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专题3.3 反比例函数及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．关于反比例函数下列说法中错误的是（　　）
A．它的图象分布在一、三象限
B．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
C．当x>0时，y的值随x的增大而减小
D．当x>-1时，y<-3
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴它的图象分布在一、三象限，选项A说法正确；
若点在它的图象上，则满足，可得，因此点也满足函数解析式，故选项B说法正确；
∵，
∴当时，的值随的增大而减小，选项C说法正确；
对于选项D，当时，，当时，，
因此当时，不是所有都满足，选项D说法错误．
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数函数的图象和性质逐项判断解答即可．
2．已知点A（5-t，y1）和点B（t+1，y2）都是反比例函数的图像上的两点，下列说法正确的是（　　）
A．当-1y2
C．当1y2
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不正确，不符合题意；
B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B正确，符合题意；
C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不正确，不符合题意；
D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不正确，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据双曲线位于二、四象限，且每个象限内，y随x的增大而增大，据此解答即可．
3．如图，平行于x轴的直线交反比例函数 的图象于点A(2， 3)．当y<3时，x的取值范围是(　　)
A．x>2或x<0 B．x>2 C．0【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
在第一象限时，当时，，
在第三象限时，恒成立，符合题意，
∴当时，的取值范围是或．
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的图象和性质性质得到x的取值范围解答即可．
4． 已知 ab>0，一次函数y= ax+b与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ab>0
①当a>0，b>0时
一次函数y= ax+b图象经过一，二，三象限，y随着x的增大而增大
反比例函数经过一，三象限，A正确，C错误
②当a<0，b<0时
一次函数y= ax+b图象经过二，三，四象限，y随着x的增大而减小
反比例函数经过二，四象限，B，D错误
故答案为：A
【分析】根据一次函数，反比例函数的图象与系数的关系分类讨论即可求出答案.
5．如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（　　）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：∵直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令得，令得，
∴，
如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，
设，则，
∴，
∵，
∴，设，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵在上，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
∵关于对称，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴是，
∴，
故选C．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，设，则，根据两点间距离可得DT，OT，再根据正切定义可得，设，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，则，设，则，解直角三角形可得BL，根据边之间的关系可得OL，OT，根据反比例函数k的几何意义建立方程，解方程可得，再根据点的坐标可得，，根据关于原点对称的点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得CD，DE，CE，再根据勾股定理逆定理可得是，再根据三角形面积即可求出答案.
6．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当时，
B．I与R的函数关系式是
C．当时，
D．当时，I的取值范围是
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意，
当时，，
∵，
∴I随R增大而减小，
∴当时，，
当时，，
当时，的取值范围是，
故A、C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
【分析】设I与R的函数关系式是，根据待定系数法将点代入解析式可得I与R的函数关系式是，再根据反比例函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
7．已知y是x的反比例函数，其部分对应值如下表所示.若a＜b则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
x … -2 -1 1 2 3 …
y … a b y1 y2 y3 …
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，设函数表达式为，
由表格数据时，时，且，，
∴，反比例函数在二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据，，即可得到图象位于二四象限，随的增大而增大，再判断函数的增减性解答即可．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在反比例函数0）的图象上，P是矩形OABC内的一点，连结PO，PA，PB，PC，若图中阴影部分的面积为10，则k为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
∵点在反比例函数上，
∴，
由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20.
【分析】 设点的坐标为，根据矩形面积与反比例函数的几何意义得到k=ab，根据题意得到阴影部分面积为矩形面积的一半解答即可．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数 的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB， 则k的值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
A(k，1)，B(1，k)
∵
∴
解得：k=-3或k=5
∵k>0
∴k=5
故答案为：C
【分析】由题意可得：A(k，1)，B(1，k)，再根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE.若△BDE的面积为，则k的值为（　　）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两点两垂线型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】设，先根据平行得到，然后根据对应边成比例求出，，得到点D的坐标，然后根据三角形的面积公式求出k的值解答即可．
二、填空题
11．已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 　 　．
【答案】2
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：由题意得：，且，
，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的定义即可求出答案.
12．已知点在反比例函数（是常数）的图象上，当时，，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点M（m，y1），N（m+1，y2）在反比例函数（k是常数）的图象上，m＞0，
∴0＜m＜m+1，
∵y1＜y2，
∴反比例函数图象上分布在第二、四象限，
∴k＜0．
故答案为：k＜0．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
13．从，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：的解是负数，且使关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：，
解得，，
∵方程的解是负数，
∴，
解得：且，
∵关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴，且，
∴或0或1或2，有4种可能，
故概率为，
故答案为：．
【分析】将m作为系数，解分式方程，用含m的式子表示出x=-m-3，由该分式方程的解是负数，列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围；由反比例函数中，当k＞0时，图象两支分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象两支分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此结合题意列出不等式m-3＜0，求解得出m的取值范围，综上即可确定出符合题意的m的值，最后根据概率公式计算即可得出答案.
