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专题2.2 分式方程及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．下列方程中，不是分式方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】解：观察可知A中等式左右两边都是整式，故不是分式方程，而B、C、D中都是分母中含字母的方程，即为分式方程.
故答案为：A.
【分析】根据分式方程的定义直接观察判断即可.
2．如果关于x的分式方程 无解，那么实数m的值为(　　)
A．- 1 B．1或0 C．1 D．1或-1
【答案】D
【知识点】分式方程的无解问题；分类讨论
【解析】【解答】解：原方程去分母得，
整理得，
当时，
无解，那么原方程无解，符合题意，
当时，
若方程无解，那么它有增根，
则，
解得：，
综上，m的值为1或，
故答案为： .
【分析】将原方程去分母整理得，分为整式方程无解或整式方程的解是分式方程的增根两种情况求出m的值解答即可．
3．已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数m的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：方程两边同乘得，，
∴，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴x>0且x-1≠0，
∴且，
∴且，
∴符合条件的非正整数为0，，
∴．
故选：A．
【分析】先解分式方程得，再根据分式方程的解是正数及分母≠0，列出不等式，进而得出答案.
4．研究15、12、10这三个数的倒数发现：我们称15、12、10这三个数为一组调和数.现有一组调和数：x、8、5（x>8），则x的值是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意，，
解得 ，
经检验，是原方程的解，符合题意，
因此x的值为20.
故答案为：20.
【分析】根据数定义的运算法则列方程求出x的值解答即可.
5．在一个不透明的布袋中装有个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设布袋中黑球的个数可能有x个，
依题意得：
，
解得，
经检验，符合题意，
故布袋中黑球的个数可能有个．
故选：A．
【分析】设布袋中黑球的个数可能有x个，根据频率估计概率建立方程，解方程即可求出答案.
6．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（　　）
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式组，得，
不等式组无解，
，
，
分式方程，
方程的两边同时乘，
得，，
整理得，，
，
方程有整数解，
或或或，
或或或或或或或，
，，
，
或或，
故答案为：D．
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，可得到关于a的不等式，求出a的取值范围；再解分式方程，根据分式方程的解为整数，可确定出a的值.
7．长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱.春耕时节，某播种队承接了 长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了15%，结果提前2天完成任务.设原计划每天种植的面积为xhm2，则下列方程正确的是 （　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】
解： 设原计划每天种植的面积为，
由题意得， ，
故答案为：D.
【分析】
本题考查了分式方程的实际应用， 根据题意，原计划每天种植面积为，实际工作效率提高15%，即每天种植面积为，总任务量固定为，实际完成时间比原计划少2天．通过比较原计划时间与实际时间的差值，建立方程即可求解．
8．如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要.工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍.已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个.设制作1个榫需要的木材为x千克，下列符合题意的方程是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：B.
【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为1.2x千克，结合用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，列出方程即可．
9．记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设：绫布有尺，则罗布有尺，
∵绫布和罗布分别出售均能收入896文，
∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元，
∵，
∴，
∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故选：C．
【分析】设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可．
10．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（　　）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：若设第一次购买了x个魔方，
由方程可得：这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
故答案为：D
【分析】根据方程的实际意义进行判断即可求出答案.
二、填空题
11．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程　 　。
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得
.
故答案为：.
【分析】此题的等量关系为：第二次分钱的人数=第一次分钱的人数+6；10÷第一次分钱的人数=40÷第二次分钱的人数，设未知数，列方程即可。
12．当x的值为　 　时，代数式 和 的值互为相反数.
【答案】3
【知识点】解分式方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：由题意得 去分母，得x-5-(4-2x)=0，解得x=3，检验：当x=3时，x-8≠0，. x=3 是原分式方程的解.故答案为3.
【分析】先根据相反数定义列出方程，再通过去分母转化为整式方程求解，最后检验解的合理性即可.
13．从，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：的解是负数，且使关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：，
解得，，
∵方程的解是负数，
∴，
解得：且，
∵关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴，且，
∴或0或1或2，有4种可能，
故概率为，
故答案为：．
【分析】将m作为系数，解分式方程，用含m的式子表示出x=-m-3，由该分式方程的解是负数，列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围；由反比例函数中，当k＞0时，图象两支分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象两支分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此结合题意列出不等式m-3＜0，求解得出m的取值范围，综上即可确定出符合题意的m的值，最后根据概率公式计算即可得出答案.
