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专题2.3 一元二次方程及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．下列选项中是一元二次方程的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，再作出判断．
2．把一元二次方程化成一般式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)，一般式的特点是：等号左边是一个关于未知数的二次整式，等号右边是0，据此将方程左边利用平方差公式展开，然后将方程右边的项移到方程的左边，并将左边的多项式按x作降幂排列即可得出答案.
3．若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的一个实数根为2025，
∴，
∴，即，
∴是方程的实数根．
故选：D．
【分析】
先由一元二次方程根的定义把代入方程中得到等式，再给等式两边同时除以即可．
4．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（　　）
x 0 1 2
5
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格数据可知当时，的值大于0，
当时，的值小于0，
因此的一个解的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】根据表格数据先求出当时，的值大于0，再求出当时，的值小于0，最后求取值范围即可.
5．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，那么以下说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
∴此选项不符合题意；
B、由A可得：，
当时，则，
当时，则的大小关系不能明确判断，
∴不正确，
∴此选项不符合题意；
C、∵，
由A可得：，
∴，
∴，
∵，
则
∴此选项符合题意；
D、∵
∴
∴
∵的值与0的关系不知道
∴这个说法不正确，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、由一元二次方程的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可求解；
B、由题意，分两种情况：当时，当时，并结合A的结论即可判断求解；
C、由幂的乘方的运算，并结合A的结论和不等式的性质即可判断求解；
D、结合A的结论和不等式的性质即可判断求解.
6．定义新运算：，例如：若方程x*1=m有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．-1 B．-3 C．0 D．3
【答案】B
【知识点】列一元二次方程；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由已知可得，
整理得，，
∵方程x*1=m有两个相等的实数根，
∴16-4（1-m）=0，
∴m=-3.
故答案为：B.
【分析】 根据题目中的新运算定义，将方程x*1=m转化为标准的一元二次方程形式，再根据判别式=0来求解m的值.
7．若一元二次方程的根为则该一元二次方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：由题意可得a=-2，b=3，c=1，
∴一元二次方程为.
故答案为：D.
【分析】 根据题目给出的根的表达式， 推断出方程的二次项系数、一次项系数和常数项， 进而得出答案.
8．已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，且，则，
∵△=，，
∴△＞0，
故选：A．
【分析】根据数轴上点的位置关系可得，再根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.
9．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为(　　)
A． B． C．x(1+x)=100 D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意建立方程即可求出答案.
10．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步 ”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步 ”设长为x步，则下列方程正确的是（　　）
A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864 D．2（x+x+12）=864
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可列方程为．
故答案为：A.
【分析】设长为步，则宽为步，利用矩形面积公式列方程解答即可．
二、填空题
11．若关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的的值　 　．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一，即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：根据题意得，解得：．
所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0．
【分析】先根据判别式的意义得到，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可解答．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
且，
∴且．
故答案为：且
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，结合二次方程的定义即可求出答案.
13． 若x1，x2 是一元二次方程； 的两个实数根，则. 　 　。
【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：
2026
故答案为：2026
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
14． 若∠A为锐角，且满足，则∠A的度数为　 　.
【答案】30°
【知识点】因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：将原等式移项得：，
方程两边同乘得：，
因式分解得：，
解得或．
因为为锐角，满足，当时，，不符合锐角定义，舍去．
当时，
∴．
故答案为：30° .
【分析】解关于sinA的一元二次方程，然后根据正弦的取值范围得到，即可根据特殊角的三角函数值解答即可.
15．随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：该种药品平均每场降价的百分率为，
根据题意得，
解得或，
由于是平均每次降价的百分率，所以，
故舍去，
即．
故答案为：。
【分析】设该种药品平均每场降价的百分率为，根据原价为元可以表示出两次降价后的价格， 结合现在仅卖元/瓶，建立等量关系：，然后再解方程，接着再根据x的取值范围，对x的值进行取舍，即可求解。
三、解答题
16． 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：
∴
∴或
（2）解：
∴x=0或x-5=0
∴x=0或x=5
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
17．（1）用三种方法解方程：
①公式法：
②配方法：
③因式分解法：
（2）解方程：x(x-7)=8(7-x).