14．如图，反比例函数的图象经过的顶点B，在x轴上，若点，的面积为3，则k值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，延长交y轴于点D，
∵，，
∴
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可得BD，根据点的坐标可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
15．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点C作x轴的垂线，垂足为点B，连接，若，则　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，
点关于原点对称，
，
，，
，
过点作轴的垂线交轴于点，
，
，
，
解得（舍去正值），
故答案为：．
【分析】
由于正比例函数与反比例函数的图象都是中心对称图形，则A、C两点关于原点对称，则，再由反比例函数的几何意义可得，因为，所以．
16．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则近视眼镜的度数减少了　 　度．
【答案】150
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
把代入，
，
函数解析式为，
当时，，
当时，，
度数减少了（度，
故答案为：．
【分析】由已知设，则有图象知点满足解析式，进而得到解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（﹣2，m﹣9），B两点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限内点B的右侧，连接BC，OC，△BOC的面积为5．
（1）求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
（2）探究在x轴上是否存在点M，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将A（﹣2，m﹣9）代入y＝mx得，
m﹣9＝﹣2m，
解得m＝3，
∴正比例函数表达式为y＝3x，A（﹣2，﹣6），
∴k＝﹣2×（﹣6）＝12，
∴反比例函数解析式为y，
∵点A、B关于原点对称，
∴B（2，6）；
综上所述，A（﹣2，﹣6），B（2，6），反比例函数解析式为y
（2）解：过C作CG∥x轴，交AB于点G，
设C（c，），则G（，），
∴CG＝c，
∴S△BOCCG （yB﹣yO）（c）×6＝5，
解得c＝3或c（舍去），
∴C（3，4），则OC5．
当OC为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点N在点C左侧，
此时CN∥x轴，且CN＝5，
∴N（﹣2，4）；
②如图，此点N在点C右侧，
此时CN∥x轴，且CN＝5，
∴N（8，4）；
③如图，OM、CN为对角线，
此时点C与点N关于x轴对称，则N（3，﹣4）；
当OC为菱形的对角线时，有如下一种情况：
过C作CL⊥x轴于点L，
设OM＝a，则CM＝a，ML＝a﹣3，
在Rt△CLM中，（a﹣3）2+42＝a2，
解得a，
∴CN，
∴N（，4）；
综上所述，点N坐标为（﹣2，4）或（8，4）或（3，﹣4）或（，4）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题；数形结合；分类讨论
【解析】【分析】（1）先求出m的值，即可得出点A的坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得B的坐标；
（2）先求出点C的坐标，进而分类讨论即可得出答案.
18．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）点为y轴上一个动点，过图中所标的C点作垂直于y轴的直线，分别交反比例函数及一次函数的图象于 D，E两点，当点E位于点D右方时，请直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为：．
点在图象上，
，．
点，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：．
（2）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）依题意，点位于点右方时，如图：或．
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）借助图象，可从图象上直接写出符合条件的自变量x的取值范围即可．
（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为：．
点在图象上，
，．
点，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：．
（2）解：依题意，点位于点右方时，如图：或．
19．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
（3）在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围．
【答案】（1）解：直线过点，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：，
，
在点右边，即时，直线在双曲线上方，
所以不等式的解集是；
（3）解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
由，解得，
点的坐标为；
，且点在点右边，
点纵坐标的取值范围是．
【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可得点的坐标为，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）由题意可得，当直线图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则，由题意可得直线的解析式为，联立反比例函数解析式，解方程组可得点的坐标为，即可求出答案.
（1）解：直线过点，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：，
，
在点右边，即时，直线在双曲线上方，
所以不等式的解集是；
（3）解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
由，解得，
点的坐标为；
，且点在点右边，
点纵坐标的取值范围是．
20．如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
… 10 16 20 25 40 50 …
… 8 5 4 3.2 2 1.6 …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：将代入得，
，
函数的解析式为。
（3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点，
设，
如图，连接，
，
，
，
解得，
经检验是原方程的根，
当时，，
，
当时，，
。
综上所述，满足条件的点的坐标为或
【知识点】反比例函数的实际应用；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的其他应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）将表格中的各个点在坐标轴上描出来，即可求解
（2）将代入，即可求出k的值，进而即可求出该反比例函数的解析式
（3）设，连接，然后再根据，逐一代入数据，即可求解，然后再进行验证即可
（1）解：如图，
（2）解：将代入得，
，
函数的解析式为；
（3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点，
设，
如图，连接，
，
，
，
解得，
经检验是原方程的根，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：过点作轴于点，
对于一次函数，
当时，，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
当时，，
∴，
将点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，解得或，
经检验，或都是原分式方程的根，
当时，，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得或，
经检验，得或都是原分式方程的根，
∵点在直线下方的反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解分式方程；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）过点作轴于，令，得可表示出OC，再根据的面积为1，计算得出的长，即可得出点的坐标，再利用待定系数法求出k得值，解答即可；
（2）联立一次函数与反比例函数的解析式解得或，可得B的坐标，设，表示出，根据两点之间的距离公式表示出PD，PE，根据，建立方程计算可得或，再根据反比例函数图象上点的特征得到P的坐标，解答即可．
（1）解：过点作轴于点，
对于一次函数，
