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２０２５—２０２６年度山东省职教高考系统性考试
期中考试数学参考答案
一、选择题
１．B　【解析】　因为集合 M＝{１,３,５},N＝{２,３,４,５},所以 M∩N＝{３,５}．故选B．
２．D　【解析】　因为z１＝１＋i,z２＝２i,所以z１＋z２＝１＋i＋２i＝１＋３i．故选 D．
３．A　【解析】　因为|x－２|＜２,解得０＜x＜４,因为０＜x＜４ x＜４,x＜４ ０＜x＜４,所以
“０＜x＜４”是“x＜４”的充分不必要条件．故选 A．
４．D　【解析】　|x＋２|＜m(m＞０)等价于－m＜x＋２＜m,即－２－m＜x＜m－２．已知不等式
( ,), {－２－m＝－６,的解集为 －６２ 所以 解得m＝４．故选 D．m－２＝２,
５．A　【解析】　因为函数y＝ax 在R上单调递增,所以a＞１,此时y＝ax＋a单调递增．故选 A．
６．A　【解析】　因为－３,x,－１２,
２４
２４成等比数列,所以q＝ ＝－２,则x＝(－３)×(－１２ －２
)＝
６．故选 A．
７．C　【解析】　因为角α的终边经过(１,２),角β的终边经过点(－２,３),所以sinα＞０,cosβ＜
０,则sinαcosβ＜０．故选C．

８．B　【解析】　由图得AB→＝(２,１)－(３,０)＝(－１,１),则AB→的单位向量的坐标为 ２ ２－ , ÷．
è ２ ２
故选B．
９．C　【解析】
４
　因为cos(２π－α)＝cosα＝－ ,且α 是第二象限角,所以５ sinα＝ １－cos
２α＝
３
５．
故选C．
１０．C　【解析】　以OA,OB 为邻边建立平行四边形OACB,则AB,OC 为对角线,M 为中点,
则O→
１ １ １
C＝OA→＋OB→＝a＋b,OM→＝２O
→C＝２a＋２b．
故选C．
１１．B　【解析】　选项 A,当x＝０时,y＝０２－a×０＝０,所以函数图像一定过点(０,０),选项 A
正确;选项 B,当a＝０时,函数为y＝x２,该函数是偶函数,选项B错误;选项 C,函数y＝x２
－a a
－ax 的对称轴为直线x＝－ ＝ ,选项C正确;选项 D,当a＝－２时,函数为２×１ ２ y＝x
２＋
２x＝(x＋１)２－１,其图像开口向上,对称轴为直线x＝－１,所以函数在(－１,＋∞)上单调
递增,即在(０,＋∞)上也单调递增,选项 D正确．故选B．
１２．C　【解析】　因为y＝logax 的图像呈上升趋势,即y＝logax 在定义域上单调递增,所以a
＞１＞０,因此抛物线开口向上,A、B错误;又y＝ax２＋１与y 轴交于点(０,１),D 错误．故
选C．
１３．D　【解析】　当x＜０时,二次函数的图像开口向下,且对称轴为－１,A、C错误;当x≥０
时,一次函数单调递增,且过(０,２)点,B错误．故选 D．
１４．A　【解析】　在等差数列{an}中,因为a４＝a１＋３d＝７,a７＝a１＋６d＝４,所以d＝－１,则
— １ —
a１１＝a１＋３d＋７d＝７－７＝０．故选 A．
１５．A　【解析】　根据题意,需满足条件a２－１＜０,解得－１＜a＜１,且Δ＝[－(a－１)]２－４(a２
３
－１)×(－１)＜０,解得－５＜a＜１
,所以a 的取值范围为 ３, － １÷．故选５ A．è
１６．C　【解析】　由题图可知图像不关于原点对称,且最小值为－２,则该函数的最大值为２,A、
;T ７π π , ２π １B 错误 ＝ － ＝π 所以T＝４π,C正确;ω＝ ＝ ,所以 ＝２sin １x y ＋φ÷ ,代入点４ ６ ６ T ２ è２
７π
, ７π ３π－２÷ 得sin
１ ７π
× ＋φ÷ ＝－１,即 ＋φ＝ ＋２kπ,
１１π
６ ２ ６ １２ ２ k∈Z
,则φ＝１２＋２kπ
,k∈Z,因
è è
１１π
为|φ|＜π,所以φ＝ ,D错误１２ ．
故选C．
１７．A　【解析】　因为４和４９的等比中项为a３,所以a２３＝１９６,又因为a３＜０,所以a３＝－１４＝
a１＋２d,解得d＝－４．故选 A．
１８．A　【解析】　因为b２＝a２＋c２－２accosB,代入条件得a２＋c２＝a２＋c２－２accosB＋acsinB,
a b c
化简得２cosB＝sinB,则tanB＝２,又因为 ＝ ,代入条件得sinA sinB＝sinC sinBsinAcosC
３ ３
＋sinCsinAcosB＝２sinA
,化简得sin(B＋C)＝ ,因为２ B＋C＝π－A
,所以sin(π－A)＝
３, π ２π πsinA＝ 又因为A∈(０,π),所以２ A＝
或 因为
３ A＝３． tanB＝２＞０
,所以角B 为锐角,且３
π ２π π π
＜B＜２．
若A＝ ,则B＋C＝ ,不符合题意,因此 ,此时 故选３ ３ A＝３ tanA＝ ３． A．
