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专题3.4 二次函数及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1． 若 是关于x的二次函数，则a的取值范围是(　　)
A．a≠1 B．a>0 C．a>1 D．a≠0
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解： 是关于x的二次函数，
，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义“形如的函数是二次函数”解答即可.
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 ，
当a＞0，b＞0时，则一次函数的图像经过第一、三、四象限，二次函数的图像开口向下，且与一次函数交于y轴的负半轴的点（0，-b），
当a＞0，b＜0时，则一次函数的图像经过第一、二、三象限，二次函数的图像开口向下，且与一次函数交于y轴的正半轴的点（0，-b），
当a＜0，b＞0时，则一次函数的图像经过第二、三、四象限，二次函数的图像开口向上，且与一次函数交于y轴的负半轴的点（0，-b），
当a＜0，b＜0时，则一次函数的图像经过第一、二、四象限，二次函数的图像开口向上，且与一次函数交于y轴的正半轴的点（0，-b），
由此可知，图像A、B、C错误，D正确，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象和二次函数图象与系数的关系进行解答即可.
3．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（　　）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限，
∴，
∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴，
∴，，
∴一次函数经过一、二、四象限，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的函数图象在一、三象限可得，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧可得，，根据对称轴在y轴的右侧可知a、b的符号变化特征“左同右异”可得，根据a、b、c的符号并结合一次函数的图象与系数之间的关系即可判断求解．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点D、点E，过该函数顶点A与x轴平行的直线交抛物线于点B、点C，若，那么和需满足关系（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；两二次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵点A是抛物线的顶点，
因为点A的坐标是（h，k），
所以点B、C的纵坐标坐标是k，
对于抛物线，
令y1=0，得：，
解得：，，
所以DE==，
对于，经过点B、C，
故令y2=k，则，
解得：，，
所以BC==，
因为BC=2DE，
所以=2·，
解得：，
故答案为：D.
【分析】先根据抛物线解析式求出顶点A的坐标，即可得出交点B、C的纵坐标，再分别令y1=0，y2=k，解方程求解，进而即可求得DE、BC，最后根据即可得出结果.
5．设二次函数y=a（x-6）（x-m）+h（a>0），图象经过（a，1），（2，1）两点，则h的最大值是（　　）
A．-37 B．17 C．-17 D．37
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵点和纵坐标相等，二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，
∴二次函数的对称轴为．
又∵二次函数的对称轴为，
∴，
得．
把代入二次函数得：
，
整理得，
配方得．
∵，
∴，
∴．
即h的最大值为37．
故答案为：A.
【分析】利用二次函数的对称性求出对称轴为直线，求出m和a的关系，再代入点坐标得到h关于a的二次函数解析式，配方为顶点式，根据二次函数的最值解答即可．
6．我们知道，抛物线y=（x-2）2+4可由抛物线y=（x-1）2+2经过平移得到，那么平移的方法可以是（　　）
A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位
C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位
D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将抛物线y=（x-1）2+2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位可得抛物线y=（x-2）2+4
故答案为：B
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
7．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
当时，，
∴当时，，
∵方程（t为实数）在的范围内有解，
∴二次函数与直线在的范围内有交点，
∴，
故选：C．
【分析】 本题考查一元二次方程与二次函数的关联。首先通过对称轴公式求得参数，从而确定抛物线解析式为。分析区间时，函数值范围为。
根据方程在区间内有解的条件，等价于二次函数与直线在该区间内存在交点。由此可推导出参数的取值范围。
8．如图1，在等腰直角三角形ABC中， P是斜边AB上一点，过点 P分别作 PD⊥AC， PE⊥BC，垂足分别为点 D， E，设PD=x， PD·PE=y.若y关于x的函数图象如图2所示，点(m， t)和(n， t)在函数图象上， m+n=8，则下列选项正确的是(　　)
A．AB=8
B．当m=1时， t=8
C．点(4，16)在该函数图象上
D．该函数图象的最高点的纵坐标为8
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，四边形为矩形，
∴，
设，则，，
∴，即y是关于x的二次函数，且对称轴为直线，
∵点和在函数图象上，，
∴，即，
∴，，即y关于x的函数解析式为，故A选项错误，不符合题意；
当时，，故B选项错误，不符合题意；
当时，，则点在该函数图象上，故C选项正确，符合题意；
∵，，
∴该函数图象的最高点的纵坐标为16，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意即可得到为等腰直角三角形，四边形为矩形，设，即可得哦大，得到抛物线的对称轴为直线，再根据求出，得到二次函数的解析式解答即可.
9．冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）.一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：AB的长为25米，∠ABO=37°，tan37°≈0.75.】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点C，D，则下列所作技术分析正确的是（　　）
A．着陆坡的水平宽度OB=18.75米
B．点A的坐标为（0，12）
C．
D．当CD的最大值为10米时，
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-抛球问题；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：，
，
故，
解得，，
在中，，
，
，
米，故A错误；
在中，，
，
米，故，故B错误；
抛物线的函数表达式为，
将代入，
故，
化简得，
，故C正确；
设
设着陆坡所在直线的表达式为，
将代入，
，
解得，
，
，
，
则，
，
对于二次函数，其对称轴为，
当时，有最大值，将代入，
即，
∵的最大值为10米，
即，
解得，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据解直角三角形的计算求出判断选项A和选项B；根据待定系数法可得，整理判断选项C；利用待定系数法求出一次函数解析式，求出，求出对称轴为直线，根据最值得到，求出a的值判断选项D解答即可．
10．如图，函数y=ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x=1：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③9a-3b+c=0；④5a+b+c=0；⑤若点A（a+1，y1），B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有（　　）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线与轴有两个交点，
，
，故①符合题意；
②∵抛物线开口向上，
，
∵抛物线对称轴在轴右侧，
∴与异号，即，
∵抛物线与轴交点在轴下方，
，故②不符合题意；
③∵抛物线对称轴为，与轴一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，
∴当时，，
，故③不符合题意；
④∵抛物线与轴的一个交点为，
，
∵抛物线对称轴为，
，
，
，故④符合题意；
∵，
∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，
故⑤不符合题意；
⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上，
时，有最小值，
（为任意实数），故⑥符合题意；
综上所述，①④⑥符合题意，共有个；
故答案为：B .
【分析】根据图象与轴有两个交点得到即可判断①；根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点位置得到a，b，c的取值范围判断②；根据图象的对称轴，利用抛物线的对称性得到另一个交点为，代入抛物线解析式判断③；根据图象抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴可得，将代入，判断④；根据，即可得出，根据二次函数增减性即可判断⑤；根据二次函数的最值判断⑥解答即可．
二、填空题
11．若抛物线的顶点在直线上，则m的值为　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
对称轴为
当x=3m时，y=-3m2+5m+3
∴顶点坐标为(3m，-3m2+5m+3)
∵抛物线的顶点在直线上
∴-3m2+5m+3=3m+2
解得：m=或
故答案为：或
【分析】求出抛物线对称轴，再将x=3m代入抛物线可得顶点坐标，再将顶点坐标代入直线解析式，解方程即可求出答案.
12．同一平面直角坐标系中，抛物线 与 关于原点成中心对称，则代数式 的值为　 　.
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，
那么在抛物线上，
代入可得，
整理得，
∴或，
∴．
故答案为：.
【分析】设为上任一点，根据关于原点成中心对称的点在抛物线上，得，从而求出m和n的值，然后代入计算即可．
13． 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由在A点右侧且在B点左侧，二次函数图象在直线的上方，此时.
答案：
【分析】由不等关系，在A、B左右两侧找到满足题意的范围，即可求出x的范围.
14．我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点．例如：函数-1的零点为1和-1．若函数的零点是和，则函数的零点是　 　．
【答案】-2或-3
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：函数的零点是和，
，
，
当时，，
.
故答案为：-2或-3.
【分析】由二次函数的性质可得，再通过公式变形可得，故当时，可得，即函数的零点是-2或-3.
15．定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：函数的图象向上平移个单位，得到的函数解析式为，
当时，，
当时，，
当时，，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，此时，在对称轴右侧，即，即，
∴，
此时，不等式组无解，不符合题意；
当时，
此时，，即，，即，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴；
当时，
此时，，即，
，即，
∵
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴；
综上可得：或，
故答案为：或．
【分析】利用二次函数图象平移规律可得到平移后的函数解析式，分别求出当时，当时，当时对应的函数解析式；抛物线的开口向下，对称轴为直线；分情况讨论：当时，此时，在对称轴右侧；当时；当时；分别可得到关于t的不等式，然后求出符合题意的t的取值范围.
16．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状如图，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4 cm，最低点 C 在x 轴上，高 CH=1 cm，BD=2cm ，则右轮廓 DFE 所在抛物线的表达式为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵B，D关于y轴对称，高CH=1cm，BD=2cm，
∴D点坐标为（1，1），
∵AE//x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，
∴A，B关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），
∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），
设右侧抛物线的解析式为，
将D（1，1）代入解析式得：，
故设右侧抛物线的解析式为，
故答案为：.
【分析】通过已知条件确定抛物线的顶点F的坐标和点D的坐标，然后设顶点式，代入点D的坐标，进而求出右侧抛物线的表达式.
17．大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径，最顶端点到保温墙的水平距离为4m，到地面的距离为3.6m．现要使得高度为1.1m的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为　 　m．
【答案】9
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：如图，建立坐标系如下：
由题意可得，顶点，
∴设抛物线为：，
∴，
解得：，
∴抛物线为；
当时，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
而，
∴农具活动范围的宽度为；
故答案为：
【分析】如图，以点A为原点，分别以AD与AB为y轴，x轴建立坐标系，顶点为C（4，3.6）
设二次函数的解析式为顶点式： 将点B（10，0）代入，解得a=，则二次函数的解析式为 ，当时，代入，解得 ， ，根据实际意义x=9， 则农具活动范围的宽度为 9.
18． 如图1， 在 Rt△ABC中， D是斜边AC中点.点E在边AB上， 从点A 出发， 运动到点B时停止， 设AE为x， DE2为y.如图2， y关于x的函数图象与y轴交于点P(0， m)，且经过最低点N(n-4， 9)和M(n， m)两点.下列选项正确的是(　　)
A．∠A=30° B．m=25 C．n=6 D．BC=3
【答案】B
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵函数图象过点和，
∴这两点纵坐标相等，
∴二次函数图象的对称轴为，
∵二次函数图象的最低点为，
∴，
解得；故选C错误；
∴二次函数图象的最低点为，此时，，则，
∵是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，故选项D错误；
当时，，，
∴，
当时，点与点重合，
∴，
∴，
∴，故选B正确，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴在中，，即，故选项A错误．
故答案为： .
