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专题2.4 一元一次不等式（组）及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．北京烤鸭不仅是一道美食，更是中华民族美食瑰宝中的璀璨明珠．为保证口感，北京烤鸭的标准鸭子重量一般不低于，不高于．下面用不等式表示这一范围正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式组；不等式的概念
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故选：B．
【分析】根据不低于表示为“”，不高于表示为“”，即可得出答案．
2．若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：因为 是关于的一元一次不等式，
所以，m+1≠0，且
解得，m=1
将m=1代入 ，可得
（1+1）x+2>0，化简，可得，2x+2>0
解得，x>-1
故答案为：C
【分析】根据一元一次不等式的定义，确定x的指数和系数条件，进而求出m的值，代入解不等式即可。
3．下列说法错误的是（　　）
A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解
【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；判断是否为不等式的解（集）
【解析】【解答】解：A、不等式x 3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．
选：C．
【分析】根据选项中的语句逐一判断即可解答．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴其解集在数轴上表示如下图所示：
故答案为：D.
【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可求解.
5．若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（　　）
A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4
【答案】A
【知识点】不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：，
，得，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】将两式相加求得，代入不等式组解得.
6．如果是一个不等于的负整数，那么，，，这几个数从小到大的排列顺序是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法；不等式的性质
【解析】【解答】解：．
∵是一个不等于的负整数，
∴m<0，m+1<0，，．
∴．
∴
∴．
∴．
∴．
故选：B．
【分析】根据作差比较法比较大小，结合分式的加减，不等式的性质即可求出答案.
7．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意得
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出关于x的不等式组，解不等式组并结合“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求解．
8．某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设A种产x件，B种产品件，
，
，
因为x为整数，
所以，31，32
所以有3种方案
方案1，A产品30件，B产品20件；
方案2，A产品31件，B产品19件；
方案3，A产品32件，B产品18件．
有3种方案．
故答案为：B．
【分析】设A种产x件，B种产品件，根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
9．某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于17℃的山坡。已知某山区山脚下的平均气温为20℃，并且海拔每上升100m，气温下降0.6℃。要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上 设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高 xm的山坡上，则列出的不等式为（　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A．
【分析】表示出比山脚的海拔高x m的山坡上的温度，再由杜鹃花适宜生长在平均气温不低于17℃的山坡列不等式即可．
10．周末，小舞到社区附近体育馆去游泳，在咨询收费情况时，负责值班的两名同学有了下面这段对话．
小舞大致计算了一下自己的游泳情况，试判断下列说法正确的是（　　）
A．如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适
B．如果一年使用次数超过10，那么采用办会员卡的方式比较合适
C．不管自己一年使用多少次，这两种收费方式都一样
D．无法判断这两种收费方式哪种比较合适
【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小舞一年游泳x次，则办会员一年的费用为元，不办会员一年的费用为元，
当时，，
当时，
当时，
∴如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适，如果一年使用次数不超过20，那么采用不办会员卡的方式比较合适，如果一年使用次数为20，那么两种方式费用一样，
故选：A．
【分析】设小舞一年游泳x次，则办会员一年的费用为元，不办会员一年的费用为元，然后建立不等式求出办会员卡时的费用小于，大于或等于不办会员卡时x的取值范围即可得到结论．
二、填空题
11．若关于x的不等式组所有的整数解均大于0且和为5，则a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式x-1≤ x，解得 x≤3；
解不等式 x<2(x-a)，解得x>2a，
则不等式组的解集为2a∵不等式组所有的整数解均大于0且和为5，
∴有2个整数解为3，2，
故答案为：.
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到解集后确定不等式组的解集，再根据整数解的条件求出a的取值范围.
12．定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有　 　个．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：将不等式组
∴，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，
∴不等式组的整数解共个.
故答案为：．
【分析】利用题中的新定义运算化简不等式组，再求出不等式的解集，进而得出答案．
13．若整数a使得关于x的一元二次方程有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a有　 　个.
