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专题3.1 平面直角坐标系与函数概念—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．热爱旅游的小柒同学想到“海天佛国”普陀山游玩，以下表示普陀山地理位置最合理的是（　　）
A．北纬29°58'3"，东经122°21'6"
B．距离杭州约242公里
C．舟山群岛东部海域
D．在浙江省
【答案】A
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：A： 北纬29°58'3"，东经122°21'6"，这是普陀山的经纬度，可以唯一确定其地理位置，因此A选项正确；
B：距离杭州约242公里，只给出了普陀山与杭州的距离，没有给出方向，无法确定其具体位置，因此B选项错误；
C：在舟山市的东部海域，给出了普陀山的相对位置，但没有具体到可以唯一确定其地理位置的程度，因此C选项错误；
D：在浙江省，范围太大，无法确定普陀山的具体位置因此D选项错误；
故答案为：A.
【分析】通过经纬度可以精确确定一个地点在地球上的位置，而相对位置则需要更具体的信息来确定一个地点的精确位置.
2．假期小星乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，相邻两个圆之间距离是（最小圆半径是）．若小艇，相对于游船的位置可分别表示为，，则小艇的位置可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：图中小艇的位置，正确的是小艇，
故答案为：D．
【分析】
根据小艇，相对于游船的位置可分别表示为，可得小艇在第二圈则纵坐标为2，逆时针旋转的角度为横坐标，由此写出的位置解答即可．
3．书法课上，小义在如图所示的网格纸上写了“遵”字，为“遵”字上的点，且均在格点上，建立平面直角坐标系，点，，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点，，
点和点在轴上，且，
网格中每格代表，
观察点的位置，其横坐标与点的相同横坐标为：，
点的纵坐标通过网格数得为：，
点的坐标为．
故选：C．
【分析】根据网格特点，结合点A，B的坐标即可求出答案.
4．如果单项式与单项式是同类项，那么在平面直角坐标系中的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】同类项的概念；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：单项式与单项式是同类项，
，
，
点的坐标为，
点在第一象限．
故选：A．
【分析】本题主要对同类项的定义，平面直角坐标系中点的坐标特征等知识点进行考查．
根据同类项的定义有，经过计算得到点的坐标为，所以点在第一象限．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴在矩形中，，，
∵第一次将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且，
第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且，
然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1，
∴依此规律，，．
故答案为：D.
【分析】根据旋转依次找出点A的对应点的坐标，得到规律即可解答．
6．图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（　　）
A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米
B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米
C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米
D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米
【答案】C
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以变量y是x的函数；
由图象可得，摩天轮的直径为：．
故答案为：C
【分析】根据函数的定义可以判断变量是的函数，根据图象可以得到摩天轮的直径．
7．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得，实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　）
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图表可知：对于每一组对应的x值，都满足：
因此，正确关系式为y=x .
故答案为：C.
【分析】观察表格发现对于每一组对应的x值，都满足：，即可解答.
8．若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数的自变量取值范围是一切实数，
∴分母一定不等于0，
∴无解，
即，
∴或
解得：或．
当时，一定满足要求．
故答案为：A．
【分析】根据分母一定不等于0，可得方程无解，从而可得判别式b2-4ac＜0，据此列出不等式组，求解判断即可得出答案.
9．化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．加入絮凝剂的体积是时，净水效果最好
C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等
D．未加入絮凝剂时，净水率为0
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；数据分析
【解析】【解答】解：观察图像可知：
随着加入絮凝剂的体积增加净水率增加，当体积是时，净水率最高，再加入絮凝剂，净水率下降，则A不正确，B正确；
从净水率增加量为，净水率增加量为，可知增加量不相等，则C不正确；
当絮凝剂为0时，净水率大于0，则D不正确。
故选：B.
【分析】本题考查函数图象的识别能力。首先分析图像特征：当絮凝剂用量为0时，净水率初始值大于0；随着絮凝剂体积增加（0-0.5mL区间），净水率呈现上升趋势；在0.5mL处达到峰值后，继续增加絮凝剂用量会导致净水率下降。关键计算步骤：比较不同区间的净水率变化量：0.2-0.3mL区间的增长率，0.3-0.4mL区间的增长率，通过对比这两个区间的增长幅度差异即可得出正确答案。
10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：①当时，与重叠部分为，如图1，
由平移得：，
，
，
图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意；
②当时，与重叠部分为四边形，如图2，
由平移得：，，，
，
，
，
在中，，
；
图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意；
③当时，与重叠部分为，如图3，
则，且，
是等边三角形，作于，
，
，
，
图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意；
故选：B．
【分析】分为，，三种情况画图，得到重合部分的形状，然后根据解直角三角形求出重合部分面积与x的关系，然后逐项判断函数图象解答即可.