当时，，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
当时，，
∴，
将点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，解得或，
经检验，或都是原分式方程的根，
当时，，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得或，
经检验，得或都是原分式方程的根，
∵点在直线下方的反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．已知反比例函数，及两定点，．
（1）设是反比例函数图象上任意一点，请证明为一定值，并求出该定值．
（2）设直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，．
（2.1）若直线经过点，求出线段长度的最小值，以及此时直线的斜率．
（2.2）若与轴交于点，与轴交于点，请证明为一定值，并求出该定值．
【答案】（1）证明：∵是反比例函数图像上任意一点，
∴设，
∵，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，即该定值为2
（2）解：（2.1）设直线解析式为，，，
∵直线经过点，
∴，解得，
∴，
联立
整理得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴当时，最小，此时，
即线段长度的最小值为，
∵直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，，
∴，
∴，
∴；
答： 线段长度的最小值为，此时直线的斜率为-1；
（2.2）设直线解析式为，，，
联立
整理得，，
∴，，
∵当时，，则，
当时，，
解得，
则，，
∴
，
∴，即该定值为0
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）设，根据两点间的距离公式将、用含m的代数式表示出来，再求出，，然后由计算即可求解；
（2）（2.1）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得关于x的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后根据求最小值即可；
（2.2）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得到，得到，再求出，，最后表示出，整理后代入计算即可求解．
（1）证明：∵是反比例函数图像上任意一点，
∴设，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴固定不变；
（2）解：（2.1）设直线解析式为，，，
∵直线经过点，
∴，解得，
∴，
联立整理得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴当时，最小，此时，即线段长度的最小值为，
∵直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，，
∴，
∴，
∴；
（2.2）设直线解析式为，，，
联立整理得，，
∴，，
∵当时，，则，
当时，，解得，则，，
∴
，
∴固定不变．
23．【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为．
【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题：
（1）求点的“纵横差”；
（2）求函数的“纵横极差”；
（3）若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值．
【答案】（1）解：由题意，点的“纵横差”为。
（2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为，
又∵当时，随的增大而减小，
∴当时，的值最大，最大值是，
∴函数的“纵横极差”为。
（3）解：∵，
∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为，
根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：
当时，
若，则的最大值在处取得，即最大值为，
∴“纵横极差”为，符合条件；
若，则的最大值在处取得，即最大值为，
∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去，
综上所述，的值为。
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据“纵横差”的定义，然后再将B点坐标代入验证，即可求解。
（2）根据“纵横极差”的定义，可得，然后再根据“”可得，随的增大而减小，因此，当x=-5时，即可求出y-x的最大值，进而即可求出函数的“纵横极差”。
（3）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论、根据若合若两种情况进行分析，最后再根据“纵横极差”，求出h的值。
（1）解：由题意，点的“纵横差”为；
（2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为，
又∵当时，随的增大而减小，
∴当时，的值最大，最大值是，
∴函数的“纵横极差”为；
（3）解：∵，
∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为，
根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：当时，
若，则的最大值在处取得，即最大值为，
∴“纵横极差”为，符合条件；
若，则的最大值在处取得，即最大值为，
∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去，
综上所述，的值为．
24．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
（1）_______，_______；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
【答案】（1）2，
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：
②函数值逐渐减小
（3）或
【知识点】函数自变量的取值范围；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）由题意，，
当时，由得，
当时，，
故答案为：2，；
（2）②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
（3）解：当时，，当时，，
∴函数与函数的图象交点坐标为，，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，
由图知，当或时，，
即当时，的解集为或，
故答案为：或．
【分析】（1）分别将I=3，R=6代入关系式即可求出答案.
（2）①根据描点法作出函数图象即可.
②根据图象信息即可求出答案.
（3）求出函数与函数的图象交点坐标，作出函数的图象，当函数的函数图象在函数的图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
25．如图1，木匠陈师傅现有一块五边形木板，它是矩形木板用去后的余料，，，，是边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上．
（1）[初步探究]
当时．
①若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______；
②若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______；
（2）[问题解决]
如图2，陈师傅还有另一块余料，，，，，，且和之间的距离为4，若以所在直线为轴，中点为原点构建直角坐标系，则曲线是反比例函数图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上，所截矩形材料面积是．求的长．
【答案】（1）①4；②10
（2）解：，
，，
，
，，
点在函数图象上，
，
反比例函数的解析式为，
和之间的距离为4，，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，则，
，
解得，
的长为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质
【解析】【解答】（1）解：①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
，，
，
截取的矩形面积的最大值4；
故答案为：4；
②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
，，
，
截取的矩形面积的最大值10；
故答案为：10；
【分析】（1）①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，根据矩形面积即可求出答案.
②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，根据矩形面积即可求出答案.
