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湖南省长沙市一中集团2026年中考数学一模试卷（3月）
1．2026年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年.为持续开展高原气候变化研究，我国科考队员再次向世界之巅进发.科考队从海拔5 200米的珠峰大本营出发，如果向上(往峰顶方向)攀登200 米记作+200米，那么完成任务后，他们向下(往返回方向)行走150米应记作（　　）
A．-150米 B．+150米 C．-200米 D．+200米
2．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业.如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱(如图2)，其示意图的左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．截至 2025 年 12 月 30 日，《疯狂动物城 2》的全球总票房约为4 152 000 000元，数“4 152 000 000”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．抛掷质地均匀的硬币100次，一定有50次“正面向上”
B．甲、乙进行排球练习，其成绩的平均数相等，方差 则甲比乙成绩更稳定
C．为了解我国初三学生的身高情况，应采取全面调查的方式
D．数据0，0，7，7，9，5，2，7的众数是7
6．用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为（　　）
A． B． C． D．
7．关于一次函数y=-3x+5，下列说法正确的是（　　）
A．图象过点(3，0)
B．y随着x的增大而增大
C．其图象可由 y=3x的图象向上平移5个单位长度得到
D．图象经过第一、二、四象限
8．如图，直线a∥b，∠1=50°，∠3=100°，则∠2的度数为（　　）
A．20° B．30° C．80° D．100°
9．如图，已知CD是⊙O的直径，⊙O的弦AB⊥CD于点E，若∠AOD=62°，则∠DCB的度数为（　　）
A．31° B．28° C．62° D．60°
10．图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d.当图2在图1的不同位置时，代数式4a-2b+3c+md为定值，则m的值为（　　）
A．-4 B．5 C．-5 D．8
11．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　 　.
12． 分解因式：　 　．
13．为了解某校学生参与“数学趣味运动周”活动的情况，从该校全校1 200名学生中，随机抽取了150名学生进行调查，结果显示有120名学生表示至少参加了三项趣味数学项目.根据这个调查结果，估计该校全体学生中至少参加了三项趣味数学项目的学生有　 　名.
14．已知圆锥的底面半径为4 cm，母线长为6 cm，则此圆锥的侧面积为　 　cm2(结果保留π).
15．已知一个正多边形的每一个外角为 30°，则这个多边形的边数为　 　.
16．小明在数学活动课上制作了两张卡片：一张是正方形ABCD，其中点 O是正方形对角线的交点，另一张是等腰直角三角形 BPQ，且 BQ=BC=4.他将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点 B 处，然后绕着点 B 逆时针旋转三角形.当他旋转到某个角度时，发现三角形卡片的另外两个顶点 P，Q与正方形的一个顶点 D 恰好三点共线.此时 DQ的长度为　 　.
17．计算：
18．先化简，再求值：其中x=2，y=
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，以点 B 为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边 AB，BC于点E，F，再分别以点 E，F为圆心，以大于 EF的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接BG并延长交AC 于点D.
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若CD=1，求△ABD的面积.
20．2026年湘超联赛即将开幕，卫冕冠军永州队在去年决赛中勇夺冠军，他们“永不言弃、勇往直前”的“永冲锋”精神，正激励着三湘大地的足球少年.为增强学生足球技能，某中学组织学生进行定点射门训练，规定每人射门3次，现对初三(1)班的学生射中的次数进行统计，绘制成如下两幅统计图，根据图中信息，回答下列问题：
（1）初三(1)班总人数为　 　人， m=　 　；
（2）射中“1次”对应的扇形圆心角为　 　；
（3）在定点射门射中“3次”的3名男生和1名女生中，抽调两名学生参加学校足球比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名女生和1名男生的概率.
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD 交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF，连接BE，BF，DF，DE.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠FEB=∠EFB，判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由.
22．在 2026 年春晚舞台，宇树科技的G1 与 H2 两款机器人表演《武 BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相.某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务，决定购买机器人来代替部分人工服务.已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元.
（1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元
（2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大
23．2026年1月25 日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德(AlexHonnold)成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人.亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点.在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点 N，他在距离楼底60米的A处观察(即AM=60米)，用测倾器测得攀登难点 N的仰角为60°，然后沿斜坡向上走到 B 处观察，测得攀登难点 N 的仰角为45°.已知点A，C，M在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为1：3(即 测倾器高度忽略不计.
