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云南昭通市威信县2026年初中学业水平模拟考试（4月一模）九年级
数学试卷
一、单选题
1．某公交公司全面升级智能刷卡支付系统，使乘客在不带现金的情况下也能进行付款乘车．若给公交卡充值元记作元，则使用公交卡消费元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．截至2026年2月末，我国外汇储备规模达34278亿美元．将34278亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知点在反比例函数（k为常数且）的图象上，则下列不在该函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点D、E分别在、边上，且．若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．下图是由3个相同的小立方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
8．观察一组按规律排列的式子：a，，，，，…，则第n（n为正整数）个式子是（ ）
A． B． C． D．
9．为了解某校1000名学生每周在校的体育锻炼时间（单位：小时），随机抽取了100名学生进行调查，结果如下表所示：
锻炼时间x
学生人数 20 32 38 10
以此估计该校1000名学生一周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有（ ）
A．700人 B．520人 C．480人 D．100人
10．某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
11．2025年是我国新能源汽车产业发展的关键一年．随着高压平台普及和充电桩密度提升，车企纷纷让利消费者．某品牌的一款车型在2025年1月售价为22万元，3月降至17.6万元．若该车型售价的月均下降率保持不变，设下降率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A．日 B．新 C．月 D．异
13．如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（ ）
A．12 B．24 C．30 D．36
14．要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．某设计师正在设计一个多边形形状的装饰图案，已知该多边形的内角和恰好等于其外角和的两倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
二、填空题
16．分解因式：_____________．
17．在中，，，，则的值是_____________．
18．某班8位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是：45，48，44，50，45，48，47，45，则这组数据的众数是_____________．
19．妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为，半径为的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为_____________．
三、解答题
20．计算：．
21．如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：．
22．年春节前，某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”．已知甲型号机器人每小时分拣数量比乙型号机器人每小时分拣数量多件，且甲型号机器人分拣件和乙型号机器人分拣件所用时间相等．求甲、乙型号机器人每小时分拣数量分别是多少件．
23．滇剧的角色分为生、旦、净、丑四大行当，各有其独特的表演风格与扮相．某校戏曲社团组织的一次滇剧表演中，有生（记为a）、旦（记为b）、净（记为c）三种角色．先由甲同学从三个角色中随机选一个，再由乙同学从剩余的两个角色中随机选一个（不能与甲重复）．且每个角色被选到的可能性相等．记甲同学的选择为x，乙同学的选择为y．
(1)用列表法或画树状图法求所有可能出现的结果总数；
(2)求乙同学选到“旦”角色的概率．
24．如图，在矩形中，点E是边上一点，连接、，且，过点A、B分别作和的平行线，两条平行线交于点F．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，，求的长．
25．某校为丰富社团活动，计划购买一批国画用品和书法用品．已知购买1套国画用品和2套书法用品共需400元；购买2套国画用品和1套书法用品共需350元．
(1)求每套国画用品和每套书法用品的价格；
(2)社团准备购买两种用品共30套，且国画用品套数不多于书法用品套数的2倍．请设计一种购买方案使总费用最低，并求出最低总费用．
26．已知关于的二次函数的图象过点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点和都在该二次函数的图象上，且，比较与的大小关系．
27．已知是的外接圆，过点B作．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图1，在（1）的条件下，求证：直线是的切线；
(3)探索，发现与计算：