【答案】（1）解：①a=1，b=-4，c=3，
②将方程变形得
即(
③原方程可化为(x-3)(x-1)=0，
（2）解：
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1） ① 利用公式法求解一元二次方程时，先分别列出a、b、c的值，再利用根的判别式进行判定，若，再利用求根公式写出根，否则方程无解；
② 用配方法求解一元二次方程时，先把常数项移到等号右边，若二次项系数为1，则直接给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，从而化等号左边为完全平方式，再直接开平方即可；
③ 若方程的右边为0且符合，则可直接对方程的左边分解因式，从而化一元二次方程为一元一次方程；
（2）若方程两边有公因式时，先移项，再提公因式化一元二次方程为一元一次方程并分别求解即可.
18．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法. 如：解方程.
解：原方程可变形，得，，.
解得，.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程.
解：原方程可变形，得，，
. 解得，)
上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为　 　，　 　，　 　，　 　.
（2）请用“平均数法”解方程：.
【答案】（1）7；2；-4；-10
（2）解：原方程可变形，得[(x+1)-6][(x+1)+6]=12
∴(x+1)2-62=12，
∴(x+1)2=48.
解得x1=-1+，x2=-1-.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】 1）由题意，得a==7，b=7-5=2，
由此原方程可变形，得[（x+7）-2][（x+7）+2]=5，
∴（x+7）2-22=5，
∴（x+7）2=5+22，
解得x1=-4，x2=-10．
∵c＞d，
∴c=-4，d=-10．
故答案为：7，2，-4，-10.
【分析】 （1）先根据“平均数法”确定a，b的值，再根据“直接开平方法”解方程，从而确定c，d的值即可；
（2）仿照“平均值法”的步骤解答即可.
19．阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：．
分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法．
解：设，则原方程换元为．
，解得：，
或．
解得，，，．
请参考例题解法，解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：设 则
或 (舍去)，
解得
（2）解：设 则
原方程转化为：
解得： (舍)或
解得： 经检验，x1、x2满足二次根式的取值范围， ∴原方程的解为：
【知识点】换元法解一元二次方程；高次方程
【解析】【分析】(1)设 把原方程化为 然后求解；
(2)设 把原方程化为 然后求解a的值，即可得到利用配方法解方程即可.
20．关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取得最大整数值时，方程的两个实数根分别为、，求的值．
【答案】（1）解：一元二次方程有实数根，
，
解得：，
k的取值范围为且
（2）解：且；
k取得最大整数值为，
原方程为，
，
，
，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用已知一元二次方程有实数解可得到b2-4ac≥0且k≠0，由此可得到关于k的不等式组，求出不等式的解集即可.
（2）由（1）可得到k的最大整数值，可得到原方程，再由一元二次方程根与系数的关系可得到x1+x2、x1x2的值，结合已知可得到的值；然后将代数式转化为，整体代入求值即可.
（1）解：一元二次方程有实数根，
，
解得：，
k的取值范围为且；
（2）解：且；
k取得最大整数值为，
原方程为，
，
，
，
．
21．阅读理解材料：已知实数，满足，，且．
根据材料求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得，，
．
解决以下问题：
（1）方程的两个实数根为，，则　 　，　 　．
（2）已知实数，满足，，且，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
【答案】（1）4；-3
（2）解：，，且，
、可看作方程的两根，
，，
，
；
（3）解：，
，
，
，
即，
、可看作方程的两根，
，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：（1）∵a=1，b=-4，c=-3
∴， ；
故答案为：4；-3；
【分析】(1)根据根与系数的公式： ， ，计算即可解答；
（2）由，可得、可看作方程的两根，即可根据根与系数的公式，，将式子变形为，代入值计算即可解答.
22． 如图， 中， 点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B 点开始沿BC边向点 C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）t为何值是，PQ的长度等于．
（2）线段 PQ能否将 分成面积3：5的两部分 若能，求出运动时间；若不能说明理由．
【答案】（1）解：设经过t秒后，PQ的长度等于，
∵点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒
∴AP=t cm， BQ=2t cm，
∴BP=AB-AP=(6-t)cm，
当时，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得：BP2+BQ2=PQ2
∴，
整理得：5t2-12t+4=0，
解得：，t2=2；
∴当，t2=2时，PQ的长度等于.