（1）求攀登难点 N的高度(即 MN的长)；
（2）求观察点 B 的铅直高度(结果保留根号).
24．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当 函数值y的取值范围为 且满足n-m=k(b-a)，则称此函数为“k-拉伸函数”.
例如：正比例函数y=-2x，当时，则-2-解得k=2，所以函数y=-2x为“2-拉伸函数”.
（1）①一次函数 为“k-拉伸函数”，则 k的值为　 　；
②若一次函数 为“3-拉伸函数”，则a的值为　 　
（2）反比例函数 是“p-拉伸函数”，且 请求出 的值；
（3）已知二次函数 当 时，y= 是“k-拉伸函数”，求 k的取值范围.
25．如图1， 是⊙O的内接三角形，点A 为劣弧BC 的中点，直径AF=10，弦BC=8，点 P 为射线AC上一点，点E 为弧CF 上一动点，AF与BC交于点D，连接AE，CE，BE，BC与AE 交于点G.
（1）求证：
（2）若，求∠ECP 的度数；
（3）设，且
①求 y关于x的函数关系式(不需写自变量取值范围)；
②如图2，若AF与BE 交于点Q，作 于点H，交AC于点M，当 时，求x的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：向上攀登200米记作+200米，则向下行走150米应记作-150米.
故答案为：A.
【分析】规定向上攀登记为正数，则向下行走即为负数，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该建筑主体是一个正六棱柱，其示意图的左视图是：
，
故答案为：B.
【分析】根据从左面看到的几何图形是左视图解答即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：41.52亿=4152000000=4.152×109.
故选： B.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 故选项不符合题意；
故选项不符合题意；
故选项符合题意；
故选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方和合并同类项法则逐项判断即可.
5．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；方差；众数
【解析】【解答】解：A：抛掷质地均匀硬币时，“正面向上”是随机事件，∴抛掷100次不一定有50次“正面向上”，A错误；
B：方差越大，数据波动越大，成绩稳定性越差，已知 ∴乙的成绩比甲更稳定，B错误；
C：我国初三学生总体数量大，了解身高情况适合抽样调查，不需要采用全面调查，∴C错误；
D：众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据中7出现的次数最多，为3次，∴众数是7，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据概率的意义，方差的意义，调查的分类，中位数的定义逐项判断解答即可.
6．【答案】B
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：∵a的3倍可表示为 3a，∴a的3倍与b的差可表示为 3a-b，∴上述差的一半可表示为 则用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为
故答案为：B.
【分析】根据计算倍数，再计算差，最后计算差的一半，按顺序列代数式即可.
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： A.当x=3时， y=-3×3+5=-4≠0， ∴图象不过点(3，0)，A错误，不符合题意；
B. k=-3<0， ∴y随x的增大而减小， B错误，不符合题意；
C. y=3x的图象向上平移5个单位长度得到y=3x+5，不是y=-3x+5， C错误，不符合题意；
D. k=-3<0， b=5>0， ∴图象经过第一、二、四象限，D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征、增减性、图象平移规律和图象所在象限逐项判断解答即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到 再根据三角形内角和定理解答即可.
9．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵CD是⊙O的直径， ⊙O的弦 于点E，
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得 由弧与圆心角之间的关系可得 再由圆周角定理可得答案.
10．【答案】C
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，
c=a+2，b=a+14，d=a+16，
=4a-2(a+14)+3(a+2)+m(a+16)
=4a-2a-28+3a+6+ma+16m
=(4-2+3+m)a+(-28+6+16m)
=(5+m)a+(-22+16m)，
∵代数式4a-2b+3c+md为定值，
解得m=-5，
故选： C.
【分析】根据日历表示出各字母的值得到c=a+2，b=a+14，d=a+16，然后代入代数式，根据不含项的系数为0解答即可.
11．【答案】x≠2026
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x-2026≠0，
解得x≠2026.
故答案为：x≠2026.
【分析】根据分式的分母不为0解答即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】，
故答案为.
【分析】首先提公因式a，再利用平方差公式即可解得答案。
13．【答案】960
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意得，抽取的150名学生中，至少参加三项
趣味数学项目学生的频率为：
因此估计该校全体学生中至少参加三项趣味数学项
目的学生人数为：1200×0.8=960，
故答案为： 960.
【分析】先计算抽取的样本中至少参加三项趣味数学项目学生的频率，再用全校总人数1200乘以该频率解答即可.
14．【答案】24π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π 4=8π，
∴圆锥的侧面积=
故答案为： 24π.