【答案】5
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元一次不等式组的含参问题；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 整数a使得关于x的一元二次方程有实数根，
∴a-2且，
∴且a-2，
解不等式组，
解得：，
∵ 且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，
∴a=2、1、0、-1、-2、-3，
又∵a-2，
∴a=2、1、0、-1、-3，
∴ 符合条件的整数a有5个.
故答案为：5.
【分析】根据已知条件可得a-2且，可求出a的范围，再根据的解集及关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，即可得出答案.
14．阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：，，，
，，
则，，，
解得，
，
故答案为：．
【分析】本题考查取整函数（高斯函数）的定义、不等式组的求解. 解题关键：先根据，判断出每个取整项的取值只能是0或1，再结合总和为2023，确定只有1项为0、其余2023项为1，进而列出关于a的不等式组，求出2025a的范围，最后根据取整函数定义得到结果.
15．有5张正面分别有数字，，0，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；概率公式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵函数经过第二、四象限，
∴，
∴，
，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∵关于x的不等式组有实数解，
∴，
∴，
∴，
∴符合条件的的值为，0，1，
∴使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是，
故答案为：．
【分析】利用一次函数图象与系数的关系，可得到a的取值范围；分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，根据不等式组有实数解，可得到a的取值范围，综上所述可得到a的取值范围，可得到符合题意的a的值，即可求出不等式组有实数解的概率.
三、解答题
16．解不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：解不等式3x-2<2x+2得x<4；
解不等式6-x≥1-3（x-1)得x≥-1，
故不等式组的解集为：-1≤x<4
（2）解：解不等式（1）得
解不等式（2）得x≥0.
故不等式组的解集为：x≥0.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
17．下面是小星同学解不等式的过程：
解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步
①小星同学的解答过程从第 ▲ 步开始出错；
②请写出你认为正确的解答过程．
【答案】①一
②去分母，得：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：①第一步，去分母错误，
故答案为：一；
【分析】①由题母解答过程逐步分析得到错误步骤；
②根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解一元一次不等式即可．
18．解不等式（组)：
（1）并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组 并写出它的整数解.
【答案】（1）解：
∴6-2（2x-4)≥3（1-5x)，
6-4x+8≥3-15x，
-4x+15x≥3-6-8，
11x≥-11，
则x≥-1，
将解集表示在数轴上如下：
（2）解：解不等式①得： x≥-3，
解不等式②得： x<3，
则不等式组的解集为-3≤x<3，其整数解为-3、-2、-1、0、1、2.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再求出整数解即可求出答案.
19． 【阅读理解】同学们，我们来探索利用不等式的基本性质来确定代数式的取值范围的方法.例如，解答“已知a-b=6， a>5， b<3，试确定a+b的范围”.
小明的解题过程如图所示.
【尝试探究】参考小明的方法，解答下面的问题：
（1）已知x-y=5， x>2， y<0，求x+y的取值范围.
（2）已知x+y=8， x≥5， y>1，求x-y的取值范围.
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
②，
得，；
（2）解：，
，
，
，
，
，
①，
，
，
②，
得，．
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）利用题目中的关系式求出x和y的取值范围，然后相加解答即可；
（2）利用题目中的关系式求出x和-y的取值范围，然后相加解答即可.
20．先阅读理解下面的例题，再按要求解答：.
例题：解一元二次不等式x2-9>0.
解：x2-9=(x+3)(x-3)
(x+3)(x-3)>0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有(1)(2)
解不等式组（1），得，
解不等式组（2），得，
故的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或.
问题：求分式不等式的解集.
【答案】解：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，有(1)(2)
解不等式组(1)，得，解不等式组(2)，得无解，故分式不等式的解集为.