14．若正整数使得关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有正整数的个数有　 　个．
【答案】4
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式的应用；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：解分式方程，
可得，
∵为正整数，为正整数，
∴且，解得，
∵，
∴，即有，
∴，
∴，12，9，3，
∴符合条件的所有正整数的个数有4个．
故答案为：4．
【分析】解分式方程可得，再根据x为正整数判断即可求出答案.
15．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
检验，当时，，
∴，
故答案为；．
【分析】根据新定义建立方程，再解方程即可求出答案.
16．若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∵该不等式组有四个整数解，
∴不等式组的解集为，即x=2、1、0、-1，
∴，
解得：，
∵，
解得：，且，
∴，
分式方程的解为整数，且，
或，
则满足题意整数之和为．
故答案为：．
【分析】首先根据不等式组的计算方法，先求出x的取值范围，进而确定a的取值范围；然后将分式方程中t的值用a来表示，结合即可得出a的整数取值，最后求和即可。
三、解答题
17．解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：方程两边同时乘3(x-1)，得
3x=1-3(x-1)
化简，得
3x-2=0
解得：，
经检验，是原分式方程的解.
∴原方程的解为.
（2）解：方程两边同时乘(x-1)(x+1)，
得2+x(x+1)=(x-1)(x+1)
化简，得x+3=0
解得：x=-3
经检验，x=-3是原分式方程的解
∴原方程的解为x=-3.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）通过通分消去分母，转化为整式方程求解，并检验根的合法性；
（2）通过通分消去分母，转化为整式方程求解，并检验根的合法性.
18．先化简，再求值：，其中x为分式方程的根．
【答案】解：
，
，
解得：，
经检验，时，，
则是原分式方程的解，
把代入得：
【知识点】分式的加减法；解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的减法，结合平方差公式化简，再将分式方程转换为整式方程，解方程可得x值，再代入代数式即可求出答案.
19．小明解方程出现了错误，解答过程如下：
方程两边都乘以，得（第一步）
去括号，得（第二步）
移项，合并同类项，得（第三步）
解得（第四步）
原方程的解为（第五步）
（1）小明解答过程是从第_____步开始出错的，这一步正确的解答结果_____，此步的根据是_____．
（2）小明的解答过程缺少_____步骤，此方程的解为_____．
【答案】（1）一；；等式的基本性质
（2）检验；.
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的解答结果，此步的根据是等式的基本性质．
（2）小明的解答过程缺少检验步骤，此方程的解为．
故答案为（1）一；；等式的基本性质；
（2）检验；.
【分析】(1)本题考察分式方程的求解及等式的基本性质。解分式方程时，方程两边同乘最简公分母x，目的是消去分母，根据等式的基本性质，等式两边应同时乘x，因此右边应为x×1=x，而小明写成了1，所以第一步出错，正确结果为2-(x-1)=x。
(2)本题考察分式方程的检验步骤，分式方程的解可能使分母为零，因此必须检验。解正确方程2-(x-1)=x，得x=1.5，将其代入原方程检验，分母不为零且等式成立，故x=1.5是原方程的解。
20．已知关于x的分式方程
（1）若分式方程的解是x=5，则a的值是　 　；
（2）若分式方程的解是非负数，且a满足不等式a-1≤1，求所有满足条件的偶数a的值之和.
【答案】（1）-5
（2）解：
4x-a+2a=5(x-2)
4x-5x=-10-a
∴x=10+a
∵ 分式方程的解是非负数，且a满足不等式a-1≤1，
∴10+a≥0且a-1≤1，
∴-10≤a≤2，
∴偶数a为2，0，-2，-4，-6，-8，-10，
当a=-8时，x=10+a=2，此时方程无解，
∴a≠-2，
∴满足条件的偶数a的值之和为2+0+(-2)+(-4)+(-6)+(-10)=-20.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：（1）将x=5代入 分式方程
得，
∴a=-5.
故答案为：-5.
【分析】（1）根据方程的解的定义，将未知数的值代入方程即可求a的值.