【分析】根据函数图象可得对称轴为，根据最低点坐标得到n的方程，求出可判断C；由函数图象的最低点为，求出，得到是的中位线，求出BC的长判断D；根据勾股定理求出m和AC的值，再根据正弦的定义求出∠A≠30°，判断A、B解答即可．
三、解答题（一）
19．在平面直角坐标系中，已知二次函数 (b，c为常数)的对称轴为直线x=2，且过点(0， 1)．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值；
（3）当自变量x满足t≤x≤5时， y的最大值为m，最小值为n，且m+n=4，求t的值．
【答案】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点，
∴，，则，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为，
∵所得图象与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得；
（3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，，
∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为，
∴当时，最大值，最小值，
由得，
解得，（舍去）；
当时，最大值，最小值，
∴不满足，不符合题意；
当时，最大值为，最小值为，
由得，
解得，（舍去），
综上，t的值为3或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）利用函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再根据题意得到，求出m的值解答即可；
（3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求出最大值和最小值，然后根据 m+n=4列方程求出t的值解答即可 ．
20．已知抛物线（m为常数）、经过点（5，0）。
（1）求抛物线的对称轴；
（2）过点A（0，n）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（B在C左侧），且BC=2AB，求n的值；
（3）设p<3【答案】（1）解：将点代入得，
，
解得，
∴；
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）知，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
①当时，结合对称轴为直线，无法满足；
②当时，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵，
∴，
由对称性得，
联立得，
∴，
把代入，得，
∴；
（3）解：由得，顶点坐标为，对称轴为直线，
∵抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间，
∵要使的最大值为6，为直线与抛物线的交点横坐标，和关于对称轴对称，
∴其中一条直线经过顶点，不妨设直线经过顶点，即：时，
设最大时，另一条直线的解析式为，
∴，即
∴和为方程的两根，
∴
∴，
解得，
∴，
∴直线，之间的距离为9．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）把代入解析式，求出m的值，然后把二次函数的解析式化为顶点式，得到对称轴解答即可；
（2）求出抛物线与y轴的交点坐标，当n>5时不能得到，当时，根据题意可得，再根据对称性求出，然后代入代数式求出n的值即可；
（3）求出抛物线的顶点坐标和对称轴，格据对称性可得和关于对称轴对称，进而根据题意得到，设最大时，另一条直线的解析式为，然后求出h的值解答即可．
21．汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：）
汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示：
原速度x（） 0 20 40 60 80 …
制动距离（） 0 2 8 18 32 …
（1）将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式；
（2）当行驶速度为时，求刹车距离S；
（3）疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少．
【答案】（1）解：图象如图所示：
∴设，将点，代入得：
，
解得
故．
（2）解：由题意：，
则
当时，．
故刹车距离为．
（3）解：疲劳驾驶下反应距离
由题意：，
解得
故汽车原速度为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；作图-二次函数图象
【解析】【分析】
（1）根据表格，描点、连线即可得出函数S2的图象是经过原点的抛物线，则可设函数解析式，再利用待定系数法即可确定函数解析式；
（2）先根据题意确定出函数S1的解析式为，则，然后代入此时的速度值求出对应的函数值S即可；
（3）先根据题意得出疲劳驾驶下反应距离，再由题意列方程并求解即可．
（1）解：图象如图所示：
∴设，将点，代入得：
，
解得
故．
（2）由题意：，
则
当时，．
故刹车距离为．
（3）疲劳驾驶下反应距离
由题意：，
解得
故汽车原速度为．
22．如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1.
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值.
【答案】（1）解：∵直线y＝x+m经过点A（0，3），
∴m＝3，
∴直线为y＝x+3，
∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x＝1.
∴ ，解得 ，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
（2）解： 得 或 ，
∴B（1，4），
∴△OAB的面积＝ ＝
（3）解：由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值及二次函数解析式；（2）解析式联立组成方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）根据图象即可求得.
23．已知二次函数 (其中a为常数)，
（1）将二次函数 化为顶点式，并写出它的最小值．
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B(点A 在点B左侧)，与y轴交于点C，当△ABC 的面积为3时，求a的值．
（3）当a=2时，是否存在实数t，使得t≤x≤t+2时二次函数 最大值与最小值的差为8 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
即二次函数化为顶点式，
∵抛物线开口向上，
∴当时，它的最小值为．
（2）解：当时，，
∴，
解得
∵点A在点B左侧，
∴
∴，
当时，，
∴，
∵的面积为3，
∴，
则或（不合题意，舍去）
解得或；
（3）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
当即时，在上，随着的增大而减小，
∴当时，有最大值，当时，有最小值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当时，在上，随着的增大而增大，
∴当时，有最小值，当时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当即时，当时有最小值，
比较与值求最大值，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴存在的值，或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，根据顶点坐标得到最值解答即可；
（2）令y=0，解方程求出点A，B的横坐标的值，求出的长；令x=0求出y的值得到点的坐标，然后利用三角形面积公式求出a的值解答即可；
（3）当a=2时求出抛物线的对称轴为直线x=2，然后分为，，三种情况，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值，列方程求出t的值解答即可．
24．我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在不同两点关于y轴对称，那么我们称这样的对称点为”欣妮对”，这样的函数为”BY对称函数”.
（1）判断函数y=kx+b（k，b为常数）是否为”BY对称函数”，并说明理由.
（2）若关于x的函数是“BY对称函数”，且仅有一组“欣妮对”，求a的取值范围。
（3）已知“BY对称函数”y=x2+bx+c经过点A（0，-4），且与经过原点O的直线交于B，C两点，过点F（0，f）（其中f＜0）作x轴的平行线，分别交直线AB，AC于点D，E，是否存在常数f，使OE⊥OD恒成立？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，函数（，为常数）是“对称函数”，当时，函数（，为常数）不是“对称函数”，理由如下：
当时，，此时函数图象上存在关于轴对称的点，故此时函数（，为常数）是“对称函数”，
当时，不存在关于轴对称的点，
若存在，设其中一点，则关于轴的对称点为，
∵，
∴不在函数图象上，
故当时，函数（，为常数）不是“对称函数”；
（2）解：∵关于的函数是“对称函数”，
∴设，，， 且点，关于轴对称，
∴，，
∴，
∴，
∵仅有一组“欣妮对”，
∴，
∴；
（3）解：存在常数，使恒成立，
∵“对称函数”经过点，
∴，
∴，
∵是“对称函数”，
∴函数的对称轴是轴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵直线与直线的交点为，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵直线与直线的交点为，
∴，
设经过原点O的直线的解析式为，
将，代入解析式可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理可得：，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴存在常数，使恒成立．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）分析和两种情况，根据“对称函数”的定义判断解答即可；
（2）设，，， 将两点分别代入解析式可得，，从而得出，利用根情况可得判别式，求出a的值解答即可；
（3）先求出函数解析式为，然后根据待定系数法求出直线、的解析式，再分别与抛物线解析式联立，求出交点、的坐标，利用勾股定理解答即可．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（abc≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点C，顶点为点D，直线CD与x轴交于点M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段OB中点，则称该抛物线为“X—型”抛物线；若M为线段CD中点，则称该抛物线为“Y—型”抛物线.根据该约定，完成下列各题.
（1）下列抛物线中是“X—型”抛物线的有：　 　（填序号）；
①y=x2-3x+4；②y=x2-2x-3；③y=x2-4x+3；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c（abc≠0）为“Y—型”抛物线，且直线CD的解析式为y=-2x+c，求的值；
（3）抛物线G：y=x2+bx+c为“X—型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“Y—型”抛物线，试求出抛物线G的解析式.
【答案】（1）③
（2）解：在中，当时，，当时，则，解得，
∴，；
∵抛物线为“型”抛物线，
∴M 为线段中点，
∴，
∴，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，则，
∴，
∴，
∴
；

（3）解：平移前，在中，当时，，
∴，
∵抛物线G：为“型”抛物线，
∴M为线段中点，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线的解析式为，平移后的顶点坐标为，
在中，当时，，
∴平移后的抛物线与y轴交于点，
∵平移后的抛物线为“型”抛物线，
∴点和点组成的线段的中点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线G的解析式为．

【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：①在中，当时，则，
∵，
∴方程无实数根，
∴抛物线与x轴无交点，
∴抛物线不为“型”抛物线；
②在中，当时，则，解得，
此时不满足，
∴抛物线不为“型”抛物线；
③在中，当时，则，解得，
当时，，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∵的中点坐标为，
∴点M是的中点，
∴该抛物线为“型”抛物线；
故答案为：③；
【分析】（1）令y=0，根据根的判别式可得抛物线①与x轴没有交点，即可判断①；求出抛物线②与x轴的两个交点的横坐标，根据判断②；求出抛物线③与x轴的两个交点的坐标，与y轴的交点的坐标，以及顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，得到点M的坐标，判断③解答；
（2）求出点C和M的坐标，根据定义可得点D的坐标，即可得到对称轴为直线x=c，即可得到，求出和的值，解方程得到的值解答即可；
（3）求出平移前点C，M，D的坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式，进而求出，得到，代入函数解析式可得；求出平移后的顶点坐标，平移后的抛物线与y轴交于点，根据定义得到点和组成的线段的中点在x轴上，进而得到，求出b，c的值解答即可．
26．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，求的面积；
（3）若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值．
【答案】（1）解：∵抛物线经过原点O、，∴，
∴，
∴抛物线的表达式
（2）解：
∵抛物线的表达式，∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线绕点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵，
∴点M为中点，
∴
（3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
∴，
设，
联立得，
∴；
设直线解析式为，直线解析式为，
∴，
解得，
同理可得，
∴
，
∵是一个定值，
∴，即
【知识点】二次函数图象的几何变换；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点A、O的坐标代入函数解析式，可求出b、c的值，由此可得到抛物线C1的解析式.
（2）先求出抛物线的顶点坐标，利用旋转的性质可推出抛物线的顶点坐标，且二次项系数为，可求出抛物线的解析式，将两函数解析式联立方程组，解方程组求出点B的坐标，同时可证得点M为BC的中点，利用三角形的面积公式可求出△BOC的面积.
（3）利用已知抛物线绕点旋转得到抛物线及抛物线的顶点坐标可求出抛物线的顶点坐标，由此可表示出抛物线的解析式，即可得到点D的坐标；设，将两函数解析式联立方程组，可求出s+p和sp的值；设直线解析式为，直线解析式为，分别求出k1和k2，再表示出k1+k2，然后根据是一个定值，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（1）解：∵抛物线经过原点O、，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式，
（2）解：∵抛物线的表达式，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线绕点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵，
∴点M为中点，
∴；
（3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
∴，
设，
联立得，
∴；
设直线解析式为，直线解析式为，
∴，
解得，
同理可得，
∴
，
∵是一个定值，
∴，即．
27．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A(-1，0)、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴为 连接AC.点D是x轴上一点，且OD=OC.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，作直线CD交抛物线于点E.点P是直线CE上方抛物线上一动点，过P作PM∥y轴交CE于点M.当线段PM长度取得最大值时，在直线PM上有两动点F、G(点F在点G的上方)，当FG=1时，求BF+FG+GE的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移 个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，连接KD，点N、Q分别为直线KD下方新抛物线上的两点，当∠KDN=45°时，连接AQ，若线段AQ被直线DN平分，求点Q的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
联立，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：将代入得：，
解得或，
∴，
将代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵点是轴上一点，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
由题意，设点的坐标为，
∵轴，交于点，
∴，
∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，长度取得最大值，
如图，作点关于直线的对称点，
则，，即，
将沿方向向下平移1个单位长度得到，
则，，
∴，
∴由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为，
即的最小值为．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴相当于将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后所得到的新抛物线的解析式为，
将代入得：，
∴，，
如图，过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，
∴，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵线段被直线平分，且，
∴的中点的坐标为，且点在直线上，
∴，
解得或，
当时，；
当时，；
综上，点的坐标为或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，然后求出直线的解析式，联立两解析式求出交点E的坐标，设点的坐标为，则，利用二次函数的顶点坐标求出的值，然后作点B关于直线的对称点B'，将沿方向向下平移1个单位长度得到，即可得到点B″的坐标，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，根据勾股定理解答即可；
（3）根据勾股定理可知抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到平移后新抛物线的解析式，得到，再过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，即可得到，根据对应边相等求出，得到直线的解析式，设点的坐标为，则的中点的坐标为，代入直线的解析式求出s解答即可．
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
（3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
【答案】（1）解：把代入抛物线，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入y=ax2+bx-4可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解得出a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点C的坐标，从而利用待定系数法求出直线BC的解析式，利用抛物线对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为直线，把代入直线BC的解析式算出对应的函数值，从而求出点G的坐标；
（3）连接PC，过点P作轴，交BC于点Q，由等底同高三角形面积相等得出，当面积最大时，面积最大，设，则，根据三角形面积计算公式用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．
29．如图，抛物线与直线y=x+m交于B（6，0）和C（0，-6）两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC，P是直线BC下方抛物线上一点.