【知识点】有理数的除法法则；解特殊的不等式组
【解析】【分析】先根据有理数的除法结合题意得到(1)(2)，进而解不等式组，从而即可得到分式不等式的解。
21．随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品.某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以24000元购进一批该款运动器材.商品上市后迅速售罄，商场随即又用52000元购进第二批同款运动器材.第二批购进的数量是第一批的2倍，每套器材的进价比第一批多出20元.
（1）该商场两次共购进这种运动器材多少套
（2）如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于30%，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数) （利润率
【答案】（1）解：设第一批购进运动器材x套，则第二批购进2x套，
根据题意可得：
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
则两次共购进： x+2x=100+2×100=300 （套) ，
答：该商场两次共购进这种运动器材300套；
（2）解：设每套器材售价为y元，
∵成本为24000+52000=76000 （元) ，
∴利润为300y-76000，
由总利润率不低于30%可得：
解得
因为y取整数，
所以y的最小值为330，
所以每套器材售价至少是330元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设第一批购进运动器材x套，则第二批购进2x套，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设每套器材售价为y元，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
22．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为自然数时，若则=n；反之，当n为自然数时，若=n，则例如：<0>=<0.49>=0，<0.51>=<1.49>=1，<2>=2，<3.5>=<4.1>=4，…，试着解决下列问题：
（1）①<π>=　 　.
②若=3，则非负实数x的取值范围是　 　.
（2）求满足的所有非负实数x的值.
（3）若关于x的不等式组的整数解有4个，求a的取值范围。
【答案】（1）3；1.5≤x<2.5
（2）解：
根据题意可得：，为整数，
设，为整数，
则，
，
，，
，
，，，
则，，；
（3）解：，
由①可得：，
由②可得：，
∵不等式组有解，
∴，
∵该不等式组有且只有4个整数解，
∴，则，
∴．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴；
故答案为：，
，
∴，即，
∴；
故答案为：；（2）（3）
【分析】（1）①根据题目所给新定义，将的十分位进行四舍五入即可；②根据题意可得，再根据不等式的性质求解即可；
（2）根据题意可得：，为整数，设，为整数，将原式改写为，根据题目所给新定义可得，求出k的取值范围，即可求出x，
（3）求解不等式组得，根据该不等式组有且只有4个整数解，得出，则，即可求解．
23． 【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水1500ml~1700ml，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态.建议大家养成主动饮水的习惯.喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在35℃~40℃.
素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.已知温水的温度为30℃，流速为25ml/s；开水的温度为100℃，流速为20ml/s.整个接水过程中不计热量损失. 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度.
【问题解决】
（1）若用空杯先接了8s温水，后再接5s的开水，此时温水和开水混合后共有　 　ml水；
（2）小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：
①小康接水的时间一共用了15s，得到一杯 350ml的水，求这杯水混合后的水温；
②若小康想得到一杯350ml温度不低于40℃的水（不计热量损失)，求小康接开水的时间至少是多少秒
【答案】（1）300
（2）解：①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，
根据题意得：25x+20（15-x)=350，
解得：x=10，
∴25x=25×10=250（ml)， 20（22-x)=20×（15-10)=100（ml)，
∴小康同学接了250ml温水，100ml开水，
∴这杯水混合后的水温为（250×30+100×100)÷350=50（℃)；
②该小康接开水的时间是y秒，由题意得：
20y×100+（350-20y)·30≥350×40
解得：
∴小康接开水的时间至少是秒
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
8×25+5×20=300ml
故答案为：300
【分析】（1）根据题意，结合有理数的乘法，加法列式计算即可求出答案.
（2）①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②该小康接开水的时间是y秒，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
24．每年3月1日至6月30日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期.开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平.
材料一：全年应纳税所得额=全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）—60000元（基本减除费用）—专项附加扣除.应纳税额=全年应纳税所得额×适用税率一速算扣除数.
