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专题3.2 一次函数及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数y1=ax的图象经过点（1，-1），
∴a=-1，
∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限 ，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，即该函数的图象一定不会经过第三象限，
故A、B、D三个选项都是错误的，不符合题意；只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】将点（1，-1）代入正比例函数y1=ax可求出a=-1，根据反比例函数的图象与系数的关系，由反比例函数的图象位于第一、第三象限，得b＞0，进而根据一次函数的图象与系数的关系：y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，即可判断得出答案.
2．记住a·b是两个实数a与b的一种运算。已知a·0=1-a， 函数y=m·(x+1) (m≠1) 为正比例函数， 则4·5=(　　)
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【知识点】正比例函数的概念；求代数式的值-直接代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为函数y=m·(x+1)(m≠1)是正比例函数，正比例函数的一般形式为y=kx(k为常数)，
当x=0时，y=m·1，而正比例函数过原点(0，0)，
所以m·1=0，
当x=-1时，y=m·0=1-m，
又因为此时y=k·(-1)，
所以1-m=-k，即k=m-1，
由此可得m·(x+1)=(m-1)x，
令z=x+1，则m·z=(m-1)(z-1)，
所以该运算定义为a·b=(a-1)(b-1)，
那么4·5=(4-1)(5-1)=3×4=12，
故答案为：A.
【分析】根据函数的定义把x=0代入得到m·1=0；再把x=-1代入求出y=m·0=1-m，进而得到运算法则a·b=(a-1)(b-1)，再代入数值计算即可.
3．对于一次函数，下列结论错误的是（　　）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与轴的交点坐标是
C．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象
D．函数值随自变量的增大而减小
【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵在一次函数中，，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，则选项A正确；
当时，，
∴函数的图象与轴的交点坐标是，则选项B错误；
函数的图象向下平移4个单位长度得到函数，即的图象，则选项C正确；
∵在一次函数中，，
∴函数值随自变量的增大而减小，则选项D正确；
故选：B．
【分析】
根据一次函数中k，b时，函数经过一、二、四象限，可判断选项A正确；求函数的图象与轴的交点坐标时，令y=0，求出x的值，即可判断选项B错误；根据一次函数图象的平移规律（上下平移时，对y的值进行加减）即可判断选项C正确；根据一次函数的增减性，当k时，y随x的增大而减小，即可判断选项D正确．
4．已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵不等式的解是，
∴直线与x轴交点为且y随x增大而减小，
故答案为：D．
【分析】由不等式的解是可得直线与x轴交点的交点坐标，同时可得到y随x增大而减小，进而求解．
5．已知一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴于同一点，则这个一次函数的解析式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设一次函数为
一次函数的图象与直线平行，
所以一次函数为
由可得函数与轴的交点为：
与函数的图象交y轴于同一点，
所以一次函数的解析式为：
故选A．
【分析】设一次函数为，根据直线平行性质可得一次函数为，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
6．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
、得，
值相等，
，，三点共线，符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
综上，，，三点共线，此时，
则，
即，
．
故答案为：．
【分析】分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，求出k值，然后代入计算解答即可．
7．一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（　　）
… 0 1 2 …
… 1 4 7 …
A．的值随值的增大而减小
B．该函数的图象经过第一、三、四象限
C．关于的方程的解是
D．不等式的解集为
【答案】D
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由表格可知，的值随值的增大而增大，故A错误；
∴，
B、当时，，
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，故B错误；
C、当时，，故关于的方程的解不是，故C错误；
D、∵的值随值的增大而增大，且当时，，
∴不等式的解集为；故D正确；
故答案为：D．
【分析】
根据观察表格得的值随值的增大而增大可判断A；于是得到，由表格数据得到当时，，根据函数图象可知该函数的图象经过第一、二、三象限可判断B；观察表格发现当时，，可判断C；根据一次函数与不等式得关系可判断D；逐一判断即可解答.
8．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数. 与 （其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2 为常数）的图象分别为直线 l1，l2.下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数y=kx+b与y轴的交点为（0，b），
由图知：b1=2，b2=-1，k1>0，k2>0.
∴，，，.
因此，选项A正确，B、C、D错误.
故选：A.
【分析】根据一次函数图象的性质及与坐标轴交点坐标作答.
9．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某实验小组仿制了一套浮箭漏，并进行了测试.下表是实验小组从上午9时开始记录的数据：
时间 9：00 9：10 9：30 10：00 …
箭尺示数 2.2 3.0 4.6 7.0 …
根据此规律，若箭尺的示数为13.4，估计此时的时间为（　　）
A．上午11：00 B．上午11：10 C．上午11：20 D．上午11：30
【答案】C
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由表格可知供水时间与箭尺示数是一次函数关系，
设供水时间为分钟，箭尺示数为，则，
则当供水时间为分钟时，；当供水时间为分钟时，，
∴，解得，
∴，
当时，，
解得：，
∴此时的时间为分钟，
故答案为：．
【分析】设供水时间为分钟，箭尺示数为，则，利用待定系数法求出函数解析式，然后计算y=13.4时x的值解答即可．
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示.小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为
③方程的解为；
④当时，.
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵a∴两个函数如图：
①∵m<0，故一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①错误；
②由图可得， 一次函数与的交点坐标为（﹣3，2），故方程组的解集为，故①正确；
③由图可得，一次函数与x轴的交点坐标为（2，0），故方程的解为：x=2，故③正确；
④由图可得，一次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣2），即当x=0时，ax+b=﹣2，故④错误；
故正确答案为：B.
【分析】利用一次函数y=kx+b（k≠0），当k＜0时，y随x的增大而减小，可对①作出判断；由图象可知两函数图象的交点坐标为（-3，2），据此可得到方程组的解，可对②作出判断；根据直线y=mx+n与x轴的交点坐标为（2，0），可得到方程mx+n=0的解，可对③作出判断；由直线y=ax+b与y轴的交点坐标为（0，-2），可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
11．已知 是一次函数，则m=　 　.