如图2，为的直径，与相切，点D在弧上，连接，，，问是否存在一个非零常数a，使等式成立？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
1．D
解析：解：若给公交卡充值元记作元，则使用公交卡消费元记作元．
2．B
解析：解：34278亿．
3．A
解析：解：，，
．
4．B
解析：解：∵点在反比例函数的图象上，
∴把代入得，
即该反比例函数图象上的点满足，
依次验证各选项：
A、，满足条件，点在图象上；
B、，不满足条件，点不在图象上；
C、，满足条件，点在图象上；
D、，满足条件，点在图象上．
5．C
解析：解：A、，∴ A错误；
B、，∴ B错误；
C、，∴ C正确；
D、，∴ D错误．
6．A
解析：解：，，
，
，
．
7．C
解析：解：由图形可得，该几何体的俯视图有一层，且由两个正方形组成，如图：
．
8．D
解析：解：第一个式子的系数为，指数为；
第二个式子的系数为，指数为；
第三个式子的系数为，指数为；
第四个式子的系数为，指数为；
．．．．．．
因此，第个式子的系数为，指数为，
故第个式子为．
9．C
解析：解：∵锻炼时间不低于7小时即，对应样本中人数为人，
样本总人数为人，该校总人数为人，
∴估计该校符合条件的人数为人．
10．A
解析：解：∵点在圆形桌面上，圆形桌面所在圆的半径，圆心为，
∴点在内或上，
∴，
故观察选项，只有符合该范围．
11．D
解析：解：∵1月售价为22万元，月均下降率为，
∴2月售价为万元，
∴3月售价在2月基础上再次下降，可得3月售价为万元，
又∵3月实际售价为17.6万元，
∴列方程得．
12．A
解析：解：平面内，沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，
A、选项“日”存在竖直和水平对称轴，折叠后两边完全重合，是轴对称图形；
B、选项“新”不存在这样的直线，折叠后无法使两边完全重合，不是轴对称图形；
C、选项“月”不存在这样的直线，折叠后无法使两边完全重合，不是轴对称图形；
D、选项“异”不存在这样的直线，折叠后无法使两边完全重合，不是轴对称图形．
13．B
解析：解：四边形是菱形，，
，，，
在中，E为边的中点，
，
，
，
菱形的面积．
14．D
解析：解：∵二次根式有意义的条件是被开方数，
∴要使有意义，需满足，
解不等式得：．
15．B
解析：解：设这个多边形的边数为，
根据题意可得
解得，
∴这个多边形是六边形．
16．
解析：解：．
17．/
解析：解：在中，，，，
∴，
∴．
18．45
解析：解：根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，在这组数据，，，，，，，中，出现次，出现次，、、各出现次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是．
19．5
解析：解：设圆锥的底面半径为，
根据弧长公式，可得扇形弧长为：，
由圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此：，
解得．
20．
解析：解：
．
21．见解析
解析：解：，
，
即．
在和中，
，
．
22．甲型号机器人每小时分拣件，乙型号机器人每小时分拣件．
解析：解：设乙型号机器人每小时分拣件，则甲型号机器人每小时分拣件，
由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：甲型号机器人每小时分拣件，乙型号机器人每小时分拣件．
23．(1)见解析
(2)
解析：（1）解：由题意可列表如下，
甲（x）乙（y） a b c
a
b
c
由表可知，可能出现的结果共有6种；
（2）解：由列表可知，共有6种等可能的结果，
∵乙同学选到“旦”角色有2种，即和，
，
故乙同学选到“旦”角色的概率为．
24．(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
又，
．
∴四边形是矩形．
（2）解：在矩形中，，
．
，
．
，
又，
．
，
，，
，
，
，
∴在矩形中，．
25．(1)每套国画用品价格为100元，每套书法用品价格为150元
(2)购买国画用品20套，书法用品10套时，总费用最低，最低总费用为3500元
解析：（1）解：设每套国画用品价格为a元，每套书法用品价格为b元，
由题意得：，
解得．
答：每套国画用品价格为100元，每套书法用品价格为150元．
（2）解：设购买国画用品x套，则购买书法用品套，设总费用为y元，
由题意得：，
解得．
，
，
随x的增大而减小，
∴当时，．
答：购买国画用品20套，书法用品10套时，总费用最低，最低总费用为3500元．
26．(1)
(2)
解析：（1）解：把代入，得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）解：，理由如下：
∵，
∴．
，，
当时，．
∴
，
∴当时，取得最小值6，
∴．
当时，．
∴
，
∴当时，取得最小值6，
∴．
综上所述，．
27．(1)
(2)见解析
(3)存在，
解析：（1）解：，，
．
，
，
是等边三角形，
．
（2）证明：如图，连接，．
由（1）得是等边三角形，
，
．
，
．
，
，
．
是半径，
∴直线是的切线．
（3）解：存在，．理由如下：
如图，过点B作，交于点M，连接，则，
设，则，
，
①，
是的直径，
，
，
②，
与相切，
，
∵，
，
又，
是线段的垂直平分线，
③，
由①②③得，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
．
，
．

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