【分析】先计算底面圆的周长，再根据扇形的面积公式： (l为弧长)解答即可.
15．【答案】12
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】∵任何一个正边形的外角和都为
故答案为：12.
【分析】用多边形的外角和360°除以一个外角的度数得到边数解答即可.
16．【答案】或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
是等腰直角三角形，
将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形，
∴三角形BPQ可视为 绕着点B逆时针旋转得到的，
由勾股定理得：
由旋转性质得：
当点Q在线段PD上，如图1所示；
则
点Q在线段DP的延长线上，如图2所示；
综上，DQ的长为 或
故答案为：或.
【分析】分为点Q在线段PD上；点Q在线段DP的延长线上两种情况，利用正方形的性质得到△BOC是等腰直角三角形，再根据旋转的性质和勾股定理求出PD长，再根据线段的和差解答即可.
17．【答案】解：原式
=3
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算算术平方根、绝对值和零指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
18．【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后合并化简，再代入x和y的值计算即可.
19．【答案】（1）证明：连接FG，EG，
由作图知，BE=BF，FG=EG，
在△BEG与△BFG中
∴△BEG≌△BFG(SSS)，
∴∠FBG=∠EBG，
∴BD平分∠ABC
（2）解：过点 D作DH⊥AB交AB 于点 H.
∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=180°-90°-60°=30°，
∵BD平分∠ABC，
在 Rt△DCB中，
在Rt△ACB中，∠A=30°，∴AB=2BC=，
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】(1)连接FG，EG，根据角平分线的尺规作图，利用SSS得到△BEG≌△BFG，根据对应角相等得到∠FBG=∠EBG，证明结论即可；
(2)过点 D作DH⊥AB交AB 于点 H，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出 和 的度数；再在 和 中，利用解直角三角形求出BC、AB的长度，最后根据 三角形的面积公式计算即可.
20．【答案】（1）50；8
（2）
（3）解：列表法如下：
　 男 1 男2 男3 女
男 1 \ 男 1、男 2 男1、男3 男1、女
男 2 男2、男1 \ 男2、男3 男2、女
男 3 男3、男1 男3、男 2 \ 男3、女
女 女、男1 女、男2 女、男3 \
由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到 1名男生和1 名女生的情况有6种， 即恰好抽到1名男生和一名女生的概率是 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）初三(1)班的学生人数为5÷10%=50(人)，
射中3次的比例为4÷50=8%，所以m=8.
故答案为：50，8；
（2）扇形统计图中“1 次”的比例为 10÷50=20%，
对应的圆心角的度数为：
故答案为：72°.
【分析】(1)根据射中0次的人数除以占比求出总人数，再用射中3次的人数除以总人数求出m的值；
(2)用射中“1次”的人数的占比×360°解答即可；
(3)列表得出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式解答即可.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)
（2）解：四边形 BEDF 是菱形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，OE=OA-AE，OF=OC-CF，
∴OE=OF，
∵OB=OD，OE=OF，
∴四边形 BEDF是平行四边形.
又∵∠FEB=∠EFB，
∴EB=FB，
∴四边形 BEDF是菱形.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD， 即可得到OE=OF，进而得到四边形BEDF是平行四边形，再证明EB=FB即可得到结论.
22．【答案】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人(6-m)台.
依题意，得 解得2≤m≤4.
设6台机器人每天服务客人的人数为w，
则w=200m+150(6-m)=50m+900.
∵50>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=4时，w取得最大值，此时w=50×4+900=1 100，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据“ 购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元 ”列方程组解答即可；
(2)设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人(6-m)台，根据题意求出m的范围，设6台机器人每天服务客人的人数为w，即可得到w关于m的一次函数，根据函数的增减性解答即可.
23．【答案】（1）解：∵在Rt△AMN中，AM=60，∠NAM=60°
∴MN=AM·tan∠NAM=60米，
故该攀登难点 N的高度为米
（2）解：如图，过B作BD⊥AC交AC 于点D，BE⊥MN交MN 于点E，
又MN⊥MC，∴四边形 BDME 是矩形.
