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第三章图形的平移与旋转单元测试卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·湖南中考)在平面直角坐标系中，将点P(-3，2)向右平移3个单位长度到 P 处,则点 P 的坐标为( ).
A. (-6,2) B. (0,2)
C. (-3,5) D. (-3,-1)
2.(2025·吉林中考)如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能.图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为( ).
A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°
3. (2025·扬州中考)窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美.下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ).
4.如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为( ).
A.2 平方厘米 B.4平方厘米
C.6 平方厘米 D.8平方厘米
5.(2025·南京鼓楼区一模)图中的“双鱼”图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合 下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称.其中所有正确结论的序号是( ).
A. ① B. ①② C. ②③ D. ①③
6.(2025·黑龙江大庆期末)如图，某公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路(两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m)，剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为( ).
A. 22m B. 24 m C. D.
7.(2025·大庆中考)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠CBA=120°.将△ABC 绕点A 顺时针旋转 120°得到△ADE,点 B,C 的对应点分别为点 D,E,连接 CE,点 D 恰好落在线段 CE 上,则 CD 的长为( ).
A. 2 B. 4 C. 3 D. 6
17.如图,在四边形ABCD 中, 连接AC，将 绕点B 逆时针旋转 点C 的对应点为D，点 A 的对应点为E，得到 若AB=5,AD=4,则AC的长度为 .
18.(2025·湖北武汉青山区月考)如图，A(2，4)，B(-1，m)，将线段AB绕点B顺时针旋转 得到线段CB，M为AC的中点，当OM最小时，
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)如图,三角形ABC 三个顶点的坐标分别是A(4,3),B(3,1),C(1,2),将三角形ABC 先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到三角形
(1)请作出三角形. 并写出 三点的坐标；
(2)求三角形 ABC 的面积.
20.(6分)在数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形.(规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形)
21.(8分) (2025·宁夏固原西吉期末)在平面直角坐标系xOy 中，对于点 P(x，y)，若点Q 的坐标为(ax+y,x+ay),则称点 Q 是点 P 的“a阶派生点”(其中a为常数，且a≠0).例如：点P(1,4)的“2阶派生点”为点(Q(2×1+4,1+2×4),即点Q(6,9).
(1)若点 P 的坐标为(-1,5),则它的“3阶派生点”的坐标为 ；
(2)若点 P 的“5阶派生点”的坐标为(-9,3),求点 P 的坐标；
(3)若点P(c+1,2c-1)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点 点 的“-4阶派生点” 位于坐标轴上，求点 的坐标.
22.(8分)(2025·武汉中考)如图是由小正方形组成的 3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，长方形ABCD 的四个顶点都是格点.仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条.
(1)如图(1)，E是格点，先将点 E 绕点A 逆时针旋转 到点 F，画出对应点 F，再画直线 FG 交 AB于点G，使直线 FG 平分矩形ABCD 的面积；
(2)如图(2),先画点C 关于直线BD 的对称点M,再画射线MN 交BD 于点N,使
23.(8分)如图,在平面直角坐标系中,点A,B在x轴上,且A(-10,0),AB=4,△ABC 的面积为14.将△ABC 沿x轴平移得到△DEF,当D为AB 的中点时,点 F 恰好在y轴上.求:
(1)点 F 的坐标;
(2)△EOF 的面积.
24.(8分)(2025·浙江宁波鄞州区期中)根据以下素材，探索完成任务.
荡秋千问题
素材1 如图(1)，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直.
素材2 如图(2)，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B 处接住她后用力一推，爸爸在 C 处接住她.若妈妈与爸爸到OA 的水平距离BD，CE分别为1.4m和1.8m,∠BOC=90°.
问题解决
任务1 △OBD 与△COE 全等吗 请说明理由.
任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高
25.(10分)(2025·江苏泰州海陵区月考)如图，已知在长方形ABCD 中，边AB 的长度是a，边AD 的长度是b,a=2b.将长方形ABCD 绕着点A 旋转到长方形AB'C'D'的位置，旋转角为α.
(1)当长方形 ABCD 绕点A 顺时针旋转 时，请画出旋转后的图形；
(2)在(1)的情况下，用a，b的代数式表示 的面积；
(3)当 时，如果 与 的度数之比是1：8，请写出旋转方向和旋转角α.
26.(12分)在 中， D 为边AB 的中点, 绕点D 旋转，它的两边分别交AC，CB(或延长线)于点 E，F.
