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第四章 因式分解 提优测评卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.因式分解: 等于( ).
A. (a+1)(a-1) B. a(a+1) C. D.
2.(2024·云南中考)分解因式: 等于( ).
A. a(a-3)(a+3) B.
C. (a-3)(a+3) D.
3.用如图(1)中的三种纸片拼成如图(2)的长方形，据此可写出一个多项式的因式分解，下列选项正确的是( ).
A.
B.
C.
D.
4.对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是( ).
①a +b ;②a -b ;③-a +b ;④-a -b .
A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③
5.(2024·益阳三模)把 分解因式时，提出公因式后，另一个因式是( ).
A. B. C. D.
6.多项式 与多项式 的公因式是( ).
A. m-2 B. m+2 C.(m-2)(m+2) D.
7.(2025·广东河源龙川期末)若△ABC 的三边长分别是a,b,c,且满足 则△ABC 的形状是( ).
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
8.(2025·河北唐山三十九中月考)设 ，则M与N 的大小关系为( ).
A. M>N B. M=N C. M9.若 则x-y等于( ).
A. - 1 B. 2 024 C. 2 025 D. - 1或2 025
10.(2025·山东济南市中区期末)定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”.将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”: 有如下结论： 是8的倍数;③m,n为正整数,且m>n,若 是“和谐数”,则m-n=7;④m,n为正整数，且m>n,若 和m+n-1都是“和谐数”,则7m-5n-3也是“和谐数”,则上述结论正确的个数是( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2024·威海中考)因式分解:(x+2)(x+4)+1= .
12.(2025·广东中考)因式分解:
13.(2024·南通海安一模)若a+b=4,a-b=1,则的值为 .
14.今天数学课，李老师出了一道因式分解密码题，给了密码手册：(x+y)，(x-y)，(a+b)，(a-b),a,a ,a 对应下列七个字：展、美、馆、陶、小、大、览，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是 .
15.若 k 为自然数，则的值总能被 整除.
16.(2025·湖南娄底涟源期末)规定 ,例如 =1×4-2×3=4-6=-2， 已知=6 则 的值为 .
17.阅读下列文字与例题：将一个形如 的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把 因式分解成((x+m)(x+n).
例如(1)x +3x+2=(x+1)(x+2);(2)x -3x-10=(x-5)(x+2).
要使二次三项式 能在整数范围内分解因式，则m可取的整数为 .
18.整数a,b,c 是△ABC 的三条边(a三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2025·陕西西安长安区月考)利用因式分解计算：
20.(6分) (2025·江西南昌东湖区期末)下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足： (m,n 为常数).
(1)求m,n的值;
(2)若x 为正整数，求证：代数式 总能被5 整除.
21.(8分)(2025·甘肃白银期末)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如： 则8，16，24这三个数都是奇特数.
(1)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗 为什么
(2)如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为39，求阴影部分的面积.
22.(8分)[发现]一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，a>b且a+b=10，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个数的平方差是20的倍数.
[解决问题]
(1)用含a 的代数式表示：原来的两位数为 ，新的两位数为 ；
(2)使用因式分解的方法说明[发现]中的结论正确.
23.(8分)试说明：若n是整数，则 计算的结果总是偶数.
24.(8分)已知：整式A=m+1,B=m-1,m为任意有理数.
(1)A·B+1的值可能为负数吗 请说明理由.
(2)请通过计算说明：当m是整数时， 的值一定能被4整除.
25.(10分)(2025·陕西咸阳永寿期末)[阅读材料]某校“数学社团”成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解.例如 和 社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解.
方法如下：a -ab+5a-5b=a(a-b)+5(a-b)=(a+5)(a-b);
.请在这种方法的启发下，解决下列问题：
[问题解决]
(1)因式分解：
(2)因式分解：
[方法延伸]
(3)因式分解：
26.(12分)如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.
例如：因式分解：
原式
再如：求代数式 的最小值.
可知当x=-1时, 6有最小值-8.
根据阅读材料用配方法解决下列问题.
(1)填空:
(2)利用配方法因式分解：
(3)当x为何值时，多项式 有最大值 并求出这个最大值.
1. A [解析] 故选 A.
2. A [解析]原式 故选 A.
3. C 4. D
5. A [解析] 故选 A.
6. A [解析]∵多项式 多项式 ∴多项式 与多项式 的公因式是m-2.故选 A.
7. B [解析]∵
根据平方差公式和提取公因式2b，得(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0,∴(a-c)(a+c+2b)=0.