居民个人综合所得税率表（部分）
全年应纳税所得额 税率（%） 速算扣除数
不超过36000元的 3 0
超过36000元至144000元的 10 2520
超过144000元至300000元的 20 16920
居民全年一次性奖金税率表（部分）
全年一次性奖金 税率（%） 速算扣除数
不超过36000元的 3 0
超过36000元至.144000元的 10 210
超过144000元至300000元的 20 1410
材料二：根据财政部的政策，至2027年12月31日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税.如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额=全年一次性奖金收入×适用税率一速算扣除数.
例如，小张全年税前综合收入为120000元，其中全年一次性奖金20000元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额=（120000-60000）×10%-2520=3480元；若小张选择单独计税，则应纳税额=（120000-60000-20000）×10%-2520+20000×3%=2080元.材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为24000元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各50%，或者一方100%扣除.
（1）小李全年税前综合收入为150000元，其中全年一次性奖金36000元，专项附加扣除有额度60000元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式.
（2）应届本科毕业生小王，无专项附加扣除.经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为1500元.已知其全年一次性奖金不低于10000元但不超过36000元，试问小王的税前年综合收入范围是多少
（3）小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为12万元，小陈全年一次性奖金10000元，小丽全年一次性奖金30000元，除子女教育外均无其他专项附加扣除.小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理.从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理.
【答案】（1）解：分别计算两种计税方式的总应纳税额，再比较大小，
合并计税：全年应纳税所得额（元），
∵，
∴适用税率，速算扣除数，则应纳税额（元），
单独计税：综合部分应纳税所得额（元），综合部分应纳税额为，全年一次性奖金元，适用税率，速算扣除数，奖金应纳税额（元），
总应纳税额（元），
因为，
所以合并计税纳税更少，
答：选择合并计税方式；
（2）解：设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为，
单独计税时，奖金应纳税额为，综合部分应纳税所得额为，
当时，，
总应纳税额满足：，
整理得，代入的范围得，
当时，，
总应纳税额满足：，
整理得，解得，
综上，小王税前年综合收入满足，
答：小王的税前年综合收入不低于元，不高于元；
（3）解：子女教育总扣除额度为元，分别计算两种扣除方式的家庭总纳税额：
第一种：平摊扣除，两人各扣除元，
计算小陈税额：小陈总收入元，奖金元，工资部分元，综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小陈总税额（元），
计算小丽税额：小丽总收入元，奖金元，工资部分元，
综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小丽总税额（元），
家庭总税额（元）；
第二种：小陈全额扣除元，小丽不扣除，
计算小陈税额：
综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小陈总税额（元），
计算小丽税额：综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小丽总税额（元），
家庭总税额（元），
因为，
所以小陈的方式下家庭总纳税额更少，
答：小陈的方式更合理．
【知识点】一元一次不等式的应用；有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】
（）根据纳税额计算公式，计算两种方案的总纳税额，比较大小解答即可；
（）设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为，求出不同方案的总纳税额， 从而计算满足条件的收入取值范围解答即可；
（）根据纳税额计算公式，分别求出不同方案的总纳税额，比较大小解答即可．
1 / 1专题2.4 一元一次不等式（组）及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．北京烤鸭不仅是一道美食，更是中华民族美食瑰宝中的璀璨明珠．为保证口感，北京烤鸭的标准鸭子重量一般不低于，不高于．下面用不等式表示这一范围正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是(　　)
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是（　　）
A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个
C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
5．若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（　　）
A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4
6．如果是一个不等于的负整数，那么，，，这几个数从小到大的排列顺序是（　　）
A． B．
C． D．
7．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
9．某种杜鹃花适宜生长在平均气温不低于17℃的山坡。已知某山区山脚下的平均气温为20℃，并且海拔每上升100m，气温下降0.6℃。要在该山坡种植这种杜鹃花，应种在比山脚的海拔最多高多少的山坡上 设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高 xm的山坡上，则列出的不等式为（　　)
A． B．
C． D．
10．周末，小舞到社区附近体育馆去游泳，在咨询收费情况时，负责值班的两名同学有了下面这段对话．
小舞大致计算了一下自己的游泳情况，试判断下列说法正确的是（　　）
A．如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适
B．如果一年使用次数超过10，那么采用办会员卡的方式比较合适
C．不管自己一年使用多少次，这两种收费方式都一样
D．无法判断这两种收费方式哪种比较合适
二、填空题
11．若关于x的不等式组所有的整数解均大于0且和为5，则a的取值范围是　 　.