【答案】3
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】由题意得， ，解得 ，
又∵ ，所以
故答案为3.
【分析】根据一次函数的定义，可得 ， ，解出即可.
12．如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是　 　．（填写一个值即可）
【答案】6(答案不唯一)
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点A(1，a)代入y=-x+6得，a=5，
所以点A的坐标为(1，5).
因为
则取
所以旋转前后的直线互相垂直，
则令直线 的解析式为y=x+b，
将点A(1，5)代入y=x+b得，
b=4，
所以此时直线 的解析式为y=x+4.
因为点B(m，n)在直线 上，且m>1，
不妨取m=2，
则n=2+4=6，
所以n的值可以是6.
故答案为：6(答案不唯一).
【分析】先求出点A的坐标，再可取α的值为 据此得出旋转后的直线 的解析式，再结合m>1写出符合要求的n的值即可.
13． 如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线交于点，
∴关于的方程组的解是
故答案为：
【分析】根据两一次函数相交点的坐标为联立方程组的解集，即可求出答案.
14．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入，得：，解得：，
∴直线与直线交于点，
当时，则．
故答案为：．
【分析】先求出n的值，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
15．在新的评价体系下，为了更合理地反馈一个学生的学习情况，需要对学生的原始分进行转换，某班一次数学测试中，全班最高分是100分，最低分是40分.现将全班学生成绩作转换，原始分记为x，转换后的分数记为y，满足 y=ax+b，其中a≠0.原始分100分转换后为100分，原始分40分转换后为52分.若某同学转换后的分数比原始分多4分，则转换后的分数是　 　.
【答案】84
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意，把和分别代入，
得
解得，
因此与的函数关系式为．
设该同学的原始分为，
根据题意得，
将代入，
得，
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】先把两组原始分与转换分代入关系式，求出与的一次函数解析式，然后解方程组即可求出y的值.
16．学科融合图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点A，B的坐标分别为(4，2)，(4，6)，从点C(-1，0)发射光线，其图象对应的函数解析式为y= mx+n(m≠0，x≥-1).规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线y=mx+n(m≠0，x≥-1)经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，则点E是整点的个数为　 　.
【答案】7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，则，
作直线分别交轴于，
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为．
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得
，解得，
点的坐标为，
点纵坐标的取值范围为，
点是整点的有，共7个，
故答案为：．
【分析】作出点C关于对称点，得到的坐标，作直线，，利用待定系数法求出一次函数的解析式，分别求出这两直线与y轴交点，即可得到点E坐标在范围中，得到整点个数解答即可．
三、解答题
17．已知一次函数y=2x+3
（1）在直角坐标系中画出一次函数y=2x+3的图象：
（2）在直角坐标系中画出一次函数y=2x+3的图象关于x轴对称的函数图象，并写出函数的表达式：
（3）一次函数y=kx+b的图象关于x轴对称的函数图象的表达式（用含k，b的函数表达式表示）为　 　（用含k，b的函数表达式表示）．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求
y= 2x+3
（2）解：如图所示，为所求函数图象．
取 上两点， 关于 轴对称的点为 ， ，
设对称图象为 代入 得
∴y=-2x-3
（3）y=-kx-b
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（3）由（2）可得：
一次函数y=kx+b的图象关于x轴对称的函数图象的表达式（用含k，b的函数表达式表示）为 y=-kx-b
故答案为：y=-kx-b
【分析】（1）根据列表，描点，连线作出图形即可.
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征可得， ，再根据待定系数法将点A'，B'坐标代入解析式即可求出答案.
（3）根据（2）中结论即可求出答案.
18． 2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱。某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件。公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是二车间的1.5倍。先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单。
（1）求图、乙两个车间每天分别生产多少件产品；
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产；如果安排甲车间生产的天数不多于二车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数 最大生产总量是多少
【答案】（1）解：设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，
根据题意得：
解得： x=110，
经检验，x=110是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×110=165（件)。
答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品。
（2）解：设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30-m)天，这30天的生产总量为w件，
根据题意得： w=165m+110 （30-m) =55m+3300，
∵安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，
∴m≤2（30-m)，
解得： m≤20，
∵55>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m为正整数，
∴m最大取20，
∴当m=20时， w取得最大值，为55×20+3300=4400（件)，此时30-20=10（天) 。
答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件。
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30 m）天，这30天的生产总量为w件，根据题意列出函数关系式，先求得m≤20，再根据一次函数的性质，即可求解．
19．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为．
（1）一次函数图象的“亮点”为 ；
（2）一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值；
（3）若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，，直接写出满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）
（2）解：根据定义可得，点在上，
，
解得，
点即在上，
，
解得．
（3）解：∵直线上没有“亮点”，
∴直线与平行，
∴，
∴，
令，则，
令，则，
，
，
∵，
，
∴，
∵，
∴或．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】
（1）
解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，
即，
解得，
∴一次函数的“亮点”为；
【分析】（1）由“亮点”的概念联立一次函数解析式与正比例函数，再解二元一次方程组即可；
（2）由直线上点的坐标特征可得，再把求得的n的值代入到直线中求得m即可；
（3）由于同一平面不相交的两条直线平行，即，再由直线上点的坐标特征可得，即，再由已知可得，由于点P在y轴上，再利用坐标轴上点的坐标特征求出点P的坐标即可．
（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，
即，
解得，
一次函数的“亮点”为；
（2）解：根据定义可得，点在上，
，
解得，
点即在上，
，
解得．
（3）解：∵直线上没有“亮点”，
∴直线与平行，
∴，
∴，
令，则，
令，则，
，
，
∵，
，
∴，
∵，
∴或．
20．【阅读理解】
点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若则称为点的“微距值”；若则称2为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为．
【知识应用】
（1）点的“微距值”为 ；
（2）若点的“微距值”为2， 求a的值；
（3）若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标．
【答案】（1）2
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小．
（2）由点的“微距值”为，点到轴的距离，“微距值”为，根据定义可知且，进而求解的值．
（3）设点的坐标为，由点在直线上，得．点的“微距值”为，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标．
（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
21．在直角坐标系中，函数与函数的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2．
（1）求k的值和点B的坐标．
（2）若函数的图象向下平移个单位后经过点，与y轴交于点D．
①求m的值．
②求的面积，
【答案】（1）解：∵ 点A在上，
∴当时，，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴，
∴或，
∴.
