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湖南省张家界市桑植县2026年数学中考一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．湘超比赛正在如火如荼举行，如果某城市足球队胜三场记作+3分，那么该队败2场应记作（　　）
A．-3分 B．+2分 C．-2分 D．-1分
2．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数.下列说法正确的是（　　）
A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为奇数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件
3．下列运算结果为m5的是（　　）
A．m×5 B．（m2）3 C．m2+m3 D．m2 m3
4．下列属于轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．圆形 B．正方形 C．正三角形 D．菱形
5．长沙素有“工程机械之都”之美名，某著名机械企业2025年半年度报告显示，公司上半年实现营业收入248.55亿元，248.55亿用科学记数法表示为（　　）
A．248.55×108 B．2.4855×108
C．2.4855×109 D．2.4855×1010
6．如图，⊙O的直径AB=10m，弦CD⊥AB于E，CD=8m，则AE的长为（　　）
A．9m B．8m C．7m D．6m
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC
8．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的 过程中，得到△ACD≌△BEF 的依据是（　　）．
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
9．如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心，OA为半径的弧，已知OA=AB=9cm，则AB的长是（　　）
A．18πcm B．12πcm C．6πcm D．3πcm
10．如图，已知∠A=∠ABC=90°，AB=5，BC=2，AD=1，点E为AB所在直线上的动点.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，EC，CF.给出下列结论：①∠DEF=45°；②EC最小值是2；③FC最小值为；④EC-ED的最大值是.其中所有正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．化简： 　 　．
12．为了解某市80000名初三学生的体重情况，抽查了其中2000名学生的体重进行统计分析，其中1900名学生体重数据达标，则样本容量为　 　.
13．如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是　 　°．
14．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC=30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=22°，则∠2的度数是　 　.
15．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线l2：y=kx+3相交于点A（2，1），则关于x，y的方程组的解为　 　.
16．我们定义“正整数迭代生成体系”如下：对于任意正整数m，构造“m-迭代数列{an}”，生成规则为：
⑴初始项a1=m；
⑵当n≥2时，若前一项为奇数时，则an=3an-1+1，若前一项为偶数时，则；
⑶当数列中首次出现数字1时，停止迭代.称迭代停止前的所有项（含初始项a1，不含数字1）构成“前置序列”，前置序列的项数记为L（m），前置序列中所有项的和记为S（m）.
根据上述定义，下列说法正确的是　 　 .
①当m=5时，L（5）=5；
②当m=5时，S（m）=21；
③存在正整数m，使得L（m）=3；
④对于任意正整数m，S（m）必为奇数.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：.
18．先化简，再求值：（x+1）2-x（x-1），其中x=.
19．如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF，过点C作CG⊥DF于点G.
（1）求证：△ADF≌△DCG；
（2）若正方形ABCD的边长为6，BE=2，求CG的长.
20．湖南乡村振兴项目中，种植3亩水稻和4亩蔬菜共需投入18000元，种植5亩水稻和2亩蔬菜共需投入16000元，某农场计划种植水稻和蔬菜共300亩，总投入不超过80万元.
（1）求种植每亩水稻和蔬菜分别需要投入多少元？
（2）若水稻每亩利润为800元，蔬菜每亩利润为1200元，求该农场最多可获得多少利润？
21．为庆祝世界反法西斯战争胜利80周年，某校开展了以“铭记历史，砥砺前行”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如图不完整的统计图表.请结合统计图表，解答下列问题：
等级 成绩x/分
A 50≤x＜60
B 60≤x＜70
C 70≤x＜80
D 80≤x＜90
E 90≤x≤100
（1）本次调查一共随机抽取了　 　名学生的成绩，频数分布直方图中m=　 　；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在　 　等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
22．如图①是长沙市标志性建筑IFS大楼.其设计灵感来自湖南张家界的奇峰异石，裙楼部分体现水的元素，彰显湖湘文化特色，双子塔楼远望如同并肩而立的山峰，顶部有精美的雕塑作品，是游客们打卡的热门景点.如图②是某学习小组测量楼高的数据，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点，且AB⊥BD，在点D处测得∠CAG=60°后，向前走了330m到达点F处，测得∠EAG=45°，其中CD=EF=GB=2m（测角仪的高度），求IFS大楼的高度AB（结果精确到0.1m）.（参考数据：）
23．定义：P（x，y）与Q（y，x）为“对偶点”，对于函数y=f（x），若至少有一组对偶点在其图象上，且x≠y，则称该函数为“湖湘对偶函数”.