12．定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有　 　个．
13．若整数a使得关于x的一元二次方程有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a有　 　个.
14．阅读理解：记表示不超过的最小整数，如，，应用：已知，且，则的值为　 　．
15．有5张正面分别有数字，，0，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是　 　．
三、解答题
16．解不等式组：
（1）
（2）
17．下面是小星同学解不等式的过程：
解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步
①小星同学的解答过程从第 ▲ 步开始出错；
②请写出你认为正确的解答过程．
18．解不等式（组)：
（1）并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组 并写出它的整数解.
19． 【阅读理解】同学们，我们来探索利用不等式的基本性质来确定代数式的取值范围的方法.例如，解答“已知a-b=6， a>5， b<3，试确定a+b的范围”.
小明的解题过程如图所示.
【尝试探究】参考小明的方法，解答下面的问题：
（1）已知x-y=5， x>2， y<0，求x+y的取值范围.
（2）已知x+y=8， x≥5， y>1，求x-y的取值范围.
20．先阅读理解下面的例题，再按要求解答：.
例题：解一元二次不等式x2-9>0.
解：x2-9=(x+3)(x-3)
(x+3)(x-3)>0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有(1)(2)
解不等式组（1），得，
解不等式组（2），得，
故的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或.
问题：求分式不等式的解集.
21．随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品.某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以24000元购进一批该款运动器材.商品上市后迅速售罄，商场随即又用52000元购进第二批同款运动器材.第二批购进的数量是第一批的2倍，每套器材的进价比第一批多出20元.
（1）该商场两次共购进这种运动器材多少套
（2）如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于30%，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数) （利润率
22．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为自然数时，若则=n；反之，当n为自然数时，若=n，则例如：<0>=<0.49>=0，<0.51>=<1.49>=1，<2>=2，<3.5>=<4.1>=4，…，试着解决下列问题：
（1）①<π>=　 　.
②若=3，则非负实数x的取值范围是　 　.
（2）求满足的所有非负实数x的值.
（3）若关于x的不等式组的整数解有4个，求a的取值范围。
23． 【阅读材料】
养成健康饮水的习惯
素材1 《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水1500ml~1700ml，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态.建议大家养成主动饮水的习惯.喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在35℃~40℃.
素材2 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.已知温水的温度为30℃，流速为25ml/s；开水的温度为100℃，流速为20ml/s.整个接水过程中不计热量损失. 小贴士 接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积×温水的温度=混合后的体积×混合后的温度.
【问题解决】
（1）若用空杯先接了8s温水，后再接5s的开水，此时温水和开水混合后共有　 　ml水；
（2）小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：
①小康接水的时间一共用了15s，得到一杯 350ml的水，求这杯水混合后的水温；
②若小康想得到一杯350ml温度不低于40℃的水（不计热量损失)，求小康接开水的时间至少是多少秒
24．每年3月1日至6月30日为我国个人所得税综合所得年度汇算清缴期.开展个税汇算，有利于纳税人准确计算全年实际应纳个人所得税，通过专项附加扣除（子女教育、赡养老人、住房贷款利息等）依法享受税收优惠，多退少补，切实维护纳税人合法权益，促进税负公平.
材料一：全年应纳税所得额=全年税前综合收入（不包括三险一金，且后文中的提到税前综合收入均不包括三险一金）—60000元（基本减除费用）—专项附加扣除.应纳税额=全年应纳税所得额×适用税率一速算扣除数.