（1）求m的值；
（2）如图1，过点P作PN平行于y轴交BC于N，求PN最大值；
（3）如图2，连接AP，交BC于点D，若，求点P的坐标；
（4）如图3，将OA绕点O旋转至OA'，连接BA'，CA'，试求出的最小值.
【答案】（1）解：∵抛物线与直线交于点，
∴，
解得；
（2）解：由（1）知直线 的解析式为，
∵P是直线下方抛物线上一点
∴设点，
∵过点P作平行于y轴交于N，
∴点，
那么，
则最大值为；
（3）解：∵点，
∴，
∵，
∴，解得，
则D点纵坐标为，
∵点D在直线上，
∴，解得，
则点，
∵抛物线与x轴交于点A和点B，
∴，解得，，
∴点，
设的解解析式为：，
则，
解得：
则的解解析式为：，
联立，
解得：或，
则．
（4）解：在x轴取点P，使，连接，如图，
由旋转的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴的最小值为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把点C的坐标代入y=-x+m求出m的值即可；
（2）过点P作平行于y轴交于N，设点，则点，表示PN长，然后配方为顶点式求出最大值即可；
（3）根据三角形的面积求出D点纵坐标为，代入一次函数的解析式求出点D的坐标，然后求出抛物线与x轴交点点A的坐标，得到的解析式，然后联立直线和抛物线解析求出交点P的坐标即可．
（4）在x轴取点P，使，连接，根据两边成比例且夹角相等得到，即可得到，然后根据两点之间线段最短得到，利用勾股定理解答即可．
四、解答题（二）
30．综合与实践
如图 1，这是太原市某广场音乐喷泉的夜景，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，甚是壮观，令人们心旷神怡！其中主心喷泉的水流轨迹可近似看作抛物线.如图 2，这是以水平地面为 x轴，以安装主喷头的竖直水管为 y轴，建立的平面直角坐标系，中心主喷泉的喷头安装在距水平地面1.25米的点 A处.当水的压力最大时，某一水流抛物线 经过点 B，点B距安装主喷头的水管的水平距离是 0.5米，距水平地面 2米.
（1）求此水流轨迹的抛物线的函数表达式.
（2）在离此水流落地点 C1米外的点 D处，以点 O为圆心，OD的长为半径做一个圆形安全围栏，求该圆形安全围栏的周长.（结果保留π)
（3）在（2）的条件下，为了美观，在高为 0.5米的安全围栏 DE 上的点 E处安装射灯，射灯射出的光线EF 与地面成 角，直接写出光线 EF与此抛物线水流之间的最小距离.
【答案】（1）解： 根据题意可知，此水流抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0，1.25)，B(0.5，2)
∴
∴b=2，c= 1.25，
此水流轨迹的抛物线的丽数表达式为
（2）解： 由(1)可知y =-x2+2x+ 1.25， 当y=0时，-x2+2x+ 1.25 =0.
解得x1=2.5， x2=-0.5(不合题意，舍去)
∴点C的坐标为(2.5，0)，即OC =2.5(米)
∵此水流落地点C1米外的点D处
∴OD =2.5+1=3.5(米)
∵点O为圆心，OD的长为半径做一个圆形安全围栏，
∴该圆形安全围栏的周长为(米)
答：该圆形安全围栏的周长 7π米.
（3）解： 作直线EF的平行线l，使其与抛物线相切，交x轴于点H，如图所示 ：
∵ 光线EF 与地面成 角，EFl，
∴设直线l的解析式为y =-x+m
联立直线与抛物线解析式，
整理得-x2+3x+ 1.25-m=0，
∵直线与抛物线相切，
∴该方程只有一个根，
∴=32-4x(-1)x(1.25-m)=0
解得m= 3.5
∴直线l的解析式为y=-x+3.5，
令y =0，则x=3.5
∴H(3.5，0)
由 (2)可知，D(3.5，0)
∴点H与点D重合
作EG于点G，如图，则DGE = 90°
∵光线EF与地面成45角，EFl，
∴CDG = 45
∴GDE =45
∵DE =0.5，
∴EG =DEsin45= 0.5x
即光线EF与此抛物线水流之间的最小距离为米.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
(1)根据题意可知，此水流抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0，1.25)，B(0.5，2)，然后利用待定系数法即可求得答案；
(2)根据(1) 中所求函数表达式，令y=0可求得点C坐标，进而得到OD的长度，即可计算圆的周长；
(3)作直线EFl，使其与抛物线相切，交x轴于点H，设直线的解析式为y=-x+m，根据直线l与抛物线相切，利用=32-4x(-1)x(1.25-m)=0 求得m值，从得到直线l的解析式，然后令y =0求得点H的坐标，由(2)可知，点H与点D重合，作EG于点G，则DGE = 90° ，最后根据正弦的定义解直角三角形即可求得最小距离，解答即可.
31．定义：对于函数，当自变量，函数值时，则叫做这个函数的不动点．
（1）直接写出反比例函数的不动点是______．
（2）如图，若二次函数有两个不动点，分别是0与3，且该二次函数图象的顶点P的坐标为．
①求该二次函数的表达式；
②连接，M是线段上的动点（点M不与点O，P重合），N是该二次函数图象上的点，在x轴正半轴上是否存在点满足，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．
阅读材料：在平面直角坐标系中，若点E和点F的坐标分别为和，则点E和点F的距离为．
【答案】（1），；
（2）①∵二次函数有两个不动点0与3，∴点、在二次函数的图象上．
将，代入得，解得．
∴二次函数的表达式为．
②延长交x轴于点A，设，
∵，
∴，则，
解得，．设直线的表达式为，
将，代入得，解得．
∴直线的表达式为，同理直线的表达式为．
联立，解得，，则．
设点，由，，可得
，．
．
∵，，
∴．
∴，
则，
整理得．
∴，
整理得．
∵，
∴当时，．
∴在x轴正半轴上存在点，且m的最大值为．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（1）把，函数值代入，
，解得，
故答案为：，．
【分析】（1）根据不动点的定义求解即可；
（2）①根据抛物线经过点、，利用待定系数法求解即可；②延长交x轴于点A，求出，的解析式，联立求出点N的坐标，设点，利用相似三角形的性质得出，根据二次函数的性质求解即可．
32．【综合与实践】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系.
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，　 　.②S关于t的函数解析式为　 　.
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
（3）延伸探究：若存在3个时刻）对应的正方形DPEF的面积均相等.
① ；
②当时，求正方形DPEF的面积.
【答案】（1）3；s=t2+2(0≤t≤2)
（2）解：由(1)知，抛物线过点(2，6)，顶点为：(4，2)，
则抛物线的表达式为：S=a(t-4)2+2
将(2，6)代入上式得：6=a(2-4)2+2，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：S=(t-4)2+2=t2-8t+18(2≤x≤8)，
当S=18时，则t2-8t+18=18，
解得：t=0(舍去)或8，
则AB=8-2=6
（3）解：①4；
②从图象看t2，t3关于t=4对称，
则t1+t2=8②，
而t3=6t1③，
由①②③得：4-t1+6t1=8，
解得：t1=0.8，
当t1=0.8时，S=t2+2=2.64
即正方形DPEF的面积为2.64.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形-动点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)①②在Rt△PCD中，，PC=t，
则S=PD2=t2+2，
当S=6时，即t2+2=6，
解得：t=2(负值已舍去)，
即BC=2，
当t=1时，S=t2+2=3，
故答案为：①3；②S=t2+2(0≤t≤2).
(3)在题干图中画出S=t2+2(0≤t≤2)，如图：
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，
若存在3个时刻t1，t2，t3(t1则t1，t2，t3如图所示，此时符合题意；
①从图象看，t1，t2关于t=2对称，
则，
则t1+t2=4①，
故答案为：4.
【分析】(1)在Rt△PCD中，，PC=t，则S=PD2=t2+2，即可求解；
(2)用待定系数法求出函数表达式，进而求解；
(3)①从图象看，t1、t2关于x=2对称，则，即可求解；
②从图象看t2、t3关于t=4对称，进而求解.
33．根据以下素材，探索完成任务.
如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案
素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式。该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为4Q元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选。
素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量y（套)与销售单价x（元/套)之间的关系如图所示：
【问题解决】
任务一 确定函数模型 求该品牌马年吉祥物套装的月销售量 y （套)关于销售单价x（元/套)的函数表达式.
任务二 计算定价金额 若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到 6000 元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元
任务三 拟定最优售价方案 当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大 最大利润是多少元
【答案】解：【任务一】设y关于x的函数表达式为y =kx+b.
将点(50，400)， (60，300)代入y = kx+b中，
得
解得
∴y关于x的函数解析式为y=-10x+900(40≤x≤90).
【任务二】由题意得， 每套利润为(x-40)元， 月销售量为(-10x+900)套，
可列方程， (x-40)(-10x+900)=6000，
解得， x1=60， x1= 70，
∵要尽可能让利于顾客，
∴选择较低定价。
答：每套吉祥物套装应定价60元。
【任务三】设每月销售利润为w元，
w=(x-40)y=(x-40)(-10x+900)=-10x2+1300x-36000
整理得， )
∵a=-10<0，二次函数图象开口向下，
∴当x=65时， w取得最大值，
此时， 最大利润为w =6250元。
答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】【任务一】利用待定系数法求出函数解析式即可；
【任务二】利用“ 每月销售马年吉祥物套装的利润达到 6000 元 ”列出方程 (x-40)(-10x+900)=6000， 再求解即可；
【任务三】设每月销售利润为w元，利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式w=(x-40)y=(x-40)(-10x+900)=-10x2+1300x-36000，最后利用二次函数的性质求解即可.
34．问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示.
外形参数；
如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成.抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边长AB=8cm，BC=6cm，抛物线L2的高度为4cm.在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上.
问题解决：
如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出B，C，D三点的坐标；
（2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2函数表达式.
【答案】（1）解：B（8，0），C（8，6），D（0，6）
（2）解：抛物线L1和L2的顶点坐标分别为（4，14），（4，-4）；
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，得，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，得，
解得；
则抛物线的表达式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边长，，
∴，，，，
∴，，；
故答案为：，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P，
结合矩形和抛物线的对称性，可得是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
故答案为：，；
【分析】（1）由矩形的性质即可得到点B，C，D的坐标；
（2）根据抛物线的对称性得到是抛物线对称轴公式，然后根据图中数据得出抛物线和的顶点坐标然后根据顶点式，利用待定系数法求出解析式即可．
35．【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度为________米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为_______米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．
【答案】（1）3；
（2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-喷水问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴根据勾股定理得：；
（2）②把代入得：，
或（舍去），
∴米；
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：，
放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为，
把代入得：，
解得：（舍去）或，
∴喷淋头N距离喷淋头M至少米．
【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①设抛物线的解析式为：，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
②将x=0代入解析式即可求出答案.
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
36．综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
【答案】（1）解：观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，35），（1，56），（2，63）代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35；
（2）解：当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%，
∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35，
解得x1＝0，x2＝4，
当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5．
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，利用待定系数法设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将（0，35），（1，56），（2，63）代入计算即可解答；
(2)先根据临界值得到x=4，x=5，即可写出抑制种子发芽时的生长素浓度范围，解答即可.