二、填空题
11．北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据题目中，表示“开阳”的点的坐标是（0，3），可知y轴经过此点，以及x轴的位置，再根据“摇光”的点的坐标进行验证，即可作出平面直角坐标系，如图：
因此可知：表示“天权”的点的坐标为；
故答案为：．
【分析】根据“开阳”与“摇光”的点的坐标即可判断平面直角坐标系的原点以及轴，轴的位置，再根据坐标系确定“天权”的点的坐标即可.
12．在平面直角坐标系中，已知点 A的坐标为（a，b），且a，b满足0，则点A在第　 　象限.
【答案】四
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵(a-2)2+|b+3|=0
∴a-2=0，b+3=0
∴a=2，b=-3
∴点A的坐标为(2，-3)
∴点A在第四象限
故答案为：四.
【分析】根据非负性得出a，b的值，即可求得点A的坐标，即可得出答案.
13． 七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：由图可知，正方形边长为，
所以最小三角形最长边为2，高为，平行四边形长边长为2，小正方形可由两个最小三角形拼成，
且点在负半轴，
则点的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据七巧板图形的特征得到点A的坐标即可．
14．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是　 　.
【答案】（8，3），（5，0）
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；
∵2014÷6＝335…4，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
点P的坐标为（5，0）．
故答案为：（8，3），（5，0）.
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.
15．平面直角坐标系中，将点A（m-1，m+2)先向左平移2个单位长，再向上平移3个单位长，得到点A'，若点A'位于第二象限，则m的取值范围是　 　.
【答案】-5【知识点】点的坐标与象限的关系；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点A（m-1，m+2)先向左平移2个单位长，再向上平移3个单位长，得到点A'
∴A'(m-3，m+5)
∵点A'位于第二象限
∴，解得：-5故答案为：-5【分析】根据点的平移可得A'(m-3，m+5)，再根据第二象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
16．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；图形位似变换的点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由已知可得：第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，
如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴，而，
∴在第三象限，且，
∴横坐标为，，纵坐标为，，
，
故答案为：．
【分析】本题主要考查旋转变换、点的坐标规律、等边三角形的性质以及解直角三角形等知识点。解题的关键在于理解旋转过程中的循环规律，并通过画图辅助分析。根据题意，每旋转6次构成一个完整的循环周期。通过观察可以发现，点A的对应点在第三象限出现。同时，旋转后的线段长度满足关系式：，由此可得出最终答案。
17．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 　 　．
【答案】（2，1）
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2），
经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1），
经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4），
……，
发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4），
∵2024÷3＝674 2，
∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1），
故答案为：（2，1）．
【分析】本题考查找规律，根据题目方法，对偶数奇数的运算要求，多次运算后，根据点的坐标，找出运行规律是解题的关键。由点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）可知三次一循环，据此可得答案。
18．某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法正确的有　 　 ．
①本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量；
②本次充电40分钟，汽车电池含电率达到；
③本次充电持续时间是120分钟；
④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时．
【答案】①②③
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，符合题意；
②由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，符合题意；
③由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，符合题意；
④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，
到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，不符合题
故答案为：①②③．
【分析】观察函数图象与y轴的交的坐标，可对①作出判断；观察图象上点（40，80％），（120，90％）可对②③作出判断；利用已知条件求出到的电量变化对应的耗电量，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
19．已知动点H以每秒的速度，沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的面积关于时间的变化关系如图2，且，
下列说法：①动点H的速度为；②；③b的值为13；④在运动过程中，当的面积为时，点H的运动时间分别是和．其中正确的为　 　．
【答案】①③④
【知识点】三角形的面积；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点H在上时，如图所示，
，
，
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，
∴，此时三角形面积不变，
当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，
，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，
，此时三角形面积不变，
当点H在时，如图所示，
，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得时，点H在上，
，
∴，，
∴动点H的速度是，
故①正确，
时，点H在上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时，
∴，
故②错误，
，点H在上，，
∴动点H由点D运动到点E共用时，
∴，
故③正确．
当的面积是时，点H在上或上，
点H在上时，，
解得，
点H在上时，
，
解得，
∴，
∴从点C运动到点H共用时，
由点A到点C共用时，
∴此时共用时，
故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】本题考查动点函数的图象，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义．，
先根据点H的运动，画图进行分析，即可得出当点H在不同边上时的面积变化，然后应图2得出相关边的边长，分别进行计算分析即可．
三、解答题
20．位于汉江沿岸的小明家、学校、游乐场和医院的平面图如下．
（1）建立适当的平面直角坐标系，使医院的坐标为，游乐场的坐标为，并写出小明家、学校的坐标．
（2）根据蜀河大坝蓄水工程需要，小明家及学校、游乐场、医院需要等距离整体迁移，已知迁移后新的小明家、学校、游乐场、医院分别用，表示，且这四点的坐标分别用原来各点的横坐标都减去5、纵坐标都加上2得到，请先在图中描出的位置，画出四边形，然后说明四边形是由以小明家、学校、游乐场、医院所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的？
【答案】（1）解：建立坐标系，作图见解析，
小明家、学校的坐标分别为(0，0)，(2，2)．
（2）解：作图见解析，四边形ABCD即为所求，将原来四边形先向左平移5个单位，再向上平移个单位得到四边形ABCD．
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：(1)如下图，以小明家为原点，建立平面直角坐标系，小明家的坐标为(0，0)，学校的坐标为(2，2)；
(2)四边形ABCD即为所求，将原来四边形先向左平移5个单位，再向上平移2个单位得到四边形ABCD．
【分析】(1)根据医院和游乐场的坐标，以小明家为原点，建立平面直角坐标系
(2)分别将点向左平移5个单位，向上平移2个单位即可得四边形ABCD.
