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浙江省义乌市廿三里初级中学2025-2026学年下学期九年级第一次月考数学卷
1． 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵题目规定零上记作，即零上温度记为正，
∴与零上意义相反的零下温度记为负，
因此零下记作，
故选B．
【分析】规定零上为正，则零下为负，据此解答即可.
2．中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故该选项符合题意；
B、此选项中的图形是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、此选项中的图形是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、此选项中的图形是中心对称图形，故该选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形据此逐一判断得出答案.
3． 下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故选项A错误，不符合题意；
B．，故选项B错误，不符合题意；
C．，故选项C错误，不符合题意；
D．，等式成立，故选项 D正确，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式、幂的乘方、单项式乘多项式、平方差公式运算，逐项判断解答即可．
4．根据中国乘用车协会的统计数据，2025年第一季度，我国新能源汽车销量为307.5万辆，其中＂307.5万＂用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 307.5万=3.075×100 × 10000=3.075×106.
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法表示绝对值大于10的数求解，科学记数法形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数.
5．用5个相同的小立方体搭成以下几何体，其中左视图与其他3个不同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、C、D的左视图如图所示：
B的左视图如图所示：
只有B的左视图与其他3个不同；
故选B．
【分析】
左视图是从左面看到的平面图形．
6． 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1种有4个氢原子，，
第2种有6个氢原子，，
第3种有8个氢原子，，
……
以此类推，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是．
故答案为：B.
【分析】观察可得规律：氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可．
7． 如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①②的边线是否平行，甲、乙采用了两种不同的方法：甲把纸带①沿折叠，量得；乙把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点在同一直线上，点也在同一直线上．则下列判断正确的是（　　）
A．纸带①②的边线都平行
B．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
C．纸带①②的边线都不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：对于纸带①，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
∴与不平行，
对于纸带②，由折叠的性质得，，，
又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行．
故答案为：D.
【分析】纸带①中根据对顶角相等可得，然后根据三角形内角和定理求出，利用折叠的性质得到，再根据平行线的判定解答；纸带②中根据折叠可得，，然后根据平角的定义得到，，然后利用平行线的判定解答即可．
8． 某班有45名学生，一次体育中考模拟后，老师对模拟成绩进行了统计．由于小州没有参加本次模拟考，算得44人的平均成绩分，中位数分．后来小州进行了补考，成绩为分，得到45人考试成绩数据的平均数为，中位数为，则（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵ 44人的平均成绩为，小州补考成绩为35分，且
∴ 加入补考成绩后，45人的平均成绩小于原平均成绩，即
∵ 原44个数据排序后，中位数是第22个和第23个数据的平均数，加入一个小于36的成绩35后，45个数据排序后，新中位数为第23个数据，可得，即．
∴，即选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】利用平均数的计算公式、中位数的定义解答即可．
9． 如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，设交于点，则，
∵四边形，是正方形，
∴
又∵
∴
∴三点共线，
又∵
∴，
∵
∴
∴
故选：C．
【分析】连接，设交于点，根据正方形的性质得到，进而根据解直角三角形解答即可．
10． 如图，在正方形中，点为延长线上一点，过作交的延长线于点，连接，作的垂线交于点，交于点，垂足为点，连接．设，阴影部分的面积为定值，当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点G作于点M，
∵四边形是正方形，，
∴，，，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵阴影部分的面积为定值，
∴是定值，即当的值发生变化时，代数式的值不变．
【分析】过点G作于点M，根据正方形的性质，利用AAS得到，即可得到，进而可得，根据解答即可．
11． 因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】利用提取公因式法分解因式即可．
12． 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为　 　．
【答案】80
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点B作交的延长线于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴另一端B离地面的高度为．
故答案为：80．
【分析】过点B作交的延长线于N，即可得到，进而可得，根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
13． 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板、2个九连环、1个华容道、2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意，七巧板有1个，从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可.
14． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点的坐标为，点在函数的图象上，与轴平行．若的面积为5，则的值为　 　．
【答案】16
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点的坐标为，与轴平行，
设点A的坐标为，
，
，
，
，
点A的坐标为，
．
故答案为：16.
【分析】设点A的坐标为，即可得到，利用求出m的值，然后把点A的坐标代入解析式求出k的值解答即可．
15． 如图，在菱形中，在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点分别在边上，点在对角线上．若，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：连接交于O，
∵菱形中，
∴，
∵菱形，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
同理：，
∴，
∴四边形是菱形，同理：四边形是菱形，
∴，
∵菱形和菱形，
∴，
∴，即，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，解得：，
∴，即，
∴菱形的面积为；
设，则，
由题意可得：，
∴，即，解得：，
∴，，
∴，
∴，即
∴菱形的面积为，
如图：连接交于I，则，
∴，即，
∴菱形的面积为，同理菱形的面积为，
∴．
故答案为：.
【分析】如图，连接交于O，即可得到四边形，，是菱形，然后根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得到菱形的面积；进而求得菱形，的面积为，然后利用解答即可．
16． 如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点O作于点E，连接，
∴，
∵，
∴在中，．
连接，则，
∴的最小值为．
连接，，
∵和所对圆周角都是，
∴，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：2.
【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理可得，再勾股定理得到OE=1，连接，即可得到．连接，，得到，根据三线合一得到，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，进而得到的最小值即可解答．
17． 计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先运算绝对值，零指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可.
18．解不等式组：
【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式，进而即可得到不等式组的解集。
19． 如图，四边形为平行四边形，的平分线交延长线于E，交于
（1）求证：；
（2）若，，求与的面积之比．
【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
；
（2）解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
∽，
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等得到，利用角平分线的定义得到，进而得到，根据等角对等边得到结论；
（2）根据平行四边形的性质可得，，进而得到，然后根据平行得到△DEF∽△CBF，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
20． 根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》，某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”为优秀，记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4
第2小组 3.5 5
第3小组 3.25 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，求“得分为1分”这一项所对应的圆心角的度数；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）求的值；
（3）已知该校共有4800名学生，请你估计该校学生竞赛成绩优秀的人数．
【答案】（1）解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为
．
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人），
补全第1小组得分条形统计图如下∶
（2）解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则，
第2小组获得1分的学生所占百分比为，
第2小组的平均分为（分），则，
第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分），则．
（3）解：（人）．
答：估计该校学生竞赛成绩优秀的有1440人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）①用乘以第2小组的占比即可求解；
②运用考查总人数减去其它组的人数求得第1小组的人数，补全第条形统计图即可；
（2）根据众数、平均数和中位数的定义解答即可；
（3）利用样本种成绩优秀的人数占比乘以4800解答即可．
21． 如图，某数学兴趣小组为了测量河对面一棵大树的高度，在河的另一侧高台上的处测得树顶的仰角，高台处测得树顶的仰角．已知高台为米，请计算该树的高度．（参考数据：）
【答案】解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，，
依题意，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：树的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】过点作于点，即可得到四边形是矩形，然后根据正切的定义表示AB和AE长，列方程求出，进而求出AB长解答即可.．
22．如图1，共享单车停放点和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．
（1）求停放点之间的距离；
（2）求甲追上乙的时间；
（3）若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？
【答案】（1）解： 75×6+75×14=1500（米），
答：停放点之间的距离1500米；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
（3）解：（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息可得甲步行6分钟从点P到达了点A，乙步行14分钟从点P步行到点B，根据路程等于速度乘以时间可分别求出PA、PB的长度，进而根据PA+PB=AB可得答案；
（2）解法一：首先求出甲的骑行速度，然后求出t=6时，甲乙之间距离，然后用甲乙之间的距离除以甲乙的速度差即可得出甲从A地出发追上乙的用时，再加上开始的步行时间即可；
解法二：首先根据图象提供的信息，利用待定系数法求出直线GH与MN的函数表达式，然后联立求解即可；
（3）首先根据路程、速度时间三者的关系求出乙骑行的速度，然后求出乙从A地到C地的骑行时间，再加上乙从P地步行到A地的时间可得乙修改后所用的总时间，然后与原方案的时间比较就可求解.