37．
《观景拱桥的设计》
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 ⑴在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式．
任务2 利用模型 ⑵在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．
任务3 分析计算 ⑶在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
【答案】解：⑴设抛物线的解析式为，
将点，代入得，
，解得，
抛物线的解析式为；
⑵由（1）知，，
根据对称性可得，
设点的坐标为，
根据题意得，，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
，，
，
；
⑶作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，
，光线所在的直线解析式为，
设直线的解析式为，
联立，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，，
，
即光线与抛物线之间的距离为米．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）设点的坐标为，进而表示出，的长，根据列方程求出t的值，再根据线段的和差解答即可；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，设直线的解析式为，联立两解析式，根据求出m的值，可得点的坐标，根据射灯射出的光线与地面成角，利用正弦的定义解答即可．
38．综合与实践
背景 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯。自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一。某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练。 如图，小明站在点O处练习发球，他将球从点O正上方的点B处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知排球场的边界点A距点O的水平距离OA=19米， 球网EF高度为2.24米， OE=9米。
任务1 已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（OB=1.7米)，求排球运动路径的抛物线解析式。
任务2 判断此时排球能否越过球网 排球是否出界 请说明理由。
任务3 若小明调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为l1，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与l1形状相同的抛物线l2，且此时排球运行的最大高度为1米。球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐MNPQ，其纵切面为直角梯形，其中 米， MN=2米， 米。若排球经过向右反弹后沿l2的路径落入回收筐MNPQ内（球下落过程中碰到点 P，Q均视为落入框内)，设点M的横坐标为s，请求出s的取值范围。
图示
【答案】解：任务1：当m=1.7时，
∴C（6， 2.7) ， B（0， 1.7) ，
∴设抛物线的表达式为
将点B （0， 1.7)代入，得
解得
∴抛物线的表达式为
任务2：球能越过球网，球不会出界；
理由：由（1）知，当m=1.7时，抛物线的表达式为
∵OE=9米，球网EF 高度为2.24米，
∴F （9， 2.24) ，
当x=9时，
∵2.45>2.24，
∴球能越过球网，
当y=0时，
解得：
∴球不会出界；
任务3：∵l2是与l1形状相同的抛物线，排球运行的最大高度为1米，
∴设l2的表达式为
将点A （19， 0)代入，得（
解得： h1=13 （舍去) ， h2=25，
∴l2的表达式为
设点 M 的横坐标为s （s≥25)，
则
当 时，
解得： （舍去) ，
当 时，
解得： （舍去) ，
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x 6）2＋2.7，将点B（0，1.7）代入，即可求解；
（2）根据题意可得F（9，2.24），将x＝9代入解析式，求得函数值，与2.24比较大小，将y＝0代入解析式，求得D(6＋，0)，将横坐标与OA比较，即可求解．
（3）设l2的表达式为y＝ (x h)2＋1，点M的横坐标为s（s≥25），则Q(s，)，P(s＋2，)，分别将y＝，y＝代入解析式，求得s的值，结合题意，即可求出s的取值范围．
39．综合与实践
【问题背景】
在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果。学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同。
【初步探究】
学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图20-1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点C是音响的最低点，即抛物线的顶点。经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点C到线段AB的距离为h（单位： cm)，扩音口宽度AB为2h（单位： cm)。
为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标（m，n)，利用抛物线表达式 （其中a， m， n为常数， a>0)对a值进行了探究与求解。
（1）第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度AB为8cm，以抛物线的顶点C为坐标原点建立了如图20-2所示的平面直角坐标系，则此时a的值为　 　；
（2）【建立模型】
第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即a和h之间存在数量关系。请你求出a和h的数量关系，帮小组验证这个猜想；
（3）【应用模型】
第一小组建立平面直角坐标系后，发现点A 的坐标为（0，8)，h>4，且当0≤x≤8时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时a的值。
【答案】（1）
（2）解：解法1：
由题可得B（m+h，n+h)
将x=m+h， y=n+h代入
∴n+h=a（m+h-m)2+n
∴ah=1
∴这个小组的猜想是正确的。
解法2：
由平移前后形状不变性可知，可将抛物线平移，使得顶点C移动到原点，则抛物线解析式为y=ax2
∴B（h，h)
∴这个小组的猜想是正确的。
（3）解：由题可知， A点坐标为（0， 8)
∴B（2h， 8)， C（h， 8-h)，
由（2）可知
①当4第一种：抛物线在对称轴处有最小值y=-2
∴当x=h时
∴h=10>8，不满足题意
第二种：抛物线在对称轴处有最小值y=2
同理可得h=6，即
②当h>8时， ∵a>0∴在0≤x≤8时， y随x的增大而减小。
分两种情况：
第一种：当x=8时，抛物线有最小值y=-2
第二种：当x=8时，抛物线有最小值y=2
同理可得 不满足题意
综上所述， 或
解法2：
∵由题可知， A点坐标为（0， 8)，
∴B（2h， 8)， C（h， 8-h)
∴C点始终在直线y=8-x上
∴当0≤x≤8， y随x的增大而减小
∴第一种情况：当x=8时，y有最小值-2
∴64a+8b+8=-2
∴当 时，
∴将 xc. yc代入y=8-x
∴联立
第二种情况：当x=8时，y有最小值2，同理可得
综上所述， 或
其他方法参照此标准酌情给分。
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题可知点B（4，4），C（0，0），
∴m＝0，n＝0，即抛物线解析式为y＝ax2，
将点B坐标代入得，16a＝4，
解得a＝；
故答案为：；
【分析】（1）依据题意分别求出B、C坐标，进而代入即可得解；
（2）由题可得B（m＋h，n＋h），将点B坐标代入化简即可得解；
（3）易得A点坐标为（0，8），B（2h，8），C（h，8 h），分两种情况：①4＜h≤8，②h＞8，依次求解即可．
40． 【项目式学习】
项目主题：设计落地窗的遮阳篷.
项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度AB=2m，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳篷的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务.
方案 1：直角形遮阳篷
如图，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷BCD，点C在AB 的延长线上，CD⊥AC.
（1）若BC=0.5m，CD=1m，则支撑杆BD=　 　m.
（2）小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β.小明查阅资料，计算出 为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与 BD 平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与AD平行)，请求出图②中BC，CD的长度.
（3）方案2：抛物线形遮阳篷
如图，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将CD 边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷(F 为抛物线的顶点，DF段可伸缩)，且∠CFD=90°，BC，CD的长保持不变.若以C为原点，CD方向为x轴，BC方向为y轴.
①求该二次函数的表达式；
②若某时刻太阳光与水平地面的夹角θ的正切值 为使阳光最大限度地射入室内，求遮阳篷点 D上升高度的最小值(即点 D'到CD 的距离).
【答案】（1）
（2）解：由题意，得 CD∥AM，BD∥AF，∠C=∠CAM=90°.
∵CD∥AM，
∴∠CDA=∠DAM=β.
∵BD∥AF，
∴∠BDA=∠FAD，
∴ ∠CDA - ∠BDA = ∠DAM -∠FAD，
∴∠CDB=∠FAM=α.
在 Rt△CBD中，∠C=90°，
∴设 BC= xm，CD=3xm.
在 Rt △ACD 中， ∠C = 90°，
解得
经检验 是分式方程的解且符合题意，
（3）解：①由 F 为抛物线的顶点，可知FC=FD.
∵∠CFD=90°，
∴△FCD为等腰直角三角形.
由二次函数图象的对称性可知，F(1，1).
设二次函数的表达式为 y=a(x-1)2+1.将点 C(0，0)的坐标代入，得 解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为y=-(x-
②如图，光线 BD'与水平方向的夹角为θ，过点 D'作x 轴的垂线交x轴于点 E，过点 B 作y轴的垂线，两条垂线交于点 H，
则
设D'H=2am，BH=3am，
则点
代入
得
化简得
解得 (不合题意，舍去)，
∴遮阳篷点 D上升高度的最小值为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：(1)在Rt△CBD中，∠C=90°，BC=0.5m，CD=1m，
∴(m)，
故答案为：.
【分析】(1)在Rt△CBD中，利用勾股定理直接解答即可；
(2)由平行线的性质求得∠CDA=∠DAM=β，∠CDB=∠FAM=α，在Rt△CBD中，，设BC=xm，CD=3xm，在Rt△ACD中，，代入得，解答即可；
(3)①首先判断出△FCD为等腰直角三角形，由二次函数对称性得出F(1，1)，设二次函数为：y=ax(x-2)，代入F(1，1)得：1=a(-1)，解得a=-1，从而得解；
②BD光线与水平方向的夹角为，过D'作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H，即，设D'H=2am，BH=3am，则点，代入解析式得27a2-12a-2=0，解得，(不合题意，舍去)，进一步得到D'E，进而得解.
41．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C ▲ （填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为 ▲ ；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
【答案】（1）解：将点和代入抛物线，
则，解得：，
抛物线的解析式为；

（2）解：①，
顶点C的坐标为；
抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点，
联立，解得：或（舍），
，
分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，
当时，，则，
，
，
点D与点C关于直线对称，
，
，
，，
矩形的面积；
②如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，
由①可知，
，
由题意可知，，
则，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
边与心形图的左、右边缘各相切于一点，
即直线与抛物线只有一个交点，
联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得：，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点，联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求，
，
矩形的面积为，
，
方案二的矩形面积更小．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点和代入解析式即可求出答案.
（2）①将解析式转换为顶点式可得顶点C的坐标为，再联立一次函数，解方程组可得，分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，将x=1代入一次函数解析式可得，根据两点间距离可得，再根据对称性质可得，根据点的坐标可得，则，，再根据矩形面积即可求出答案.
②作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，由①可知，，根据两点间距离可得OA，根据直线平行判定定理可得，由题意可得直线的解析式为，联立抛物线解析式可得直线的解析式为，再联立一次函数y=x，解方程组可得，根据两点间距离可得OK，再根据边之间的关系可得AK，再根据直线平行判定定理可得，设直线的解析式为，联立抛物线解析式，解方程组可得直线的解析式为，同理可求，再根据矩形面积求出面积，再比较大小即可求出答案.
（1）解：将点和代入抛物线，
则，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：①，
顶点C的坐标为；
抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点，
联立，解得：或（舍），
，
分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，
当时，，则，
，
，
点D与点C关于直线对称，
，
，
，，
矩形的面积；
②如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，
由①可知，
，
由题意可知，，
则，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
边与心形图的左、右边缘各相切于一点，
即直线与抛物线只有一个交点，
联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得：，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点，联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求，
，
矩形的面积为，
，
方案二的矩形面积更小．
1 / 1专题3.4 二次函数及其应用—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1． 若 是关于x的二次函数，则a的取值范围是(　　)
A．a≠1 B．a>0 C．a>1 D．a≠0
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（　　）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点D、点E，过该函数顶点A与x轴平行的直线交抛物线于点B、点C，若，那么和需满足关系（　　）
A． B． C． D．
5．设二次函数y=a（x-6）（x-m）+h（a>0），图象经过（a，1），（2，1）两点，则h的最大值是（　　）
A．-37 B．17 C．-17 D．37
6．我们知道，抛物线y=（x-2）2+4可由抛物线y=（x-1）2+2经过平移得到，那么平移的方法可以是（　　）
A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位
C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位
D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位
7．抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图1，在等腰直角三角形ABC中， P是斜边AB上一点，过点 P分别作 PD⊥AC， PE⊥BC，垂足分别为点 D， E，设PD=x， PD·PE=y.若y关于x的函数图象如图2所示，点(m， t)和(n， t)在函数图象上， m+n=8，则下列选项正确的是(　　)
A．AB=8
B．当m=1时， t=8
C．点(4，16)在该函数图象上
D．该函数图象的最高点的纵坐标为8
9．冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）.一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点B所在水平直线为x轴、起跳点A所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：AB的长为25米，∠ABO=37°，tan37°≈0.75.】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点B处，设抛物线的函数表达式为平行于y轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点C，D，则下列所作技术分析正确的是（　　）
A．着陆坡的水平宽度OB=18.75米
B．点A的坐标为（0，12）
C．
D．当CD的最大值为10米时，
10．如图，函数y=ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x=1：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③9a-3b+c=0；④5a+b+c=0；⑤若点A（a+1，y1），B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有（　　）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．若抛物线的顶点在直线上，则m的值为　 　．
12．同一平面直角坐标系中，抛物线 与 关于原点成中心对称，则代数式 的值为　 　.