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A(-3，4)， B(-5，1)， C(-1，2).
（1） 画出与△ABC 关于原点对称的△A1B1C1， 写出点A1、B1的坐标
（2） 画出△ABC 绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2.
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求
A1(3，-4)、B1(5，-1)
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）旋转性质作出图形即可.
22．已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）求的面积；
（3）中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．
【答案】（1），，
（2）解：如图
的面积
；
（3）解：由题意可得：
把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．
如图，
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据各点位置求出点的坐标即可.
（2）根据割补法，结合梯形，三角形面积即可求出答案.
（3）根据点的平移作出，再依次连接即可求出答案.
（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，；
（2）的面积
；
（3）∵点经平移后对应点为，
∴把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．
如图，
23．如图，在正方形网格中，按要求操作并求解．
（1）在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）将点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C，写出点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知轴，且，求点P的坐标．
【答案】（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示：
（2）解：∵点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C，
∴点C的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
∵轴，
∴点P的坐标为或．
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据点的位置建立直角坐标系即可求出答案.
（2）根据平移性质，结合关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC，再根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可求出答案.
（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示：
（2）解：∵点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C，
∴点C的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
∵轴，
∴点P的坐标为或．
24．已知O是坐标原点，的坐标分别为．
（1）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出的坐标为___________；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为；
（3）若点在线段上，直接写出变化（2）后点D的对应点的坐标为___________．
【答案】（1）解∶ 如图所示：即为所求；

（2）解∶ 如图所示：即为所求；
（3）
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解∶（3） ∵作的位似图形，新图与原图相似比为，且，
∴点D的对应点的坐标为；
故答案为：
【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）根据位似图形的性质，即可求解；
25．在平面直角坐标系中，将任意两点横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值中较大的值定义为这两点的“切比雪夫距离”.若点A（x1 ，y1 ）， B（x2 ，y2 ）两 点 间 的“切比雪夫距离”记作d（A，B），则d（A，B）=
（1）已知点M（2，1），N（-1，2），求d（M，N）的值.
（2）以下三个图形中，满足到原点O的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域是　 　.（填序号）
（3）设P 为直线l外一定点，Q为直线l上任意一点，定义d（P，Q）的最小值 为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）. 求原点O到直线m∶y=-2x+2的切比雪夫距离d（O，m）的值.
【答案】（1）解：∵|2-(-1)|=3，|1-2|=1，
∴d(M，N)=3
（2）①
（3）解：根据题意得解得
∴d(O，m)=
【知识点】坐标与图形性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：(2)设点P(a，b)，满足d(P，O)≤1，
若点P在第一象限，当a≥b时，可有d(P，O)=a≤1，
当a≤b时，可有d(P，O)=b≤1，
即在第一象限，满足到原点O的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域为以原点为一顶点，且边长在坐标轴上的边长为1的正方形，
同理可得在第二、三、四象限，满足到原点O的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域为以原点为一顶点，且边长在坐标轴上的边长为1的正方形，
所以，满足到原点O的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域是①.
故答案为：①.
【分析】(1)根据新定义“切比雪夫距离”，计算即可；
(2)分析该点在第一象限时的情况，同理可得在第二、三、四象限时的情况，据此即可获得答案；
(3)设Q是直线y=-2x+2上一点，且Q(x，-2x+2)，则有，即可获得答案.
26．如图1，共享单车停放点和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．
（1）求停放点之间的距离；
（2）求甲追上乙的时间；
（3）若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？
【答案】（1）解： 75×6+75×14=1500（米），
答：停放点之间的距离1500米；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
（3）解：（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息可得甲步行6分钟从点P到达了点A，乙步行14分钟从点P步行到点B，根据路程等于速度乘以时间可分别求出PA、PB的长度，进而根据PA+PB=AB可得答案；
（2）解法一：首先求出甲的骑行速度，然后求出t=6时，甲乙之间距离，然后用甲乙之间的距离除以甲乙的速度差即可得出甲从A地出发追上乙的用时，再加上开始的步行时间即可；
解法二：首先根据图象提供的信息，利用待定系数法求出直线GH与MN的函数表达式，然后联立求解即可；
（3）首先根据路程、速度时间三者的关系求出乙骑行的速度，然后求出乙从A地到C地的骑行时间，再加上乙从P地步行到A地的时间可得乙修改后所用的总时间，然后与原方案的时间比较就可求解.