（1）（米）．
答：停放点之间的距离1500米．；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
；
（3）（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
23． 已知二次函数（a是常数且）
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当时，y有最小值，求该二次函数的表达式；
（3）已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数
∴抛物线顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：；
（2）解：∵二次函数，，对称轴，
∴在内离对称轴越远的点，函数值越小：
∵，
∴当时，取值最小值，
∴
解得：，
此时函数为．
（3）解：∵二次函数，，对称轴，
∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为．
恒有，则有，
∴，
∵，
，
解得，
∵，
∴且，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）把二次函数化为顶点式，即可得到对称轴解答即可；
（2）根据二次函数的增减性得到最小值，列方程解出a的值解答即可；
（3）得到二次函数的对称轴即可得到抛物线的增减性，根据得到关于t的不等式解答即可．
24． 如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．
（1）求的度数；
（2）当是圆的直径，
①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

【知识点】平行四边形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据90°的直角三角形的性质得到是直径，根据切线的性质得到，即可求出∠BCE=45°，再利用等弧所对的圆周角相等证明即可；
（2）①连接，即可得到，进而得到，再根据内错角相等得到，推理得到，证明结论；
②延长相较于点H，根据等腰直角三角形的性质得到，，然后根据等角对等边得到，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
1 / 1浙江省义乌市廿三里初级中学2025-2026学年下学期九年级第一次月考数学卷
1． 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下记作（　　）
A． B． C． D．
2．中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3． 下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．根据中国乘用车协会的统计数据，2025年第一季度，我国新能源汽车销量为307.5万辆，其中＂307.5万＂用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．用5个相同的小立方体搭成以下几何体，其中左视图与其他3个不同的是（　　）
A． B．
C． D．
6． 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
7． 如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①②的边线是否平行，甲、乙采用了两种不同的方法：甲把纸带①沿折叠，量得；乙把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点在同一直线上，点也在同一直线上．则下列判断正确的是（　　）
A．纸带①②的边线都平行
B．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
C．纸带①②的边线都不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
8． 某班有45名学生，一次体育中考模拟后，老师对模拟成绩进行了统计．由于小州没有参加本次模拟考，算得44人的平均成绩分，中位数分．后来小州进行了补考，成绩为分，得到45人考试成绩数据的平均数为，中位数为，则（　　）．
A． B．
C． D．
9． 如图，在中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连结，设，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
10． 如图，在正方形中，点为延长线上一点，过作交的延长线于点，连接，作的垂线交于点，交于点，垂足为点，连接．设，阴影部分的面积为定值，当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
11． 因式分解：　 　．
12． 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为　 　．
13． 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将1个七巧板、2个九连环、1个华容道、2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同．从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是　 　．
14． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点的坐标为，点在函数的图象上，与轴平行．若的面积为5，则的值为　 　．
15． 如图，在菱形中，在其内部作形状、大小都相同的菱形和菱形，使点分别在边上，点在对角线上．若，则阴影部分的面积为　 　．
16． 如图，是的弦，将沿着弦折叠，点是折叠后的上一动点，连结并延长交于点，点是的中点，连结．若半径，则的最小值为　 　．
17． 计算：．
18．解不等式组：
19． 如图，四边形为平行四边形，的平分线交延长线于E，交于
（1）求证：；
（2）若，，求与的面积之比．
20． 根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》，某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”为优秀，记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第1小组 3.9 4
第2小组 3.5 5
第3小组 3.25 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，求“得分为1分”这一项所对应的圆心角的度数；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2）求的值；
（3）已知该校共有4800名学生，请你估计该校学生竞赛成绩优秀的人数．
21． 如图，某数学兴趣小组为了测量河对面一棵大树的高度，在河的另一侧高台上的处测得树顶的仰角，高台处测得树顶的仰角．已知高台为米，请计算该树的高度．（参考数据：）
22．如图1，共享单车停放点和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．
（1）求停放点之间的距离；
（2）求甲追上乙的时间；
（3）若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？
23． 已知二次函数（a是常数且）
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当时，y有最小值，求该二次函数的表达式；
（3）已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围．
24． 如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接．
（1）求的度数；
（2）当是圆的直径，
①求证：四边形是平行四边形；
②若是的中点，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵题目规定零上记作，即零上温度记为正，
∴与零上意义相反的零下温度记为负，
因此零下记作，
故选B．
【分析】规定零上为正，则零下为负，据此解答即可.