13． 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是　 　．
14．我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点．例如：函数-1的零点为1和-1．若函数的零点是和，则函数的零点是　 　．
15．定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是　 　．
16．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状如图，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4 cm，最低点 C 在x 轴上，高 CH=1 cm，BD=2cm ，则右轮廓 DFE 所在抛物线的表达式为　 　.
17．大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径，最顶端点到保温墙的水平距离为4m，到地面的距离为3.6m．现要使得高度为1.1m的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为　 　m．
18． 如图1， 在 Rt△ABC中， D是斜边AC中点.点E在边AB上， 从点A 出发， 运动到点B时停止， 设AE为x， DE2为y.如图2， y关于x的函数图象与y轴交于点P(0， m)，且经过最低点N(n-4， 9)和M(n， m)两点.下列选项正确的是(　　)
A．∠A=30° B．m=25 C．n=6 D．BC=3
三、解答题（一）
19．在平面直角坐标系中，已知二次函数 (b，c为常数)的对称轴为直线x=2，且过点(0， 1)．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值；
（3）当自变量x满足t≤x≤5时， y的最大值为m，最小值为n，且m+n=4，求t的值．
20．已知抛物线（m为常数）、经过点（5，0）。
（1）求抛物线的对称轴；
（2）过点A（0，n）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（B在C左侧），且BC=2AB，求n的值；
（3）设p<321．汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：）
汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示：
原速度x（） 0 20 40 60 80 …
制动距离（） 0 2 8 18 32 …
（1）将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式；
（2）当行驶速度为时，求刹车距离S；
（3）疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少．
22．如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1.
（1）求m的值及二次函数解析式；
（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；
（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值.
23．已知二次函数 (其中a为常数)，
（1）将二次函数 化为顶点式，并写出它的最小值．
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别为A、B(点A 在点B左侧)，与y轴交于点C，当△ABC 的面积为3时，求a的值．
（3）当a=2时，是否存在实数t，使得t≤x≤t+2时二次函数 最大值与最小值的差为8 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
24．我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在不同两点关于y轴对称，那么我们称这样的对称点为”欣妮对”，这样的函数为”BY对称函数”.
（1）判断函数y=kx+b（k，b为常数）是否为”BY对称函数”，并说明理由.
（2）若关于x的函数是“BY对称函数”，且仅有一组“欣妮对”，求a的取值范围。
（3）已知“BY对称函数”y=x2+bx+c经过点A（0，-4），且与经过原点O的直线交于B，C两点，过点F（0，f）（其中f＜0）作x轴的平行线，分别交直线AB，AC于点D，E，是否存在常数f，使OE⊥OD恒成立？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由.
25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（abc≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与y轴交于点C，顶点为点D，直线CD与x轴交于点M，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段OB中点，则称该抛物线为“X—型”抛物线；若M为线段CD中点，则称该抛物线为“Y—型”抛物线.根据该约定，完成下列各题.
（1）下列抛物线中是“X—型”抛物线的有：　 　（填序号）；
①y=x2-3x+4；②y=x2-2x-3；③y=x2-4x+3；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c（abc≠0）为“Y—型”抛物线，且直线CD的解析式为y=-2x+c，求的值；
（3）抛物线G：y=x2+bx+c为“X—型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“Y—型”抛物线，试求出抛物线G的解析式.
26．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，求的面积；
（3）若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值．
27．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A(-1，0)、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴为 连接AC.点D是x轴上一点，且OD=OC.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，作直线CD交抛物线于点E.点P是直线CE上方抛物线上一动点，过P作PM∥y轴交CE于点M.当线段PM长度取得最大值时，在直线PM上有两动点F、G(点F在点G的上方)，当FG=1时，求BF+FG+GE的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移 个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，连接KD，点N、Q分别为直线KD下方新抛物线上的两点，当∠KDN=45°时，连接AQ，若线段AQ被直线DN平分，求点Q的坐标.
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
（3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；
29．如图，抛物线与直线y=x+m交于B（6，0）和C（0，-6）两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC，P是直线BC下方抛物线上一点.
（1）求m的值；
（2）如图1，过点P作PN平行于y轴交BC于N，求PN最大值；
（3）如图2，连接AP，交BC于点D，若，求点P的坐标；
（4）如图3，将OA绕点O旋转至OA'，连接BA'，CA'，试求出的最小值.
四、解答题（二）
30．综合与实践
如图 1，这是太原市某广场音乐喷泉的夜景，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，甚是壮观，令人们心旷神怡！其中主心喷泉的水流轨迹可近似看作抛物线.如图 2，这是以水平地面为 x轴，以安装主喷头的竖直水管为 y轴，建立的平面直角坐标系，中心主喷泉的喷头安装在距水平地面1.25米的点 A处.当水的压力最大时，某一水流抛物线 经过点 B，点B距安装主喷头的水管的水平距离是 0.5米，距水平地面 2米.
（1）求此水流轨迹的抛物线的函数表达式.
（2）在离此水流落地点 C1米外的点 D处，以点 O为圆心，OD的长为半径做一个圆形安全围栏，求该圆形安全围栏的周长.（结果保留π)
（3）在（2）的条件下，为了美观，在高为 0.5米的安全围栏 DE 上的点 E处安装射灯，射灯射出的光线EF 与地面成 角，直接写出光线 EF与此抛物线水流之间的最小距离.
31．定义：对于函数，当自变量，函数值时，则叫做这个函数的不动点．
（1）直接写出反比例函数的不动点是______．
（2）如图，若二次函数有两个不动点，分别是0与3，且该二次函数图象的顶点P的坐标为．
①求该二次函数的表达式；
②连接，M是线段上的动点（点M不与点O，P重合），N是该二次函数图象上的点，在x轴正半轴上是否存在点满足，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．
阅读材料：在平面直角坐标系中，若点E和点F的坐标分别为和，则点E和点F的距离为．
32．【综合与实践】某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系.
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当时，　 　.②S关于t的函数解析式为　 　.
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
（3）延伸探究：若存在3个时刻）对应的正方形DPEF的面积均相等.
① ；
②当时，求正方形DPEF的面积.
33．根据以下素材，探索完成任务.
如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案
素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式。该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为4Q元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选。
素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量y（套)与销售单价x（元/套)之间的关系如图所示：
【问题解决】
任务一 确定函数模型 求该品牌马年吉祥物套装的月销售量 y （套)关于销售单价x（元/套)的函数表达式.
任务二 计算定价金额 若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到 6000 元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元
任务三 拟定最优售价方案 当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大 最大利润是多少元
34．问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示.
外形参数；
如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成.抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边长AB=8cm，BC=6cm，抛物线L2的高度为4cm.在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上.
问题解决：
如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出B，C，D三点的坐标；
（2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2函数表达式.
35．【项目式学习】
项目主题：安全用电，防患未然．
项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
（1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度为________米；
任务二：模型构建
由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头．
（2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米．
①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；
②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为_______米；
任务三：问题解决
（3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少________米．
36．综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
37．
《观景拱桥的设计》
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 ⑴在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式．
任务2 利用模型 ⑵在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离．
任务3 分析计算 ⑶在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
38．综合与实践
背景 为建立科学的评价体系，引导学生真正热爱体育，养成终身锻炼的习惯。自2026年起，深圳体育中考由考两项调整为考三项，球类运动成为考试必选项之一。某学校为助力九年级学生备战中考，在大课间时组织学生进行排球发球训练。 如图，小明站在点O处练习发球，他将球从点O正上方的点B处发出，球的飞行路线为抛物线，且抛物线的最高点C到y轴总是保持6米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，已知排球场的边界点A距点O的水平距离OA=19米， 球网EF高度为2.24米， OE=9米。
任务1 已知小明发球时的出手点离地面高度为1.7米（OB=1.7米)，求排球运动路径的抛物线解析式。
任务2 判断此时排球能否越过球网 排球是否出界 请说明理由。
任务3 若小明调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为l1，球落地后立即向右弹性反弹，形成另一条与l1形状相同的抛物线l2，且此时排球运行的最大高度为1米。球场外有一个可以移动的无盖排球回收筐MNPQ，其纵切面为直角梯形，其中 米， MN=2米， 米。若排球经过向右反弹后沿l2的路径落入回收筐MNPQ内（球下落过程中碰到点 P，Q均视为落入框内)，设点M的横坐标为s，请求出s的取值范围。
图示
39．综合与实践
【问题背景】
在音频工程中，抛物线形音响能有效汇聚声波，提升传播距离与音质效果。学习小组发现它们的截面轮廓中的曲线部分均可看作抛物线，而且不同抛物线形音响的形状不同。
【初步探究】
学习小组将这些不同抛物线形音响竖直放置于桌面，抽象成如图20-1所示图形，扩音口A、B在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称；点C是音响的最低点，即抛物线的顶点。经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点C到线段AB的距离为h（单位： cm)，扩音口宽度AB为2h（单位： cm)。
为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点C的坐标（m，n)，利用抛物线表达式 （其中a， m， n为常数， a>0)对a值进行了探究与求解。
（1）第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度AB为8cm，以抛物线的顶点C为坐标原点建立了如图20-2所示的平面直角坐标系，则此时a的值为　 　；
（2）【建立模型】
第二小组经过观察探究，提出如下猜想：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即a和h之间存在数量关系。请你求出a和h的数量关系，帮小组验证这个猜想；
（3）【应用模型】
第一小组建立平面直角坐标系后，发现点A 的坐标为（0，8)，h>4，且当0≤x≤8时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与x轴的距离为2，求此时a的值。
40． 【项目式学习】
项目主题：设计落地窗的遮阳篷.
项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度AB=2m，为了遮挡太阳光，小明做了以下遮阳篷的设计方案，请根据不同设计方案完成以下任务.
方案 1：直角形遮阳篷
如图，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷BCD，点C在AB 的延长线上，CD⊥AC.
（1）若BC=0.5m，CD=1m，则支撑杆BD=　 　m.
（2）小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β.小明查阅资料，计算出 为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与 BD 平行)，又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光(太阳光与AD平行)，请求出图②中BC，CD的长度.
（3）方案2：抛物线形遮阳篷
如图，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将CD 边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷(F 为抛物线的顶点，DF段可伸缩)，且∠CFD=90°，BC，CD的长保持不变.若以C为原点，CD方向为x轴，BC方向为y轴.
①求该二次函数的表达式；
②若某时刻太阳光与水平地面的夹角θ的正切值 为使阳光最大限度地射入室内，求遮阳篷点 D上升高度的最小值(即点 D'到CD 的距离).
41．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C ▲ （填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为 ▲ ；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解： 是关于x的二次函数，
，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义“形如的函数是二次函数”解答即可.