居民个人综合所得税率表（部分）
全年应纳税所得额 税率（%） 速算扣除数
不超过36000元的 3 0
超过36000元至144000元的 10 2520
超过144000元至300000元的 20 16920
居民全年一次性奖金税率表（部分）
全年一次性奖金 税率（%） 速算扣除数
不超过36000元的 3 0
超过36000元至.144000元的 10 210
超过144000元至300000元的 20 1410
材料二：根据财政部的政策，至2027年12月31日之前，居民个人取得的全年一次性奖金可以选择并入当年的综合收入，也可以选择单独计算纳税.如果单独计算纳税，全年一次性奖金的税额计算公式为：全年一次性奖金应纳税额=全年一次性奖金收入×适用税率一速算扣除数.
例如，小张全年税前综合收入为120000元，其中全年一次性奖金20000元，无专项附加扣除，若小张选择合并计税，则应纳税额=（120000-60000）×10%-2520=3480元；若小张选择单独计税，则应纳税额=（120000-60000-20000）×10%-2520+20000×3%=2080元.材料三：为兼顾不同家庭的实际负担，个税设置专项附加扣除，其中子女教育专项附加扣除额度为24000元，夫妻可协商分配扣除额度，选择各50%，或者一方100%扣除.
（1）小李全年税前综合收入为150000元，其中全年一次性奖金36000元，专项附加扣除有额度60000元，试通过计算，为小李选择纳税最少的计税方式.
（2）应届本科毕业生小王，无专项附加扣除.经过对比，小王发现自己最优全年纳税额为1500元.已知其全年一次性奖金不低于10000元但不超过36000元，试问小王的税前年综合收入范围是多少
（3）小陈、小丽夫妻有一女儿正在读初中，夫妻俩税前年综合收入均为12万元，小陈全年一次性奖金10000元，小丽全年一次性奖金30000元，除子女教育外均无其他专项附加扣除.小丽觉得大家收入都相同，应该平摊子女教育的额度，但是小陈反对，认为自己全部扣除更加合理.从家庭综合收入的角度考虑，请你通过计算说明谁的方式更合理.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式组；不等式的概念
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故选：B．
【分析】根据不低于表示为“”，不高于表示为“”，即可得出答案．
2．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：因为 是关于的一元一次不等式，
所以，m+1≠0，且
解得，m=1
将m=1代入 ，可得
（1+1）x+2>0，化简，可得，2x+2>0
解得，x>-1
故答案为：C
【分析】根据一元一次不等式的定义，确定x的指数和系数条件，进而求出m的值，代入解不等式即可。
3．【答案】C
【知识点】不等式的解及解集；判断是否为不等式的解（集）
【解析】【解答】解：A、不等式x 3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意；
B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；
C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；
D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意．
选：C．
【分析】根据选项中的语句逐一判断即可解答．
4．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴其解集在数轴上表示如下图所示：
故答案为：D.
【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可求解.
5．【答案】A
【知识点】不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：，
，得，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】将两式相加求得，代入不等式组解得.
6．【答案】B
【知识点】分式的加减法；不等式的性质
【解析】【解答】解：．
∵是一个不等于的负整数，
∴m<0，m+1<0，，．
∴．
∴
∴．
∴．
∴．
故选：B．
【分析】根据作差比较法比较大小，结合分式的加减，不等式的性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意得
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出关于x的不等式组，解不等式组并结合“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求解．
8．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设A种产x件，B种产品件，
，
，
因为x为整数，
所以，31，32
所以有3种方案
方案1，A产品30件，B产品20件；
方案2，A产品31件，B产品19件；
方案3，A产品32件，B产品18件．
有3种方案．
故答案为：B．
【分析】设A种产x件，B种产品件，根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A．
【分析】表示出比山脚的海拔高x m的山坡上的温度，再由杜鹃花适宜生长在平均气温不低于17℃的山坡列不等式即可．
10．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小舞一年游泳x次，则办会员一年的费用为元，不办会员一年的费用为元，
当时，，
当时，
当时，
∴如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适，如果一年使用次数不超过20，那么采用不办会员卡的方式比较合适，如果一年使用次数为20，那么两种方式费用一样，
故选：A．
【分析】设小舞一年游泳x次，则办会员一年的费用为元，不办会员一年的费用为元，然后建立不等式求出办会员卡时的费用小于，大于或等于不办会员卡时x的取值范围即可得到结论．
11．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式x-1≤ x，解得 x≤3；
解不等式 x<2(x-a)，解得x>2a，
则不等式组的解集为2a∵不等式组所有的整数解均大于0且和为5，
∴有2个整数解为3，2，
故答案为：.