∴EM=BD，BE=MD，
设BD=x，则EM=BD=x，
∵在 Rt△ABD中，
∴AD=3x，MD=AM+AD=60+3x，
∵在 Rt△NBE中，∠NBE=45°，∴NE=BE，
又
解得
故观察点 B 的铅直高度为( 米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△AMN中，根据正切的定义解答即可；
（2）过B作BD⊥AC交AC 于点D，BE⊥MN交MN 于点E，即可得到四边形 BDME 是矩形，设BD=x，然后在Rt△ABD和Rt△NBE中利用正切的定义求出AD和NE长，然后根据BE=DE列方程求出x的值解答即可.
24．【答案】（1）2；3或-3
（2）解：∵反比例函数 ，
∴在 时，反比例函数随x的增大而减小，
∴最大值 最小值
，解得
∵函数是“p-拉伸函数”，即k=p，
又
∴-2=2026
（3）解：二次函数 开口向下，对称轴为
分情况讨论：
当d<-1时，对称轴在 的左侧，在 时，y随x的增大而减小，
又
当 时，对称轴在 内，最大值在顶点x=d处，
若 最小值在x=3，得 范围为
若 最小值在x=-1，得 范围为2
时，
当d>3时，对称轴在 右侧，在 内函数y随x的增大而增大，
又
综上，合并所有情况得
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【解答】解：(1)根据定义：n-m=k(b-a)，其中n是y的最大值，m是y的最小值.
y随x增大而增大，
∴当x=0时，y取最小值；当x=4时，y取最大值；
代入定义得：5-(-3)=4k，解得k=2.
分两种情况：
当c>0时，y递增，n-m=(3c+2)-2=3c=9，解得c=3；
当c<0时，y递减，n-m=2-(3c+2)=-3c=9，得c=-3；因此c=±3.
故答案为：2，3或-3；
【分析】(1)①因根据一次函数的增减性，求出 时y的取值范围，再代入n-m=k(b-a)计算k的值.
②因分a>0和a<0两种情况，分别求出时y的取值范围，再代入 求解a的值.
(2)因为p>0且0(3)先确定二次函数的对称轴为x=d，然后分为d<-1，，d>3三种情况，当 时，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值，然后根据“k-拉伸函数”解答即可.
25．【答案】（1）证明：∵点A 为劣弧BC 的中点，
∴∠ABG=∠AEB，
又∵∠GAB=∠BAE，
∴△ABG∽△AEB.
（2）解：如图1，连接CO.
∴OA⊥BC，BD=CD=4，
∵⊙O半径为5，
∴AD=2，
即
设AG=2m，AE=5m，
∵△ABG∽△AEB，
(负值舍去)，
∴在 Rt△ADG中，
∴∠AGD=45°，
∵∠ECP+∠ECA=180°，∠ECA+∠EBA=180°，
∴∠ECP=∠EBA=∠DGA，
∴∠ECP=45°
（3）解：①由(2)得∠ECP=∠EBA=∠DGA，
且两三角形同高，
设AG= ax，AE=a，
由(2)得
②如图2，过点 M 作MT⊥BC 于T，
∵AO⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DM⊥AE，OA⊥BC，
∴∠ADM=∠AGD，
由(1)知△ABG∽△AEB，∴∠AGD=∠AGB=∠ABE，
∴∠ADM=∠ABE=∠ABQ，
∴△ADM∽△ABQ.
又
又
设MT=n，CT=2n，
(负值舍去)，
∵四边形ABEC是圆内接四边形，
∴∠ECP=∠ABE，
∵MT∥AF.
∴∠TMD=∠ADM，
∵∠ADM=∠ABE，
∴∠TMD=∠ABE，
代入
解得
经检验 是原方程的根，
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据等弧所对的圆周角是直角得到∠ABG=∠AEB，再由∠GAB=∠BAE即可证明两三角形全等；
(2)连接CO，根据垂径定理的推论可得OA⊥BC， BD=CD=4， 然后根据勾股定理求出OD和AC长，根据面积比设AG=2m， AE=5m，利用（1）中的△ABG∽△AEB，即可根据对应边成比例求出AG长，再在Rt△ADG中根据正切的定义得到∠AGD=45°，解答即可；
(3)①设AG= ax， AE=a，由(2)得 即可得到 根据勾股定理求出 再根据正切的定义解答即可；
②过点M作于T，根据两角对应相等得到根据面积比等于相似比的平分进而推理得到可得 求出AM和MC的长， 设MT=n，CT=2n，根据勾股定理求出n的值即可得到MT，CT的值，然后证明 利用正切的定义解答即可.