（2）解：线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分；
理由如下：
设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分
依题意得：△ABC的面积，BP=AB-AP=(6-y)cm， BQ=2ycm，
①当△BPQ的面积为△ABC面积的时，
依题意得：，
整理得：y2-6y+9=0，
解得：y=3；
②当△BPQ的面积为△ABC面积的时，
依题意得：
整理得：y2-6y+15=0，
∵Δ=36-60<0，
∴方程无实数根
∴经过3秒时，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】(1)在Rt△PBQ中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可；
(2)分△BPQ的面积为△ABC面积的和△BPQ的面积为△ABC面积的，列出方程进行求解即可.
23．根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
【答案】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，
∴
解得：；
（2）根据题意可列方程得：
，
整理得：，
解得：，，
由（1）得：，
∴x=190不符合题意，应舍去，
，
路面设置的宽度符合要求；
答：路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，
根据题意可列方程得：
整理得：
解得：，
由（1）得：，
∴x=195不符合题意，应舍去，
，
假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”可列关于的不等式，解这个不等式即可求得x的取值范围；
（2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，结合（1）中x的取值范围即可求解；
（3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）中x的取值范围即可求解．
24．综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务．
设计合适的盒子
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）．
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是．
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是．
问题解决
任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高．
任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高．
任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？
【答案】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务二：设剪去的正方形的边长为，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则
，
整理得：，
解得：，，
答：每个有盖盒子应降价元或元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，解方程即可求出答案.
任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，解方程即可求出答案.
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，解方程即可求出答案.
25．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．
③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；．
【解决问题】
（1）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天
（2）类比十进制加减法计算（结果保留二进制）
例如；
写出________________
（3）小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）．
【答案】（1）510
（2）
（3）解：由题意，得：，
解得：或（舍去）；
故
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；一元二次方程的应用-数字问题；进位制的认识与探究
【解析】【解答】（1）解：（天）；
故答案为：510；
（2）解：；
故答案为：观察利用图1，根据图2，列出算式进行计算即可；
（2）类比十进制的加减运算，进行计算即可；
（3）根据进制之间的换算关系，可得到关于n的方程，解方程求出符合题意的n的值.
（1）解：（天）；
故答案为：510；
（2）；
故答案为：
（3）由题意，得：，
解得：或（舍去）；
故．
26．如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加；然后在水平地面继续上滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小．速度与时间的关系如图2中的实线所示．（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）
（1）若时，求解下面问题．
①求的值；
②写出滚动的路程（单位：）关于滚动时间（单位：）的函数解析式．
（2）若小球滚动最大的路程，则小球在水平地面上滚动了多长时间？
【答案】（1）解：①当时，小球在斜面运动的速度与时间的关系为：
∴当时，
由于小球在地面上滚动的每秒减少，
∴小球在地面滚动的速度为：
∴当时，
即：；
② 小球在斜面运动的时间范围是在斜面上的平均速度为：
∴小球在斜面的运动路程为：
当时，小球在地面运动的速度
∴，
∴小球运动的路程，
综合上述：，
（2）解：设小球在斜面的运动时间为，则小球在斜面运动的速度为：，
小球在斜面运动的平均速度为：，
小球在斜面运动的路程为：，
∴小球在水平面运动的速度为：，
小球在水平面运动的平均速度为：，
小球在水平面运动的路程为：，
∴小球运动路程关于的函数为：
当时，有最大值为即
解得：
∴，
∴小球在水平地面上滚动的时间为：．
【知识点】一元二次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）①根据题意求出当时，小球在斜面运动的速度与时间的关系式为：据此求出当t=8时的速度，进而结合"小球在地面上滚动的每秒减少"即可求出m的值；
②当时，结合题意求出小球在地面运动的速度即可求解；
（2）设小球在斜面的运动时间为，求出小球在斜面运动的路程和小球在水平面运动的路程，最后将两者相加即可.