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到解集后确定不等式组的解集，再根据整数解的条件求出a的取值范围.
12．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：将不等式组
∴，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，
∴不等式组的整数解共个.
故答案为：．
【分析】利用题中的新定义运算化简不等式组，再求出不等式的解集，进而得出答案．
13．【答案】5
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元一次不等式组的含参问题；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 整数a使得关于x的一元二次方程有实数根，
∴a-2且，
∴且a-2，
解不等式组，
解得：，
∵ 且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，
∴a=2、1、0、-1、-2、-3，
又∵a-2，
∴a=2、1、0、-1、-3，
∴ 符合条件的整数a有5个.
故答案为：5.
【分析】根据已知条件可得a-2且，可求出a的范围，再根据的解集及关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：，，，
，，
则，，，
解得，
，
故答案为：．
【分析】本题考查取整函数（高斯函数）的定义、不等式组的求解. 解题关键：先根据，判断出每个取整项的取值只能是0或1，再结合总和为2023，确定只有1项为0、其余2023项为1，进而列出关于a的不等式组，求出2025a的范围，最后根据取整函数定义得到结果.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；概率公式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵函数经过第二、四象限，
∴，
∴，
，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∵关于x的不等式组有实数解，
∴，
∴，
∴，
∴符合条件的的值为，0，1，
∴使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是，
故答案为：．
【分析】利用一次函数图象与系数的关系，可得到a的取值范围；分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，根据不等式组有实数解，可得到a的取值范围，综上所述可得到a的取值范围，可得到符合题意的a的值，即可求出不等式组有实数解的概率.
16．【答案】（1）解：解不等式3x-2<2x+2得x<4；
解不等式6-x≥1-3（x-1)得x≥-1，
故不等式组的解集为：-1≤x<4
（2）解：解不等式（1）得
解不等式（2）得x≥0.
故不等式组的解集为：x≥0.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可.
17．【答案】①一
②去分母，得：
去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：①第一步，去分母错误，
故答案为：一；
【分析】①由题母解答过程逐步分析得到错误步骤；
②根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解一元一次不等式即可．
18．【答案】（1）解：
∴6-2（2x-4)≥3（1-5x)，
6-4x+8≥3-15x，
-4x+15x≥3-6-8，
11x≥-11，
则x≥-1，
将解集表示在数轴上如下：
（2）解：解不等式①得： x≥-3，
解不等式②得： x<3，
则不等式组的解集为-3≤x<3，其整数解为-3、-2、-1、0、1、2.
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
（2）分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再求出整数解即可求出答案.
19．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
②，
得，；
（2）解：，
，
，
，
，
，
①，
，
，
②，
得，．
【知识点】解二元一次方程；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）利用题目中的关系式求出x和y的取值范围，然后相加解答即可；
（2）利用题目中的关系式求出x和-y的取值范围，然后相加解答即可.
20．【答案】解：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，有(1)(2)
解不等式组(1)，得，解不等式组(2)，得无解，故分式不等式的解集为.