（2）解：①函数的图象向下平移个单位，
∴平移后的函数解析式为，
∵在函数的图象上，
∴，
∴.
②由①可得平移后的函数解析式为，
∵点D在且在y轴上，
∴当时，，
∴，
如图所示：
∴．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将代入中先求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再联立两函数解析式求出点B坐标即可；
（2）①先表示出平移后的直线解析式，再将点C的坐标代入中，求m的值；
②求出点D坐标，再根据列式求解即可．
（1）解：在中，当时，，
∴，
把代入到中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
联立，解得或，
∴；
（2）解：①函数的图象向下平移个单位后的函数解析式为，
∵函数的图象经过，
∴，
∴；
②由①可得平移后的函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴．
22．某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地.若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进.用时少者胜.甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系如图2.
（1）求乙班返回时的速度.
（2）求DE的函数表达式.
（3）求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，x的值.
【答案】（1）解：因为A（20，60），B（60，0），
所以乙班返回共用40（s）走完60（m），
所以乙班返回时的速度为：
（2）解：因为D（18，20），E（50，60），
设DE的表达式为y=kx+b，
把D（18，20），E（50，60）代入得：
解得：
所以DE的表达式为
（3）解：因为O（0，0），A（20，60），
设OA的函数表达式为y=px，则
20k=60，解得：p=3，
所以OA的函数表达式为y=3x（0≤x≤20），
由图象可得：OA和CD的交点G表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同，所以y=3x=20，解得：
因为A（20，60），B（60，0），
设AB的函数表达式为y=mx+n，则
解得：
所以AB的表达式为
由图象可得：AB和DE的交点H表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同，
因为DE的表达式为
所以
解得：
综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象中点的坐标，然后根据速度路程时间计算即可；
（2）根据待定系数法求一次函数的额解析式即可；
（3）先求出的函数解析式，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立直线AB和DE的解析式求出x的值解答即可．
23．情境如图，在跷跷板（自重忽略不计)的左端有一个固定质量为m0千克的靠背，质量为m千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为l米，选定支点右侧a米处为零刻度线.质量为M千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡.设大人与零刻度线的距离为y米，根据物理学的杠杆原理可得： （m0+m) l=M（a+y).
操作
（1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则l与a的关系式为：l=　 　；
②当跷跷板左端坐上质量为20千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则l与a的关系式为：l=　 　；
（2） 由（1） 可得： l=　 　， a=　 　；
（3）探究
根据“操作”的结果，
①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出y关于 m的函数关系式；（不必写m的取值范围)
②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加 5 千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离。
【答案】（1）5a；
（2）；
（3）解：①由题意得，
0.25 米.
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）解：①由题意， ∵，，，，
∴
∴，
故答案为：；
②由题意，∵，，，，
∴，
故答案为：
（2）解：由题意，结合 (1)，联立方程组
故答案为： ， ；
（3）解：②∵，
∴当时，；当时，；
∴相邻刻度线之间的距离为米．
【分析】
本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程；解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）①由题意可得：，，，，代入，可以得解；
②由题意可得：，，，，代入即可求解；
（2）联立，即可求解；
（3）①将，，，代入，即可求解；
②由可得：时，；当时，，即可判断．
24．【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
【答案】（1）解：当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N．
（2）解：当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力＝kx+b，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）m＝0.6，n＝1.6．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，当x＝8时，F拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
4﹣3.4＝0.6（N），
∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力＝k1x+b1，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，
解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），
∴n＝1.6．
【分析】（1）根据图象所给数据可得结论；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）把x=8代入求出拉力，然后求出弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式，然后代入F拉力=3.4，求出铝块下降的高度，然后减去铝块的高度解答即可.
25．在平面xOy中以下种不同所得线段的关系。
方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点O按逆时针方向旋转90°，
方式二：先原点0按逆时针方向旋转90°，然后向右平移1个单位长度。
如图1小明将线段AB按方式一方式二运动：分别得到线段A1，B1、A2，B2发现它们除长度相等外还有其他关系.
（1）【实践体验】
如图2，小明已画出线段CD按方式一运动得到的线段.请你利用网格，在图2中画出线段CD按方式二运动得到的线段；
（2）【探索发现】
在平面直角坐标系xOy中，将线段a按方式一、方式二运动，分别得到线段、，则线段、所在直线可能　 　（写出所有可能的序号）；①相交；②平行；③是同一条直线
（3）【综合应用】
如图3，已知点G(2，3)，H(x，y)是第一象限内两个不重合的点，将线段GH按方式一、方式二运动，分别得到线段、(、是G的对应点。、是H的对应点).
①若点与点重合，求点H的坐标；
②若线段与线段有公共点，直接写出y与x之间的函数表达式，并写出实数x的取值范围.