（2）解分式方程得x=10+a，结合题意确定参数a的值，注意方程有解的条件.
21．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【分析】(1) 本题考察分式方程的解法，核心是将分式方程转化为整式方程求解并验根。把“ ”替换为-3，方程变为；方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；解这个整式方程，得；检验：将代入，因此是原分式方程的解。
(2) 本题考察分式方程无解的条件，分式方程无解通常是因为存在增根（使分母为0的根）。设“ ”为，原方程变为；方程两边乘得，整理得；因为原分式方程无解，所以存在增根（使）；将代入，得，解得，因此“ ”代表的数是-4。
（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，
方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
22．阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得 .
所以原不等式的解集为 或 .
请你参考小亮思考问题的方法， 解分式不等式 .
【答案】解：根据题意， ，则 ；
， 分式不等式可转化为下面两个不等式组：
① 或②
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：无解，
∴原不等式的解集为：，
【知识点】不等式组和分式方程的综合应用
【解析】【分析】类比有理数的除法可知分子、分母异号，得到不等式组，解不等式组求出解集即可 .
23．阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知，所以，即
所以
故的值为．
（1）【类比解答】上题的解法叫做＂倒数法＂，请你利用＂倒数法＂解决下面的题目：知，求的值．
（2）【拓展拔高】已知，求的值．
【答案】（1）解：
，即
（2）解：，
，
【知识点】倒数法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据倒数法的定义计算即可求出答案.
（2）根据倒数法的定义计算即可求出答案.
24．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如：分式，，，则M与N互为“和整分式”，且“和整值”为1．
（1）已知分式，，A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，若x为正整数，分式B的值为正整数．
①C所代表的代数式为________；
②求x的值．
（2）已知分式，互为“和整分式”，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
【答案】（1）①；
解：②，且x为正整数，分式B的值为正整数，
或，
（舍去）．
（2）解：由题意，得，
，
，
整理，得．
方程无解，
或，
当时，解得；
当，时，，
解得．
综上，m的值为1或．
【知识点】分式的加减法；分式方程的解及检验；分式方程的无解问题
【解析】【解答】（1）解：①，，
．
与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，
，
；
故答案为：-2x-4；
【分析】（1）①先根据异分母分式加法法则求出A+B，然后根据A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，得出，进而将C作为未知数，解该方程即可；
②把①所求的C的值代入 化简后根据 x为正整数，分式B的值为正整数， 可得或，即可求解；
（2）将P、Q所表示的式子代入P+Q=2整理可得；然后根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此求解即可.
（1）解：①，，
．
与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，
，
．
②，且x为正整数，分式B的值为正整数，
或，
（舍去）．
（2）解：由题意，得，
，
，
整理，得．
方程无解，
或，
当时，解得；
当，时，，
解得．
综上，m的值为1或．
25． 2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱。某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件。公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是二车间的1.5倍。先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单。
（1）求图、乙两个车间每天分别生产多少件产品；
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产；如果安排甲车间生产的天数不多于二车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数 最大生产总量是多少
【答案】（1）解：设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，
根据题意得：
解得： x=110，
经检验，x=110是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×110=165（件)。
答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品。
（2）解：设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30-m)天，这30天的生产总量为w件，
根据题意得： w=165m+110 （30-m) =55m+3300，
∵安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，
∴m≤2（30-m)，
解得： m≤20，
∵55>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m为正整数，
∴m最大取20，
∴当m=20时， w取得最大值，为55×20+3300=4400（件)，此时30-20=10（天) 。
答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件。
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30 m）天，这30天的生产总量为w件，根据题意列出函数关系式，先求得m≤20，再根据一次函数的性质，即可求解．
26．根据以下素材，完成问题一和问题二。
背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相。寓意喜气洋洋，其乐融融。
图片
素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元。
素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900 元购进“乐融融”玩偶的数量相同。
素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个， “乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完。
问题一 “喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个
问题二 若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值.