（2）根据点的坐标可得，，，，再根据待定系数法将点E坐标代入解析式可得反比例函数的解析式为，根据平行性质可得，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得，设，则，再根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
，，
，
截取的矩形面积的最大值4；
故答案为：4；
②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
，，
，
截取的矩形面积的最大值10；
故答案为：10；
（2）解：，
，，
，
，，
点在函数图象上，
，
反比例函数的解析式为，
和之间的距离为4，，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，则，
，
解得，
的长为．
26．在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点P作x轴和y轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，点．令，，则称点为点P的“k双曲点”．例如：如图1，当，点P的坐标为时，可得到，，则，，所以点P的“1双曲点”为．
（1）若点的“k双曲点”为点，求k及n的值；
（2）若，
①点P的“1双曲点”为点，求点P的坐标；
②阅读理解：设点P在反比例函数的图象上，则可设，可求得点P的“1双曲点”为点，因为，所以点Q在反比例函数的图象上．
解决如下问题：如图2，设点P在一次函数的图象上，点Q为点P的“1双曲点”，设，，求的最大值．
【答案】（1）解：由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，
点，点，
，
，
，，
；
（2）解：①由题意可知：轴，轴，设，点，点．
点P的“1双曲点”为点，
点，点，
，
，
（负值已舍去），
；
②点P在一次函数的图象上，设，
由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，点，
点Q为点P的“1双曲点”，
，
，
所以点Q在一次函数的图象上，
作关于直线的对称点，
交直线于点D，
作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
关于直线对称，
，
，
当，，三点共线时，，
此时的值最大，
，
，
即的最大值为．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；解直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据点的坐标与图形的性质可得点，点，由“k双曲点”定义得，求解得出点A的坐标，进而根据反比例函数图象上点的坐标特点求出k的值，及点B的坐标，进而即可求出n的值；
（2）①设，点，点．由点P的“1双曲点”为点，由点的坐标与图形性质得点，点，进而由“1双曲点”定义列出方程组，解之即可；
②根据点的坐标与图形性质，设，得点，点，进而得，根据一次函数图象上点的坐标特点可得点Q在一次函数的图象上；作关于直线的对称点，得，，当，，三点共线时，的值最大，根据两点间的距离公式即可求解．
（1）解：由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，
点，点，
，
，
，，
；
（2）解：①由题意可知：轴，轴，
设，点，点．
点P的“1双曲点”为点，
点，点，
，
，
（负值已舍去），
；
②点P在一次函数的图象上，设，
由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，点，
点Q为点P的“1双曲点”，
，
，
所以点Q在一次函数的图象上，
作关于直线的对称点，
交直线于点D，
作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
关于直线对称，
，
，
当，，三点共线时，，
此时的值最大，
，
，
即的最大值为．
27．综合与实践
【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子．
【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下：
实验组 风速v（） 旋转角速度ω（） 推力F（N）
1 5 4 24
【问题解决】
（1）保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度；
（2）保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10．
①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由；
②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3）
【答案】（1）解：，
，
当时，，
解得旋转角速度；
答： 保持风速不变，若要推力达到48N，此时旋转角速度为.
（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
，
答：现有装置不能产生推力.
②，
，
解得圆柱体的高，
在最高旋转角速度下，当时，．
又，
，
解得
答：当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力．
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据和表中数据求得k，结合已知的推力即可求得旋转角速度；
（2）①根据保持风速不变，求得现有装置能产生的最大推力即可；
②根据求得圆柱体的高，在最高旋转角速度下，当时求得，进一步求得解得即可．
（1）解：，
，
当时，，
解得旋转角速度；
（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
，
现有装置不能产生推力；
②，
，
解得圆柱体的高，
在最高旋转角速度下，当时，．
又，
，
解得
当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力．
28．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由．
【问题延伸】
（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值．
【拓展应用】
外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______．
【答案】（1）；4；2；
解：（2）不能围出面积为的矩形；
理由如下：
的图象，如图中所示：
∵与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形．
（3）如图中直线：所示，
∵直线与反比例函数的图象有唯一交点，
∴由唯一解，即：方程只有一个解，
∴，解得：（负值舍去），
此时：，解得：，
当时，，
∴此时交点坐标为；
（4）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）将反比例函数与直线：联立得，
∴，
∴，
∴，，
∴另一个交点坐标为，
∵为，为，
∴，．
故答案为：；4；2；
（4）∵和的长均不小于
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，直线在、上面或之间移动，
把代入得，
∴．
【分析】（1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解；
（2）画出的图象，观察图象得到与函数图象没有交点即可求解；
（3）由直线与反比例函数的图象有唯一交点，可知由唯一解，即：方程只有一个解，利用根的判别式求得（负值舍去），进而可求得交点坐标为；
（4）和的长均不小于，可得，直线在、上面或之间移动，可得求的范围．
利用数形结合数学思想是解决问题的关键．
1 / 1专题3.3 反比例函数及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．关于反比例函数下列说法中错误的是（　　）
A．它的图象分布在一、三象限
B．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
C．当x>0时，y的值随x的增大而减小
D．当x>-1时，y<-3
2．已知点A（5-t，y1）和点B（t+1，y2）都是反比例函数的图像上的两点，下列说法正确的是（　　）
A．当-1y2
C．当1y2
3．如图，平行于x轴的直线交反比例函数 的图象于点A(2， 3)．当y<3时，x的取值范围是(　　)
A．x>2或x<0 B．x>2 C．04． 已知 ab>0，一次函数y= ax+b与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
5．如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（　　）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
6．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当时，
B．I与R的函数关系式是
C．当时，
D．当时，I的取值范围是
7．已知y是x的反比例函数，其部分对应值如下表所示.若a＜b则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
x … -2 -1 1 2 3 …
y … a b y1 y2 y3 …
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在反比例函数0）的图象上，P是矩形OABC内的一点，连结PO，PA，PB，PC，若图中阴影部分的面积为10，则k为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
9．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数 的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB， 则k的值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．8
10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO、AB分别与反比例函数（k＞0，x＞0）的图象相交于点C、D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接DE.若△BDE的面积为，则k的值为（　　）
A． B． C．5 D．10
二、填空题
11．已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 　 　．
12．已知点在反比例函数（是常数）的图象上，当时，，则的取值范围是　 　．
13．从，0，1，2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：的解是负数，且使关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为　 　．
14．如图，反比例函数的图象经过的顶点B，在x轴上，若点，的面积为3，则k值为　 　．
15．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点C作x轴的垂线，垂足为点B，连接，若，则　 　．