【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求作的线段；
（2）②③
（3）按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，坐标为；
按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，坐标为．
按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转，再向右平移1个单位，坐标为；
按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转，再向右平移1个单位，坐标为．
①点与点重合，
，解得，即．
②由（2）可知，若线段与线段有公共点，则点在一条直线上，
设直线的解析式为：，则，解得，
直线的解析式为：，
将点坐标为代入得，．整理得，，
，
讨论有交点情况：
．当点在线段上时，两线段有交点，
，即，
当点在线段上（不与端点重合）时，两线段无交点，
，即，
当点在线段上时，两线段有交点，
，即，
由于点在第一象限，，
．
综上所述，若线段与线段有公共点，，或
【知识点】用坐标表示平移；利用轴对称、旋转、平移设计图案；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（2）设线段的端点为和，
按方式一变换得到线段对应端点分别为，，
按方式二变换得到线段对应端点分别为：，
设直线的解析式为：，代入得，
，消去后，整理得，，
设直线的解析式为：，代入得，
消去后，整理得，，
，即和所在直线可能平行或是同一直线．
故选：②③；
【分析】（1）根据旋转和平移的性质作图即可；
（2）先求出按方式一和方式二变换后的端点坐标，然后利用待定系数法求出一次项系数，通过一次项系数来判断直线的位置关系；
（3）①先根据平行性质转化为共线问题，再通过已知直线方程得到函数解析式；
②通过线段端点位置关系分析范围，根据不等式确定临界点，结合图形，即可求解．
26．【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的.
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验.
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分）的关系，数据记录如表1：
表 1
电池充电状态
时间t（分） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与已行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2.
表 2
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
（1）【建立模型】观察表 1、表2 发现都是一次函数模型，请结合表1、表2 的数据，求出y关于t 的函数表达式及e 关于s 的函数表达式；
（2）【解决问题】某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点 460千米处的目的地，若电动汽车行驶 240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，求电动汽车在服务区充电多长时间.
【答案】（1）解：表1：设y=kt+b(k≠0)，将（10，10），（30，30）代入y=kt+b，
得，
解得 k=1，b=0
故y关于t 的函数表达式为y=t；
同理可得：e关于s的函数表达式为
答：y关于t 的函数表达式为y=t；e关于s的函数表达式为
（2）解：据题意知：当s=240，=40，即此时 汽车仪表盘显示电量为40%.
设电动汽车在服务区充电t分钟，
则增加的电量为e'=y'=t，
此时总电量为e=40+t，
剩余路程460-240=220km，
走完此路程 汽车仪表盘显示电量%，即耗电量为55%.
据题意，得 40+t-55=20
解得 t=35
答： 电动汽车在服务区充电 35 分钟
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】⑴将表格表示的变量关系通过待定系数法“待定系数法”转化为函数表达式即可.
⑵利用方程思想作答，注意显示电量与耗电量的区别.
27．问题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a为实数），当a变化时，点P的位置也随之改变．点P的位置有何变化规律呢？
【方法探究】
（1）甲同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表：
点的坐标
①请直接写出点的坐标；
②描点：如图1，建立平面直角坐标系，现已描出了点，请描出点；
③请观察点的位置，猜想点P的位置随a的变化有何规律？
【问题解决】
（2）同学们认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要进一步验证．
甲同学根据（1）中的猜想，用待定系数法，选择其中的点，求出y与x的解析式，再将点的坐标代入验证．
乙同学则设点P的坐标为，令得①，得②，消掉字母a，求出y与x的解析式．
问题解决：请分别用甲、乙同学的方法求出y与x的解析式，并简要比较这两种方法；
【拓展应用】
（3）如图2，点，分别为轴，轴正半轴上的一点，，求周长的最小值．
【答案】（1）解：①当时，，∴，
②描点如下：
猜想：点的横坐标为，纵坐标为，点在一条直线上运动，
（2）解：设出y与x的解析式为，代入，
∴
解得：
将，代入验证符合解析式，
在直线上；
乙同学设点P的坐标为，
，
得，即．
在直线上；
（3）解：如图，
设直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，则，当时，，则
∴，是等腰直角三角形，
∴
∵，则
过点作，且
∴关于的对称轴点为，则，
的周长最小值为．
∵
∴，
又∵
∴
∴
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要对一次函数的几何应用，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的交点问题，轴对称的性质等知识点进行考查．
（1）将代入可求出，描出各点，观察得出点的横坐标为，纵坐标为，点在一条直线上运动；
（2）①先设出y与x的解析式，再带入，解得解析式；②先设点P的坐标为代入得求解得。
（3）优先求出直线与x，轴的两个交点，，再作出点关于直线的对称点，根据轴对称的性质得出的周长最小值为，在中根据勾股定理有．
1 / 1专题3.2 一次函数及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．记住a·b是两个实数a与b的一种运算。已知a·0=1-a， 函数y=m·(x+1) (m≠1) 为正比例函数， 则4·5=(　　)
A．12 B．16 C．20 D．24
3．对于一次函数，下列结论错误的是（　　）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与轴的交点坐标是
C．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象
D．函数值随自变量的增大而减小
4．已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴于同一点，则这个一次函数的解析式是（　　）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据该表反映的变化规律，下列说法正确的是（　　）
… 0 1 2 …
… 1 4 7 …
A．的值随值的增大而减小
B．该函数的图象经过第一、三、四象限
C．关于的方程的解是
D．不等式的解集为
8．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数. 与 （其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2 为常数）的图象分别为直线 l1，l2.下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某实验小组仿制了一套浮箭漏，并进行了测试.下表是实验小组从上午9时开始记录的数据：
时间 9：00 9：10 9：30 10：00 …
箭尺示数 2.2 3.0 4.6 7.0 …
根据此规律，若箭尺的示数为13.4，估计此时的时间为（　　）
A．上午11：00 B．上午11：10 C．上午11：20 D．上午11：30
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示.小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大；
②方程组的解为
③方程的解为；
④当时，.