(1)当 绕点 D 旋转到 于点 E 时(如图(1)),连接 FE,求证:
(2)当 绕点D 旋转到DE 和AC 不垂直时，在图(2)和图(3)这两种情况下，上述结论是否成立 若成立，请给予证明；若不成立， 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想.
1. B 2. B
3. C[解析]根据“图形两部分沿某直线折叠后可重合是轴对称图形；绕某点旋转180°后与自身重合的图形是中心对称图形”进行判定.
A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意.故选 C.
4. B[解析]∵三个叶片的总面积为12平方厘米，
∴一个叶片的面积为 4 平方厘米.
∵∠AOB=120°，∴阴影部分的面积之和等于一个叶片的面积，为4平方厘米.故选 B.
5. D
6. C[解析]利用长方形的面积减去互子路的面积可得，
由平移得石子路可以看作一个宽为2+2=4(m)、长为6m的长方形
种植鲜花的面积为6×12-(2+2)×6=48(m ).故选C.
7. B [解析]在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,
由旋转可知,∠BAD=120°,
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°.
由旋转,得AD=AB=2,∠ADE=∠ABC=120°,
∴∠ADC=60°,∴∠ACD=30°,
∴CD=2AD=2×2=4.故选 B.
8. A[解析]由图知，第一列有1个点，点的横坐标为0，第二列有2个点，点的横坐标为1，第三列有3个点，点的横坐标为2，…，依次类推，第n列有n个点，点的横坐标为n-1，且奇数列点由上到下进行运动，偶数列点从下到上进行运动，
∴前几列点的总数为
即第2024 个点在第64列,
∴第2024个点的横坐标为 63.
∵2024-2016=8,64为偶数列,
∴第2024个点的纵坐标为7，
∴第2024个点的坐标为(63,7).故选 A.
9. C [解析]由平移的性质可知,AA'∥BB'且.AA'=BB',故①符合题意；
由平移的性质可知,△ABC≌△A'B'C',∴S△ABC-S△BDC=
∴S四边形ACC'D=S四边形A'DBB',古故②符合题意；
若AC=5,m=2,则边AB扫过的图形的面积为2×5=10,故③不符合题意；
四边形AA'B'C 的周长为AA'+A'B'+B'C+AC=a,
三角形ABC的周长为AB+BC+AC=b,
由平移的性质可知， AA'+A'B'+B'C+AC-(AB+BC+AC)=AA'+ 即 故④符合题意.综上所述，符合题意的有①②④.故选C.
10. B [解析]∵线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 90°得到线段AE,∴AD=AE,∠DAE=90°,∴∠EAB+∠BAD=90°.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠BAD+∠CAD=90°,∠C=∠ABC=45°,
∴∠EAB=∠CAD,∴△EAB≌△DAC(SAS),
∴∠C=∠ABE=45°,CD=BE,
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°.
∵BC=2,BD:CD=1:3,∴BD= ,CD=BE=
故选 B.
11.15°[解析]由题意,得∠EAD=30°,∠BAD=45°,对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°-30°=15°.
12.(4,2) [解析]将点 P(1,2)沿着x轴向右平移3个单位长度,平移后对应点 P'的坐标为(1+3,2),即(4,2).
13.60°
14.②[解析]由中心对称图形的定义可知选择标有序号②的小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形.
15.54 [解析]由平行可得，小明所走路线的横向部分的长为28m,纵向部分的长为(14-1)×2=26(m),∴他所走的路线(题图中虚线)长为28+26=54(m).
16.(1,3) [解析]∵在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点C在y轴正半轴上，点 A 的坐标为(2，0)，
∴OC=OA=2,∴C(0,2).
∵将正方形OABC 沿着OB 方向平移 OB个单位长度，即将正方形OABC 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，∴点C的对应点的坐标是(1，3).
17. [解析]∵△EBD 由 △ABC 旋转得到,
∴BA=BE,∠ABE=60°,AC=DE,∴△ABE 是等边三角形,∴∠EAB=60°,AE=AB=5.
∵∠BAD=30°,∴∠EAD=90°,
18.2 [解析]如图,过点 B作直线l∥α轴,过点A作AD⊥l于点D,过点C作CE⊥l于点E.
∵将线段 AB 绕点 B 顺时针旋转90°得到线段 CB，
∴BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠ABD=90°-∠CBE=∠BCE.
∵∠ADB=∠BEC=90°,
∴△ABD≌△BCE(AAS),
∴AD=BE,BD=CE.