2．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数 ，
当a＞0，b＞0时，则一次函数的图像经过第一、三、四象限，二次函数的图像开口向下，且与一次函数交于y轴的负半轴的点（0，-b），
当a＞0，b＜0时，则一次函数的图像经过第一、二、三象限，二次函数的图像开口向下，且与一次函数交于y轴的正半轴的点（0，-b），
当a＜0，b＞0时，则一次函数的图像经过第二、三、四象限，二次函数的图像开口向上，且与一次函数交于y轴的负半轴的点（0，-b），
当a＜0，b＜0时，则一次函数的图像经过第一、二、四象限，二次函数的图像开口向上，且与一次函数交于y轴的正半轴的点（0，-b），
由此可知，图像A、B、C错误，D正确，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数图象和二次函数图象与系数的关系进行解答即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与反比例函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限，
∴，
∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，，
∴，
∴，，
∴一次函数经过一、二、四象限，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的函数图象在一、三象限可得，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧可得，，根据对称轴在y轴的右侧可知a、b的符号变化特征“左同右异”可得，根据a、b、c的符号并结合一次函数的图象与系数之间的关系即可判断求解．
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的图象；二次函数y=ax²的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；两二次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵点A是抛物线的顶点，
因为点A的坐标是（h，k），
所以点B、C的纵坐标坐标是k，
对于抛物线，
令y1=0，得：，
解得：，，
所以DE==，
对于，经过点B、C，
故令y2=k，则，
解得：，，
所以BC==，
因为BC=2DE，
所以=2·，
解得：，
故答案为：D.
【分析】先根据抛物线解析式求出顶点A的坐标，即可得出交点B、C的纵坐标，再分别令y1=0，y2=k，解方程求解，进而即可求得DE、BC，最后根据即可得出结果.
5．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵点和纵坐标相等，二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，
∴二次函数的对称轴为．
又∵二次函数的对称轴为，
∴，
得．
把代入二次函数得：
，
整理得，
配方得．
∵，
∴，
∴．
即h的最大值为37．
故答案为：A.
【分析】利用二次函数的对称性求出对称轴为直线，求出m和a的关系，再代入点坐标得到h关于a的二次函数解析式，配方为顶点式，根据二次函数的最值解答即可．
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将抛物线y=（x-1）2+2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位可得抛物线y=（x-2）2+4
故答案为：B
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
当时，，
∴当时，，
∵方程（t为实数）在的范围内有解，
∴二次函数与直线在的范围内有交点，
∴，
故选：C．
【分析】 本题考查一元二次方程与二次函数的关联。首先通过对称轴公式求得参数，从而确定抛物线解析式为。分析区间时，函数值范围为。
根据方程在区间内有解的条件，等价于二次函数与直线在该区间内存在交点。由此可推导出参数的取值范围。
8．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，四边形为矩形，
∴，
设，则，，
∴，即y是关于x的二次函数，且对称轴为直线，
∵点和在函数图象上，，
∴，即，
∴，，即y关于x的函数解析式为，故A选项错误，不符合题意；
当时，，故B选项错误，不符合题意；
当时，，则点在该函数图象上，故C选项正确，符合题意；
∵，，
∴该函数图象的最高点的纵坐标为16，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意即可得到为等腰直角三角形，四边形为矩形，设，即可得哦大，得到抛物线的对称轴为直线，再根据求出，得到二次函数的解析式解答即可.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-抛球问题；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：，
，
故，
解得，，
在中，，
，
，
米，故A错误；
在中，，
，
米，故，故B错误；
抛物线的函数表达式为，
将代入，
故，
化简得，
，故C正确；
设
设着陆坡所在直线的表达式为，
将代入，
，
解得，
，
，
，
则，
，
对于二次函数，其对称轴为，
当时，有最大值，将代入，
即，
∵的最大值为10米，
即，
解得，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据解直角三角形的计算求出判断选项A和选项B；根据待定系数法可得，整理判断选项C；利用待定系数法求出一次函数解析式，求出，求出对称轴为直线，根据最值得到，求出a的值判断选项D解答即可．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线与轴有两个交点，
，
，故①符合题意；
②∵抛物线开口向上，
，
∵抛物线对称轴在轴右侧，
∴与异号，即，
∵抛物线与轴交点在轴下方，
，故②不符合题意；
③∵抛物线对称轴为，与轴一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，
∴当时，，
，故③不符合题意；
④∵抛物线与轴的一个交点为，
，
∵抛物线对称轴为，
，
，
，故④符合题意；
∵，
∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，
故⑤不符合题意；
⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上，
时，有最小值，
（为任意实数），故⑥符合题意；
综上所述，①④⑥符合题意，共有个；
故答案为：B .
【分析】根据图象与轴有两个交点得到即可判断①；根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点位置得到a，b，c的取值范围判断②；根据图象的对称轴，利用抛物线的对称性得到另一个交点为，代入抛物线解析式判断③；根据图象抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴可得，将代入，判断④；根据，即可得出，根据二次函数增减性即可判断⑤；根据二次函数的最值判断⑥解答即可．
11．【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
对称轴为
当x=3m时，y=-3m2+5m+3
∴顶点坐标为(3m，-3m2+5m+3)
∵抛物线的顶点在直线上
∴-3m2+5m+3=3m+2
解得：m=或
故答案为：或
【分析】求出抛物线对称轴，再将x=3m代入抛物线可得顶点坐标，再将顶点坐标代入直线解析式，解方程即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，
那么在抛物线上，
代入可得，
整理得，
∴或，
∴．
故答案为：.
【分析】设为上任一点，根据关于原点成中心对称的点在抛物线上，得，从而求出m和n的值，然后代入计算即可．
13．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由在A点右侧且在B点左侧，二次函数图象在直线的上方，此时.
答案：
【分析】由不等关系，在A、B左右两侧找到满足题意的范围，即可求出x的范围.
14．【答案】-2或-3
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：函数的零点是和，
，
，
当时，，
.
故答案为：-2或-3.
【分析】由二次函数的性质可得，再通过公式变形可得，故当时，可得，即函数的零点是-2或-3.
15．【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：函数的图象向上平移个单位，得到的函数解析式为，
当时，，
当时，，
当时，，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，此时，在对称轴右侧，即，即，
∴，
此时，不等式组无解，不符合题意；
当时，
此时，，即，，即，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴；
当时，
此时，，即，
，即，
∵
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴；
综上可得：或，
故答案为：或．
【分析】利用二次函数图象平移规律可得到平移后的函数解析式，分别求出当时，当时，当时对应的函数解析式；抛物线的开口向下，对称轴为直线；分情况讨论：当时，此时，在对称轴右侧；当时；当时；分别可得到关于t的不等式，然后求出符合题意的t的取值范围.
16．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵B，D关于y轴对称，高CH=1cm，BD=2cm，
∴D点坐标为（1，1），
∵AE//x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，
∴A，B关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），
∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），
设右侧抛物线的解析式为，
将D（1，1）代入解析式得：，
故设右侧抛物线的解析式为，
故答案为：.
【分析】通过已知条件确定抛物线的顶点F的坐标和点D的坐标，然后设顶点式，代入点D的坐标，进而求出右侧抛物线的表达式.
17．【答案】9
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：如图，建立坐标系如下：
由题意可得，顶点，
∴设抛物线为：，
∴，
解得：，
∴抛物线为；
当时，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
而，
∴农具活动范围的宽度为；
故答案为：
【分析】如图，以点A为原点，分别以AD与AB为y轴，x轴建立坐标系，顶点为C（4，3.6）
设二次函数的解析式为顶点式： 将点B（10，0）代入，解得a=，则二次函数的解析式为 ，当时，代入，解得 ， ，根据实际意义x=9， 则农具活动范围的宽度为 9.
18．【答案】B
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵函数图象过点和，
∴这两点纵坐标相等，
∴二次函数图象的对称轴为，
∵二次函数图象的最低点为，
∴，
解得；故选C错误；
∴二次函数图象的最低点为，此时，，则，
∵是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，故选项D错误；
当时，，，
∴，
当时，点与点重合，
∴，
∴，
∴，故选B正确，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴在中，，即，故选项A错误．
故答案为： .
【分析】根据函数图象可得对称轴为，根据最低点坐标得到n的方程，求出可判断C；由函数图象的最低点为，求出，得到是的中位线，求出BC的长判断D；根据勾股定理求出m和AC的值，再根据正弦的定义求出∠A≠30°，判断A、B解答即可．
19．【答案】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点，
∴，，则，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为，
∵所得图象与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得；
（3）解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，，
∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为，
∴当时，最大值，最小值，
由得，
解得，（舍去）；
当时，最大值，最小值，
∴不满足，不符合题意；
当时，最大值为，最小值为，
由得，
解得，（舍去），
综上，t的值为3或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）利用函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再根据题意得到，求出m的值解答即可；
（3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求出最大值和最小值，然后根据 m+n=4列方程求出t的值解答即可 ．
20．【答案】（1）解：将点代入得，
，
解得，
∴；
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）知，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
①当时，结合对称轴为直线，无法满足；
②当时，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴关于对称轴对称，的纵坐标均为，
又∵，
∴，
由对称性得，
联立得，
∴，
把代入，得，
∴；
（3）解：由得，顶点坐标为，对称轴为直线，
∵抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间，
∵要使的最大值为6，为直线与抛物线的交点横坐标，和关于对称轴对称，
∴其中一条直线经过顶点，不妨设直线经过顶点，即：时，
设最大时，另一条直线的解析式为，
∴，即
∴和为方程的两根，
∴
∴，
解得，
∴，
∴直线，之间的距离为9．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）把代入解析式，求出m的值，然后把二次函数的解析式化为顶点式，得到对称轴解答即可；
（2）求出抛物线与y轴的交点坐标，当n>5时不能得到，当时，根据题意可得，再根据对称性求出，然后代入代数式求出n的值即可；
（3）求出抛物线的顶点坐标和对称轴，格据对称性可得和关于对称轴对称，进而根据题意得到，设最大时，另一条直线的解析式为，然后求出h的值解答即可．
21．【答案】（1）解：图象如图所示：
∴设，将点，代入得：
，
解得
故．
（2）解：由题意：，
则
当时，．
故刹车距离为．
（3）解：疲劳驾驶下反应距离
由题意：，
解得
故汽车原速度为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；作图-二次函数图象
【解析】【分析】
（1）根据表格，描点、连线即可得出函数S2的图象是经过原点的抛物线，则可设函数解析式，再利用待定系数法即可确定函数解析式；
（2）先根据题意确定出函数S1的解析式为，则，然后代入此时的速度值求出对应的函数值S即可；
（3）先根据题意得出疲劳驾驶下反应距离，再由题意列方程并求解即可．
（1）解：图象如图所示：
∴设，将点，代入得：
，
解得
故．
（2）由题意：，
则
当时，．
故刹车距离为．
（3）疲劳驾驶下反应距离
由题意：，
解得
故汽车原速度为．
22．【答案】（1）解：∵直线y＝x+m经过点A（0，3），
∴m＝3，
∴直线为y＝x+3，
∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x＝1.
∴ ，解得 ，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
（2）解： 得 或 ，
∴B（1，4），
∴△OAB的面积＝ ＝
（3）解：由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值及二次函数解析式；（2）解析式联立组成方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）根据图象即可求得.