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二、填空题
11．已知 是一次函数，则m=　 　.
12．如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是　 　．（填写一个值即可）
13． 如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是　 　．
14．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
15．在新的评价体系下，为了更合理地反馈一个学生的学习情况，需要对学生的原始分进行转换，某班一次数学测试中，全班最高分是100分，最低分是40分.现将全班学生成绩作转换，原始分记为x，转换后的分数记为y，满足 y=ax+b，其中a≠0.原始分100分转换后为100分，原始分40分转换后为52分.若某同学转换后的分数比原始分多4分，则转换后的分数是　 　.
16．学科融合图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜AB，其中点A，B的坐标分别为(4，2)，(4，6)，从点C(-1，0)发射光线，其图象对应的函数解析式为y= mx+n(m≠0，x≥-1).规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线y=mx+n(m≠0，x≥-1)经过镜面反射后，反射光线与y轴相交于点E，则点E是整点的个数为　 　.
三、解答题
17．已知一次函数y=2x+3
（1）在直角坐标系中画出一次函数y=2x+3的图象：
（2）在直角坐标系中画出一次函数y=2x+3的图象关于x轴对称的函数图象，并写出函数的表达式：
（3）一次函数y=kx+b的图象关于x轴对称的函数图象的表达式（用含k，b的函数表达式表示）为　 　（用含k，b的函数表达式表示）．
18． 2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱。某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件。公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是二车间的1.5倍。先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单。
（1）求图、乙两个车间每天分别生产多少件产品；
（2）首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产；如果安排甲车间生产的天数不多于二车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数 最大生产总量是多少
19．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为．
（1）一次函数图象的“亮点”为 ；
（2）一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值；
（3）若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，，直接写出满足条件的点P的坐标．
20．【阅读理解】
点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若则称为点的“微距值”；若则称2为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为．例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“微距值”为．
【知识应用】
（1）点的“微距值”为 ；
（2）若点的“微距值”为2， 求a的值；
（3）若点在直线上，且点的“微距值”为，求点的坐标．
21．在直角坐标系中，函数与函数的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标为2．
（1）求k的值和点B的坐标．
（2）若函数的图象向下平移个单位后经过点，与y轴交于点D．
①求m的值．
②求的面积，
22．某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地.若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进.用时少者胜.甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系如图2.
（1）求乙班返回时的速度.
（2）求DE的函数表达式.
（3）求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，x的值.
23．情境如图，在跷跷板（自重忽略不计)的左端有一个固定质量为m0千克的靠背，质量为m千克的小孩紧贴靠背而坐，选定木板中点偏右的位置作为跷跷板的支点，支点与靠背的距离为l米，选定支点右侧a米处为零刻度线.质量为M千克的大人坐在零刻度线的右侧，大人可以通过调整自己的位置使跷跷板两端离地保持平衡.设大人与零刻度线的距离为y米，根据物理学的杠杆原理可得： （m0+m) l=M（a+y).
操作
（1）①当跷跷板左端不坐小孩，且大人在零刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则l与a的关系式为：l=　 　；
②当跷跷板左端坐上质量为20千克的小孩，大人从零刻度线移动至末刻度线时，跷跷板两端离地平衡，则l与a的关系式为：l=　 　；
（2） 由（1） 可得： l=　 　， a=　 　；
（3）探究
根据“操作”的结果，
①要使跷跷板两端离地保持平衡，写出y关于 m的函数关系式；（不必写m的取值范围)
②从零刻度线开始，跷跷板左端的质量每增加 5 千克，大人坐在木板上移动一个刻度能使跷跷板两端离地保持平衡，直接写出相邻刻度线之间的距离。
24．【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
25．在平面xOy中以下种不同所得线段的关系。
方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点O按逆时针方向旋转90°，
方式二：先原点0按逆时针方向旋转90°，然后向右平移1个单位长度。
如图1小明将线段AB按方式一方式二运动：分别得到线段A1，B1、A2，B2发现它们除长度相等外还有其他关系.
（1）【实践体验】
如图2，小明已画出线段CD按方式一运动得到的线段.请你利用网格，在图2中画出线段CD按方式二运动得到的线段；
（2）【探索发现】
在平面直角坐标系xOy中，将线段a按方式一、方式二运动，分别得到线段、，则线段、所在直线可能　 　（写出所有可能的序号）；①相交；②平行；③是同一条直线
（3）【综合应用】
如图3，已知点G(2，3)，H(x，y)是第一象限内两个不重合的点，将线段GH按方式一、方式二运动，分别得到线段、(、是G的对应点。、是H的对应点).
①若点与点重合，求点H的坐标；
②若线段与线段有公共点，直接写出y与x之间的函数表达式，并写出实数x的取值范围.
26．【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的.
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验.
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分）的关系，数据记录如表1：
表 1
电池充电状态
时间t（分） 0 10 30 60
增加的电量y（%） 0 10 30 60
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与已行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2.
表 2
汽车行驶过程
已行驶里程s（千米） 0 160 200 280
显示电量e（%） 100 60 50 30
（1）【建立模型】观察表 1、表2 发现都是一次函数模型，请结合表1、表2 的数据，求出y关于t 的函数表达式及e 关于s 的函数表达式；
（2）【解决问题】某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点 460千米处的目的地，若电动汽车行驶 240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%，求电动汽车在服务区充电多长时间.