【答案】解：问题一：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为（x+20)元，
则
解得： x=70，
经检验x=70是分式方程的解，且符合题意
x+20=70+20=90，
答：每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”的进价为90元。
问题二：W= （80-70) a+（105-90)（200-a) =-5a+3000
根据题意可得： 70a+90（200-a)≤16800
解不等式得： a≥60，
∵k=-5<0，
∴W随着a的增大而减小，
∴当a=60时，才能使总利润最大，
最少费用是W=-5a+3000=-5×60+3000=2700（元)，
此时200-a=200-60=140（套)，
答：“喜洋洋”玩偶买了60个，“乐融融”玩偶买了140个，则卖出所有吉祥物的总利润最大为2700元。
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】问题一：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为（x+20)元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
问题二：根据题意建立不等式，解不等式求出a的取值范围，再求出关于w的函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
27． 综合与实践
在综合与实践课上， 数学兴趣小组通过洗一套夏季校服， 探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一： 将校服放进消水中，加入洗衣液，充分浸泡採溔后拧干；
步摖二： 将拧干后的校服放进捎水中， 充分漂洗后拧干： 重复操作步骤二， 直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ， 每次拧干后校服上都残留 水
浓度关系式：.，其中d前、d后分别表示单次漂洗先、后校服上残留洗衣液的浓度； 为单次漂洗所加消水量 (单位： ).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 .
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ， 需要多少清水
（2）如果把 . 清水均分， 进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标
（3）比较 (1) 和 (2) 的漂洗结果， 从洗衣用水策略方面， 说说你的想法.
【答案】（1）解：依题意易知： ，
代入浓度关系式， 得
解得
检验： 当 时，
所以， 是原分式方程的解
答：需要9.5kg 清水。
（2）解：
第一次漂洗后浓度 ：
第二次漂洗后浓度：
答： 进行两次漂洗， 能达到洗衣目标。
（3）解：根据 (1) 和 (2) 的漂洗结果， 达到相同的清洗效果，
分两次漂洗更节约水 (注： 答案不唯一， 合理即可)
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）只经过一次漂洗时，令，代入浓度关系式，得到关于w的分式方程，求解即可得到w的值；
（2）根据题意得每次漂洗的水量，代入，计算求得第1漂洗后的浓度，结果作为d前再次代入，即可得到漂洗后的结果，与0.01%比较即可.
（3）答案不唯一，合理即可.
28．“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务．
西红柿销售方案
素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的1.5倍。
素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多20kg．
素材1 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿30kg，其中白天（7：00－19：00）可销售20kg，剩下10kg打折销售，其折扣分5个时段进行，如右图。
素材1 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克。
问题解决
任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？
任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗）
任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是2kg），则每天进货多少时利润最大？
【答案】解：任务1：设红粉西红柿进价为每千克x元，则有机西红柿进价为每千克1.5x元
由题意可得：
解得：x=5
经检验，x=5是方程的根，且符合题意
∴1.5x=7.5
∴红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元
任务2：设标价（白天的售价）为每千克y元
由题意可得：
解得：y≥10
∴标价（白天的售价）最低价为每千克10元
任务3：∵10×0.9=9>7.5，10×0.8=8>7.5，10×0.7=7<7.5
∴九折和八折有利润，七折亏钱
20+2+2=24
∴每天进货多少20kg时利润最大.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设红粉西红柿进价为每千克x元，则有机西红柿进价为每千克1.5x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
任务3：根据题意求出打折后的价格，再比较大小即可求出答案.
1 / 1专题2.2 分式方程及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．下列方程中，不是分式方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如果关于x的分式方程 无解，那么实数m的值为(　　)
A．- 1 B．1或0 C．1 D．1或-1
3．已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数m的和为（　　）
A． B． C． D．
4．研究15、12、10这三个数的倒数发现：我们称15、12、10这三个数为一组调和数.现有一组调和数：x、8、5（x>8），则x的值是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．在一个不透明的布袋中装有个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则布袋中黑球的个数可能有（　　）
A． B． C． D．
6．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的值为（　　）
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
7．长赤翡翠米，米粒细长、整齐饱满、晶莹润泽、柔韧软滑，米色及粥色微绿似翡翠，深受老百姓的喜爱.春耕时节，某播种队承接了 长赤翡翠米水稻的种植任务，为了确保全年粮食生产开个好局，实际工作效率比原来提高了15%，结果提前2天完成任务.设原计划每天种植的面积为xhm2，则下列方程正确的是 （　　)
A． B．
C． D．
8．如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要.工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍.已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个.设制作1个榫需要的木材为x千克，下列符合题意的方程是（　　)
A． B．
C． D．
9．记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
10．如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（　　）
A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个
B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个
C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个
D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
二、填空题
11．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程　 　。
12．当x的值为　 　时，代数式 和 的值互为相反数.