（1）（米）．
答：停放点之间的距离1500米．；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
；
（3）（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
27．【阅读理解】
点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若则称为点的“微距值”；若则称2为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为．
【知识应用】
（1）点的“微距值”为 ；
（2）若点的“微距值”为2， 求a的值；
（3）若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标．
【答案】（1）2
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小．
（2）由点的“微距值”为，点到轴的距离，“微距值”为，根据定义可知且，进而求解的值．
（3）设点的坐标为，由点在直线上，得．点的“微距值”为，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标．
（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
28．【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴.
【概念理解】
（1）下列图形一定是对称四边形的是　 　 ；（填序号）
（2）如图1，在平面直角坐标系中，若点A（1，1），B（5，1），C（1，3），D组成的四边形为对称四边形，则满足点D的个数为　 　 ；
（3）【性质探究】
如图2，对称四边形ABCD关于直线AC对称，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E，若AE=EO=OC=2，求对称四边形ABCD的面积.
（4）【拓展应用】
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为对角线BD上一点，△AED沿边AE折叠得到△AEF，延长AE交射线DC于G，则当A，B，E，F组成的四边形为对称四边形时，求的值. （作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）
【答案】（1）①③④
（2）3
（3）解：∵ 四边形ABCD关于AC对称，∴ AC垂直平分BD，即，。
已知，则，。
设，在中，。
由，，即。
由，得，故，。
在中，，。
代入面积等式：，解得。
。
故面积为。
（4）解：如图2-1，因为△AED沿边AE折叠得到△AEF，所以AF=AD，∠FAE=∠DAE，因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AC=AD=CD，∠ADC=∠ABC =60°，△ACD和△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠DAC=60°，AC=AD，当筝形ABFE是对称四边形时，此时点F在点C处，∠CAE=∠DAE=30°，四边形ABEF是对称四边形，故DG=CG，=1，
如图2-2，，当筝形AFBE是对称四边形时，此时BF=AF=AD=AB，AE=BE=CE.
所以△ABF是等边三角形，点E是△ABE的中心，所以∠BAF=60°，∠BAE=30°，所以AE⊥AF，∠DAE=∠FAE=90°，所以D、A、F共线，因为∠ADC =60°，所以DG=2AD=2CD，=2，
如图2-3，，当等腰梯形ABFE是对称四边形时，此时AB=AD=AF=BE，DE=DG，因为DG=DE=BD-BE=CD-CD=(-1)CD。
所以GC=CD-DG=(2-)CD，=+1，
如图2-4，，当等腰梯形AEBF是对称四边形时，此时AD=DE=AB=EF，因为AB//CD，所以△ABE∽△GDE，所以，因为BE=BD-DE=AD-DE=DE-DE，
所以，所以。
综上， 的值为或或或。
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）①矩形沿对边中点连线或对角线所在直线折叠后重合，是轴对称图形；
②平行四边形一般无法沿直线折叠后重合，不是轴对称图形；
③等腰梯形沿上下底中点连线折叠后重合，是轴对称图形；
④筝形沿对角线AC折叠后，AB与AD、BC与CD分别重合，是轴对称图形。
所以一定是对称四边形的是 ①③④。
故答案为：①③④；
（2）已知A(1，1)、B(5，1)、C(1，3)，要使四边形ABCD为对称四边形：
以AB的垂直平分线为对称轴，得；
以AC的垂直平分线为对称轴，得（与B重合，舍去）、；
以BC的垂直平分线为对称轴，得、；
去重后共3个不同的点D，
故答案为：3。
【分析】(1)根据轴对称图形定义，逐一判断各图形是否为轴对称图形。
(2)根据对称四边形的轴对称性质，分三类对称轴讨论点D的位置。
(3) 利用对称四边形的轴对称性质，结合勾股定理与面积法求解。
(4)根据菱形与折叠性质，分四种轴对称情况讨论与的比值。
1 / 1专题3.1 平面直角坐标系与函数概念—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．热爱旅游的小柒同学想到“海天佛国”普陀山游玩，以下表示普陀山地理位置最合理的是（　　）
A．北纬29°58'3"，东经122°21'6"
B．距离杭州约242公里
C．舟山群岛东部海域
D．在浙江省
2．假期小星乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，相邻两个圆之间距离是（最小圆半径是）．若小艇，相对于游船的位置可分别表示为，，则小艇的位置可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．书法课上，小义在如图所示的网格纸上写了“遵”字，为“遵”字上的点，且均在格点上，建立平面直角坐标系，点，，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．如果单项式与单项式是同类项，那么在平面直角坐标系中的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（　　）
A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米
B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米
C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米
D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米
7．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得，实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　）
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
A． B． C． D．
8．若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（　　）
A． B． C． D．
9．化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．加入絮凝剂的体积是时，净水效果最好
C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等
D．未加入絮凝剂时，净水率为0
10．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．北斗七星是指大熊座的天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光七星，古人把这七星联系起来想象成为古代舀酒的斗形，故名北斗．爱好天文的小祺将自己观察到的北斗七星画在如图所示的网格上，建立适当的平面直角坐标系，若表示“摇光”的点的坐标为，表示“开阳”的点的坐标为，则表示“天权”的点（正好在网格点上）的坐标为　 　．
12．在平面直角坐标系中，已知点 A的坐标为（a，b），且a，b满足0，则点A在第　 　象限.