27．问题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a为实数），当a变化时，点P的位置也随之改变．点P的位置有何变化规律呢？
【方法探究】
（1）甲同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表：
点的坐标
①请直接写出点的坐标；
②描点：如图1，建立平面直角坐标系，现已描出了点，请描出点；
③请观察点的位置，猜想点P的位置随a的变化有何规律？
【问题解决】
（2）同学们认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要进一步验证．
甲同学根据（1）中的猜想，用待定系数法，选择其中的点，求出y与x的解析式，再将点的坐标代入验证．
乙同学则设点P的坐标为，令得①，得②，消掉字母a，求出y与x的解析式．
问题解决：请分别用甲、乙同学的方法求出y与x的解析式，并简要比较这两种方法；
【拓展应用】
（3）如图2，点，分别为轴，轴正半轴上的一点，，求周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵正比例函数y1=ax的图象经过点（1，-1），
∴a=-1，
∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限 ，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，即该函数的图象一定不会经过第三象限，
故A、B、D三个选项都是错误的，不符合题意；只有C选项正确，符合题意.
故答案为：C.
【分析】将点（1，-1）代入正比例函数y1=ax可求出a=-1，根据反比例函数的图象与系数的关系，由反比例函数的图象位于第一、第三象限，得b＞0，进而根据一次函数的图象与系数的关系：y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，即可判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】正比例函数的概念；求代数式的值-直接代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：因为函数y=m·(x+1)(m≠1)是正比例函数，正比例函数的一般形式为y=kx(k为常数)，
当x=0时，y=m·1，而正比例函数过原点(0，0)，
所以m·1=0，
当x=-1时，y=m·0=1-m，
又因为此时y=k·(-1)，
所以1-m=-k，即k=m-1，
由此可得m·(x+1)=(m-1)x，
令z=x+1，则m·z=(m-1)(z-1)，
所以该运算定义为a·b=(a-1)(b-1)，
那么4·5=(4-1)(5-1)=3×4=12，
故答案为：A.
【分析】根据函数的定义把x=0代入得到m·1=0；再把x=-1代入求出y=m·0=1-m，进而得到运算法则a·b=(a-1)(b-1)，再代入数值计算即可.
3．【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵在一次函数中，，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，则选项A正确；
当时，，
∴函数的图象与轴的交点坐标是，则选项B错误；
函数的图象向下平移4个单位长度得到函数，即的图象，则选项C正确；
∵在一次函数中，，
∴函数值随自变量的增大而减小，则选项D正确；
故选：B．
【分析】
根据一次函数中k，b时，函数经过一、二、四象限，可判断选项A正确；求函数的图象与轴的交点坐标时，令y=0，求出x的值，即可判断选项B错误；根据一次函数图象的平移规律（上下平移时，对y的值进行加减）即可判断选项C正确；根据一次函数的增减性，当k时，y随x的增大而减小，即可判断选项D正确．
4．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵不等式的解是，
∴直线与x轴交点为且y随x增大而减小，
故答案为：D．
【分析】由不等式的解是可得直线与x轴交点的交点坐标，同时可得到y随x增大而减小，进而求解．
5．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设一次函数为
一次函数的图象与直线平行，
所以一次函数为
由可得函数与轴的交点为：
与函数的图象交y轴于同一点，
所以一次函数的解析式为：
故选A．
【分析】设一次函数为，根据直线平行性质可得一次函数为，再根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
、得，
值相等，
，，三点共线，符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
综上，，，三点共线，此时，
则，
即，
．
故答案为：．
【分析】分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，求出k值，然后代入计算解答即可．
7．【答案】D
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由表格可知，的值随值的增大而增大，故A错误；
∴，
B、当时，，
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，故B错误；
C、当时，，故关于的方程的解不是，故C错误；
D、∵的值随值的增大而增大，且当时，，
∴不等式的解集为；故D正确；
故答案为：D．
【分析】
根据观察表格得的值随值的增大而增大可判断A；于是得到，由表格数据得到当时，，根据函数图象可知该函数的图象经过第一、二、三象限可判断B；观察表格发现当时，，可判断C；根据一次函数与不等式得关系可判断D；逐一判断即可解答.
8．【答案】A
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数y=kx+b与y轴的交点为（0，b），
由图知：b1=2，b2=-1，k1>0，k2>0.
∴，，，.
因此，选项A正确，B、C、D错误.
故选：A.
【分析】根据一次函数图象的性质及与坐标轴交点坐标作答.
9．【答案】C
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由表格可知供水时间与箭尺示数是一次函数关系，
设供水时间为分钟，箭尺示数为，则，
则当供水时间为分钟时，；当供水时间为分钟时，，
∴，解得，
∴，
当时，，
解得：，
∴此时的时间为分钟，
故答案为：．
【分析】设供水时间为分钟，箭尺示数为，则，利用待定系数法求出函数解析式，然后计算y=13.4时x的值解答即可．
10．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵a∴两个函数如图：
①∵m<0，故一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①错误；
②由图可得， 一次函数与的交点坐标为（﹣3，2），故方程组的解集为，故①正确；
③由图可得，一次函数与x轴的交点坐标为（2，0），故方程的解为：x=2，故③正确；
④由图可得，一次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣2），即当x=0时，ax+b=﹣2，故④错误；
故正确答案为：B.
【分析】利用一次函数y=kx+b（k≠0），当k＜0时，y随x的增大而减小，可对①作出判断；由图象可知两函数图象的交点坐标为（-3，2），据此可得到方程组的解，可对②作出判断；根据直线y=mx+n与x轴的交点坐标为（2，0），可得到方程mx+n=0的解，可对③作出判断；由直线y=ax+b与y轴的交点坐标为（0，-2），可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】3
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】由题意得， ，解得 ，
又∵ ，所以
故答案为3.
【分析】根据一次函数的定义，可得 ， ，解出即可.
12．【答案】6(答案不唯一)
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将点A(1，a)代入y=-x+6得，a=5，
所以点A的坐标为(1，5).
因为
则取
所以旋转前后的直线互相垂直，
则令直线 的解析式为y=x+b，
将点A(1，5)代入y=x+b得，
b=4，
所以此时直线 的解析式为y=x+4.