23．【答案】（1）解：
即二次函数化为顶点式，
∵抛物线开口向上，
∴当时，它的最小值为．
（2）解：当时，，
∴，
解得
∵点A在点B左侧，
∴
∴，
当时，，
∴，
∵的面积为3，
∴，
则或（不合题意，舍去）
解得或；
（3）解：当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
当即时，在上，随着的增大而减小，
∴当时，有最大值，当时，有最小值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当时，在上，随着的增大而增大，
∴当时，有最小值，当时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴，
解得，
当即时，当时有最小值，
比较与值求最大值，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，即时，时，有最大值，
∵二次函数最大值与最小值的差为8，
∴
解得，
∵，
∴不合题意，舍去，
∴存在的值，或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，根据顶点坐标得到最值解答即可；
（2）令y=0，解方程求出点A，B的横坐标的值，求出的长；令x=0求出y的值得到点的坐标，然后利用三角形面积公式求出a的值解答即可；
（3）当a=2时求出抛物线的对称轴为直线x=2，然后分为，，三种情况，根据二次函数的增减性求出最大值和最小值，列方程求出t的值解答即可．
24．【答案】（1）解：当时，函数（，为常数）是“对称函数”，当时，函数（，为常数）不是“对称函数”，理由如下：
当时，，此时函数图象上存在关于轴对称的点，故此时函数（，为常数）是“对称函数”，
当时，不存在关于轴对称的点，
若存在，设其中一点，则关于轴的对称点为，
∵，
∴不在函数图象上，
故当时，函数（，为常数）不是“对称函数”；
（2）解：∵关于的函数是“对称函数”，
∴设，，， 且点，关于轴对称，
∴，，
∴，
∴，
∵仅有一组“欣妮对”，
∴，
∴；
（3）解：存在常数，使恒成立，
∵“对称函数”经过点，
∴，
∴，
∵是“对称函数”，
∴函数的对称轴是轴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵直线与直线的交点为，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵直线与直线的交点为，
∴，
设经过原点O的直线的解析式为，
将，代入解析式可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理可得：，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴存在常数，使恒成立．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）分析和两种情况，根据“对称函数”的定义判断解答即可；
（2）设，，， 将两点分别代入解析式可得，，从而得出，利用根情况可得判别式，求出a的值解答即可；
（3）先求出函数解析式为，然后根据待定系数法求出直线、的解析式，再分别与抛物线解析式联立，求出交点、的坐标，利用勾股定理解答即可．
25．【答案】（1）③
（2）解：在中，当时，，当时，则，解得，
∴，；
∵抛物线为“型”抛物线，
∴M 为线段中点，
∴，
∴，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，则，
∴，
∴，
∴
；

（3）解：平移前，在中，当时，，
∴，
∵抛物线G：为“型”抛物线，
∴M为线段中点，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线的解析式为，平移后的顶点坐标为，
在中，当时，，
∴平移后的抛物线与y轴交于点，
∵平移后的抛物线为“型”抛物线，
∴点和点组成的线段的中点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线G的解析式为．

【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：①在中，当时，则，
∵，
∴方程无实数根，
∴抛物线与x轴无交点，
∴抛物线不为“型”抛物线；
②在中，当时，则，解得，
此时不满足，
∴抛物线不为“型”抛物线；
③在中，当时，则，解得，
当时，，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，解得，
∴，
∵的中点坐标为，
∴点M是的中点，
∴该抛物线为“型”抛物线；
故答案为：③；
【分析】（1）令y=0，根据根的判别式可得抛物线①与x轴没有交点，即可判断①；求出抛物线②与x轴的两个交点的横坐标，根据判断②；求出抛物线③与x轴的两个交点的坐标，与y轴的交点的坐标，以及顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，得到点M的坐标，判断③解答；
（2）求出点C和M的坐标，根据定义可得点D的坐标，即可得到对称轴为直线x=c，即可得到，求出和的值，解方程得到的值解答即可；
（3）求出平移前点C，M，D的坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式，进而求出，得到，代入函数解析式可得；求出平移后的顶点坐标，平移后的抛物线与y轴交于点，根据定义得到点和组成的线段的中点在x轴上，进而得到，求出b，c的值解答即可．
26．【答案】（1）解：∵抛物线经过原点O、，∴，
∴，
∴抛物线的表达式
（2）解：
∵抛物线的表达式，∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线绕点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵，
∴点M为中点，
∴
（3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
∴，
设，
联立得，
∴；
设直线解析式为，直线解析式为，
∴，
解得，
同理可得，
∴
，
∵是一个定值，
∴，即
【知识点】二次函数图象的几何变换；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点A、O的坐标代入函数解析式，可求出b、c的值，由此可得到抛物线C1的解析式.
（2）先求出抛物线的顶点坐标，利用旋转的性质可推出抛物线的顶点坐标，且二次项系数为，可求出抛物线的解析式，将两函数解析式联立方程组，解方程组求出点B的坐标，同时可证得点M为BC的中点，利用三角形的面积公式可求出△BOC的面积.
（3）利用已知抛物线绕点旋转得到抛物线及抛物线的顶点坐标可求出抛物线的顶点坐标，由此可表示出抛物线的解析式，即可得到点D的坐标；设，将两函数解析式联立方程组，可求出s+p和sp的值；设直线解析式为，直线解析式为，分别求出k1和k2，再表示出k1+k2，然后根据是一个定值，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（1）解：∵抛物线经过原点O、，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式，
（2）解：∵抛物线的表达式，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线绕点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵，
∴点M为中点，
∴；
（3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
∴，
设，
联立得，
∴；
设直线解析式为，直线解析式为，
∴，
解得，
同理可得，
∴
，
∵是一个定值，
∴，即．
27．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
联立，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：将代入得：，
解得或，
∴，
将代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵点是轴上一点，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
由题意，设点的坐标为，
∵轴，交于点，
∴，
∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，长度取得最大值，
如图，作点关于直线的对称点，
则，，即，
将沿方向向下平移1个单位长度得到，
则，，
∴，
∴由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为，
即的最小值为．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴相当于将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后所得到的新抛物线的解析式为，
将代入得：，
∴，，
如图，过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，
∴，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵线段被直线平分，且，
∴的中点的坐标为，且点在直线上，
∴，
解得或，
当时，；
当时，；
综上，点的坐标为或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，然后求出直线的解析式，联立两解析式求出交点E的坐标，设点的坐标为，则，利用二次函数的顶点坐标求出的值，然后作点B关于直线的对称点B'，将沿方向向下平移1个单位长度得到，即可得到点B″的坐标，根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，根据勾股定理解答即可；
（3）根据勾股定理可知抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到平移后新抛物线的解析式，得到，再过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，即可得到，根据对应边相等求出，得到直线的解析式，设点的坐标为，则的中点的坐标为，代入直线的解析式求出s解答即可．
28．【答案】（1）解：把代入抛物线，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：
∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，
，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入y=ax2+bx-4可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解得出a、b的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点C的坐标，从而利用待定系数法求出直线BC的解析式，利用抛物线对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为直线，把代入直线BC的解析式算出对应的函数值，从而求出点G的坐标；
（3）连接PC，过点P作轴，交BC于点Q，由等底同高三角形面积相等得出，当面积最大时，面积最大，设，则，根据三角形面积计算公式用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．
29．【答案】（1）解：∵抛物线与直线交于点，
∴，
解得；
（2）解：由（1）知直线 的解析式为，
∵P是直线下方抛物线上一点
∴设点，
∵过点P作平行于y轴交于N，
∴点，
那么，
则最大值为；
（3）解：∵点，
∴，
∵，
∴，解得，
则D点纵坐标为，
∵点D在直线上，
∴，解得，
则点，
∵抛物线与x轴交于点A和点B，
∴，解得，，
∴点，
设的解解析式为：，
则，
解得：
则的解解析式为：，
联立，
解得：或，
则．
（4）解：在x轴取点P，使，连接，如图，
由旋转的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴的最小值为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）把点C的坐标代入y=-x+m求出m的值即可；
（2）过点P作平行于y轴交于N，设点，则点，表示PN长，然后配方为顶点式求出最大值即可；
（3）根据三角形的面积求出D点纵坐标为，代入一次函数的解析式求出点D的坐标，然后求出抛物线与x轴交点点A的坐标，得到的解析式，然后联立直线和抛物线解析求出交点P的坐标即可．
（4）在x轴取点P，使，连接，根据两边成比例且夹角相等得到，即可得到，然后根据两点之间线段最短得到，利用勾股定理解答即可．
30．【答案】（1）解： 根据题意可知，此水流抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0，1.25)，B(0.5，2)
∴
∴b=2，c= 1.25，
此水流轨迹的抛物线的丽数表达式为
（2）解： 由(1)可知y =-x2+2x+ 1.25， 当y=0时，-x2+2x+ 1.25 =0.
解得x1=2.5， x2=-0.5(不合题意，舍去)
∴点C的坐标为(2.5，0)，即OC =2.5(米)
∵此水流落地点C1米外的点D处
∴OD =2.5+1=3.5(米)
∵点O为圆心，OD的长为半径做一个圆形安全围栏，
∴该圆形安全围栏的周长为(米)
答：该圆形安全围栏的周长 7π米.
（3）解： 作直线EF的平行线l，使其与抛物线相切，交x轴于点H，如图所示 ：
∵ 光线EF 与地面成 角，EFl，
∴设直线l的解析式为y =-x+m
联立直线与抛物线解析式，
整理得-x2+3x+ 1.25-m=0，
∵直线与抛物线相切，
∴该方程只有一个根，
∴=32-4x(-1)x(1.25-m)=0
解得m= 3.5
∴直线l的解析式为y=-x+3.5，
令y =0，则x=3.5
∴H(3.5，0)
由 (2)可知，D(3.5，0)
∴点H与点D重合
作EG于点G，如图，则DGE = 90°
∵光线EF与地面成45角，EFl，
∴CDG = 45
∴GDE =45
∵DE =0.5，
∴EG =DEsin45= 0.5x
即光线EF与此抛物线水流之间的最小距离为米.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】
(1)根据题意可知，此水流抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0，1.25)，B(0.5，2)，然后利用待定系数法即可求得答案；
(2)根据(1) 中所求函数表达式，令y=0可求得点C坐标，进而得到OD的长度，即可计算圆的周长；
(3)作直线EFl，使其与抛物线相切，交x轴于点H，设直线的解析式为y=-x+m，根据直线l与抛物线相切，利用=32-4x(-1)x(1.25-m)=0 求得m值，从得到直线l的解析式，然后令y =0求得点H的坐标，由(2)可知，点H与点D重合，作EG于点G，则DGE = 90° ，最后根据正弦的定义解直角三角形即可求得最小距离，解答即可.
31．【答案】（1），；
（2）①∵二次函数有两个不动点0与3，∴点、在二次函数的图象上．
将，代入得，解得．
∴二次函数的表达式为．
②延长交x轴于点A，设，
∵，
∴，则，
解得，．设直线的表达式为，
将，代入得，解得．
∴直线的表达式为，同理直线的表达式为．
联立，解得，，则．
设点，由，，可得
，．
．
∵，，
∴．
∴，
则，
整理得．
∴，
整理得．
∵，
∴当时，．
∴在x轴正半轴上存在点，且m的最大值为．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（1）把，函数值代入，
，解得，
故答案为：，．
【分析】（1）根据不动点的定义求解即可；
（2）①根据抛物线经过点、，利用待定系数法求解即可；②延长交x轴于点A，求出，的解析式，联立求出点N的坐标，设点，利用相似三角形的性质得出，根据二次函数的性质求解即可．
32．【答案】（1）3；s=t2+2(0≤t≤2)
（2）解：由(1)知，抛物线过点(2，6)，顶点为：(4，2)，
则抛物线的表达式为：S=a(t-4)2+2
将(2，6)代入上式得：6=a(2-4)2+2，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：S=(t-4)2+2=t2-8t+18(2≤x≤8)，
当S=18时，则t2-8t+18=18，
解得：t=0(舍去)或8，
则AB=8-2=6
（3）解：①4；
②从图象看t2，t3关于t=4对称，
则t1+t2=8②，
而t3=6t1③，
由①②③得：4-t1+6t1=8，
解得：t1=0.8，
当t1=0.8时，S=t2+2=2.64
即正方形DPEF的面积为2.64.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；三角形-动点问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)①②在Rt△PCD中，，PC=t，
则S=PD2=t2+2，
当S=6时，即t2+2=6，
解得：t=2(负值已舍去)，
即BC=2，
当t=1时，S=t2+2=3，
故答案为：①3；②S=t2+2(0≤t≤2).