16．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则近视眼镜的度数减少了　 　度．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（﹣2，m﹣9），B两点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限内点B的右侧，连接BC，OC，△BOC的面积为5．
（1）求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
（2）探究在x轴上是否存在点M，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）点为y轴上一个动点，过图中所标的C点作垂直于y轴的直线，分别交反比例函数及一次函数的图象于 D，E两点，当点E位于点D右方时，请直接写出m的取值范围．
19．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
（3）在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围．
20．如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
… 10 16 20 25 40 50 …
… 8 5 4 3.2 2 1.6 …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标．
22．已知反比例函数，及两定点，．
（1）设是反比例函数图象上任意一点，请证明为一定值，并求出该定值．
（2）设直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，．
（2.1）若直线经过点，求出线段长度的最小值，以及此时直线的斜率．
（2.2）若与轴交于点，与轴交于点，请证明为一定值，并求出该定值．
23．【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为．
【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题：
（1）求点的“纵横差”；
（2）求函数的“纵横极差”；
（3）若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值．
24．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
（1）_______，_______；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
25．如图1，木匠陈师傅现有一块五边形木板，它是矩形木板用去后的余料，，，，是边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上．
（1）[初步探究]
当时．
①若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______；
②若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______；
（2）[问题解决]
如图2，陈师傅还有另一块余料，，，，，，且和之间的距离为4，若以所在直线为轴，中点为原点构建直角坐标系，则曲线是反比例函数图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上，所截矩形材料面积是．求的长．
26．在平面直角坐标系中，点在第一象限，过点P作x轴和y轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，点．令，，则称点为点P的“k双曲点”．例如：如图1，当，点P的坐标为时，可得到，，则，，所以点P的“1双曲点”为．
（1）若点的“k双曲点”为点，求k及n的值；
（2）若，
①点P的“1双曲点”为点，求点P的坐标；
②阅读理解：设点P在反比例函数的图象上，则可设，可求得点P的“1双曲点”为点，因为，所以点Q在反比例函数的图象上．
解决如下问题：如图2，设点P在一次函数的图象上，点Q为点P的“1双曲点”，设，，求的最大值．
27．综合与实践
【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示），通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示）．生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子．
【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节）．已知装置产生的推力满足公式．，其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为ω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：），v为电风扇模拟的风速（单位：），产生的推力F可用测力计测量（单位：N）．现有实验数据如下：
实验组 风速v（） 旋转角速度ω（） 推力F（N）
1 5 4 24
【问题解决】
（1）保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度；
（2）保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10．
①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由；
②已知初始时圆柱体半径，请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变），使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力．（结果保留2位小数，计算过程中π取3）
28．综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空；
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？并仿照小颖的方法，在图2中利用函数图象说明理由．
【问题延伸】
（3）当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，求出直线与反比例函数的图象有唯一交点时的交点坐标及的值．
【拓展应用】
外观从以上积分中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围______．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴它的图象分布在一、三象限，选项A说法正确；
若点在它的图象上，则满足，可得，因此点也满足函数解析式，故选项B说法正确；
∵，
∴当时，的值随的增大而减小，选项C说法正确；
对于选项D，当时，，当时，，
因此当时，不是所有都满足，选项D说法错误．
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数函数的图象和性质逐项判断解答即可．
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不正确，不符合题意；
B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B正确，符合题意；
C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不正确，不符合题意；
D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不正确，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据双曲线位于二、四象限，且每个象限内，y随x的增大而增大，据此解答即可．
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
在第一象限时，当时，，
在第三象限时，恒成立，符合题意，
∴当时，的取值范围是或．
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的图象和性质性质得到x的取值范围解答即可．
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ab>0
①当a>0，b>0时
一次函数y= ax+b图象经过一，二，三象限，y随着x的增大而增大
反比例函数经过一，三象限，A正确，C错误
②当a<0，b<0时
一次函数y= ax+b图象经过二，三，四象限，y随着x的增大而减小
反比例函数经过二，四象限，B，D错误
故答案为：A
【分析】根据一次函数，反比例函数的图象与系数的关系分类讨论即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：∵直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令得，令得，
∴，
如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，
设，则，
∴，
∵，
∴，设，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵在上，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
∵关于对称，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴是，
∴，
故选C．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，设，则，根据两点间距离可得DT，OT，再根据正切定义可得，设，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，则，设，则，解直角三角形可得BL，根据边之间的关系可得OL，OT，根据反比例函数k的几何意义建立方程，解方程可得，再根据点的坐标可得，，根据关于原点对称的点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得CD，DE，CE，再根据勾股定理逆定理可得是，再根据三角形面积即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意，
当时，，
∵，
∴I随R增大而减小，
∴当时，，
当时，，
当时，的取值范围是，
故A、C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
【分析】设I与R的函数关系式是，根据待定系数法将点代入解析式可得I与R的函数关系式是，再根据反比例函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，设函数表达式为，
由表格数据时，时，且，，
∴，反比例函数在二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据，，即可得到图象位于二四象限，随的增大而增大，再判断函数的增减性解答即可．
8．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
∵点在反比例函数上，
∴，
由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20.