1 / 1湖南省长沙市一中集团2026年中考数学一模试卷（3月）
1．2026年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年.为持续开展高原气候变化研究，我国科考队员再次向世界之巅进发.科考队从海拔5 200米的珠峰大本营出发，如果向上(往峰顶方向)攀登200 米记作+200米，那么完成任务后，他们向下(往返回方向)行走150米应记作（　　）
A．-150米 B．+150米 C．-200米 D．+200米
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：向上攀登200米记作+200米，则向下行走150米应记作-150米.
故答案为：A.
【分析】规定向上攀登记为正数，则向下行走即为负数，据此解答即可.
2．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业.如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱(如图2)，其示意图的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该建筑主体是一个正六棱柱，其示意图的左视图是：
，
故答案为：B.
【分析】根据从左面看到的几何图形是左视图解答即可.
3．截至 2025 年 12 月 30 日，《疯狂动物城 2》的全球总票房约为4 152 000 000元，数“4 152 000 000”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：41.52亿=4152000000=4.152×109.
故选： B.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 故选项不符合题意；
故选项不符合题意；
故选项符合题意；
故选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的乘除法、积的乘方和合并同类项法则逐项判断即可.
5．下列说法正确的是（　　）
A．抛掷质地均匀的硬币100次，一定有50次“正面向上”
B．甲、乙进行排球练习，其成绩的平均数相等，方差 则甲比乙成绩更稳定
C．为了解我国初三学生的身高情况，应采取全面调查的方式
D．数据0，0，7，7，9，5，2，7的众数是7
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；方差；众数
【解析】【解答】解：A：抛掷质地均匀硬币时，“正面向上”是随机事件，∴抛掷100次不一定有50次“正面向上”，A错误；
B：方差越大，数据波动越大，成绩稳定性越差，已知 ∴乙的成绩比甲更稳定，B错误；
C：我国初三学生总体数量大，了解身高情况适合抽样调查，不需要采用全面调查，∴C错误；
D：众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据中7出现的次数最多，为3次，∴众数是7，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据概率的意义，方差的意义，调查的分类，中位数的定义逐项判断解答即可.
6．用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：∵a的3倍可表示为 3a，∴a的3倍与b的差可表示为 3a-b，∴上述差的一半可表示为 则用代数式表示“a的3倍与b的差的一半”为
故答案为：B.
【分析】根据计算倍数，再计算差，最后计算差的一半，按顺序列代数式即可.
7．关于一次函数y=-3x+5，下列说法正确的是（　　）
A．图象过点(3，0)
B．y随着x的增大而增大
C．其图象可由 y=3x的图象向上平移5个单位长度得到
D．图象经过第一、二、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： A.当x=3时， y=-3×3+5=-4≠0， ∴图象不过点(3，0)，A错误，不符合题意；
B. k=-3<0， ∴y随x的增大而减小， B错误，不符合题意；
C. y=3x的图象向上平移5个单位长度得到y=3x+5，不是y=-3x+5， C错误，不符合题意；
D. k=-3<0， b=5>0， ∴图象经过第一、二、四象限，D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征、增减性、图象平移规律和图象所在象限逐项判断解答即可.
8．如图，直线a∥b，∠1=50°，∠3=100°，则∠2的度数为（　　）
A．20° B．30° C．80° D．100°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等得到 再根据三角形内角和定理解答即可.
9．如图，已知CD是⊙O的直径，⊙O的弦AB⊥CD于点E，若∠AOD=62°，则∠DCB的度数为（　　）
A．31° B．28° C．62° D．60°
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解： ∵CD是⊙O的直径， ⊙O的弦 于点E，
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得 由弧与圆心角之间的关系可得 再由圆周角定理可得答案.
10．图1是2026年1月份的日历，用图2所示的“九宫格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为a，b，c，d.当图2在图1的不同位置时，代数式4a-2b+3c+md为定值，则m的值为（　　）
A．-4 B．5 C．-5 D．8
【答案】C
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，
c=a+2，b=a+14，d=a+16，
=4a-2(a+14)+3(a+2)+m(a+16)
=4a-2a-28+3a+6+ma+16m
=(4-2+3+m)a+(-28+6+16m)
=(5+m)a+(-22+16m)，
∵代数式4a-2b+3c+md为定值，
解得m=-5，
故选： C.
【分析】根据日历表示出各字母的值得到c=a+2，b=a+14，d=a+16，然后代入代数式，根据不含项的系数为0解答即可.
11．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】x≠2026
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x-2026≠0，
解得x≠2026.