(3)在题干图中画出S=t2+2(0≤t≤2)，如图：
从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，
若存在3个时刻t1，t2，t3(t1则t1，t2，t3如图所示，此时符合题意；
①从图象看，t1，t2关于t=2对称，
则，
则t1+t2=4①，
故答案为：4.
【分析】(1)在Rt△PCD中，，PC=t，则S=PD2=t2+2，即可求解；
(2)用待定系数法求出函数表达式，进而求解；
(3)①从图象看，t1、t2关于x=2对称，则，即可求解；
②从图象看t2、t3关于t=4对称，进而求解.
33．【答案】解：【任务一】设y关于x的函数表达式为y =kx+b.
将点(50，400)， (60，300)代入y = kx+b中，
得
解得
∴y关于x的函数解析式为y=-10x+900(40≤x≤90).
【任务二】由题意得， 每套利润为(x-40)元， 月销售量为(-10x+900)套，
可列方程， (x-40)(-10x+900)=6000，
解得， x1=60， x1= 70，
∵要尽可能让利于顾客，
∴选择较低定价。
答：每套吉祥物套装应定价60元。
【任务三】设每月销售利润为w元，
w=(x-40)y=(x-40)(-10x+900)=-10x2+1300x-36000
整理得， )
∵a=-10<0，二次函数图象开口向下，
∴当x=65时， w取得最大值，
此时， 最大利润为w =6250元。
答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】【任务一】利用待定系数法求出函数解析式即可；
【任务二】利用“ 每月销售马年吉祥物套装的利润达到 6000 元 ”列出方程 (x-40)(-10x+900)=6000， 再求解即可；
【任务三】设每月销售利润为w元，利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式w=(x-40)y=(x-40)(-10x+900)=-10x2+1300x-36000，最后利用二次函数的性质求解即可.
34．【答案】（1）解：B（8，0），C（8，6），D（0，6）
（2）解：抛物线L1和L2的顶点坐标分别为（4，14），（4，-4）；
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，得，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，得，
解得；
则抛物线的表达式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边长，，
∴，，，，
∴，，；
故答案为：，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P，
结合矩形和抛物线的对称性，可得是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
故答案为：，；
【分析】（1）由矩形的性质即可得到点B，C，D的坐标；
（2）根据抛物线的对称性得到是抛物线对称轴公式，然后根据图中数据得出抛物线和的顶点坐标然后根据顶点式，利用待定系数法求出解析式即可．
35．【答案】（1）3；
（2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的判定与性质；二次函数的实际应用-喷水问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴根据勾股定理得：；
（2）②把代入得：，
或（舍去），
∴米；
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：，
放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为，
把代入得：，
解得：（舍去）或，
∴喷淋头N距离喷淋头M至少米．
【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①设抛物线的解析式为：，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
②将x=0代入解析式即可求出答案.
（3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
36．【答案】（1）解：观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，35），（1，56），（2，63）代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35；
（2）解：当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%，
∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35，
解得x1＝0，x2＝4，
当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5．
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，利用待定系数法设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将（0，35），（1，56），（2，63）代入计算即可解答；
(2)先根据临界值得到x=4，x=5，即可写出抑制种子发芽时的生长素浓度范围，解答即可.
37．【答案】解：⑴设抛物线的解析式为，
将点，代入得，
，解得，
抛物线的解析式为；
⑵由（1）知，，
根据对称性可得，
设点的坐标为，
根据题意得，，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
，，
，
；
⑶作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，
，光线所在的直线解析式为，
设直线的解析式为，
联立，
整理得，
直线与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
射灯射出的光线与地面成角，
，
，，
，
即光线与抛物线之间的距离为米．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；解直角三角形—边角关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）设点的坐标为，进而表示出，的长，根据列方程求出t的值，再根据线段的和差解答即可；
（3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，设直线的解析式为，联立两解析式，根据求出m的值，可得点的坐标，根据射灯射出的光线与地面成角，利用正弦的定义解答即可．
38．【答案】解：任务1：当m=1.7时，
∴C（6， 2.7) ， B（0， 1.7) ，
∴设抛物线的表达式为
将点B （0， 1.7)代入，得
解得
∴抛物线的表达式为
任务2：球能越过球网，球不会出界；
理由：由（1）知，当m=1.7时，抛物线的表达式为
∵OE=9米，球网EF 高度为2.24米，
∴F （9， 2.24) ，
当x=9时，
∵2.45>2.24，
∴球能越过球网，
当y=0时，
解得：
∴球不会出界；
任务3：∵l2是与l1形状相同的抛物线，排球运行的最大高度为1米，
∴设l2的表达式为
将点A （19， 0)代入，得（
解得： h1=13 （舍去) ， h2=25，
∴l2的表达式为
设点 M 的横坐标为s （s≥25)，
则
当 时，
解得： （舍去) ，
当 时，
解得： （舍去) ，
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x 6）2＋2.7，将点B（0，1.7）代入，即可求解；
（2）根据题意可得F（9，2.24），将x＝9代入解析式，求得函数值，与2.24比较大小，将y＝0代入解析式，求得D(6＋，0)，将横坐标与OA比较，即可求解．
（3）设l2的表达式为y＝ (x h)2＋1，点M的横坐标为s（s≥25），则Q(s，)，P(s＋2，)，分别将y＝，y＝代入解析式，求得s的值，结合题意，即可求出s的取值范围．
39．【答案】（1）
（2）解：解法1：
由题可得B（m+h，n+h)
将x=m+h， y=n+h代入
∴n+h=a（m+h-m)2+n
∴ah=1
∴这个小组的猜想是正确的。
解法2：
由平移前后形状不变性可知，可将抛物线平移，使得顶点C移动到原点，则抛物线解析式为y=ax2
∴B（h，h)
∴这个小组的猜想是正确的。
（3）解：由题可知， A点坐标为（0， 8)
∴B（2h， 8)， C（h， 8-h)，
由（2）可知
①当4第一种：抛物线在对称轴处有最小值y=-2
∴当x=h时
∴h=10>8，不满足题意
第二种：抛物线在对称轴处有最小值y=2
同理可得h=6，即
②当h>8时， ∵a>0∴在0≤x≤8时， y随x的增大而减小。
分两种情况：
第一种：当x=8时，抛物线有最小值y=-2
第二种：当x=8时，抛物线有最小值y=2
同理可得 不满足题意
综上所述， 或
解法2：
∵由题可知， A点坐标为（0， 8)，
∴B（2h， 8)， C（h， 8-h)
∴C点始终在直线y=8-x上
∴当0≤x≤8， y随x的增大而减小
∴第一种情况：当x=8时，y有最小值-2
∴64a+8b+8=-2
∴当 时，
∴将 xc. yc代入y=8-x
∴联立
第二种情况：当x=8时，y有最小值2，同理可得
综上所述， 或
其他方法参照此标准酌情给分。
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题可知点B（4，4），C（0，0），
∴m＝0，n＝0，即抛物线解析式为y＝ax2，
将点B坐标代入得，16a＝4，
解得a＝；
故答案为：；
【分析】（1）依据题意分别求出B、C坐标，进而代入即可得解；
（2）由题可得B（m＋h，n＋h），将点B坐标代入化简即可得解；
（3）易得A点坐标为（0，8），B（2h，8），C（h，8 h），分两种情况：①4＜h≤8，②h＞8，依次求解即可．
40．【答案】（1）
（2）解：由题意，得 CD∥AM，BD∥AF，∠C=∠CAM=90°.
∵CD∥AM，
∴∠CDA=∠DAM=β.
∵BD∥AF，
∴∠BDA=∠FAD，
∴ ∠CDA - ∠BDA = ∠DAM -∠FAD，
∴∠CDB=∠FAM=α.
在 Rt△CBD中，∠C=90°，
∴设 BC= xm，CD=3xm.
在 Rt △ACD 中， ∠C = 90°，
解得
经检验 是分式方程的解且符合题意，
（3）解：①由 F 为抛物线的顶点，可知FC=FD.
∵∠CFD=90°，
∴△FCD为等腰直角三角形.
由二次函数图象的对称性可知，F(1，1).
设二次函数的表达式为 y=a(x-1)2+1.将点 C(0，0)的坐标代入，得 解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为y=-(x-
②如图，光线 BD'与水平方向的夹角为θ，过点 D'作x 轴的垂线交x轴于点 E，过点 B 作y轴的垂线，两条垂线交于点 H，
则
设D'H=2am，BH=3am，
则点
代入
得
化简得
解得 (不合题意，舍去)，
∴遮阳篷点 D上升高度的最小值为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：(1)在Rt△CBD中，∠C=90°，BC=0.5m，CD=1m，
∴(m)，
故答案为：.
【分析】(1)在Rt△CBD中，利用勾股定理直接解答即可；
(2)由平行线的性质求得∠CDA=∠DAM=β，∠CDB=∠FAM=α，在Rt△CBD中，，设BC=xm，CD=3xm，在Rt△ACD中，，代入得，解答即可；
(3)①首先判断出△FCD为等腰直角三角形，由二次函数对称性得出F(1，1)，设二次函数为：y=ax(x-2)，代入F(1，1)得：1=a(-1)，解得a=-1，从而得解；
②BD光线与水平方向的夹角为，过D'作x轴的垂线交x轴于点E，过B作y轴的垂线，两条垂线交于点H，即，设D'H=2am，BH=3am，则点，代入解析式得27a2-12a-2=0，解得，(不合题意，舍去)，进一步得到D'E，进而得解.
41．【答案】（1）解：将点和代入抛物线，
则，解得：，
抛物线的解析式为；

（2）解：①，
顶点C的坐标为；
抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点，
联立，解得：或（舍），
，
分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，
当时，，则，
，
，
点D与点C关于直线对称，
，
，
，，
矩形的面积；
②如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，
由①可知，
，
由题意可知，，
则，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
边与心形图的左、右边缘各相切于一点，
即直线与抛物线只有一个交点，
联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得：，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点，联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求，
，
矩形的面积为，
，
方案二的矩形面积更小．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点和代入解析式即可求出答案.
（2）①将解析式转换为顶点式可得顶点C的坐标为，再联立一次函数，解方程组可得，分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，将x=1代入一次函数解析式可得，根据两点间距离可得，再根据对称性质可得，根据点的坐标可得，则，，再根据矩形面积即可求出答案.
②作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，由①可知，，根据两点间距离可得OA，根据直线平行判定定理可得，由题意可得直线的解析式为，联立抛物线解析式可得直线的解析式为，再联立一次函数y=x，解方程组可得，根据两点间距离可得OK，再根据边之间的关系可得AK，再根据直线平行判定定理可得，设直线的解析式为，联立抛物线解析式，解方程组可得直线的解析式为，同理可求，再根据矩形面积求出面积，再比较大小即可求出答案.
（1）解：将点和代入抛物线，
则，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：①，
顶点C的坐标为；
抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点，
联立，解得：或（舍），
，
分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，
当时，，则，
，
，
点D与点C关于直线对称，
，
，
，，
矩形的面积；
②如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，
由①可知，
，
由题意可知，，
则，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
边与心形图的左、右边缘各相切于一点，
即直线与抛物线只有一个交点，
联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得：，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点，联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求，
，
矩形的面积为，
，
方案二的矩形面积更小．
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