13． 七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为　 　．
14．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是　 　.
15．平面直角坐标系中，将点A（m-1，m+2)先向左平移2个单位长，再向上平移3个单位长，得到点A'，若点A'位于第二象限，则m的取值范围是　 　.
16．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为　 　．
17．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 　 　．
18．某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法正确的有　 　 ．
①本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量；
②本次充电40分钟，汽车电池含电率达到；
③本次充电持续时间是120分钟；
④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时．
19．已知动点H以每秒的速度，沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的面积关于时间的变化关系如图2，且，
下列说法：①动点H的速度为；②；③b的值为13；④在运动过程中，当的面积为时，点H的运动时间分别是和．其中正确的为　 　．
三、解答题
20．位于汉江沿岸的小明家、学校、游乐场和医院的平面图如下．
（1）建立适当的平面直角坐标系，使医院的坐标为，游乐场的坐标为，并写出小明家、学校的坐标．
（2）根据蜀河大坝蓄水工程需要，小明家及学校、游乐场、医院需要等距离整体迁移，已知迁移后新的小明家、学校、游乐场、医院分别用，表示，且这四点的坐标分别用原来各点的横坐标都减去5、纵坐标都加上2得到，请先在图中描出的位置，画出四边形，然后说明四边形是由以小明家、学校、游乐场、医院所在地为顶点的四边形经过怎样平移得到的？
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A(-3，4)， B(-5，1)， C(-1，2).
（1） 画出与△ABC 关于原点对称的△A1B1C1， 写出点A1、B1的坐标
（2） 画出△ABC 绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2.
22．已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）求的面积；
（3）中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．
23．如图，在正方形网格中，按要求操作并求解．
（1）在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为；
（2）将点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C，写出点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知轴，且，求点P的坐标．
24．已知O是坐标原点，的坐标分别为．
（1）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出的坐标为___________；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为；
（3）若点在线段上，直接写出变化（2）后点D的对应点的坐标为___________．
25．在平面直角坐标系中，将任意两点横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值中较大的值定义为这两点的“切比雪夫距离”.若点A（x1 ，y1 ）， B（x2 ，y2 ）两 点 间 的“切比雪夫距离”记作d（A，B），则d（A，B）=
（1）已知点M（2，1），N（-1，2），求d（M，N）的值.
（2）以下三个图形中，满足到原点O的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域是　 　.（填序号）
（3）设P 为直线l外一定点，Q为直线l上任意一点，定义d（P，Q）的最小值 为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）. 求原点O到直线m∶y=-2x+2的切比雪夫距离d（O，m）的值.
26．如图1，共享单车停放点和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．
（1）求停放点之间的距离；
（2）求甲追上乙的时间；
（3）若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？
27．【阅读理解】
点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若则称为点的“微距值”；若则称2为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为．
【知识应用】
（1）点的“微距值”为 ；
（2）若点的“微距值”为2， 求a的值；
（3）若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标．
28．【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴.
【概念理解】
（1）下列图形一定是对称四边形的是　 　 ；（填序号）
（2）如图1，在平面直角坐标系中，若点A（1，1），B（5，1），C（1，3），D组成的四边形为对称四边形，则满足点D的个数为　 　 ；
（3）【性质探究】
如图2，对称四边形ABCD关于直线AC对称，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点E，若AE=EO=OC=2，求对称四边形ABCD的面积.
（4）【拓展应用】
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为对角线BD上一点，△AED沿边AE折叠得到△AEF，延长AE交射线DC于G，则当A，B，E，F组成的四边形为对称四边形时，求的值. （作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：A： 北纬29°58'3"，东经122°21'6"，这是普陀山的经纬度，可以唯一确定其地理位置，因此A选项正确；
B：距离杭州约242公里，只给出了普陀山与杭州的距离，没有给出方向，无法确定其具体位置，因此B选项错误；
C：在舟山市的东部海域，给出了普陀山的相对位置，但没有具体到可以唯一确定其地理位置的程度，因此C选项错误；
D：在浙江省，范围太大，无法确定普陀山的具体位置因此D选项错误；
故答案为：A.