（1）判断函数y=2x+1是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”；
（2）若二次函数y=x2+mx+n是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）；
（3）已知二次函数y=-x2+4x+k的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点H（9，2）的“对偶点”在函数图象上，点P是函数图象上一动点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求点P的坐标.
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F，G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB=AC，BG=DG.
（1）请直接写出∠ABC与∠DBE，∠E的数量关系：　 　；
（2）求证：AH2=HF2+HF FC；
（3）若，AD=2DE，，求△AGH的周长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果某城市足球队胜三场记作分，那么该队败2场应记作分．
故答案为：C.
【分析】规定胜场为正，那么败场为负，据此解答即可．
2．【答案】A
【知识点】事件的分类；概率公式
【解析】【解答】解：掷质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数共有6种等可能的结果，而点数为6的结果只有1种，
∴出现点数为6的概率为，A选项正确，符合题意；
∵骰子的点数为1到6，不存在点数0，
∴出现点数为0是不可能事件，B选项错误；
∵向上一面的点数可能为奇数，也可能为偶数，
∴出现点数为奇数是随机事件，既不是必然事件，也不是不可能事件，因此C、D选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据概率公式判断A选项，然后根据事件的分类判断B，C，D选项即可．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A．，，∴A不符合要求；
B．根据幂的乘方法则，，，∴B不符合要求；
C．与不是同类项，无法合并，∴C不符合要求；
D．根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，符合要求．
故答案为：D.
【分析】根据乘法、幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则逐项判断解答即可．
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据“在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形”逐项判断解答即可．
5．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：248.55亿用科学记数法表示为．
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
是的直径，弦于E，，
，
在，，，，
，
．
故答案为：B.
【分析】连接，根据垂径定理可得，根据勾股定理求出，然后根据线段的和差解答即可．
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：A不符合题意；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：B不符合题意；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：C不符合题意；
∵AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故答案为：D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的定义，平行四边形的判定定理两个角度思考判断即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据作图依据可得AC=BE，AD=BF，CD=EF，
∠MBN＝∠PAQ(SSS)，
故答案为：B.
【分析】根据作图依据得到AC=BE，AD=BF，CD=EF，从而求解.
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：，
为等边三角形，
∴，
的长．
故答案为：D.
【分析】根先得到为等边三角形，即可得到，再利用弧长公式计算即可．
10．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，，，因此是等腰直角三角形，故，①正确，
由题意，，根据“垂线段最短”，当点E与点B重合时，，即的最小值为2，②正确．
当点E和点A重合时，由勾股定理得，，③错误．
当E，D，C三点不共线时，根据三角形三边关系，，当E在的延长线上时，，④正确；
综上正确的有①②④．
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质得到是等腰直角三角形判断①；根据“垂线段最短”可知的最小值为2判断②；当点E和点A重合时，根据勾股定理求出FC的长，判断③；根据三角形三边关系的应用可得当E在的延长线上时，EC-ED=DC，再根据勾股定理求出DC长判断④解答即可．
11．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式= =3 .
故答案为： 3 .
【分析】直接逆用二次根式的乘法公式进行化简即可；
12．【答案】2000
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵本次调查中抽查的样本是2000名学生的体重，
∴样本容量为2000．
故答案为：2000.
【分析】根据样本容量的定义“抽取样本的数量即为样本容量”解答即可．
13．【答案】540
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个五边形的内角和是，
故答案为：．
【分析】根据多边形内角和公式(n-2)×180°计算即可．
14．【答案】52°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴
∵
∴．
故答案为：52°.