故答案为：x≠2026.
【分析】根据分式的分母不为0解答即可.
12． 分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】，
故答案为.
【分析】首先提公因式a，再利用平方差公式即可解得答案。
13．为了解某校学生参与“数学趣味运动周”活动的情况，从该校全校1 200名学生中，随机抽取了150名学生进行调查，结果显示有120名学生表示至少参加了三项趣味数学项目.根据这个调查结果，估计该校全体学生中至少参加了三项趣味数学项目的学生有　 　名.
【答案】960
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意得，抽取的150名学生中，至少参加三项
趣味数学项目学生的频率为：
因此估计该校全体学生中至少参加三项趣味数学项
目的学生人数为：1200×0.8=960，
故答案为： 960.
【分析】先计算抽取的样本中至少参加三项趣味数学项目学生的频率，再用全校总人数1200乘以该频率解答即可.
14．已知圆锥的底面半径为4 cm，母线长为6 cm，则此圆锥的侧面积为　 　cm2(结果保留π).
【答案】24π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π 4=8π，
∴圆锥的侧面积=
故答案为： 24π.
【分析】先计算底面圆的周长，再根据扇形的面积公式： (l为弧长)解答即可.
15．已知一个正多边形的每一个外角为 30°，则这个多边形的边数为　 　.
【答案】12
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】∵任何一个正边形的外角和都为
故答案为：12.
【分析】用多边形的外角和360°除以一个外角的度数得到边数解答即可.
16．小明在数学活动课上制作了两张卡片：一张是正方形ABCD，其中点 O是正方形对角线的交点，另一张是等腰直角三角形 BPQ，且 BQ=BC=4.他将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点 B 处，然后绕着点 B 逆时针旋转三角形.当他旋转到某个角度时，发现三角形卡片的另外两个顶点 P，Q与正方形的一个顶点 D 恰好三点共线.此时 DQ的长度为　 　.
【答案】或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
是等腰直角三角形，
将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形，
∴三角形BPQ可视为 绕着点B逆时针旋转得到的，
由勾股定理得：
由旋转性质得：
当点Q在线段PD上，如图1所示；
则
点Q在线段DP的延长线上，如图2所示；
综上，DQ的长为 或
故答案为：或.
【分析】分为点Q在线段PD上；点Q在线段DP的延长线上两种情况，利用正方形的性质得到△BOC是等腰直角三角形，再根据旋转的性质和勾股定理求出PD长，再根据线段的和差解答即可.
17．计算：
【答案】解：原式
=3
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算算术平方根、绝对值和零指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解答即可.
18．先化简，再求值：其中x=2，y=
【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后合并化简，再代入x和y的值计算即可.
19．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，以点 B 为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边 AB，BC于点E，F，再分别以点 E，F为圆心，以大于 EF的长为半径画圆弧，两弧相交于点G，连接BG并延长交AC 于点D.
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若CD=1，求△ABD的面积.
【答案】（1）证明：连接FG，EG，
由作图知，BE=BF，FG=EG，
在△BEG与△BFG中
∴△BEG≌△BFG(SSS)，
∴∠FBG=∠EBG，
∴BD平分∠ABC
（2）解：过点 D作DH⊥AB交AB 于点 H.
∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=180°-90°-60°=30°，
∵BD平分∠ABC，
在 Rt△DCB中，
在Rt△ACB中，∠A=30°，∴AB=2BC=，
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】(1)连接FG，EG，根据角平分线的尺规作图，利用SSS得到△BEG≌△BFG，根据对应角相等得到∠FBG=∠EBG，证明结论即可；
(2)过点 D作DH⊥AB交AB 于点 H，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出 和 的度数；再在 和 中，利用解直角三角形求出BC、AB的长度，最后根据 三角形的面积公式计算即可.
20．2026年湘超联赛即将开幕，卫冕冠军永州队在去年决赛中勇夺冠军，他们“永不言弃、勇往直前”的“永冲锋”精神，正激励着三湘大地的足球少年.为增强学生足球技能，某中学组织学生进行定点射门训练，规定每人射门3次，现对初三(1)班的学生射中的次数进行统计，绘制成如下两幅统计图，根据图中信息，回答下列问题：
（1）初三(1)班总人数为　 　人， m=　 　；
（2）射中“1次”对应的扇形圆心角为　 　；
（3）在定点射门射中“3次”的3名男生和1名女生中，抽调两名学生参加学校足球比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名女生和1名男生的概率.