13．从，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：的解是负数，且使关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为　 　．
14．若正整数使得关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有正整数的个数有　 　个．
15．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，存在．若，则的值为　 　．
16．若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为　 　．
三、解答题
17．解分式方程：
（1）
（2）
18．先化简，再求值：，其中x为分式方程的根．
19．小明解方程出现了错误，解答过程如下：
方程两边都乘以，得（第一步）
去括号，得（第二步）
移项，合并同类项，得（第三步）
解得（第四步）
原方程的解为（第五步）
（1）小明解答过程是从第_____步开始出错的，这一步正确的解答结果_____，此步的根据是_____．
（2）小明的解答过程缺少_____步骤，此方程的解为_____．
20．已知关于x的分式方程
（1）若分式方程的解是x=5，则a的值是　 　；
（2）若分式方程的解是非负数，且a满足不等式a-1≤1，求所有满足条件的偶数a的值之和.
21．小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚．
（1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到的标准答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
22．阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得 .
所以原不等式的解集为 或 .
请你参考小亮思考问题的方法， 解分式不等式 .
23．阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知，所以，即
所以
故的值为．
（1）【类比解答】上题的解法叫做＂倒数法＂，请你利用＂倒数法＂解决下面的题目：知，求的值．
（2）【拓展拔高】已知，求的值．
24．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如：分式，，，则M与N互为“和整分式”，且“和整值”为1．
（1）已知分式，，A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，若x为正整数，分式B的值为正整数．
①C所代表的代数式为________；
②求x的值．
（2）已知分式，互为“和整分式”，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
25． 2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱。某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件。公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是二车间的1.5倍。先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单。
（1）求图、乙两个车间每天分别生产多少件产品；
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产；如果安排甲车间生产的天数不多于二车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数 最大生产总量是多少
26．根据以下素材，完成问题一和问题二。
背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相。寓意喜气洋洋，其乐融融。
图片
素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元。
素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900 元购进“乐融融”玩偶的数量相同。
素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个， “乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完。
问题一 “喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个
问题二 若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值.
27． 综合与实践
在综合与实践课上， 数学兴趣小组通过洗一套夏季校服， 探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一： 将校服放进消水中，加入洗衣液，充分浸泡採溔后拧干；
步摖二： 将拧干后的校服放进捎水中， 充分漂洗后拧干： 重复操作步骤二， 直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ， 每次拧干后校服上都残留 水
浓度关系式：.，其中d前、d后分别表示单次漂洗先、后校服上残留洗衣液的浓度； 为单次漂洗所加消水量 (单位： ).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 .
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ， 需要多少清水
（2）如果把 . 清水均分， 进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标
（3）比较 (1) 和 (2) 的漂洗结果， 从洗衣用水策略方面， 说说你的想法.
28．“钱大妈”以“不卖隔夜菜”闻名遐迩，深受市民喜爱．钱大妈惠民店销售的西红柿有两个品种供顾客选择，一种是“红粉”西红柿，另一种是“有机”西红柿．请根据以下素材完成相应的任务．
西红柿销售方案
素材1 “有机”西红柿进价是“红粉”西红柿进价的1.5倍。
素材2 同样用300元购“红粉”西红柿比“有机”西红柿多20kg．
素材1 惠民店平均每天可销售“有机”西红柿30kg，其中白天（7：00－19：00）可销售20kg，剩下10kg打折销售，其折扣分5个时段进行，如右图。
素材1 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售2千克。
问题解决
任务1 两种西红柿每千克进价各是多少元？
任务2 若期望销售有机西红柿利润不低于，则其标价（白天的售价）最低价是多少元？（不考虑其他因素产生的费用和损耗）
任务3 若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售有机西红柿都是2kg），则每天进货多少时利润最大？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式方程的概念
【解析】【解答】解：观察可知A中等式左右两边都是整式，故不是分式方程，而B、C、D中都是分母中含字母的方程，即为分式方程.