【分析】先根据角的和差求出的度数，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可．
15．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：根据题意，
∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1），
∴方程组的解为；
故答案为：．
【分析】根据两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解解答即可．
16．【答案】①③
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：对于①②：当时，（奇数）（偶数）（偶数）（偶数）（偶数）（停止迭代），前置序列为，，，，，共项，
∴，，故①正确，②错误；
对于③：当时， （停止迭代）．前置序列为，，，共项，
∴，因此存在这样的正整数，故③正确；
对于④：由③可知，当时，前置序列为，，，
∴是偶数，与必为奇数矛盾，故④错误；
综上所述，正确的结论为①③．
故答案为：①③
【分析】根据新定义的运算法则得到可得时，前置序列为，，，，，求出L(m)和S(m)判断①②；时，前置序列为，，， 求出L(8)和S(8) 判断③④解答即可．
17．【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零指数次幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后相加减解答即可.
18．【答案】解：（x+1）2-x（x-1）
=x2+2x+1-x2+x
=3x+1
把x=代入，原式=3×+1=2．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式去括号展开，然后合并同类项化简，再代入x的值计算解答．
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，
∵DF⊥AE于点F，CG⊥DF于点G，
∴∠DFA=∠CGD=90°，
∴△CDG是直角三角形，
在Rt△CDG中，∠DCG+∠CDG=90°，
∵∠ADC=∠ADF+∠CDG=90°，
∴∠ADF=∠DCG，
在△ADF和△DCG中，
，
∴△ADF≌△DCG（AAS）
（2）解：正方形的边长为6，，，
．
连接，
∴．
，
，
解得．
由（1）得，
．

【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形可得，然后根据同角的余角相等得到，再由垂直得到，然后利用AAS得到两三角形全等即可；
（2）利用勾股定理求得．连接，根据△ADE的面积求出长，再根据全等三角形的对应边相等解答即可．
20．【答案】（1）解：设水稻每亩需要投入x元，蔬菜每亩需要投入y元，
由题意得
解得
答：水稻每亩需要投入2000元，蔬菜每亩需要投入3000元；
（2）解：设种植蔬菜m亩，则种植水稻亩，
由题意得：
解得．
利润
，
W随m增大而增大，当时，
（元）．
答：该农场最多可获得320000元利润．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设水稻每亩需要投入x元，蔬菜每亩需要投入y元，根据“ 种植3亩水稻和4亩蔬菜共需投入18000元，种植5亩水稻和2亩蔬菜共需投入16000元 ”列出二元一次方程组求解即可；
（2）设种植蔬菜m亩，则种植水稻亩，根据题意列一元一次不等式求出的取值范围，然后得到利润关于的一次函数关系式，再根据函数的增减性得到最大利润解答即可．
21．【答案】（1）200；16
（2）解： 补全频率分布直方图如图所示：
（3）C
（4）解：成绩80分以上的在D、E两等级中人数为：70+24=94人，占抽样的百分比为94÷200×100%=47%，
全校共有2000名学生，成绩优秀的学生有（人）．
答：全校2000名学生中，估计成绩优秀的学生有940人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）B等级人数40人，由扇形图可知B等级的百分比为20%，
∴本次调查一共随机抽取了40÷20%=200名学生的成绩，
C等级200×25%=50人，
∴m=200-40-50-70-24=16，
故答案为：200，16；
（3）频率分布直方图已将数据从小到大排序，一共抽查200个数据，根据中位数定义中位数位于第100，101两位置上成绩的平均数，16+40=56100，16+40+50=106101，
∴中位数在等级内；
故答案为：C
【分析】（1）利用B等级人数除以占比求出抽查学生总数，然后利用考查总数乘以C组的占比求出C组人数，再利用抽查人数-其它各组人数解答即可；
（2） 根据（1）中计算结果补全频率分布直方图即可；
（3）根据中位数定义解答即可；
（4）成绩80分以上的人数占比乘以学生总人数2000计算即可．
22．【答案】解：设，
，
．
，
．
，解得．
．
答：大楼的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设，根据正切的定义得到，，根据CG长列方程求出x的值，再根据线段的和差解答即可．
23．【答案】（1）解：“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且．
联立方程组
解得
此时，不满足．
故函数不是“湖湘对偶函数”．
（2）解：由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组
化简得．
因为，两边除以，化简得
代入，
整理为，
因为有唯一“对偶点”，所以该方程有唯一解，
故判别式，
所以；

（3）解：点的“对偶点”为，代入，
得，解得，
故函数解析式为．
令，得，
解得或．
故，，
所以．
令，得，故，
故，
由题意得．
设，则，得．
当时，，，无实根．
当时，，即，
解得，
所以点P的坐标为或．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-面积问题；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据“湖湘对偶函数”的定义得到方程组，求出x=y判断解答即可；