【分析】 设点的坐标为，根据矩形面积与反比例函数的几何意义得到k=ab，根据题意得到阴影部分面积为矩形面积的一半解答即可．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
A(k，1)，B(1，k)
∵
∴
解得：k=-3或k=5
∵k>0
∴k=5
故答案为：C
【分析】由题意可得：A(k，1)，B(1，k)，再根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两点两垂线型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】设，先根据平行得到，然后根据对应边成比例求出，，得到点D的坐标，然后根据三角形的面积公式求出k的值解答即可．
11．【答案】2
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：由题意得：，且，
，
故答案为：．
【分析】根据反比例函数的定义即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点M（m，y1），N（m+1，y2）在反比例函数（k是常数）的图象上，m＞0，
∴0＜m＜m+1，
∵y1＜y2，
∴反比例函数图象上分布在第二、四象限，
∴k＜0．
故答案为：k＜0．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
13．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组；反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：，
解得，，
∵方程的解是负数，
∴，
解得：且，
∵关于x的函数图象在每个象限y随x的增大而增大，
∴，
∴，
∴，且，
∴或0或1或2，有4种可能，
故概率为，
故答案为：．
【分析】将m作为系数，解分式方程，用含m的式子表示出x=-m-3，由该分式方程的解是负数，列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围；由反比例函数中，当k＞0时，图象两支分布在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象两支分布在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此结合题意列出不等式m-3＜0，求解得出m的取值范围，综上即可确定出符合题意的m的值，最后根据概率公式计算即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，延长交y轴于点D，
∵，，
∴
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可得BD，根据点的坐标可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，
点关于原点对称，
，
，，
，
过点作轴的垂线交轴于点，
，
，
，
解得（舍去正值），
故答案为：．
【分析】
由于正比例函数与反比例函数的图象都是中心对称图形，则A、C两点关于原点对称，则，再由反比例函数的几何意义可得，因为，所以．
16．【答案】150
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
把代入，
，
函数解析式为，
当时，，
当时，，
度数减少了（度，
故答案为：．
【分析】由已知设，则有图象知点满足解析式，进而得到解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可．
17．【答案】（1）解：将A（﹣2，m﹣9）代入y＝mx得，
m﹣9＝﹣2m，
解得m＝3，
∴正比例函数表达式为y＝3x，A（﹣2，﹣6），
∴k＝﹣2×（﹣6）＝12，
∴反比例函数解析式为y，
∵点A、B关于原点对称，
∴B（2，6）；
综上所述，A（﹣2，﹣6），B（2，6），反比例函数解析式为y
（2）解：过C作CG∥x轴，交AB于点G，
设C（c，），则G（，），
∴CG＝c，
∴S△BOCCG （yB﹣yO）（c）×6＝5，
解得c＝3或c（舍去），
∴C（3，4），则OC5．
当OC为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点N在点C左侧，
此时CN∥x轴，且CN＝5，
∴N（﹣2，4）；
②如图，此点N在点C右侧，
此时CN∥x轴，且CN＝5，
∴N（8，4）；
③如图，OM、CN为对角线，
此时点C与点N关于x轴对称，则N（3，﹣4）；
当OC为菱形的对角线时，有如下一种情况：
过C作CL⊥x轴于点L，
设OM＝a，则CM＝a，ML＝a﹣3，
在Rt△CLM中，（a﹣3）2+42＝a2，
解得a，
∴CN，
∴N（，4）；
综上所述，点N坐标为（﹣2，4）或（8，4）或（3，﹣4）或（，4）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题；数形结合；分类讨论
【解析】【分析】（1）先求出m的值，即可得出点A的坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得B的坐标；
（2）先求出点C的坐标，进而分类讨论即可得出答案.
18．【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为：．
点在图象上，
，．
点，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：．
（2）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）依题意，点位于点右方时，如图：或．
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式即可；
（2）借助图象，可从图象上直接写出符合条件的自变量x的取值范围即可．
（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为：．
点在图象上，
，．
点，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：．
（2）解：依题意，点位于点右方时，如图：或．
19．【答案】（1）解：直线过点，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解：，
，
在点右边，即时，直线在双曲线上方，
所以不等式的解集是；
（3）解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
由，解得，
点的坐标为；
，且点在点右边，
点纵坐标的取值范围是．
【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可得点的坐标为，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）由题意可得，当直线图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则，由题意可得直线的解析式为，联立反比例函数解析式，解方程组可得点的坐标为，即可求出答案.