∵a,b,c是三角形的三条边,∴a+c+2b>0,∴a-c=0.
∵a=c,∴△ABC是等腰三角形.故选 B.
8. B [解析]∵
∴M=N.故选B.
9. D [解析]将 2024x=1两式相加,
得
即
∴(x-y+1)(x-y-2025)=0,
∴x-y+1=0或x-y-2025=0,
∴x-y=-1或x-y=2025.故选D.
10. C [解析]①观察“和谐数列”可知，设下标为n，则被减数的底数为2n+1，减数的底数为2n-1，
即 故①正确；
②根据①找出的规律知，
是8的倍数，故②正确；
当m-n=7时,原式=0,不满足“和谐数”的定义，故③错误；
是“和谐数”，
∴m-n可以为7.∵m+n-1是“和谐数”,
∴m+n-1=8k,即m+n=8k+1,∴m=4k+4,n=4k-3,7m-5n-3=28k+28-20k+15-3=8k+40是“和谐数”，故④正确.故选 C.
[解析]原式： 9=(x+3) .
12. ab(a+b) [解析]
= ab(a+b).
13.20 [解析]∵a+b=4,a-b=1,∴(a+2) -(b-2) =[(a+2)+(b-2)][(a+2)-(b-2)]=(a+b)(a-b+4)=4×(1+4)=20.
14.大美馆陶(汉字顺序不固定)[解析]
因为(x-x),(a+b),(a-b),a )对应下列四个字：美、馆、陶、大、
>对应顺序可以改变，合理就行
所以结果呈现的密码信息可能是大美馆陶.
15.4 [解析]
=(3k+2+3k)(3k+2-3k)
=2(6k+2)
=4(3k+1).
因为k为自然数，
因为k为自然数，所以(3k+1)为整数
所以4(3k+1)总能被4整除.
16.12
17.-5或-1或1或5 [解析]∵-6=-1×6=-2×3=1×(-6)=2×(-3),
∴m=-1+6=5或m=-2+3=1或m=1+(-6)=-5或m=2+(-3)=-1.
18.17 [解析]∵△ABC的周长为30,
∴a+b+c=30,∴a+b=30-c.
∵a+b>c,则30-c>c,∴c<15.
∵a∵c是整数,∴c取11,12,13,14,依次代入可得当c=11时， 的值最小，为17.
=1.
20
由①得m=3,
把m=3代入②,得n=-3,
∴m=3,n=-3.
(2)由m=3,n=-3,则
=10x+15=5(2x+3).
∵x为正整数,∴2x+3为正整数,
∴代数式. 总能被5整除.
21.(1)由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
理由如下：
(2n+1-2n+1)=4n·2=8n,n为正整数,
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
1 =(39+37)(39-37)+(35+33)(35-33)+…+(7+5)(7-5)+(3+1)(3-1)
=(39+37+35+…+3+1)×2
=(1+39)×20÷2×2
=800.
22.(1)9a+10 100-9a [解析]∵一个两位数的十位上的数字为a,个位上的数字为b,a>b且a+b=10,
∴b=10-a,
∴原来的两位数为10a+10-a=9a+10.
将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，
∴新的两位数为10(10-a)+a=100-9a.
(2)根据题意，得
=(9a+10+100-9a)(9a+10-100+9a)
=110(18a-90)
=1980(a-5)
=99×20(a-5).
∵a是整数,a>b且a+b=10,∴a>5,
能被20整除，即[发现]中的结论正确.
23.当n是偶数时，原式
当n 是奇数时，原式
设n=2k+1(k为整数),
则 k(k+1).
∵0或k(k+1)(k为整数)都是偶数,
∴原式的计算结果总是偶数.
24.(1)A·B+1的值不可能为负数.理由如下:
∴A·B+1的值不可能为负数.
∵m 是整数，∴4m一定能被4整除，
∴当m是整数时， 的值一定能被4整除.
25.(1)原式
(2)原式:
=(x-3y+1)(x-3y-1).
(3)原式
26.(1)9 2 [解析]
2+
(2)原式
=(x+2+4)(x+2-4)
=(x+6)(x-2).
(3)原式=
即
∴当x=-2时,多项式有最大值为16.

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