【分析】通过经纬度可以精确确定一个地点在地球上的位置，而相对位置则需要更具体的信息来确定一个地点的精确位置.
2．【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：图中小艇的位置，正确的是小艇，
故答案为：D．
【分析】
根据小艇，相对于游船的位置可分别表示为，可得小艇在第二圈则纵坐标为2，逆时针旋转的角度为横坐标，由此写出的位置解答即可．
3．【答案】C
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点，，
点和点在轴上，且，
网格中每格代表，
观察点的位置，其横坐标与点的相同横坐标为：，
点的纵坐标通过网格数得为：，
点的坐标为．
故选：C．
【分析】根据网格特点，结合点A，B的坐标即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】同类项的概念；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：单项式与单项式是同类项，
，
，
点的坐标为，
点在第一象限．
故选：A．
【分析】本题主要对同类项的定义，平面直角坐标系中点的坐标特征等知识点进行考查．
根据同类项的定义有，经过计算得到点的坐标为，所以点在第一象限．
5．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴在矩形中，，，
∵第一次将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且，
第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且，
然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1，
∴依此规律，，．
故答案为：D.
【分析】根据旋转依次找出点A的对应点的坐标，得到规律即可解答．
6．【答案】C
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以变量y是x的函数；
由图象可得，摩天轮的直径为：．
故答案为：C
【分析】根据函数的定义可以判断变量是的函数，根据图象可以得到摩天轮的直径．
7．【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图表可知：对于每一组对应的x值，都满足：
因此，正确关系式为y=x .
故答案为：C.
【分析】观察表格发现对于每一组对应的x值，都满足：，即可解答.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵函数的自变量取值范围是一切实数，
∴分母一定不等于0，
∴无解，
即，
∴或
解得：或．
当时，一定满足要求．
故答案为：A．
【分析】根据分母一定不等于0，可得方程无解，从而可得判别式b2-4ac＜0，据此列出不等式组，求解判断即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息；数据分析
【解析】【解答】解：观察图像可知：
随着加入絮凝剂的体积增加净水率增加，当体积是时，净水率最高，再加入絮凝剂，净水率下降，则A不正确，B正确；
从净水率增加量为，净水率增加量为，可知增加量不相等，则C不正确；
当絮凝剂为0时，净水率大于0，则D不正确。
故选：B.
【分析】本题考查函数图象的识别能力。首先分析图像特征：当絮凝剂用量为0时，净水率初始值大于0；随着絮凝剂体积增加（0-0.5mL区间），净水率呈现上升趋势；在0.5mL处达到峰值后，继续增加絮凝剂用量会导致净水率下降。关键计算步骤：比较不同区间的净水率变化量：0.2-0.3mL区间的增长率，0.3-0.4mL区间的增长率，通过对比这两个区间的增长幅度差异即可得出正确答案。
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：①当时，与重叠部分为，如图1，
由平移得：，
，
，
图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意；
②当时，与重叠部分为四边形，如图2，
由平移得：，，，
，
，
，
在中，，
；
图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意；
③当时，与重叠部分为，如图3，
则，且，
是等边三角形，作于，
，
，
，
图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意；
故选：B．
【分析】分为，，三种情况画图，得到重合部分的形状，然后根据解直角三角形求出重合部分面积与x的关系，然后逐项判断函数图象解答即可.
11．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：根据题目中，表示“开阳”的点的坐标是（0，3），可知y轴经过此点，以及x轴的位置，再根据“摇光”的点的坐标进行验证，即可作出平面直角坐标系，如图：
因此可知：表示“天权”的点的坐标为；
故答案为：．
【分析】根据“开阳”与“摇光”的点的坐标即可判断平面直角坐标系的原点以及轴，轴的位置，再根据坐标系确定“天权”的点的坐标即可.
12．【答案】四
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵(a-2)2+|b+3|=0
∴a-2=0，b+3=0
∴a=2，b=-3
∴点A的坐标为(2，-3)
∴点A在第四象限
故答案为：四.
【分析】根据非负性得出a，b的值，即可求得点A的坐标，即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】点的坐标；七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：由图可知，正方形边长为，
所以最小三角形最长边为2，高为，平行四边形长边长为2，小正方形可由两个最小三角形拼成，
且点在负半轴，
则点的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据七巧板图形的特征得到点A的坐标即可．
14．【答案】（8，3），（5，0）
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；
∵2014÷6＝335…4，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
点P的坐标为（5，0）．
故答案为：（8，3），（5，0）.