1 / 1专题2.3 一元二次方程及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．下列选项中是一元二次方程的是（　　）．
A． B． C． D．
2．把一元二次方程化成一般式为（　　）
A． B． C． D．
3．若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（　　）
A．1 B． C． D．
4．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（　　）
x 0 1 2
5
A． B． C． D．
5．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，那么以下说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．定义新运算：，例如：若方程x*1=m有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．-1 B．-3 C．0 D．3
7．若一元二次方程的根为则该一元二次方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
9．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范.疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为(　　)
A． B． C．x(1+x)=100 D．
10．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步 ”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步 ”设长为x步，则下列方程正确的是（　　）
A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864 D．2（x+x+12）=864
二、填空题
11．若关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的的值　 　．（写出一个即可）
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
13． 若x1，x2 是一元二次方程； 的两个实数根，则. 　 　。
14． 若∠A为锐角，且满足，则∠A的度数为　 　.
15．随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为　 　．
三、解答题
16． 解方程
（1）
（2）
17．（1）用三种方法解方程：
①公式法：
②配方法：
③因式分解法：
（2）解方程：x(x-7)=8(7-x).
18．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法. 如：解方程.
解：原方程可变形，得，，.
解得，.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程.
解：原方程可变形，得，，
. 解得，)
上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为　 　，　 　，　 　，　 　.
（2）请用“平均数法”解方程：.
19．阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：．
分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法．
解：设，则原方程换元为．
，解得：，
或．
解得，，，．
请参考例题解法，解下列方程：
（1）；
（2）．
20．关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取得最大整数值时，方程的两个实数根分别为、，求的值．
21．阅读理解材料：已知实数，满足，，且．
根据材料求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得，，
．
解决以下问题：
（1）方程的两个实数根为，，则　 　，　 　．
（2）已知实数，满足，，且，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
22． 如图， 中， 点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B 点开始沿BC边向点 C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）t为何值是，PQ的长度等于．
（2）线段 PQ能否将 分成面积3：5的两部分 若能，求出运动时间；若不能说明理由．
23．根据以下素材，完成探索任务．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米．
素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．
24．综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务．
设计合适的盒子
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）．
素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是．
素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是．
问题解决
任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高．
任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高．
任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？
25．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数．
③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；．
【解决问题】
（1）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天
（2）类比十进制加减法计算（结果保留二进制）
例如；
写出________________
（3）小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）．
26．如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加；然后在水平地面继续上滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小．速度与时间的关系如图2中的实线所示．（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）
（1）若时，求解下面问题．
①求的值；
②写出滚动的路程（单位：）关于滚动时间（单位：）的函数解析式．
（2）若小球滚动最大的路程，则小球在水平地面上滚动了多长时间？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，再作出判断．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)，一般式的特点是：等号左边是一个关于未知数的二次整式，等号右边是0，据此将方程左边利用平方差公式展开，然后将方程右边的项移到方程的左边，并将左边的多项式按x作降幂排列即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的一个实数根为2025，
∴，
∴，即，
∴是方程的实数根．
故选：D．
【分析】
先由一元二次方程根的定义把代入方程中得到等式，再给等式两边同时除以即可．
4．【答案】A
【知识点】估算一元二次方程的近似解
【解析】【解答】解：由表格数据可知当时，的值大于0，
当时，的值小于0，
因此的一个解的取值范围是．
故答案为：A．
【分析】根据表格数据先求出当时，的值大于0，再求出当时，的值小于0，最后求取值范围即可.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
∴此选项不符合题意；
B、由A可得：，
当时，则，
当时，则的大小关系不能明确判断，
∴不正确，
∴此选项不符合题意；
C、∵，
由A可得：，
∴，
∴，
∵，
则
∴此选项符合题意；
D、∵
∴
∴
∵的值与0的关系不知道
∴这个说法不正确，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、由一元二次方程的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可求解；
B、由题意，分两种情况：当时，当时，并结合A的结论即可判断求解；
C、由幂的乘方的运算，并结合A的结论和不等式的性质即可判断求解；
D、结合A的结论和不等式的性质即可判断求解.
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由已知可得，
整理得，，
∵方程x*1=m有两个相等的实数根，
∴16-4（1-m）=0，
∴m=-3.
故答案为：B.
【分析】 根据题目中的新运算定义，将方程x*1=m转化为标准的一元二次方程形式，再根据判别式=0来求解m的值.
7．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：由题意可得a=-2，b=3，c=1，
∴一元二次方程为.
故答案为：D.
【分析】 根据题目给出的根的表达式， 推断出方程的二次项系数、一次项系数和常数项， 进而得出答案.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，且，则，
∵△=，，
∴△＞0，
故选：A．
【分析】根据数轴上点的位置关系可得，再根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.