（2）由“湖湘对偶函数”定义得到，两式相减可得，进而求出，再代入函数解析式，整理为，然后根据根的判别式解答即可；
（3）求出点H的“对偶点”为，求出二次函数的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点坐标为，，，则，即可得到△ABC的面积，设，然后根据题意得到．求出的值，即可求出点P的坐标即可．
24．【答案】（1）∠ABC=∠DBE+∠E
（2）证明：∵BG=DG，
∴∠ABD=∠GDB．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ABC=∠ADB，
∵∠ADB=∠GDB+∠GDA，∠ABC=∠ABD+∠DBC，
∴∠DBE=∠GDA，
∵∠DBE=∠CAD，
∴∠CAD=∠GDA．
∴AH=HD．
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD=∠GDB．
∵∠CHD=∠DHF，
∴△CHD∽△DHF，
∴，
∴HD2=HC HF，
∴AH2=HF HC．
∵HC=HF+FC，
∴AH2=HF （HF+FC）=HF2+HF FC
（3）解：连接并延长交于点M，如图，
，
，
，，
．
设，则，，
．
，
设，则，
．
，，
，
，
，
，
，
，
，．
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
由（2）知，，
周长．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1），
．
，
，
．
，
；
故答案为：∠ABC=∠DBE+∠E；
【分析】（1）根据等边对等角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据三角形的外交解答即可 ．
（2）根据等边对等角和三角形的外角得到∠CHD=∠DHF，再根据∠DHF=∠CHD，即可得到，进而得到，然后根据∠CAD=∠GDA，即可得到，从而证明结论即可 ．
（3）连接并延长交于点M，根据正切的定义设，则，，求出AB长，设，则，求出AE=3a，根据两脚对应相等得到，然后根据对应边成比例求出k=a，再证明，根据对应边成比例求出CE=k，，然后求出△AGH的周长即可．
1 / 1湖南省张家界市桑植县2026年数学中考一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．湘超比赛正在如火如荼举行，如果某城市足球队胜三场记作+3分，那么该队败2场应记作（　　）
A．-3分 B．+2分 C．-2分 D．-1分
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果某城市足球队胜三场记作分，那么该队败2场应记作分．
故答案为：C.
【分析】规定胜场为正，那么败场为负，据此解答即可．
2．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数.下列说法正确的是（　　）
A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为奇数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件
【答案】A
【知识点】事件的分类；概率公式
【解析】【解答】解：掷质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数共有6种等可能的结果，而点数为6的结果只有1种，
∴出现点数为6的概率为，A选项正确，符合题意；
∵骰子的点数为1到6，不存在点数0，
∴出现点数为0是不可能事件，B选项错误；
∵向上一面的点数可能为奇数，也可能为偶数，
∴出现点数为奇数是随机事件，既不是必然事件，也不是不可能事件，因此C、D选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据概率公式判断A选项，然后根据事件的分类判断B，C，D选项即可．
3．下列运算结果为m5的是（　　）
A．m×5 B．（m2）3 C．m2+m3 D．m2 m3
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： A．，，∴A不符合要求；
B．根据幂的乘方法则，，，∴B不符合要求；
C．与不是同类项，无法合并，∴C不符合要求；
D．根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，符合要求．
故答案为：D.
【分析】根据乘法、幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则逐项判断解答即可．
4．下列属于轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．圆形 B．正方形 C．正三角形 D．菱形
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故答案为：C．
【分析】根据“在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形”逐项判断解答即可．
5．长沙素有“工程机械之都”之美名，某著名机械企业2025年半年度报告显示，公司上半年实现营业收入248.55亿元，248.55亿用科学记数法表示为（　　）
A．248.55×108 B．2.4855×108
C．2.4855×109 D．2.4855×1010
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：248.55亿用科学记数法表示为．
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
6．如图，⊙O的直径AB=10m，弦CD⊥AB于E，CD=8m，则AE的长为（　　）
A．9m B．8m C．7m D．6m
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
是的直径，弦于E，，
，
在，，，，
，
．
故答案为：B.