∵A(2,4),B(-1,m),
∴BE=AD=3,CE=BD=4-m,
∴C(3-m,m-3).∵M是AC的中点,
中点坐标公式
∴当m=2时,OM取最小值
19.(1)如图所示,△A B C 即为所求. A (0,-2),B (-1,-4),C (-3,-3).
(2)△ABC的面积为
20.画出的图形如图所示.
21.(1)(2,14) [解析]∵P(-1,5),3×(-1)+5=2,-1+3×5=14,
∴它的“3阶派生点”的坐标为(2，14).
(2)设点 P 的坐标为(a,b),
由题意可知， 解得
∴点 P 的坐标为(-2,1).
(3)由题意,得 P (c-1,2c),
∴P 的“-4阶派生点”P 的坐标为(-4(c-1)+2c,c-1-8c),即(-2c+4,-7c-1).
∵点 P 在坐标轴上,∴-2c+4=0或-7c-1=0,
∴c=2或 或
22.(1)如图(1),点 F,直线 FG 即为所求(作法不唯一,合理即可).
A
(2)如图(2)，点 M，射线MN 即为所求(作法不唯一，合理即可).
23.(1)∵A(-10,0),AB=4,∴B(-6,0).
∵点C在第二象限,∴yc=7.
∵△ABC 沿x轴平移得到△DEF,且点 F 在y轴上,∴F(0,7).
(2)∵A(-10,0),B(-6,0),D 为AB 的中点,∴D(-8,0).
由平移的性质,得BE=AD=2,∴E(-4,0),
24.任务1:△OBD 与△COE 全等.理由如下:
由题意,得OB=OA=OC,FD=1m,BD=1.4m,CE=1.8m,∠BDO=∠CEO=90°,
∴∠EOC+∠OCE=90°,
又∠BOC=∠BOD+∠COE=90°,
∴∠BOD=∠OCE.
在△OBD 与△COE 中,
∴△OBD≌△COE(AAS).
任务2:∵△OBD≌△COE,
∴BD=OE=1.4m,OD=CE=1.8m,
∴EF=DF+OD-OE=1+1.8-1.4=1.4(m),即小丽距离地面的高度有1.4m.
25.(1)如图(1),长方形AB'C'D'即为所求作.
(2)如图(1),连接 DD'.∵将长方形 ABCD 绕着点A 旋转到长方形AB'C'D'的位置，
∴AB'=AB=a,AD'=AD=b,
∴DB'=AB'-AD=a-b,
(3)如图(2)，将长方形 ABCD 绕着点A 按顺时针方向旋转，
∵∠BAB'=∠DAD'=α,∴∠BAD'=α+90°.
∵∠BAB'与∠BAD'的度数之比为1:8,
如图(3)，将长方形 ABCD 绕着点A 按逆时针方向旋转，同理可得，
综上所述，若顺时针方向旋转，则 若逆时针方向旋转，则α=10°.
26.(1)∵AC=BC,∠C=90°,∴∠A=∠B=45°,∵D为AB 的中点,∴AD=BD.
又DE⊥AC,∠EDF=90°,∴∠AED=90°=∠EDF,
∴DF∥AC,
∴∠BFD=∠ACB=90°.
在△AED 和△BFD 中,
∴△AED≌△BFD(AAS),
∴DE=DF,AE=BF,∴EC=CF,
∴△AED,△DEF,△CEF,△BDF 都为等腰直角三角形，且全等，则
(2)题图(2)中结论成立.证明如下：
如图(1),过点 D 作DM⊥AC,DN⊥BC.
∵∠C=90°,∴∠DME=∠DNF=∠MDN=90°,
∴DM∥BC,DN∥AC.
由(1),得AM=MD=ND=BN.
∵∠MDN=90°,∠EDF=90°,
∴∠MDE+∠EDN=90°,∠NDF+∠EDN=90°,
∴∠MDE=∠NDF.
在△DME 与△DNF 中
∴△DME≌△DNF(ASA),∴S△DME=S△DNF,
∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF.
由(1)可知,
题图(3)中结论不成立. 理由如下：
如图(2),连接DC.
∵∠ACB=90°,D为AB 的中点,AC=BC,
∴CD=AD=BD,CD⊥AB,
∴∠DCB=∠DBC=45°,∠CDB=90°,
∴∠ECD=∠ECF+∠DCB=135°,∠DBF=180°-∠DBC=135°.
∵∠CDE+∠EDB=∠EDB+∠BDF=90°,
∴∠CDE=∠BDF.
在△DCE 和△DBF 中,
∴△DCE≌△DBF(ASA),∴S△DCE=S△DBF,

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