【答案】（1）50；8
（2）
（3）解：列表法如下：
　 男 1 男2 男3 女
男 1 \ 男 1、男 2 男1、男3 男1、女
男 2 男2、男1 \ 男2、男3 男2、女
男 3 男3、男1 男3、男 2 \ 男3、女
女 女、男1 女、男2 女、男3 \
由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到 1名男生和1 名女生的情况有6种， 即恰好抽到1名男生和一名女生的概率是 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）初三(1)班的学生人数为5÷10%=50(人)，
射中3次的比例为4÷50=8%，所以m=8.
故答案为：50，8；
（2）扇形统计图中“1 次”的比例为 10÷50=20%，
对应的圆心角的度数为：
故答案为：72°.
【分析】(1)根据射中0次的人数除以占比求出总人数，再用射中3次的人数除以总人数求出m的值；
(2)用射中“1次”的人数的占比×360°解答即可；
(3)列表得出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式解答即可.
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD 交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF，连接BE，BF，DF，DE.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠FEB=∠EFB，判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)
（2）解：四边形 BEDF 是菱形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，OE=OA-AE，OF=OC-CF，
∴OE=OF，
∵OB=OD，OE=OF，
∴四边形 BEDF是平行四边形.
又∵∠FEB=∠EFB，
∴EB=FB，
∴四边形 BEDF是菱形.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用SAS证明两三角形全等即可；
（2）根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD， 即可得到OE=OF，进而得到四边形BEDF是平行四边形，再证明EB=FB即可得到结论.
22．在 2026 年春晚舞台，宇树科技的G1 与 H2 两款机器人表演《武 BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相.某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务，决定购买机器人来代替部分人工服务.已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元.
（1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元
（2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大
【答案】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人(6-m)台.
依题意，得 解得2≤m≤4.
设6台机器人每天服务客人的人数为w，
则w=200m+150(6-m)=50m+900.
∵50>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=4时，w取得最大值，此时w=50×4+900=1 100，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据“ 购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元 ”列方程组解答即可；
(2)设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人(6-m)台，根据题意求出m的范围，设6台机器人每天服务客人的人数为w，即可得到w关于m的一次函数，根据函数的增减性解答即可.
23．2026年1月25 日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德(AlexHonnold)成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人.亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点.在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点 N，他在距离楼底60米的A处观察(即AM=60米)，用测倾器测得攀登难点 N的仰角为60°，然后沿斜坡向上走到 B 处观察，测得攀登难点 N 的仰角为45°.已知点A，C，M在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为1：3(即 测倾器高度忽略不计.
（1）求攀登难点 N的高度(即 MN的长)；
（2）求观察点 B 的铅直高度(结果保留根号).
【答案】（1）解：∵在Rt△AMN中，AM=60，∠NAM=60°
∴MN=AM·tan∠NAM=60米，
故该攀登难点 N的高度为米
（2）解：如图，过B作BD⊥AC交AC 于点D，BE⊥MN交MN 于点E，
又MN⊥MC，∴四边形 BDME 是矩形.
∴EM=BD，BE=MD，
设BD=x，则EM=BD=x，
∵在 Rt△ABD中，
∴AD=3x，MD=AM+AD=60+3x，
∵在 Rt△NBE中，∠NBE=45°，∴NE=BE，
又
解得
故观察点 B 的铅直高度为( 米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△AMN中，根据正切的定义解答即可；
（2）过B作BD⊥AC交AC 于点D，BE⊥MN交MN 于点E，即可得到四边形 BDME 是矩形，设BD=x，然后在Rt△ABD和Rt△NBE中利用正切的定义求出AD和NE长，然后根据BE=DE列方程求出x的值解答即可.
24．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当 函数值y的取值范围为 且满足n-m=k(b-a)，则称此函数为“k-拉伸函数”.
例如：正比例函数y=-2x，当时，则-2-解得k=2，所以函数y=-2x为“2-拉伸函数”.
（1）①一次函数 为“k-拉伸函数”，则 k的值为　 　；
②若一次函数 为“3-拉伸函数”，则a的值为　 　
（2）反比例函数 是“p-拉伸函数”，且 请求出 的值；
（3）已知二次函数 当 时，y= 是“k-拉伸函数”，求 k的取值范围.