故答案为：A.
【分析】根据分式方程的定义直接观察判断即可.
2．【答案】D
【知识点】分式方程的无解问题；分类讨论
【解析】【解答】解：原方程去分母得，
整理得，
当时，
无解，那么原方程无解，符合题意，
当时，
若方程无解，那么它有增根，
则，
解得：，
综上，m的值为1或，
故答案为： .
【分析】将原方程去分母整理得，分为整式方程无解或整式方程的解是分式方程的增根两种情况求出m的值解答即可．
3．【答案】A
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：方程两边同乘得，，
∴，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴x>0且x-1≠0，
∴且，
∴且，
∴符合条件的非正整数为0，，
∴．
故选：A．
【分析】先解分式方程得，再根据分式方程的解是正数及分母≠0，列出不等式，进而得出答案.
4．【答案】D
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意，，
解得 ，
经检验，是原方程的解，符合题意，
因此x的值为20.
故答案为：20.
【分析】根据数定义的运算法则列方程求出x的值解答即可.
5．【答案】A
【知识点】解分式方程；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设布袋中黑球的个数可能有x个，
依题意得：
，
解得，
经检验，符合题意，
故布袋中黑球的个数可能有个．
故选：A．
【分析】设布袋中黑球的个数可能有x个，根据频率估计概率建立方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式组，得，
不等式组无解，
，
，
分式方程，
方程的两边同时乘，
得，，
整理得，，
，
方程有整数解，
或或或，
或或或或或或或，
，，
，
或或，
故答案为：D．
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，可得到关于a的不等式，求出a的取值范围；再解分式方程，根据分式方程的解为整数，可确定出a的值.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】
解： 设原计划每天种植的面积为，
由题意得， ，
故答案为：D.
【分析】
本题考查了分式方程的实际应用， 根据题意，原计划每天种植面积为，实际工作效率提高15%，即每天种植面积为，总任务量固定为，实际完成时间比原计划少2天．通过比较原计划时间与实际时间的差值，建立方程即可求解．
8．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：B.
【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为1.2x千克，结合用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，列出方程即可．
9．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设：绫布有尺，则罗布有尺，
∵绫布和罗布分别出售均能收入896文，
∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元，
∵，
∴，
∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文．
故选：C．
【分析】设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可．
10．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：若设第一次购买了x个魔方，
由方程可得：这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个
故答案为：D
【分析】根据方程的实际意义进行判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得
.
故答案为：.
【分析】此题的等量关系为：第二次分钱的人数=第一次分钱的人数+6；10÷第一次分钱的人数=40÷第二次分钱的人数，设未知数，列方程即可。
12．【答案】3
【知识点】解分式方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：由题意得 去分母，得x-5-(4-2x)=0，解得x=3，检验：当x=3时，x-8≠0，. x=3 是原分式方程的解.故答案为3.
【分析】先根据相反数定义列出方程，再通过去分母转化为整式方程求解，最后检验解的合理性即可.
13．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：，
解得，，
∵方程的解是负数，
∴，
解得：且，
∵关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴，且，
∴或0或1或2，有4种可能，
故概率为，
故答案为：．
【分析】将m作为系数，解分式方程，用含m的式子表示出x=-m-3，由该分式方程的解是负数，列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围；由反比例函数中，当k＞0时，图象两支分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象两支分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此结合题意列出不等式m-3＜0，求解得出m的取值范围，综上即可确定出符合题意的m的值，最后根据概率公式计算即可得出答案.
14．【答案】4
【知识点】分式方程的解及检验；一元一次不等式的应用；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：解分式方程，
可得，
∵为正整数，为正整数，
∴且，解得，
∵，
∴，即有，
∴，
∴，12，9，3，
∴符合条件的所有正整数的个数有4个．
故答案为：4．
【分析】解分式方程可得，再根据x为正整数判断即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
检验，当时，，
∴，
故答案为；．
【分析】根据新定义建立方程，再解方程即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∵该不等式组有四个整数解，
∴不等式组的解集为，即x=2、1、0、-1，
∴，
解得：，
∵，
解得：，且，
∴，
分式方程的解为整数，且，
或，
则满足题意整数之和为．
故答案为：．
【分析】首先根据不等式组的计算方法，先求出x的取值范围，进而确定a的取值范围；然后将分式方程中t的值用a来表示，结合即可得出a的整数取值，最后求和即可。
17．【答案】（1）解：方程两边同时乘3(x-1)，得
3x=1-3(x-1)
化简，得
3x-2=0
解得：，
经检验，是原分式方程的解.
