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第四章 因式分解 单元测试卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( ).
A. B. a(x+y)= ax+ ay
C. D.
2.多项式 的公因式是( ).
A. B. C. D.
3.小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式： =( ).
A. (a+b)(a+b)
B. (a+2b)(a+b)
C. (a-2b)(a+b)
D. (a+2b)(a-b)
4.(2025·山东青岛期末)下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是( ).
A. B. C. D.
5.(2024·石家庄长安区一模)整式 下列结论：
结论一:A·x=B.
结论二：A，B的公因式为x.
下列判断正确的是( ).
A.结论一正确，结论二不正确 B.结论一不正确，结论二正确
C.结论一、结论二都正确 D.结论一、结论二都不正确
6.如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式 的值是( ).
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
7.多项式 分解因式为(x+m)(x+n),其中a,m,n为整数,则a的取值有( ).
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.无数个
8.(2025·河北唐山三十九中月考)若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”.例如，因为 所以16是“和数”.结论Ⅰ:2024是“和数”,2025不是“和数”;结论Ⅱ:所有能被4整除的正数都是“和数”.对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是( ).
A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ对Ⅱ不对 D. Ⅰ不对Ⅱ对
9.(2025·江苏苏州中学伟长班期中)若整数x,y,z满足 xy+ yz+ zx=1,则可能取到的值为( ).
A. 16 900 B. 17 900 C. 18900 D.以上结论都不对
10.(2025·四川乐山市中区期末)已知△ABC 的三边长a,b,c 满足条件: 那么△ABC 的形状为( ).
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.把多项式 提出一个公因式 后，另一个因式是 .
12.(2025·甘肃中考)因式分解:
13.已知m,n同时满足m+2n=5与m-2n=-1,则 的值是 .
14.(2025·兰州中考)因式分解:
15.(2025·江苏无锡江阴月考)已知实数x 满足 则 = .
16.(2025·重庆八中期末)设a,b,c是一个三角形的三边长,则 (填“<”“>”或“=”).
17.(2025·山东枣庄滕州月考)已知(a+b)(a+b-6)+9=0,且 则
18.如果 那么代数式 的值为 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(8分)因式分解：
(4)(x-3)(x-5)+1.
20.(6分)中考新考法过程纠错改错阅读下列解题过程，回答问题.
因式分解：
解：原式
=(x+8)(x-2).④
(1)此因式分解的过程 (填“正确”或“不正确”).
(2)若不正确，是从第 步开始出现错误的.
(3)写出正确的因式分解的过程.
21.(6分)(2025·河北秦皇岛卢龙期末)(1)实验与观察:
当x=-5时，代数式
当x=1时，代数式 (用“>”“=”或“<”填空)
(2)归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么 请写出来并证明它是正确的.
(3)拓展与应用：求代数式 的最小值.
22.(8分)(2025·河北邯郸期末)阅读材料，解决问题：
[材料1]教材中这样写道：“我们把多项式 及 叫作完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.例如：分解因式
原式 .
[材料2]因式分解：
解：把x+y看成一个整体，令x+y=A，则原式 再将A=x+y重新代入，得原式
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法.请你解答下列问题：
(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：
(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：
(3)当a,b,c分别为△ABC 的三边,且满足 时，判断 的形状并说明理由.
23.(8分)如图所示,A,B,C三点在一条直线上,设AB=a,BC=b,AC=c,求多项式2a(a+b-c)+3b(c-a-b)+5c(c-a-b)的值.
24.(8分)已知a=20252025×999,b=20242024×1000,，试比较a 与b 的大小关系.
25.(10分)阅读下面材料，并解决问题.
因式分解：
解：将“x+y”看成整体，令x+y=B.
原式
再将“B”还原，原式
上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
(1)因式分解：
(2)试说明：若n为正整数，则式子 的值一定是某个整数的平方.
26.(12分)(2025·河北石家庄四十八中月考)八年级兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将 2a-3ab-4+6b因式分解.
[观察]经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式：=(2a-3ab)-(4-6b)=a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2);
解法二：原式：=(2a-4)-(3ab-6b)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b).
[感悟]对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)
[类比](1)请用分组分解法将 因式分解；
[挑战](2)请用分组分解法将 因式分解；
[应用](3)已知 的三边长a，b，c都是正整数，满足 求 的周长.
1. D 2. C
3. B [解析]根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b、宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成，
∴大长方形的面积为
另外大长方形可以看成是一个长为(a+2b)、宽为(a+b)的长方形，
∴大长方形的面积为(a+2b)(a+b),
∴可以得到一个因式分解的等式为 2b)(a+b),故B正确.故选 B.
4. C [解析] 不能在实数范围内因式分解，则A不符合题意，
则B不符合题意，
则C符合题意，
则D不符合题意.故选 C.