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.
15．【答案】-5【知识点】点的坐标与象限的关系；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵将点A（m-1，m+2)先向左平移2个单位长，再向上平移3个单位长，得到点A'
∴A'(m-3，m+5)
∵点A'位于第二象限
∴，解得：-5故答案为：-5【分析】根据点的平移可得A'(m-3，m+5)，再根据第二象限内点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；图形位似变换的点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由已知可得：第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，
如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴，而，
∴在第三象限，且，
∴横坐标为，，纵坐标为，，
，
故答案为：．
【分析】本题主要考查旋转变换、点的坐标规律、等边三角形的性质以及解直角三角形等知识点。解题的关键在于理解旋转过程中的循环规律，并通过画图辅助分析。根据题意，每旋转6次构成一个完整的循环周期。通过观察可以发现，点A的对应点在第三象限出现。同时，旋转后的线段长度满足关系式：，由此可得出最终答案。
17．【答案】（2，1）
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2），
经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1），
经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4），
……，
发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4），
∵2024÷3＝674 2，
∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1），
故答案为：（2，1）．
【分析】本题考查找规律，根据题目方法，对偶数奇数的运算要求，多次运算后，根据点的坐标，找出运行规律是解题的关键。由点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）可知三次一循环，据此可得答案。
18．【答案】①②③
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，符合题意；
②由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，符合题意；
③由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，符合题意；
④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，
到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，不符合题
故答案为：①②③．
【分析】观察函数图象与y轴的交的坐标，可对①作出判断；观察图象上点（40，80％），（120，90％）可对②③作出判断；利用已知条件求出到的电量变化对应的耗电量，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
19．【答案】①③④
【知识点】三角形的面积；通过函数图象获取信息；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点H在上时，如图所示，
，
，
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，
∴，此时三角形面积不变，
当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，
，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，
，此时三角形面积不变，
当点H在时，如图所示，
，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得时，点H在上，
，
∴，，
∴动点H的速度是，
故①正确，
时，点H在上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时，
∴，
故②错误，
，点H在上，，
∴动点H由点D运动到点E共用时，
∴，
故③正确．
当的面积是时，点H在上或上，
点H在上时，，
解得，
点H在上时，
，
解得，
∴，
∴从点C运动到点H共用时，
由点A到点C共用时，
∴此时共用时，
故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】本题考查动点函数的图象，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义．，
先根据点H的运动，画图进行分析，即可得出当点H在不同边上时的面积变化，然后应图2得出相关边的边长，分别进行计算分析即可．
20．【答案】（1）解：建立坐标系，作图见解析，
小明家、学校的坐标分别为(0，0)，(2，2)．
（2）解：作图见解析，四边形ABCD即为所求，将原来四边形先向左平移5个单位，再向上平移个单位得到四边形ABCD．
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：(1)如下图，以小明家为原点，建立平面直角坐标系，小明家的坐标为(0，0)，学校的坐标为(2，2)；
(2)四边形ABCD即为所求，将原来四边形先向左平移5个单位，再向上平移2个单位得到四边形ABCD．
【分析】(1)根据医院和游乐场的坐标，以小明家为原点，建立平面直角坐标系
(2)分别将点向左平移5个单位，向上平移2个单位即可得四边形ABCD.
21．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求
A1(3，-4)、B1(5，-1)
（2）解：如图，△A2B2C2即为所求
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）旋转性质作出图形即可.
22．【答案】（1），，
（2）解：如图
的面积
；
（3）解：由题意可得：
把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．
如图，
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据各点位置求出点的坐标即可.
（2）根据割补法，结合梯形，三角形面积即可求出答案.
（3）根据点的平移作出，再依次连接即可求出答案.
（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，；
（2）的面积
；
（3）∵点经平移后对应点为，
∴把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．
如图，
23．【答案】（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示：
（2）解：∵点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C，
∴点C的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
∵轴，
∴点P的坐标为或．
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据点的位置建立直角坐标系即可求出答案.
（2）根据平移性质，结合关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC，再根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可求出答案.
（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示：
（2）解：∵点A向下平移3个单位，再关于y轴对称得到点C，
∴点C的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
∵轴，
∴点P的坐标为或．
24．【答案】（1）解∶ 如图所示：即为所求；

（2）解∶ 如图所示：即为所求；
（3）
【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解∶（3） ∵作的位似图形，新图与原图相似比为，且，
∴点D的对应点的坐标为；
故答案为：
【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）根据位似图形的性质，即可求解；
25．【答案】（1）解：∵|2-(-1)|=3，|1-2|=1，
∴d(M，N)=3
（2）①
（3）解：根据题意得解得
∴d(O，m)=
【知识点】坐标与图形性质；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：(2)设点P(a，b)，满足d(P，O)≤1，
若点P在第一象限，当a≥b时，可有d(P，O)=a≤1，
当a≤b时，可有d(P，O)=b≤1，
即在第一象限，满足到原点O的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域为以原点为一顶点，且边长在坐标轴上的边长为1的正方形，
同理可得在第二、三、四象限，满足到原点O的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域为以原点为一顶点，且边长在坐标轴上的边长为1的正方形，
所以，满足到原点O的切比雪夫距离不大于1的所有点构成的区域是①.