∴原方程的解为.
（2）解：方程两边同时乘(x-1)(x+1)，
得2+x(x+1)=(x-1)(x+1)
化简，得x+3=0
解得：x=-3
经检验，x=-3是原分式方程的解
∴原方程的解为x=-3.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）通过通分消去分母，转化为整式方程求解，并检验根的合法性；
（2）通过通分消去分母，转化为整式方程求解，并检验根的合法性.
18．【答案】解：
，
，
解得：，
经检验，时，，
则是原分式方程的解，
把代入得：
【知识点】分式的加减法；解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的减法，结合平方差公式化简，再将分式方程转换为整式方程，解方程可得x值，再代入代数式即可求出答案.
19．【答案】（1）一；；等式的基本性质
（2）检验；.
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的解答结果，此步的根据是等式的基本性质．
（2）小明的解答过程缺少检验步骤，此方程的解为．
故答案为（1）一；；等式的基本性质；
（2）检验；.
【分析】(1)本题考察分式方程的求解及等式的基本性质。解分式方程时，方程两边同乘最简公分母x，目的是消去分母，根据等式的基本性质，等式两边应同时乘x，因此右边应为x×1=x，而小明写成了1，所以第一步出错，正确结果为2-(x-1)=x。
(2)本题考察分式方程的检验步骤，分式方程的解可能使分母为零，因此必须检验。解正确方程2-(x-1)=x，得x=1.5，将其代入原方程检验，分母不为零且等式成立，故x=1.5是原方程的解。
20．【答案】（1）-5
（2）解：
4x-a+2a=5(x-2)
4x-5x=-10-a
∴x=10+a
∵ 分式方程的解是非负数，且a满足不等式a-1≤1，
∴10+a≥0且a-1≤1，
∴-10≤a≤2，
∴偶数a为2，0，-2，-4，-6，-8，-10，
当a=-8时，x=10+a=2，此时方程无解，
∴a≠-2，
∴满足条件的偶数a的值之和为2+0+(-2)+(-4)+(-6)+(-10)=-20.
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：（1）将x=5代入 分式方程
得，
∴a=-5.
故答案为：-5.
【分析】（1）根据方程的解的定义，将未知数的值代入方程即可求a的值.
（2）解分式方程得x=10+a，结合题意确定参数a的值，注意方程有解的条件.
21．【答案】（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的无解问题
【解析】【分析】(1) 本题考察分式方程的解法，核心是将分式方程转化为整式方程求解并验根。把“ ”替换为-3，方程变为；方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程；解这个整式方程，得；检验：将代入，因此是原分式方程的解。
(2) 本题考察分式方程无解的条件，分式方程无解通常是因为存在增根（使分母为0的根）。设“ ”为，原方程变为；方程两边乘得，整理得；因为原分式方程无解，所以存在增根（使）；将代入，得，解得，因此“ ”代表的数是-4。
（1）解：，
方程两边同时乘得，
解得，
经检验，是原分式方程的解．
（2）解：设？为m，则分式方程为，
方程两边同时乘得
整理得，
由于原分式方程无解，所以原分式方程有增根，即
所以把代入得，解得，
所以，原分式方程中“？”代表的数是．
22．【答案】解：根据题意， ，则 ；
， 分式不等式可转化为下面两个不等式组：
① 或②
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：无解，
∴原不等式的解集为：，
【知识点】不等式组和分式方程的综合应用
【解析】【分析】类比有理数的除法可知分子、分母异号，得到不等式组，解不等式组求出解集即可 .
23．【答案】（1）解：
，即
（2）解：，
，
【知识点】倒数法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据倒数法的定义计算即可求出答案.
（2）根据倒数法的定义计算即可求出答案.