因为点B(m，n)在直线 上，且m>1，
不妨取m=2，
则n=2+4=6，
所以n的值可以是6.
故答案为：6(答案不唯一).
【分析】先求出点A的坐标，再可取α的值为 据此得出旋转后的直线 的解析式，再结合m>1写出符合要求的n的值即可.
13．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线与直线交于点，
∴关于的方程组的解是
故答案为：
【分析】根据两一次函数相交点的坐标为联立方程组的解集，即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：把代入，得：，解得：，
∴直线与直线交于点，
当时，则．
故答案为：．
【分析】先求出n的值，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
15．【答案】84
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意，把和分别代入，
得
解得，
因此与的函数关系式为．
设该同学的原始分为，
根据题意得，
将代入，
得，
解得，
∴．
故答案为：．
【分析】先把两组原始分与转换分代入关系式，求出与的一次函数解析式，然后解方程组即可求出y的值.
16．【答案】7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，则，
作直线分别交轴于，
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为．
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得
，解得，
点的坐标为，
点纵坐标的取值范围为，
点是整点的有，共7个，
故答案为：．
【分析】作出点C关于对称点，得到的坐标，作直线，，利用待定系数法求出一次函数的解析式，分别求出这两直线与y轴交点，即可得到点E坐标在范围中，得到整点个数解答即可．
17．【答案】（1）解：如图所示，即为所求
y= 2x+3
（2）解：如图所示，为所求函数图象．
取 上两点， 关于 轴对称的点为 ， ，
设对称图象为 代入 得
∴y=-2x-3
（3）y=-kx-b
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（3）由（2）可得：
一次函数y=kx+b的图象关于x轴对称的函数图象的表达式（用含k，b的函数表达式表示）为 y=-kx-b
故答案为：y=-kx-b
【分析】（1）根据列表，描点，连线作出图形即可.
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征可得， ，再根据待定系数法将点A'，B'坐标代入解析式即可求出答案.
（3）根据（2）中结论即可求出答案.
18．【答案】（1）解：设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，
根据题意得：
解得： x=110，
经检验，x=110是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×110=165（件)。
答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品。
（2）解：设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30-m)天，这30天的生产总量为w件，
根据题意得： w=165m+110 （30-m) =55m+3300，
∵安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，
∴m≤2（30-m)，
解得： m≤20，
∵55>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m为正整数，
∴m最大取20，
∴当m=20时， w取得最大值，为55×20+3300=4400（件)，此时30-20=10（天) 。
答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件。
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙车间每天生产x件产品，则甲车间每天生产1.5x件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）设安排甲车间生产m天，乙车间生产（30 m）天，这30天的生产总量为w件，根据题意列出函数关系式，先求得m≤20，再根据一次函数的性质，即可求解．
19．【答案】（1）
（2）解：根据定义可得，点在上，
，
解得，
点即在上，
，
解得．
（3）解：∵直线上没有“亮点”，
∴直线与平行，
∴，
∴，
令，则，
令，则，
，
，
∵，
，
∴，
∵，
∴或．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】
（1）
解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，
即，
解得，
∴一次函数的“亮点”为；
【分析】（1）由“亮点”的概念联立一次函数解析式与正比例函数，再解二元一次方程组即可；
（2）由直线上点的坐标特征可得，再把求得的n的值代入到直线中求得m即可；
（3）由于同一平面不相交的两条直线平行，即，再由直线上点的坐标特征可得，即，再由已知可得，由于点P在y轴上，再利用坐标轴上点的坐标特征求出点P的坐标即可．
（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，
即，
解得，
一次函数的“亮点”为；
（2）解：根据定义可得，点在上，
，
解得，
点即在上，
，
解得．
（3）解：∵直线上没有“亮点”，
∴直线与平行，
∴，
∴，
令，则，
令，则，
，
，
∵，
，
∴，
∵，
∴或．
20．【答案】（1）2
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
【分析】（1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小．
（2）由点的“微距值”为，点到轴的距离，“微距值”为，根据定义可知且，进而求解的值．
（3）设点的坐标为，由点在直线上，得．点的“微距值”为，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标．
（1）解：点到轴的距离，到轴的距离．
∵，即，
∴点的“微距值”为
故答案为：2．
（2）解：点到轴的距离，
∵点的“微距值”为，且，
∴点到轴的距离．
∴或．
（3）解：设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴．
情况一：当时 此时，即．
当时，代入，得，
移项可得，即，
解得，
此时，
∵，
∴不满足，舍去．
当时，代入，得，
移项可得，即，解得，
此时，∵，满足，
∴点坐标为．
情况二：当时 此时，即．
当时，代入，
得，此时，
∵，不满足，
∴舍去．
当时，代入，
得，此时，
∵，满足，
∴点坐标为．
综上，点的坐标为或．
21．【答案】（1）解：∵ 点A在上，
∴当时，，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴，
∴或，
∴.
（2）解：①函数的图象向下平移个单位，
∴平移后的函数解析式为，
∵在函数的图象上，
∴，
∴.