故答案为：①.
【分析】(1)根据新定义“切比雪夫距离”，计算即可；
(2)分析该点在第一象限时的情况，同理可得在第二、三、四象限时的情况，据此即可获得答案；
(3)设Q是直线y=-2x+2上一点，且Q(x，-2x+2)，则有，即可获得答案.
26．【答案】（1）解： 75×6+75×14=1500（米），
答：停放点之间的距离1500米；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
（3）解：（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息可得甲步行6分钟从点P到达了点A，乙步行14分钟从点P步行到点B，根据路程等于速度乘以时间可分别求出PA、PB的长度，进而根据PA+PB=AB可得答案；
（2）解法一：首先求出甲的骑行速度，然后求出t=6时，甲乙之间距离，然后用甲乙之间的距离除以甲乙的速度差即可得出甲从A地出发追上乙的用时，再加上开始的步行时间即可；
解法二：首先根据图象提供的信息，利用待定系数法求出直线GH与MN的函数表达式，然后联立求解即可；
（3）首先根据路程、速度时间三者的关系求出乙骑行的速度，然后求出乙从A地到C地的骑行时间，再加上乙从P地步行到A地的时间可得乙修改后所用的总时间，然后与原方案的时间比较就可求解.
（1）（米）．
答：停放点之间的距离1500米．；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
；
（3）（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
27．【答案】（1）2
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小．
（2）由点的“微距值”为，点到轴的距离，“微距值”为，根据定义可知且，进而求解的值．
（3）设点的坐标为，由点在直线上，得．点的“微距值”为，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标．
（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
28．【答案】（1）①③④
（2）3
（3）解：∵ 四边形ABCD关于AC对称，∴ AC垂直平分BD，即，。
已知，则，。
设，在中，。
由，，即。
由，得，故，。
在中，，。
代入面积等式：，解得。
。
故面积为。
（4）解：如图2-1，因为△AED沿边AE折叠得到△AEF，所以AF=AD，∠FAE=∠DAE，因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AC=AD=CD，∠ADC=∠ABC =60°，△ACD和△ABC是等边三角形，所以∠BAC=∠DAC=60°，AC=AD，当筝形ABFE是对称四边形时，此时点F在点C处，∠CAE=∠DAE=30°，四边形ABEF是对称四边形，故DG=CG，=1，
如图2-2，，当筝形AFBE是对称四边形时，此时BF=AF=AD=AB，AE=BE=CE.
所以△ABF是等边三角形，点E是△ABE的中心，所以∠BAF=60°，∠BAE=30°，所以AE⊥AF，∠DAE=∠FAE=90°，所以D、A、F共线，因为∠ADC =60°，所以DG=2AD=2CD，=2，
如图2-3，，当等腰梯形ABFE是对称四边形时，此时AB=AD=AF=BE，DE=DG，因为DG=DE=BD-BE=CD-CD=(-1)CD。
所以GC=CD-DG=(2-)CD，=+1，
如图2-4，，当等腰梯形AEBF是对称四边形时，此时AD=DE=AB=EF，因为AB//CD，所以△ABE∽△GDE，所以，因为BE=BD-DE=AD-DE=DE-DE，
所以，所以。
综上， 的值为或或或。
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）①矩形沿对边中点连线或对角线所在直线折叠后重合，是轴对称图形；
②平行四边形一般无法沿直线折叠后重合，不是轴对称图形；
③等腰梯形沿上下底中点连线折叠后重合，是轴对称图形；
④筝形沿对角线AC折叠后，AB与AD、BC与CD分别重合，是轴对称图形。
所以一定是对称四边形的是 ①③④。
故答案为：①③④；
（2）已知A(1，1)、B(5，1)、C(1，3)，要使四边形ABCD为对称四边形：
以AB的垂直平分线为对称轴，得；
以AC的垂直平分线为对称轴，得（与B重合，舍去）、；
以BC的垂直平分线为对称轴，得、；
去重后共3个不同的点D，
故答案为：3。
【分析】(1)根据轴对称图形定义，逐一判断各图形是否为轴对称图形。
(2)根据对称四边形的轴对称性质，分三类对称轴讨论点D的位置。
(3) 利用对称四边形的轴对称性质，结合勾股定理与面积法求解。
(4)根据菱形与折叠性质，分四种轴对称情况讨论与的比值。
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