24．【答案】（1）①；
解：②，且x为正整数，分式B的值为正整数，
或，
（舍去）．
（2）解：由题意，得，
，
，
整理，得．
方程无解，
或，
当时，解得；
当，时，，
解得．
综上，m的值为1或．
【知识点】分式的加减法；分式方程的解及检验；分式方程的无解问题
【解析】【解答】（1）解：①，，
．
与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，
，
；
故答案为：-2x-4；
【分析】（1）①先根据异分母分式加法法则求出A+B，然后根据A与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，得出，进而将C作为未知数，解该方程即可；
②把①所求的C的值代入 化简后根据 x为正整数，分式B的值为正整数， 可得或，即可求解；
（2）将P、Q所表示的式子代入P+Q=2整理可得；然后根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此求解即可.
（1）解：①，，
．
与B互为“和整分式”，且“和整值”为3，
，
．
②，且x为正整数，分式B的值为正整数，
或，
（舍去）．
（2）解：由题意，得，
，
，
整理，得．
方程无解，
或，
当时，解得；
当，时，，
解得．
综上，m的值为1或．
25．【答案】（1）解：设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，
根据题意得：
解得： x=110，
经检验，x=110是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×110=165（件)。
答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品。
（2）解：设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30-m)天，这30天的生产总量为w件，
根据题意得： w=165m+110 （30-m) =55m+3300，
∵安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，
∴m≤2（30-m)，
解得： m≤20，
∵55>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m为正整数，
∴m最大取20，
∴当m=20时， w取得最大值，为55×20+3300=4400（件)，此时30-20=10（天) 。
答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件。
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30 m）天，这30天的生产总量为w件，根据题意列出函数关系式，先求得m≤20，再根据一次函数的性质，即可求解．
26．【答案】解：问题一：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为（x+20)元，
则
解得： x=70，
经检验x=70是分式方程的解，且符合题意
x+20=70+20=90，
答：每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”的进价为90元。
问题二：W= （80-70) a+（105-90)（200-a) =-5a+3000
根据题意可得： 70a+90（200-a)≤16800
解不等式得： a≥60，
∵k=-5<0，
∴W随着a的增大而减小，
∴当a=60时，才能使总利润最大，
最少费用是W=-5a+3000=-5×60+3000=2700（元)，
此时200-a=200-60=140（套)，
答：“喜洋洋”玩偶买了60个，“乐融融”玩偶买了140个，则卖出所有吉祥物的总利润最大为2700元。
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】问题一：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为（x+20)元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
问题二：根据题意建立不等式，解不等式求出a的取值范围，再求出关于w的函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
27．【答案】（1）解：依题意易知： ，
代入浓度关系式， 得
解得
检验： 当 时，
所以， 是原分式方程的解
答：需要9.5kg 清水。
（2）解：
第一次漂洗后浓度 ：
第二次漂洗后浓度：
答： 进行两次漂洗， 能达到洗衣目标。
（3）解：根据 (1) 和 (2) 的漂洗结果， 达到相同的清洗效果，
分两次漂洗更节约水 (注： 答案不唯一， 合理即可)
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）只经过一次漂洗时，令，代入浓度关系式，得到关于w的分式方程，求解即可得到w的值；
（2）根据题意得每次漂洗的水量，代入，计算求得第1漂洗后的浓度，结果作为d前再次代入，即可得到漂洗后的结果，与0.01%比较即可.
（3）答案不唯一，合理即可.
28．【答案】解：任务1：设红粉西红柿进价为每千克x元，则有机西红柿进价为每千克1.5x元
由题意可得：
解得：x=5
经检验，x=5是方程的根，且符合题意
∴1.5x=7.5
∴红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元
任务2：设标价（白天的售价）为每千克y元
由题意可得：
解得：y≥10
∴标价（白天的售价）最低价为每千克10元
任务3：∵10×0.9=9>7.5，10×0.8=8>7.5，10×0.7=7<7.5
∴九折和八折有利润，七折亏钱
20+2+2=24
∴每天进货多少20kg时利润最大.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设红粉西红柿进价为每千克x元，则有机西红柿进价为每千克1.5x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：红粉西红柿进价为每千克5元，则有机西红柿进价为每千克7.5元，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
任务3：根据题意求出打折后的价格，再比较大小即可求出答案.
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