镶嵌为背景，考查正多边形内角的计算以及平面镶嵌的条件。拼在一起相交于一点时，各正多边形的内角之和必须等于 360°。先计算正方形内角为 90°，正六边形内角为 120°，用 360° 减去这两个内角得到第三块正多边形的内角为 150°。再设其边数为 n，利用正多边形内角和公式 (n-2) = 150°列方程求解即可。
14．在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作平行，过点作交于点．下列结论：①平分；②；③；④．正确结论的序号有　 　．
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：③在直角三角形中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴③正确；
②∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴②正确；
①∵的度数不确定，
∴根据已知条件无法证明平分，
∴①不正确；
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，
∴
∴，
即，
∴④正确；
综上，正确的结论为②③④，
故答案为：②③④．
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理可判断③；根据两直线平行，内错角相等和角平分线的定义可判断②；根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据两直线平行，内错角相等和角平分线的定义得到，进而可判断④．
三、解答题：本大题共10小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）解方程：；
（2）解方程：．
【答案】解：（）
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，；
（）
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（）先去括号，移项，合并同类项，再系数化为即可；
（）先去分母，去括号，移项，合并同类项，再系数化为即可．
16．（1）解方程组：；
（2）解方程组：．
【答案】解：（1）
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴原方程组的解是：；
（2）
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴原方程组的解是：；
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先根据加减消元法求出y，再代入求出x即可；
（2）先根据加减消元法求出x，再代入求出y即可．
17．解下列不等式（组）．
（1）解不等式：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：∵，
∴2（4 x）＞3x＋6，
8 2x＞3x＋6，
2x 3x＞ 2，
5x＞ 2，
∴x<；
（2）解：解不等式x＋3≥2（x 1），得：x≤5，
解不等式，得：x＜ 1，
则不等式组的解集为x＜ 1．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先去分母、去括号、移项、合并同类项，再系数化为1即可；
（2）先分别求出每一个不等式的解集，再根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找求解即可．
（1）∵，
∴2（4 x）＞3x＋6，
8 2x＞3x＋6，
2x 3x＞ 2，
5x＞ 2，
∴x<；
（2）解不等式x＋3≥2（x 1），得：x≤5，
解不等式，得：x＜ 1，
则不等式组的解集为x＜ 1．
18．从A城市到B城市，长途汽车原需行驶5个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需2个小时即可到达．求A、B两个城市之间高速公路的距离是多少千米？
【答案】解：设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米，
则未开通高速公路之前的道路为千米，
根据题意有：，
解得：，
答：A、B两个城市之间高速公路的距离是120千米.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设A、B两个城市之间高速公路的距离是x千米，则未开通高速公路之前的道路为千米，根据速度=路程×时间列出关于x的一元一次方程，求解即可．
19．一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，，
∴ 这个多边形的边数为：9．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】 本题主要考查了多边形外角和和内角和综合， 设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为和外角和为360度，列出方程求解即可．
20．图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1）
（1）在图1中，将平移到，使点A与点D对应；
（2）在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形；
（3）在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形．
【答案】（1）解：如图所示，
为所求作图形；
（2）解：如图所示，
为所求作图形；
（3）解：如图所示，
四边形为所求作图形．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）先将向右平移，再向下平移，作出图形即可；
（2）作出关于直线的对称点，连接即可；
（3）以直线为对称轴，作出关于直线的对称点，求解即可；
（1）解：如图，
为所求作图形；
（2）解：如图，
为所求作图形；
（3）解：如图，
四边形为所求作图形．
21．如图，在中，于点平分，求和的度数．
【答案】解：在△ABC中，∵∠BAC=90°，∠B=50°，
∴∠C=90°-∠B=40°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=90°-∠B=40°；
在△ADC中，
∵∠ADC=90°，∠C=40°，
∴∠DAC=90°-∠C=50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠DAC=25°，
在△DAE中，
∵∠ADE=90°，∠DAE=25°，
∴∠AED=90°-∠DAE=65°，