【知识点】有理数的除法法则；解特殊的不等式组
【解析】【分析】先根据有理数的除法结合题意得到(1)(2)，进而解不等式组，从而即可得到分式不等式的解。
21．【答案】（1）解：设第一批购进运动器材x套，则第二批购进2x套，
根据题意可得：
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
则两次共购进： x+2x=100+2×100=300 （套) ，
答：该商场两次共购进这种运动器材300套；
（2）解：设每套器材售价为y元，
∵成本为24000+52000=76000 （元) ，
∴利润为300y-76000，
由总利润率不低于30%可得：
解得
因为y取整数，
所以y的最小值为330，
所以每套器材售价至少是330元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设第一批购进运动器材x套，则第二批购进2x套，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设每套器材售价为y元，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
22．【答案】（1）3；1.5≤x<2.5
（2）解：
根据题意可得：，为整数，
设，为整数，
则，
，
，，
，
，，，
则，，；
（3）解：，
由①可得：，
由②可得：，
∵不等式组有解，
∴，
∵该不等式组有且只有4个整数解，
∴，则，
∴．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴；
故答案为：，
，
∴，即，
∴；
故答案为：；（2）（3）
【分析】（1）①根据题目所给新定义，将的十分位进行四舍五入即可；②根据题意可得，再根据不等式的性质求解即可；
（2）根据题意可得：，为整数，设，为整数，将原式改写为，根据题目所给新定义可得，求出k的取值范围，即可求出x，
（3）求解不等式组得，根据该不等式组有且只有4个整数解，得出，则，即可求解．
23．【答案】（1）300
（2）解：①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，
根据题意得：25x+20（15-x)=350，
解得：x=10，
∴25x=25×10=250（ml)， 20（22-x)=20×（15-10)=100（ml)，
∴小康同学接了250ml温水，100ml开水，
∴这杯水混合后的水温为（250×30+100×100)÷350=50（℃)；
②该小康接开水的时间是y秒，由题意得：
20y×100+（350-20y)·30≥350×40
解得：
∴小康接开水的时间至少是秒
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
8×25+5×20=300ml
故答案为：300
【分析】（1）根据题意，结合有理数的乘法，加法列式计算即可求出答案.
（2）①设小康同学接了xs温水，则接了（15-x)s开水，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②该小康接开水的时间是y秒，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
24．【答案】（1）解：分别计算两种计税方式的总应纳税额，再比较大小，
合并计税：全年应纳税所得额（元），
∵，
∴适用税率，速算扣除数，则应纳税额（元），
单独计税：综合部分应纳税所得额（元），综合部分应纳税额为，全年一次性奖金元，适用税率，速算扣除数，奖金应纳税额（元），
总应纳税额（元），
因为，
所以合并计税纳税更少，
答：选择合并计税方式；
（2）解：设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为，
单独计税时，奖金应纳税额为，综合部分应纳税所得额为，
当时，，
总应纳税额满足：，
整理得，代入的范围得，
当时，，
总应纳税额满足：，
整理得，解得，
综上，小王税前年综合收入满足，
答：小王的税前年综合收入不低于元，不高于元；
（3）解：子女教育总扣除额度为元，分别计算两种扣除方式的家庭总纳税额：
第一种：平摊扣除，两人各扣除元，
计算小陈税额：小陈总收入元，奖金元，工资部分元，综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小陈总税额（元），
计算小丽税额：小丽总收入元，奖金元，工资部分元，
综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小丽总税额（元），
家庭总税额（元）；
第二种：小陈全额扣除元，小丽不扣除，
计算小陈税额：
综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小陈总税额（元），
计算小丽税额：综合部分应纳税所得额（元），
综合税额（元），
奖金税额（元），
小丽总税额（元），
家庭总税额（元），
因为，
所以小陈的方式下家庭总纳税额更少，
答：小陈的方式更合理．
【知识点】一元一次不等式的应用；有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】
（）根据纳税额计算公式，计算两种方案的总纳税额，比较大小解答即可；
（）设小王全年一次性奖金为，税前年综合总收入为，求出不同方案的总纳税额， 从而计算满足条件的收入取值范围解答即可；
（）根据纳税额计算公式，分别求出不同方案的总纳税额，比较大小解答即可．
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