（1）解：直线过点，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：，
，
在点右边，即时，直线在双曲线上方，
所以不等式的解集是；
（3）解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则．
直线的解析式为，
直线的解析式为．
由，解得，
点的坐标为；
，且点在点右边，
点纵坐标的取值范围是．
20．【答案】（1）解：如图，
（2）解：将代入得，
，
函数的解析式为。
（3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点，
设，
如图，连接，
，
，
，
解得，
经检验是原方程的根，
当时，，
，
当时，，
。
综上所述，满足条件的点的坐标为或
【知识点】反比例函数的实际应用；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的其他应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）将表格中的各个点在坐标轴上描出来，即可求解
（2）将代入，即可求出k的值，进而即可求出该反比例函数的解析式
（3）设，连接，然后再根据，逐一代入数据，即可求解，然后再进行验证即可
（1）解：如图，
（2）解：将代入得，
，
函数的解析式为；
（3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点，
设，
如图，连接，
，
，
，
解得，
经检验是原方程的根，
当时，，
，
当时，，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
21．【答案】（1）解：过点作轴于点，
对于一次函数，
当时，，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
当时，，
∴，
将点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，解得或，
经检验，或都是原分式方程的根，
当时，，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得或，
经检验，得或都是原分式方程的根，
∵点在直线下方的反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解分式方程；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）过点作轴于，令，得可表示出OC，再根据的面积为1，计算得出的长，即可得出点的坐标，再利用待定系数法求出k得值，解答即可；
（2）联立一次函数与反比例函数的解析式解得或，可得B的坐标，设，表示出，根据两点之间的距离公式表示出PD，PE，根据，建立方程计算可得或，再根据反比例函数图象上点的特征得到P的坐标，解答即可．
（1）解：过点作轴于点，
对于一次函数，
当时，，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
当时，，
∴，
将点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，解得或，
经检验，或都是原分式方程的根，
当时，，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得或，
经检验，得或都是原分式方程的根，
∵点在直线下方的反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）证明：∵是反比例函数图像上任意一点，
∴设，
∵，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，即该定值为2
（2）解：（2.1）设直线解析式为，，，
∵直线经过点，
∴，解得，
∴，
联立
整理得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴当时，最小，此时，
即线段长度的最小值为，
∵直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，，
∴，
∴，
∴；
答： 线段长度的最小值为，此时直线的斜率为-1；
（2.2）设直线解析式为，，，
联立
整理得，，
∴，，
∵当时，，则，
当时，，
解得，
则，，
∴
，
∴，即该定值为0
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）设，根据两点间的距离公式将、用含m的代数式表示出来，再求出，，然后由计算即可求解；
（2）（2.1）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得关于x的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后根据求最小值即可；
（2.2）设直线解析式为，与反比例函数解析式联立整理得到，得到，再求出，，最后表示出，整理后代入计算即可求解．
（1）证明：∵是反比例函数图像上任意一点，
∴设，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴固定不变；
（2）解：（2.1）设直线解析式为，，，
∵直线经过点，
∴，解得，
∴，
联立整理得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴当时，最小，此时，即线段长度的最小值为，
∵直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，，
∴，
∴，
∴；
（2.2）设直线解析式为，，，
联立整理得，，
∴，，
∵当时，，则，
当时，，解得，则，，
∴
，
∴固定不变．
23．【答案】（1）解：由题意，点的“纵横差”为。
（2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为，
又∵当时，随的增大而减小，
∴当时，的值最大，最大值是，
∴函数的“纵横极差”为。
（3）解：∵，
∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为，
根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：
当时，
若，则的最大值在处取得，即最大值为，
∴“纵横极差”为，符合条件；
若，则的最大值在处取得，即最大值为，
∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去，
综上所述，的值为。
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据“纵横差”的定义，然后再将B点坐标代入验证，即可求解。
（2）根据“纵横极差”的定义，可得，然后再根据“”可得，随的增大而减小，因此，当x=-5时，即可求出y-x的最大值，进而即可求出函数的“纵横极差”。
（3）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论、根据若合若两种情况进行分析，最后再根据“纵横极差”，求出h的值。
（1）解：由题意，点的“纵横差”为；
（2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为，
又∵当时，随的增大而减小，
∴当时，的值最大，最大值是，
∴函数的“纵横极差”为；
（3）解：∵，
∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为，
根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：当时，
若，则的最大值在处取得，即最大值为，
∴“纵横极差”为，符合条件；
若，则的最大值在处取得，即最大值为，
∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去，
综上所述，的值为．
24．【答案】（1）2，
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：
②函数值逐渐减小
（3）或
【知识点】函数自变量的取值范围；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：（1）由题意，，
当时，由得，
当时，，
故答案为：2，；
（2）②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
（3）解：当时，，当时，，
∴函数与函数的图象交点坐标为，，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，
由图知，当或时，，
即当时，的解集为或，
故答案为：或．
【分析】（1）分别将I=3，R=6代入关系式即可求出答案.