∴∠AEC=180°-∠AED=180°-65°=115°．
【知识点】三角形内角和定理；邻补角；角平分线的概念
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C、∠BAD、∠DAC，再根据角平分线的定义求出∠DAE，进而求出∠AED，最后根据邻补角求出即可．
22．某中学计划购买一批篮球和足球供学生使用，已知一个篮球的单价比一个足球的单价贵18元，且用购买2个篮球的钱可以购买3个足球．
（1）求篮球和足球的单价各是多少元？
（2）由于近期篮球价格涨价（足球价格不变），若此时购买篮球3个，足球2个，则花费资金至少243元，求涨价后篮球的价格至少为多少元？
【答案】（1）解：设足球的单价为元/个，篮球的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：足球的单价为36元/个，篮球的单价为54元/个．
（2）解：设涨价后篮球的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：涨价后篮球的价格至少为57元/个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设足球的单价为元/个，篮球的单价为元/个，根据篮球和足球的价格列出关于、的二元一次方程组，求解即可；
（2）设涨价后篮球的单价为元/个， 根据总价单价数量，列出关于的一元一次不等式 ，求解即可．
（1）解：设足球的单价为元/个，篮球的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：足球的单价为36元/个，篮球的单价为54元/个．
（2）解：设涨价后篮球的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：涨价后篮球的价格至少为57元/个．
23．已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．
（1）如图1，平分，平分，与相交于点，则 ；
（2）如图2，平分，平分，点是射线上一点，与交于点．
①若，则 ；
②在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由；
（3）如图3，已知点在射线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，，点、在直线和直线上．在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）解：①；
②不变，
平分，
，
直线与互相垂直，
，
，
，
平分，
，
，
在中，，
∴∠P=；
（3）和
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）直线与互相垂直，
，
平分，平分，
，，
，
在中，，
故答案为：；
（2）①
平分，，
，
直线与互相垂直，
，
，
，
，
平分，
，
，
在中，，
故答案为：；
（3）的平分线，的平分线，
，，
，
，
即，
根据在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，分类讨论，
①当是的4倍时，
在中，，
，，
平分，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
即，
②当是的4倍时，
在中，，
，，
平分，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
即，
故答案为：和．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形的内角和定理求解即可；
（2）①先根据角平分线的定义得到，进而根据直线与互相垂直，得到∠ABC，再根据叫平分线的定义得到∠PBO，最后利用三角形内角和定力计算求解即可；
②先根据角平分线的定义得到，进而根据直线与互相垂直，得到∠ABC，再根据叫平分线的定义得到∠PBO，最后利用三角形内角和定力计算求解即可；
（3）分当是的4倍时和当是的4倍时，两种情况求解即可.
（1）解：直线与互相垂直，
，
平分，平分，
，，
，
在中，，
故答案为：；
（2）解：①
平分，，
，
直线与互相垂直，
，
，
，
，
平分，
，
，
在中，，
故答案为：；
②不变，
平分，
，
直线与互相垂直，
，
，
，
平分，
，
，
在中，，
故答案为：；
（3）解：的平分线，的平分线，
，，
，
，
即，
根据在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，分类讨论，
①当是的4倍时，
在中，，
，，
平分，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
即，
②当是的4倍时，
在中，，
，，
平分，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
即，
故答案为：和．
24．如图，在长方形中，，动点P从点A开始运动，以每秒的速度沿的路径运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）．
（1）当点P在上运动时， ；（用含t的代数式表示）
（2）当点P运动到中点时，求线段的长；
（3）当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值；
（4）当点P在上运动时，连接，直接写出三角形的面积被线段分成两部分时t的值．
【答案】（1）
（2）解：由题意可得，此时，
∴；
（3）解：点运动到点所需时间为：，点运动到点所需时间为：，全程的运动时间为：，
①时，则：，
∴，
∴，解得：；
②时，则：，
∴，解得：；
③时，，，
∴，解得：（舍去）；
综上：或；
（4）解：当点P在上运动时，则：，
∴，，
当时，则：，即：，解得：；
当时，则：，即：，解得：；
综上：或．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，；
故答案为：；
【分析】（1）根据-点的路程，列出代数式即可；
（2）先求出点运动的时间，进而求出点的路程，最后利用线段的和差关系求解即可；
（3）分当时、时和时，三种情况讨论即可；
（4）分和，两种情况讨论即可．
（1）解：由题意，当点P在上运动时，；
故答案为：；
（2）由题意，，
此时，
∴；
故答案为：7；
（3）点运动到点所需时间为：，点运动到点所需时间为：，全程的运动时间为：，
①时，则：，
∴，
∴，解得：；
②时，则：，
∴，解得：；
③时，，，
∴，解得：（舍去）；
综上：或；
（4）当点P在上运动时，则：，
∴，，
当时，则：，即：，解得：；
当时，则：，即：，解得：；
综上：或．
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