【分析】连接，根据垂径定理可得，根据勾股定理求出，然后根据线段的和差解答即可．
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：A不符合题意；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：B不符合题意；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：C不符合题意；
∵AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故答案为：D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的定义，平行四边形的判定定理两个角度思考判断即可.
8．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的 过程中，得到△ACD≌△BEF 的依据是（　　）．
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：根据作图依据可得AC=BE，AD=BF，CD=EF，
∠MBN＝∠PAQ(SSS)，
故答案为：B.
【分析】根据作图依据得到AC=BE，AD=BF，CD=EF，从而求解.
9．如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心，OA为半径的弧，已知OA=AB=9cm，则AB的长是（　　）
A．18πcm B．12πcm C．6πcm D．3πcm
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：，
为等边三角形，
∴，
的长．
故答案为：D.
【分析】根先得到为等边三角形，即可得到，再利用弧长公式计算即可．
10．如图，已知∠A=∠ABC=90°，AB=5，BC=2，AD=1，点E为AB所在直线上的动点.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，EC，CF.给出下列结论：①∠DEF=45°；②EC最小值是2；③FC最小值为；④EC-ED的最大值是.其中所有正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由旋转的性质得，，，因此是等腰直角三角形，故，①正确，
由题意，，根据“垂线段最短”，当点E与点B重合时，，即的最小值为2，②正确．
当点E和点A重合时，由勾股定理得，，③错误．
当E，D，C三点不共线时，根据三角形三边关系，，当E在的延长线上时，，④正确；
综上正确的有①②④．
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质得到是等腰直角三角形判断①；根据“垂线段最短”可知的最小值为2判断②；当点E和点A重合时，根据勾股定理求出FC的长，判断③；根据三角形三边关系的应用可得当E在的延长线上时，EC-ED=DC，再根据勾股定理求出DC长判断④解答即可．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．化简： 　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式= =3 .
故答案为： 3 .
【分析】直接逆用二次根式的乘法公式进行化简即可；
12．为了解某市80000名初三学生的体重情况，抽查了其中2000名学生的体重进行统计分析，其中1900名学生体重数据达标，则样本容量为　 　.
【答案】2000
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：∵本次调查中抽查的样本是2000名学生的体重，
∴样本容量为2000．
故答案为：2000.
【分析】根据样本容量的定义“抽取样本的数量即为样本容量”解答即可．
13．如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是　 　°．
【答案】540
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：这个五边形的内角和是，
故答案为：．
【分析】根据多边形内角和公式(n-2)×180°计算即可．
14．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC=30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=22°，则∠2的度数是　 　.
【答案】52°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴
∵
∴．
故答案为：52°.
【分析】先根据角的和差求出的度数，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可．
15．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线l2：y=kx+3相交于点A（2，1），则关于x，y的方程组的解为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：根据题意，
∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1），
∴方程组的解为；
故答案为：．
【分析】根据两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解解答即可．
16．我们定义“正整数迭代生成体系”如下：对于任意正整数m，构造“m-迭代数列{an}”，生成规则为：
⑴初始项a1=m；
⑵当n≥2时，若前一项为奇数时，则an=3an-1+1，若前一项为偶数时，则；
⑶当数列中首次出现数字1时，停止迭代.称迭代停止前的所有项（含初始项a1，不含数字1）构成“前置序列”，前置序列的项数记为L（m），前置序列中所有项的和记为S（m）.
根据上述定义，下列说法正确的是　 　 .
①当m=5时，L（5）=5；
②当m=5时，S（m）=21；
③存在正整数m，使得L（m）=3；
④对于任意正整数m，S（m）必为奇数.
【答案】①③
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：对于①②：当时，（奇数）（偶数）（偶数）（偶数）（偶数）（停止迭代），前置序列为，，，，，共项，
∴，，故①正确，②错误；
对于③：当时， （停止迭代）．前置序列为，，，共项，
∴，因此存在这样的正整数，故③正确；
对于④：由③可知，当时，前置序列为，，，
∴是偶数，与必为奇数矛盾，故④错误；
综上所述，正确的结论为①③．
故答案为：①③
【分析】根据新定义的运算法则得到可得时，前置序列为，，，，，求出L(m)和S(m)判断①②；时，前置序列为，，， 求出L(8)和S(8) 判断③④解答即可．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：.