9．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意建立方程即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可列方程为．
故答案为：A.
【分析】设长为步，则宽为步，利用矩形面积公式列方程解答即可．
11．【答案】0（答案不唯一，即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：根据题意得，解得：．
所以当m取0时，方程有两个不相等的实数根．
故答案为：0．
【分析】先根据判别式的意义得到，解不等式得到m的范围，然后在此范围内取一个值即可解答．
12．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
且，
∴且．
故答案为：且
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，结合二次方程的定义即可求出答案.
13．【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：
2026
故答案为：2026
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
14．【答案】30°
【知识点】因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：将原等式移项得：，
方程两边同乘得：，
因式分解得：，
解得或．
因为为锐角，满足，当时，，不符合锐角定义，舍去．
当时，
∴．
故答案为：30° .
【分析】解关于sinA的一元二次方程，然后根据正弦的取值范围得到，即可根据特殊角的三角函数值解答即可.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：该种药品平均每场降价的百分率为，
根据题意得，
解得或，
由于是平均每次降价的百分率，所以，
故舍去，
即．
故答案为：。
【分析】设该种药品平均每场降价的百分率为，根据原价为元可以表示出两次降价后的价格， 结合现在仅卖元/瓶，建立等量关系：，然后再解方程，接着再根据x的取值范围，对x的值进行取舍，即可求解。
16．【答案】（1）解：
∴
∴或
（2）解：
∴x=0或x-5=0
∴x=0或x=5
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据配方法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）解：①a=1，b=-4，c=3，
②将方程变形得
即(
③原方程可化为(x-3)(x-1)=0，
（2）解：
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1） ① 利用公式法求解一元二次方程时，先分别列出a、b、c的值，再利用根的判别式进行判定，若，再利用求根公式写出根，否则方程无解；
② 用配方法求解一元二次方程时，先把常数项移到等号右边，若二次项系数为1，则直接给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，从而化等号左边为完全平方式，再直接开平方即可；
③ 若方程的右边为0且符合，则可直接对方程的左边分解因式，从而化一元二次方程为一元一次方程；
（2）若方程两边有公因式时，先移项，再提公因式化一元二次方程为一元一次方程并分别求解即可.
18．【答案】（1）7；2；-4；-10
（2）解：原方程可变形，得[(x+1)-6][(x+1)+6]=12
∴(x+1)2-62=12，
∴(x+1)2=48.
解得x1=-1+，x2=-1-.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】 1）由题意，得a==7，b=7-5=2，
由此原方程可变形，得[（x+7）-2][（x+7）+2]=5，
∴（x+7）2-22=5，
∴（x+7）2=5+22，
解得x1=-4，x2=-10．
∵c＞d，
∴c=-4，d=-10．
故答案为：7，2，-4，-10.
【分析】 （1）先根据“平均数法”确定a，b的值，再根据“直接开平方法”解方程，从而确定c，d的值即可；
（2）仿照“平均值法”的步骤解答即可.
19．【答案】（1）解：设 则
或 (舍去)，
解得
（2）解：设 则
原方程转化为：
解得： (舍)或
解得： 经检验，x1、x2满足二次根式的取值范围， ∴原方程的解为：
【知识点】换元法解一元二次方程；高次方程
【解析】【分析】(1)设 把原方程化为 然后求解；
(2)设 把原方程化为 然后求解a的值，即可得到利用配方法解方程即可.
20．【答案】（1）解：一元二次方程有实数根，
，
解得：，
k的取值范围为且
（2）解：且；
k取得最大整数值为，
原方程为，
，
，
，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用已知一元二次方程有实数解可得到b2-4ac≥0且k≠0，由此可得到关于k的不等式组，求出不等式的解集即可.
（2）由（1）可得到k的最大整数值，可得到原方程，再由一元二次方程根与系数的关系可得到x1+x2、x1x2的值，结合已知可得到的值；然后将代数式转化为，整体代入求值即可.