5. A [解析]
则A·x=B,A,B的公因式是x-1,
那么结论一正确，结论二不正确.故选 A.
6. B [解析]
∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a+c-b>0,a-(b+c)<0,
，即 的值是负数.故选 B.
7. C [解析]∵-6=-1×6=1×(-6)=-2×3=2×(-3),∴-a=-1+6=5或-a=1+(-6)=-5或-a=-2+3=1或-a=2+(-3)=-1,
∴a=5或-5或1或-1,
即a 的取值有4个.故选 C.
8. C[解析]由题意,得( 2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n,即和数是8的倍数.因为 2024-8×253,所以2024是“和数”.
因为2025=8×253+1,所以 2025不是“和数”.即结论Ⅰ正确.
因为4能被4整除,但4÷8=0.5,0.5不是整数,所以 4不是和数，
故所有能被4整除的正数不一定是“和数”，即结论Ⅱ不正确.故选 C.
9. A [解析]∵xy+ yz+ zx=1,
根据 xy+yz+zx=1等量代换对 进行变形，得到与x+y，z+x相关的式子，进而推出 的表达式
=(x+y)(x+z)(x+y)(y+z)(x+z)(y+z)
=[(x+y)(x+z)(y+z)] ,
很显然[(x+y)(x+z)(y+z)] 是一个完全平方数.
,而17900,18900不是完全平方数.故选 A.
10. D [解析]·
或
或
∴a=b 或 或 a =b 且 即△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.故选 D.
11.2x-5y
[解析]
13.-5 [解析]∵m+2n=5与m-2n=-1,
∴m -4n =(m+2n)(m-2n)=5×(-1)=-5.
[解析]原式
15.-1 [解析]
根据 可化为
可得
当x=-1时，显然成立；
当x≠-1时,则 没有意义.
∴x=-1,
1=-1.
16.<[解析]由题知, (a+b+c)(a-b-c).
因为a，b，c是一个三角形的三边长，
所以a+b+c>0,a-b-c≤9,
判断与三角形三边有关的式子时，要利用“三角形任意两边之和大于第三边”或“三角形任意两边之差小于第三边”
即(a+b+c)(a-b-c)<0,
故
17.±1 [解析]对(a+b)(a+b-6)+9=0变形,
将a+b看作一个整体
得
由完全平方公式，得 解得a+b=3,
对 变形，得
由完全平方公式，得 解得 ab=2,
∴a-b=±1.
18.-2025 [解析]∵ ,即(m+n)(m-n)=n-m.
∴原式= 2025(m+n)=-2025.
(4)(x-3)(x-5)+1
20.(1)不正确
(2)①
(3)原式
21.(1)> = [解析]把x=-5代入 中，得25+10+2=37>1;
把x=1代入. 中,得1-2+2=1.
(2)当x=0时,代数式. ;当x=-1时,代数式 发现：对于任何实数都有 证明如下：
且x为任何实数时，
即
∴代数式 的最小值是5.
=(x-3+1)(x-3-1)
=(x-2)(x-4).
(2)设A=x-y,
(3)△ABC是等腰三角形.理由如下：
∴a-2=0,b-3=0,c-2=0,解得a=2,b=3,c=2,
∴a=c,∴△ABC是等腰三角形.
23.2a(a+b-c)+3b(c-a-b)+5c(c-a-b)=2a(a+b-c)-3b(a+b-c)-5c(a+b-c)=(a+b-c)(2a-3b-5c).
∵A,B,C三点在一条直线上,且AB=a,BC=b,AC=c,∴a+b=c,即a+b-c=0.
当a+b-c=0时,原式=0·(2a-3b-5c)=0.
24.∵a=20252025×999=2025×999×10001
=(2024+1)(1000-1)×10001
=2 024×1 000×10 001-2 024×10 001+1 000×10001-10001,
b=20242024×1000=2024×1000×10001,
∴a-b=2024×1000×10001-2024×10001+1000×10001-10001-2024×1000×10001
=-2024×10001+1000×10001-10001
=(-2024+1000-1)×10001=-1025×10001<0,∴a∴将“a-2b”看成整体,令a-2b=A,
原式：
再将“A”还原,原式=(a-2b+3)(a-2b-3).
(2)将 看成整体，令
原式=
∵n为正整数，. 也为正整数，
的值一定是某个整数的平方.
=(x-a)(x+a)+(x+a)
=(x+a)(x-a+1).
将式子写成 将前一个式子提取公因式，后一个式子运用完全平方公式因式分解，再提取公因式计算即可
=x(a-b)+(a-b)
=(a-b)(x+a-b).
(3)因为
所以
即
所以a-1=0,b-4=0,即a=1,b=4.
因为△ABC的三边长a，b，c都是正整数，
所以4-1即3所以△ABC的周长是4+4+1=9.

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