【答案】解：
．

【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算零指数次幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后相加减解答即可.
18．先化简，再求值：（x+1）2-x（x-1），其中x=.
【答案】解：（x+1）2-x（x-1）
=x2+2x+1-x2+x
=3x+1
把x=代入，原式=3×+1=2．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式去括号展开，然后合并同类项化简，再代入x的值计算解答．
19．如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF，过点C作CG⊥DF于点G.
（1）求证：△ADF≌△DCG；
（2）若正方形ABCD的边长为6，BE=2，求CG的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，
∵DF⊥AE于点F，CG⊥DF于点G，
∴∠DFA=∠CGD=90°，
∴△CDG是直角三角形，
在Rt△CDG中，∠DCG+∠CDG=90°，
∵∠ADC=∠ADF+∠CDG=90°，
∴∠ADF=∠DCG，
在△ADF和△DCG中，
，
∴△ADF≌△DCG（AAS）
（2）解：正方形的边长为6，，，
．
连接，
∴．
，
，
解得．
由（1）得，
．

【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形可得，然后根据同角的余角相等得到，再由垂直得到，然后利用AAS得到两三角形全等即可；
（2）利用勾股定理求得．连接，根据△ADE的面积求出长，再根据全等三角形的对应边相等解答即可．
20．湖南乡村振兴项目中，种植3亩水稻和4亩蔬菜共需投入18000元，种植5亩水稻和2亩蔬菜共需投入16000元，某农场计划种植水稻和蔬菜共300亩，总投入不超过80万元.
（1）求种植每亩水稻和蔬菜分别需要投入多少元？
（2）若水稻每亩利润为800元，蔬菜每亩利润为1200元，求该农场最多可获得多少利润？
【答案】（1）解：设水稻每亩需要投入x元，蔬菜每亩需要投入y元，
由题意得
解得
答：水稻每亩需要投入2000元，蔬菜每亩需要投入3000元；
（2）解：设种植蔬菜m亩，则种植水稻亩，
由题意得：
解得．
利润
，
W随m增大而增大，当时，
（元）．
答：该农场最多可获得320000元利润．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设水稻每亩需要投入x元，蔬菜每亩需要投入y元，根据“ 种植3亩水稻和4亩蔬菜共需投入18000元，种植5亩水稻和2亩蔬菜共需投入16000元 ”列出二元一次方程组求解即可；
（2）设种植蔬菜m亩，则种植水稻亩，根据题意列一元一次不等式求出的取值范围，然后得到利润关于的一次函数关系式，再根据函数的增减性得到最大利润解答即可．
21．为庆祝世界反法西斯战争胜利80周年，某校开展了以“铭记历史，砥砺前行”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如图不完整的统计图表.请结合统计图表，解答下列问题：
等级 成绩x/分
A 50≤x＜60
B 60≤x＜70
C 70≤x＜80
D 80≤x＜90
E 90≤x≤100
（1）本次调查一共随机抽取了　 　名学生的成绩，频数分布直方图中m=　 　；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）所抽取学生成绩的中位数落在　 　等级；
（4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
【答案】（1）200；16
（2）解： 补全频率分布直方图如图所示：
（3）C
（4）解：成绩80分以上的在D、E两等级中人数为：70+24=94人，占抽样的百分比为94÷200×100%=47%，
全校共有2000名学生，成绩优秀的学生有（人）．
答：全校2000名学生中，估计成绩优秀的学生有940人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）B等级人数40人，由扇形图可知B等级的百分比为20%，
∴本次调查一共随机抽取了40÷20%=200名学生的成绩，
C等级200×25%=50人，
∴m=200-40-50-70-24=16，
故答案为：200，16；
（3）频率分布直方图已将数据从小到大排序，一共抽查200个数据，根据中位数定义中位数位于第100，101两位置上成绩的平均数，16+40=56100，16+40+50=106101，
∴中位数在等级内；
故答案为：C
【分析】（1）利用B等级人数除以占比求出抽查学生总数，然后利用考查总数乘以C组的占比求出C组人数，再利用抽查人数-其它各组人数解答即可；
（2） 根据（1）中计算结果补全频率分布直方图即可；
（3）根据中位数定义解答即可；
（4）成绩80分以上的人数占比乘以学生总人数2000计算即可．
22．如图①是长沙市标志性建筑IFS大楼.其设计灵感来自湖南张家界的奇峰异石，裙楼部分体现水的元素，彰显湖湘文化特色，双子塔楼远望如同并肩而立的山峰，顶部有精美的雕塑作品，是游客们打卡的热门景点.如图②是某学习小组测量楼高的数据，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点，且AB⊥BD，在点D处测得∠CAG=60°后，向前走了330m到达点F处，测得∠EAG=45°，其中CD=EF=GB=2m（测角仪的高度），求IFS大楼的高度AB（结果精确到0.1m）.（参考数据：）
【答案】解：设，
，
．
，
．
，解得．
．
答：大楼的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设，根据正切的定义得到，，根据CG长列方程求出x的值，再根据线段的和差解答即可．
23．定义：P（x，y）与Q（y，x）为“对偶点”，对于函数y=f（x），若至少有一组对偶点在其图象上，且x≠y，则称该函数为“湖湘对偶函数”.