【答案】（1）2；3或-3
（2）解：∵反比例函数 ，
∴在 时，反比例函数随x的增大而减小，
∴最大值 最小值
，解得
∵函数是“p-拉伸函数”，即k=p，
又
∴-2=2026
（3）解：二次函数 开口向下，对称轴为
分情况讨论：
当d<-1时，对称轴在 的左侧，在 时，y随x的增大而减小，
又
当 时，对称轴在 内，最大值在顶点x=d处，
若 最小值在x=3，得 范围为
若 最小值在x=-1，得 范围为2
时，
当d>3时，对称轴在 右侧，在 内函数y随x的增大而增大，
又
综上，合并所有情况得
【知识点】反比例函数的性质；二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【解答】解：(1)根据定义：n-m=k(b-a)，其中n是y的最大值，m是y的最小值.
y随x增大而增大，
∴当x=0时，y取最小值；当x=4时，y取最大值；
代入定义得：5-(-3)=4k，解得k=2.
分两种情况：
当c>0时，y递增，n-m=(3c+2)-2=3c=9，解得c=3；
当c<0时，y递减，n-m=2-(3c+2)=-3c=9，得c=-3；因此c=±3.
故答案为：2，3或-3；
【分析】(1)①因根据一次函数的增减性，求出 时y的取值范围，再代入n-m=k(b-a)计算k的值.
②因分a>0和a<0两种情况，分别求出时y的取值范围，再代入 求解a的值.
(2)因为p>0且0(3)先确定二次函数的对称轴为x=d，然后分为d<-1，，d>3三种情况，当 时，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值，然后根据“k-拉伸函数”解答即可.
25．如图1， 是⊙O的内接三角形，点A 为劣弧BC 的中点，直径AF=10，弦BC=8，点 P 为射线AC上一点，点E 为弧CF 上一动点，AF与BC交于点D，连接AE，CE，BE，BC与AE 交于点G.
（1）求证：
（2）若，求∠ECP 的度数；
（3）设，且
①求 y关于x的函数关系式(不需写自变量取值范围)；
②如图2，若AF与BE 交于点Q，作 于点H，交AC于点M，当 时，求x的值.
【答案】（1）证明：∵点A 为劣弧BC 的中点，
∴∠ABG=∠AEB，
又∵∠GAB=∠BAE，
∴△ABG∽△AEB.
（2）解：如图1，连接CO.
∴OA⊥BC，BD=CD=4，
∵⊙O半径为5，
∴AD=2，
即
设AG=2m，AE=5m，
∵△ABG∽△AEB，
(负值舍去)，
∴在 Rt△ADG中，
∴∠AGD=45°，
∵∠ECP+∠ECA=180°，∠ECA+∠EBA=180°，
∴∠ECP=∠EBA=∠DGA，
∴∠ECP=45°
（3）解：①由(2)得∠ECP=∠EBA=∠DGA，
且两三角形同高，
设AG= ax，AE=a，
由(2)得
②如图2，过点 M 作MT⊥BC 于T，
∵AO⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DM⊥AE，OA⊥BC，
∴∠ADM=∠AGD，
由(1)知△ABG∽△AEB，∴∠AGD=∠AGB=∠ABE，
∴∠ADM=∠ABE=∠ABQ，
∴△ADM∽△ABQ.
又
又
设MT=n，CT=2n，
(负值舍去)，
∵四边形ABEC是圆内接四边形，
∴∠ECP=∠ABE，
∵MT∥AF.
∴∠TMD=∠ADM，
∵∠ADM=∠ABE，
∴∠TMD=∠ABE，
代入
解得
经检验 是原方程的根，
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)根据等弧所对的圆周角是直角得到∠ABG=∠AEB，再由∠GAB=∠BAE即可证明两三角形全等；
(2)连接CO，根据垂径定理的推论可得OA⊥BC， BD=CD=4， 然后根据勾股定理求出OD和AC长，根据面积比设AG=2m， AE=5m，利用（1）中的△ABG∽△AEB，即可根据对应边成比例求出AG长，再在Rt△ADG中根据正切的定义得到∠AGD=45°，解答即可；
(3)①设AG= ax， AE=a，由(2)得 即可得到 根据勾股定理求出 再根据正切的定义解答即可；
②过点M作于T，根据两角对应相等得到根据面积比等于相似比的平分进而推理得到可得 求出AM和MC的长， 设MT=n，CT=2n，根据勾股定理求出n的值即可得到MT，CT的值，然后证明 利用正切的定义解答即可.
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