（2）①根据描点法作出函数图象即可.
②根据图象信息即可求出答案.
（3）求出函数与函数的图象交点坐标，作出函数的图象，当函数的函数图象在函数的图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
25．【答案】（1）①4；②10
（2）解：，
，，
，
，，
点在函数图象上，
，
反比例函数的解析式为，
和之间的距离为4，，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，则，
，
解得，
的长为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质
【解析】【解答】（1）解：①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
，，
，
截取的矩形面积的最大值4；
故答案为：4；
②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
，，
，
截取的矩形面积的最大值10；
故答案为：10；
【分析】（1）①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，根据矩形面积即可求出答案.
②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，根据矩形面积即可求出答案.
（2）根据点的坐标可得，，，，再根据待定系数法将点E坐标代入解析式可得反比例函数的解析式为，根据平行性质可得，，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得，设，则，再根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
，，
，
截取的矩形面积的最大值4；
故答案为：4；
②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
，，
，
截取的矩形面积的最大值10；
故答案为：10；
（2）解：，
，，
，
，，
点在函数图象上，
，
反比例函数的解析式为，
和之间的距离为4，，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
设，则，
，
解得，
的长为．
26．【答案】（1）解：由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，
点，点，
，
，
，，
；
（2）解：①由题意可知：轴，轴，设，点，点．
点P的“1双曲点”为点，
点，点，
，
，
（负值已舍去），
；
②点P在一次函数的图象上，设，
由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，点，
点Q为点P的“1双曲点”，
，
，
所以点Q在一次函数的图象上，
作关于直线的对称点，
交直线于点D，
作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
关于直线对称，
，
，
当，，三点共线时，，
此时的值最大，
，
，
即的最大值为．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；解直角三角形；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据点的坐标与图形的性质可得点，点，由“k双曲点”定义得，求解得出点A的坐标，进而根据反比例函数图象上点的坐标特点求出k的值，及点B的坐标，进而即可求出n的值；
（2）①设，点，点．由点P的“1双曲点”为点，由点的坐标与图形性质得点，点，进而由“1双曲点”定义列出方程组，解之即可；
②根据点的坐标与图形性质，设，得点，点，进而得，根据一次函数图象上点的坐标特点可得点Q在一次函数的图象上；作关于直线的对称点，得，，当，，三点共线时，的值最大，根据两点间的距离公式即可求解．
（1）解：由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，
点，点，
，
，
，，
；
（2）解：①由题意可知：轴，轴，
设，点，点．
点P的“1双曲点”为点，
点，点，
，
，
（负值已舍去），
；
②点P在一次函数的图象上，设，
由题意可知：轴，轴，
设点，点．
点，点，
点Q为点P的“1双曲点”，
，
，
所以点Q在一次函数的图象上，
作关于直线的对称点，
交直线于点D，
作轴于，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
关于直线对称，
，
，
当，，三点共线时，，
此时的值最大，
，
，
即的最大值为．
27．【答案】（1）解：，
，
当时，，
解得旋转角速度；
答： 保持风速不变，若要推力达到48N，此时旋转角速度为.
（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
，
答：现有装置不能产生推力.
②，
，
解得圆柱体的高，
在最高旋转角速度下，当时，．
又，
，
解得
答：当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力．
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据和表中数据求得k，结合已知的推力即可求得旋转角速度；
（2）①根据保持风速不变，求得现有装置能产生的最大推力即可；
②根据求得圆柱体的高，在最高旋转角速度下，当时求得，进一步求得解得即可．
（1）解：，
，
当时，，
解得旋转角速度；
（2）解：①保持风速不变，现有装置能产生的最大推力为
，
现有装置不能产生推力；
②，
，
解得圆柱体的高，
在最高旋转角速度下，当时，．
又，
，
解得
当圆柱体半径变为时，可以使得装置在最高旋转角速度下能产生推力．
28．【答案】（1）；4；2；
解：（2）不能围出面积为的矩形；
理由如下：
的图象，如图中所示：
∵与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为的矩形．
（3）如图中直线：所示，
∵直线与反比例函数的图象有唯一交点，
∴由唯一解，即：方程只有一个解，
∴，解得：（负值舍去），
此时：，解得：，
当时，，
∴此时交点坐标为；
（4）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）将反比例函数与直线：联立得，
∴，
∴，
∴，，
∴另一个交点坐标为，
∵为，为，
∴，．
故答案为：；4；2；
（4）∵和的长均不小于
∴，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，直线在、上面或之间移动，
把代入得，
∴．
【分析】（1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解；
（2）画出的图象，观察图象得到与函数图象没有交点即可求解；
（3）由直线与反比例函数的图象有唯一交点，可知由唯一解，即：方程只有一个解，利用根的判别式求得（负值舍去），进而可求得交点坐标为；
（4）和的长均不小于，可得，直线在、上面或之间移动，可得求的范围．
利用数形结合数学思想是解决问题的关键．
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