（1）判断函数y=2x+1是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”；
（2）若二次函数y=x2+mx+n是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）；
（3）已知二次函数y=-x2+4x+k的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点H（9，2）的“对偶点”在函数图象上，点P是函数图象上一动点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且．
联立方程组
解得
此时，不满足．
故函数不是“湖湘对偶函数”．
（2）解：由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组
化简得．
因为，两边除以，化简得
代入，
整理为，
因为有唯一“对偶点”，所以该方程有唯一解，
故判别式，
所以；

（3）解：点的“对偶点”为，代入，
得，解得，
故函数解析式为．
令，得，
解得或．
故，，
所以．
令，得，故，
故，
由题意得．
设，则，得．
当时，，，无实根．
当时，，即，
解得，
所以点P的坐标为或．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-面积问题；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据“湖湘对偶函数”的定义得到方程组，求出x=y判断解答即可；
（2）由“湖湘对偶函数”定义得到，两式相减可得，进而求出，再代入函数解析式，整理为，然后根据根的判别式解答即可；
（3）求出点H的“对偶点”为，求出二次函数的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点坐标为，，，则，即可得到△ABC的面积，设，然后根据题意得到．求出的值，即可求出点P的坐标即可．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F，G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB=AC，BG=DG.
（1）请直接写出∠ABC与∠DBE，∠E的数量关系：　 　；
（2）求证：AH2=HF2+HF FC；
（3）若，AD=2DE，，求△AGH的周长.
【答案】（1）∠ABC=∠DBE+∠E
（2）证明：∵BG=DG，
∴∠ABD=∠GDB．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ABC=∠ADB，
∵∠ADB=∠GDB+∠GDA，∠ABC=∠ABD+∠DBC，
∴∠DBE=∠GDA，
∵∠DBE=∠CAD，
∴∠CAD=∠GDA．
∴AH=HD．
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD=∠GDB．
∵∠CHD=∠DHF，
∴△CHD∽△DHF，
∴，
∴HD2=HC HF，
∴AH2=HF HC．
∵HC=HF+FC，
∴AH2=HF （HF+FC）=HF2+HF FC
（3）解：连接并延长交于点M，如图，
，
，
，，
．
设，则，，
．
，
设，则，
．
，，
，
，
，
，
，
，
，．
四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
由（2）知，，
周长．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1），
．
，
，
．
，
；
故答案为：∠ABC=∠DBE+∠E；
【分析】（1）根据等边对等角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据三角形的外交解答即可 ．
（2）根据等边对等角和三角形的外角得到∠CHD=∠DHF，再根据∠DHF=∠CHD，即可得到，进而得到，然后根据∠CAD=∠GDA，即可得到，从而证明结论即可 ．
（3）连接并延长交于点M，根据正切的定义设，则，，求出AB长，设，则，求出AE=3a，根据两脚对应相等得到，然后根据对应边成比例求出k=a，再证明，根据对应边成比例求出CE=k，，然后求出△AGH的周长即可．
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