（1）解：一元二次方程有实数根，
，
解得：，
k的取值范围为且；
（2）解：且；
k取得最大整数值为，
原方程为，
，
，
，
．
21．【答案】（1）4；-3
（2）解：，，且，
、可看作方程的两根，
，，
，
；
（3）解：，
，
，
，
即，
、可看作方程的两根，
，，
．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：（1）∵a=1，b=-4，c=-3
∴， ；
故答案为：4；-3；
【分析】(1)根据根与系数的公式： ， ，计算即可解答；
（2）由，可得、可看作方程的两根，即可根据根与系数的公式，，将式子变形为，代入值计算即可解答.
22．【答案】（1）解：设经过t秒后，PQ的长度等于，
∵点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒
∴AP=t cm， BQ=2t cm，
∴BP=AB-AP=(6-t)cm，
当时，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得：BP2+BQ2=PQ2
∴，
整理得：5t2-12t+4=0，
解得：，t2=2；
∴当，t2=2时，PQ的长度等于.
（2）解：线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分；
理由如下：
设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分
依题意得：△ABC的面积，BP=AB-AP=(6-y)cm， BQ=2ycm，
①当△BPQ的面积为△ABC面积的时，
依题意得：，
整理得：y2-6y+9=0，
解得：y=3；
②当△BPQ的面积为△ABC面积的时，
依题意得：
整理得：y2-6y+15=0，
∵Δ=36-60<0，
∴方程无实数根
∴经过3秒时，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】(1)在Rt△PBQ中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可；
(2)分△BPQ的面积为△ABC面积的和△BPQ的面积为△ABC面积的，列出方程进行求解即可.
23．【答案】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，
∴
解得：；
（2）根据题意可列方程得：
，
整理得：，
解得：，，
由（1）得：，
∴x=190不符合题意，应舍去，
，
路面设置的宽度符合要求；
答：路面设置的宽度符合要求；
（3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下：
假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，
根据题意可列方程得：
整理得：
解得：，
由（1）得：，
∴x=195不符合题意，应舍去，
，
假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”可列关于的不等式，解这个不等式即可求得x的取值范围；
（2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，结合（1）中x的取值范围即可求解；
（3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）中x的取值范围即可求解．
24．【答案】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务二：设剪去的正方形的边长为，则
，
整理得：，
解得：，，
经检验：不符合题意舍去，
∴，
∴该长方体盒子的高为；
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则
，
整理得：，
解得：，，
答：每个有盖盒子应降价元或元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，解方程即可求出答案.
任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，解方程即可求出答案.
任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，解方程即可求出答案.
25．【答案】（1）510
（2）
（3）解：由题意，得：，
解得：或（舍去）；
故
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；一元二次方程的应用-数字问题；进位制的认识与探究
【解析】【解答】（1）解：（天）；
故答案为：510；
（2）解：；
故答案为：观察利用图1，根据图2，列出算式进行计算即可；
（2）类比十进制的加减运算，进行计算即可；
（3）根据进制之间的换算关系，可得到关于n的方程，解方程求出符合题意的n的值.
（1）解：（天）；
故答案为：510；
（2）；
故答案为：
（3）由题意，得：，
解得：或（舍去）；
故．
26．【答案】（1）解：①当时，小球在斜面运动的速度与时间的关系为：
∴当时，
由于小球在地面上滚动的每秒减少，
∴小球在地面滚动的速度为：
∴当时，
即：；
② 小球在斜面运动的时间范围是在斜面上的平均速度为：
∴小球在斜面的运动路程为：
当时，小球在地面运动的速度
∴，
∴小球运动的路程，
综合上述：，
（2）解：设小球在斜面的运动时间为，则小球在斜面运动的速度为：，
小球在斜面运动的平均速度为：，
小球在斜面运动的路程为：，
∴小球在水平面运动的速度为：，
小球在水平面运动的平均速度为：，
小球在水平面运动的路程为：，
∴小球运动路程关于的函数为：
当时，有最大值为即
解得：
∴，
∴小球在水平地面上滚动的时间为：．
【知识点】一元二次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）①根据题意求出当时，小球在斜面运动的速度与时间的关系式为：据此求出当t=8时的速度，进而结合"小球在地面上滚动的每秒减少"即可求出m的值；
②当时，结合题意求出小球在地面运动的速度即可求解；
（2）设小球在斜面的运动时间为，求出小球在斜面运动的路程和小球在水平面运动的路程，最后将两者相加即可.

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