2．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故该选项符合题意；
B、此选项中的图形是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、此选项中的图形是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、此选项中的图形是中心对称图形，故该选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故选项A错误，不符合题意；
B．，故选项B错误，不符合题意；
C．，故选项C错误，不符合题意；
D．，等式成立，故选项 D正确，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式、幂的乘方、单项式乘多项式、平方差公式运算，逐项判断解答即可．
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 307.5万=3.075×100 × 10000=3.075×106.
故答案为：B.
【分析】利用科学记数法表示绝对值大于10的数求解，科学记数法形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数.
5．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、C、D的左视图如图所示：
B的左视图如图所示：
只有B的左视图与其他3个不同；
故选B．
【分析】
左视图是从左面看到的平面图形．
6．【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1种有4个氢原子，，
第2种有6个氢原子，，
第3种有8个氢原子，，
……
以此类推，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是．
故答案为：B.
【分析】观察可得规律：氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可．
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：对于纸带①，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
∴与不平行，
对于纸带②，由折叠的性质得，，，
又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行．
故答案为：D.
【分析】纸带①中根据对顶角相等可得，然后根据三角形内角和定理求出，利用折叠的性质得到，再根据平行线的判定解答；纸带②中根据折叠可得，，然后根据平角的定义得到，，然后利用平行线的判定解答即可．
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵ 44人的平均成绩为，小州补考成绩为35分，且
∴ 加入补考成绩后，45人的平均成绩小于原平均成绩，即
∵ 原44个数据排序后，中位数是第22个和第23个数据的平均数，加入一个小于36的成绩35后，45个数据排序后，新中位数为第23个数据，可得，即．
∴，即选项D符合题意．
故答案为：D.
【分析】利用平均数的计算公式、中位数的定义解答即可．
9．【答案】C
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，连接，设交于点，则，
∵四边形，是正方形，
∴
又∵
∴
∴三点共线，
又∵
∴，
∵
∴
∴
故选：C．
【分析】连接，设交于点，根据正方形的性质得到，进而根据解直角三角形解答即可．
10．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点G作于点M，
∵四边形是正方形，，
∴，，，，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵阴影部分的面积为定值，
∴是定值，即当的值发生变化时，代数式的值不变．
【分析】过点G作于点M，根据正方形的性质，利用AAS得到，即可得到，进而可得，根据解答即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】利用提取公因式法分解因式即可．
12．【答案】80
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点B作交的延长线于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴另一端B离地面的高度为．
故答案为：80．
【分析】过点B作交的延长线于N，即可得到，进而可得，根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
13．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：根据题意，七巧板有1个，从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式计算即可.
14．【答案】16
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点的坐标为，与轴平行，
设点A的坐标为，
，
，
，
，
点A的坐标为，
．
故答案为：16.
【分析】设点A的坐标为，即可得到，利用求出m的值，然后把点A的坐标代入解析式求出k的值解答即可．
15．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：连接交于O，
∵菱形中，
∴，
∵菱形，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
同理：，
∴，
∴四边形是菱形，同理：四边形是菱形，
∴，
∵菱形和菱形，
∴，
∴，即，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，解得：，
∴，即，
∴菱形的面积为；
设，则，
由题意可得：，
∴，即，解得：，
∴，，
∴，
∴，即
∴菱形的面积为，
如图：连接交于I，则，
∴，即，
∴菱形的面积为，同理菱形的面积为，
∴．
故答案为：.