②由①可得平移后的函数解析式为，
∵点D在且在y轴上，
∴当时，，
∴，
如图所示：
∴．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）将代入中先求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再联立两函数解析式求出点B坐标即可；
（2）①先表示出平移后的直线解析式，再将点C的坐标代入中，求m的值；
②求出点D坐标，再根据列式求解即可．
（1）解：在中，当时，，
∴，
把代入到中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
联立，解得或，
∴；
（2）解：①函数的图象向下平移个单位后的函数解析式为，
∵函数的图象经过，
∴，
∴；
②由①可得平移后的函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：因为A（20，60），B（60，0），
所以乙班返回共用40（s）走完60（m），
所以乙班返回时的速度为：
（2）解：因为D（18，20），E（50，60），
设DE的表达式为y=kx+b，
把D（18，20），E（50，60）代入得：
解得：
所以DE的表达式为
（3）解：因为O（0，0），A（20，60），
设OA的函数表达式为y=px，则
20k=60，解得：p=3，
所以OA的函数表达式为y=3x（0≤x≤20），
由图象可得：OA和CD的交点G表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同，所以y=3x=20，解得：
因为A（20，60），B（60，0），
设AB的函数表达式为y=mx+n，则
解得：
所以AB的表达式为
由图象可得：AB和DE的交点H表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同，
因为DE的表达式为
所以
解得：
综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象中点的坐标，然后根据速度路程时间计算即可；
（2）根据待定系数法求一次函数的额解析式即可；
（3）先求出的函数解析式，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立直线AB和DE的解析式求出x的值解答即可．
23．【答案】（1）5a；
（2）；
（3）解：①由题意得，
0.25 米.
【知识点】一元一次方程的其他应用；列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）解：①由题意， ∵，，，，
∴
∴，
故答案为：；
②由题意，∵，，，，
∴，
故答案为：
（2）解：由题意，结合 (1)，联立方程组
故答案为： ， ；
（3）解：②∵，
∴当时，；当时，；
∴相邻刻度线之间的距离为米．
【分析】
本题主要考查了一次函数的应用，一元一次方程；解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）①由题意可得：，，，，代入，可以得解；
②由题意可得：，，，，代入即可求解；
（2）联立，即可求解；
（3）①将，，，代入，即可求解；
②由可得：时，；当时，，即可判断．
24．【答案】（1）解：当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N．
（2）解：当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力＝kx+b，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）m＝0.6，n＝1.6．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，当x＝8时，F拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
4﹣3.4＝0.6（N），
∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力＝k1x+b1，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，
解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），
∴n＝1.6．
【分析】（1）根据图象所给数据可得结论；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）把x=8代入求出拉力，然后求出弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式，然后代入F拉力=3.4，求出铝块下降的高度，然后减去铝块的高度解答即可.
25．【答案】（1）解：如图所示，线段即为所求作的线段；
（2）②③
（3）按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，坐标为；
按方式一运动：向右平移1个单位长度，再绕原点O按逆时针方向旋转90°，坐标为．
按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转，再向右平移1个单位，坐标为；
按方式二运动：先原点O按逆时针方向旋转，再向右平移1个单位，坐标为．
①点与点重合，
，解得，即．
②由（2）可知，若线段与线段有公共点，则点在一条直线上，
设直线的解析式为：，则，解得，
直线的解析式为：，
将点坐标为代入得，．整理得，，
，
讨论有交点情况：
．当点在线段上时，两线段有交点，
，即，
当点在线段上（不与端点重合）时，两线段无交点，
，即，
当点在线段上时，两线段有交点，
，即，
由于点在第一象限，，
．
综上所述，若线段与线段有公共点，，或
【知识点】用坐标表示平移；利用轴对称、旋转、平移设计图案；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（2）设线段的端点为和，
按方式一变换得到线段对应端点分别为，，
按方式二变换得到线段对应端点分别为：，
设直线的解析式为：，代入得，
，消去后，整理得，，
设直线的解析式为：，代入得，
消去后，整理得，，
，即和所在直线可能平行或是同一直线．
故选：②③；
【分析】（1）根据旋转和平移的性质作图即可；
（2）先求出按方式一和方式二变换后的端点坐标，然后利用待定系数法求出一次项系数，通过一次项系数来判断直线的位置关系；
（3）①先根据平行性质转化为共线问题，再通过已知直线方程得到函数解析式；
②通过线段端点位置关系分析范围，根据不等式确定临界点，结合图形，即可求解．
26．【答案】（1）解：表1：设y=kt+b(k≠0)，将（10，10），（30，30）代入y=kt+b，
得，
解得 k=1，b=0
故y关于t 的函数表达式为y=t；
同理可得：e关于s的函数表达式为
答：y关于t 的函数表达式为y=t；e关于s的函数表达式为
（2）解：据题意知：当s=240，=40，即此时 汽车仪表盘显示电量为40%.
设电动汽车在服务区充电t分钟，
则增加的电量为e'=y'=t，
此时总电量为e=40+t，
剩余路程460-240=220km，
走完此路程 汽车仪表盘显示电量%，即耗电量为55%.
据题意，得 40+t-55=20
解得 t=35
答： 电动汽车在服务区充电 35 分钟
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】⑴将表格表示的变量关系通过待定系数法“待定系数法”转化为函数表达式即可.
⑵利用方程思想作答，注意显示电量与耗电量的区别.
27．【答案】（1）解：①当时，，∴，
②描点如下：
猜想：点的横坐标为，纵坐标为，点在一条直线上运动，
（2）解：设出y与x的解析式为，代入，
∴
解得：
将，代入验证符合解析式，
在直线上；
乙同学设点P的坐标为，
，
得，即．
在直线上；
（3）解：如图，
设直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，则，当时，，则
∴，是等腰直角三角形，
∴
∵，则
过点作，且
∴关于的对称轴点为，则，
的周长最小值为．
∵
∴，
又∵
∴
∴
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要对一次函数的几何应用，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的交点问题，轴对称的性质等知识点进行考查．
（1）将代入可求出，描出各点，观察得出点的横坐标为，纵坐标为，点在一条直线上运动；
（2）①先设出y与x的解析式，再带入，解得解析式；②先设点P的坐标为代入得求解得。
（3）优先求出直线与x，轴的两个交点，，再作出点关于直线的对称点，根据轴对称的性质得出的周长最小值为，在中根据勾股定理有．
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