【分析】如图，连接交于O，即可得到四边形，，是菱形，然后根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得到菱形的面积；进而求得菱形，的面积为，然后利用解答即可．
16．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点O作于点E，连接，
∴，
∵，
∴在中，．
连接，则，
∴的最小值为．
连接，，
∵和所对圆周角都是，
∴，
∴，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：2.
【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理可得，再勾股定理得到OE=1，连接，即可得到．连接，，得到，根据三线合一得到，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，进而得到的最小值即可解答．
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先运算绝对值，零指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可.
18．【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式，进而即可得到不等式组的解集。
19．【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
；
（2）解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
∽，
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等得到，利用角平分线的定义得到，进而得到，根据等角对等边得到结论；
（2）根据平行四边形的性质可得，，进而得到，然后根据平行得到△DEF∽△CBF，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
20．【答案】（1）解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为
．
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人），
补全第1小组得分条形统计图如下∶
（2）解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则，
第2小组获得1分的学生所占百分比为，
第2小组的平均分为（分），则，
第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分），则．
（3）解：（人）．
答：估计该校学生竞赛成绩优秀的有1440人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）①用乘以第2小组的占比即可求解；
②运用考查总人数减去其它组的人数求得第1小组的人数，补全第条形统计图即可；
（2）根据众数、平均数和中位数的定义解答即可；
（3）利用样本种成绩优秀的人数占比乘以4800解答即可．
21．【答案】解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，，
依题意，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：树的高度为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】过点作于点，即可得到四边形是矩形，然后根据正切的定义表示AB和AE长，列方程求出，进而求出AB长解答即可.．
22．【答案】（1）解： 75×6+75×14=1500（米），
答：停放点之间的距离1500米；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
（3）解：（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息可得甲步行6分钟从点P到达了点A，乙步行14分钟从点P步行到点B，根据路程等于速度乘以时间可分别求出PA、PB的长度，进而根据PA+PB=AB可得答案；
（2）解法一：首先求出甲的骑行速度，然后求出t=6时，甲乙之间距离，然后用甲乙之间的距离除以甲乙的速度差即可得出甲从A地出发追上乙的用时，再加上开始的步行时间即可；
解法二：首先根据图象提供的信息，利用待定系数法求出直线GH与MN的函数表达式，然后联立求解即可；
（3）首先根据路程、速度时间三者的关系求出乙骑行的速度，然后求出乙从A地到C地的骑行时间，再加上乙从P地步行到A地的时间可得乙修改后所用的总时间，然后与原方案的时间比较就可求解.
（1）（米）．
答：停放点之间的距离1500米．；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
；
（3）（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
23．【答案】（1）解：∵二次函数
∴抛物线顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
故答案为：；
（2）解：∵二次函数，，对称轴，
∴在内离对称轴越远的点，函数值越小：
∵，
∴当时，取值最小值，
∴
解得：，
此时函数为．
（3）解：∵二次函数，，对称轴，
∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为．
恒有，则有，
∴，
∵，
，
解得，
∵，
∴且，
∴．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）把二次函数化为顶点式，即可得到对称轴解答即可；
（2）根据二次函数的增减性得到最小值，列方程解出a的值解答即可；
（3）得到二次函数的对称轴即可得到抛物线的增减性，根据得到关于t的不等式解答即可．
24．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴是直径．
∵是圆的切线，
∴．
∵的平分线交于，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）①证明：连接，
∵，是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②解：延长相较于点H，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

【知识点】平行四边形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据90°的直角三角形的性质得到是直径，根据切线的性质得到，即可求出∠BCE=45°，再利用等弧所对的圆周角相等证明即可；
（2）①连接，即可得到，进而得到，再根据内错角相等得到，推理得到，证明结论；
②延长相较于点H，根据等腰直角三角形的性质得到，，然后根据等角对等边得到，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
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