１９．B　【解析】　因为f(x) g(x)＝f(x)g(x)＋f(x),且f(x)＝x＋１,f(x) g(x)＝x２
＋３x＋２,所以x２＋３x＋２＝(x＋１)g(x)＋(x＋１),即x２＋３x＋２＝(x＋１)(g(x)＋１),因
为x２＋３x＋２＝(x＋１)(x＋２),所以g(x)＋１＝x＋２,解得g(x)＝x＋１．故选B．
２０．D　【解析】
５×４
　因为生产前５天的总产量为３５０个,所以S５＝５a１＋ ２ d＝５a１＋１０d＝３５０
,
即a１＋２d＝７０①;又因为从第n－２天到第n 天(即生产的最后三天)总产量为４２０个,所以
an－２＋an－１＋an＝３an－１＝３[a１＋(n－２)d]＝４２０,即a１＋(n－２)d＝１４０②;由最后一天的
产量比第一天产量的２倍多１０个可得an＝２a１＋１０,所以a１＋(n－１)d＝２a１＋１０,即(n－
１)d－a１＝１０③,由①得a１＝７０－２d,代入②得７０－２d＋(n－２)d＝１４０,即(n－４)d＝７０,
把a１＝７０－２d 代入③得(n－１)d－(７０－２d)＝１０,即(n＋１)d＝８０,(n＋１)d－(n－４)d＝
５d＝１０,得d＝２,代入①得a１＝６６．故选 D．
二、填空题
２１．[－２,０)∪(０,＋∞)　【解析】　由题意可知x＋２≥０且x≠０,所以函数的定义域为[－２,０)∪
(０,＋∞)．
１ １
２２．４　【解析】　因为log２x＋log３９＝０
,所以log２x＝－log３９＝２
,解得x＝４．
２３．９　【解析】　在正方形ABCD 中,对角线CA 和边CB 形成的夹角为４５°,|CA→|＝３２,所以
CA→ CB→＝３２×３×cos４５°＝９．
( ４)
２４．１５或－５　【解析】
１１－２
　因为a１＝１,a３＝４,所以q２＝４,q＝±２,当q＝２时,S４＝ １－２ ＝
１[１－(－２)４]
１５;当q＝－２时,S４＝ ( ) ＝－５．综上,S４的值为１５或１－ －２ －５．
— ２ —
２５．êé π πk , k ùê－ ＋ π ＋ πúú ,３ ６ k∈Z　
【解析】　因为
y＝２sin
(２x＋φ)的图像经过点(０,１),所以sinφ
１, π π＝ 因为 ,所以２ ０＜φ＜２ φ＝
,则
６ y＝２sin
π
２x＋ ÷ ,因为
è ６ y＝sinx
的单调递增区间为
éê π π ù π π π πê－２＋２kπ
,
２＋２kπ
úú ,k∈Z,所以－２＋２kπ≤２x＋
,
６≤２＋２kπk∈Z
,化简得－ ＋kπ
３
π
≤x≤ ＋kπ,k∈Z,所以函数的单调递增区间为 éê π π ù６ ê－３＋kπ
,
６＋kπú
ú ,k∈Z．

三、解答题
２６．【解】　(１)将(３,m)代入y＝x＋５,解得m＝８,(１分)
设f(x)的解析式为f(x)＝ax,将(３,８)代入,解得a＝２,故f(x)＝２x．(１分)
(２)奇函数．(１分)
f( ) x
证明:因为由()知 ( ) x ＋１ ２ ＋１１ g x ＝ ( ) ＝ x ,要使函数有意义,需满足２
x≠１,所以 ,
f x －１ ２ －１
x≠０
则g(x)的定义域为{x|x≠０},关于原点对称,(１分)
x
又因为 ( ) ２ ＋１, ( ２
－x＋１ (２－x＋１)２x １＋２x
g x ＝２x－１g －x
)＝２－x－１＝(２－x－１)２x＝１－２x＝－g
(x)．(２分)
x
所以 ２ ＋１g(x)＝ x 是奇函数 ( 分)２ －１ ．１
２７．【解】　(１)因为a＝(５,m),b＝(３,－１),所以a－３b＝(５－９,m＋３)＝(－４,m＋３),(１分)
a＋b＝(５,m)＋(３,－１)＝(８,m－１),(１分)
因为a－３b与a＋b垂直,所以－４×８＋(m＋３)(m－１)＝０,(１分)
化简得m２＋２m－３５＝０,解得m＝－７或m＝５．(１分)
(２)因为m＞０,所以m＝５,即a＝(５,５),b＝(３,－１),则ta＋b＝(５t＋３,５t－１),|ta＋b|＝
２
(５t＋３)２＋(５t－１)２＝ ５０t２＋２０t＋１０＝ ５０ １ t＋ ÷ ＋８,(１分)
è ５
所以当 １t＝－ 时,(５ １
分)
|ta＋b|有最小值,最小值为２２．(１分)
２８．【解】　(１)因为a３＝７,所以a１＋２d＝７,(１分)
因为 ４×３S４＝４a１＋ ２ d＝４a１＋６d＝a１０＝a１＋９d
,(１分)
所以a１＝d,(１分)
所以 ７a１＝d＝ ,故
７
an＝ n．(１分)３ ３
(
()因为{ }的前 项和 ７ nn－１
) ７ ７n(n＋１)
２ an n Sn＝n×３＋ ２ ×
,( 分)
３＝ ６ １
(
且{n}是首项为 ,公比为 的等比数列,设{n}前 项和为 ,则 ３１－３
n)
３ ３ ３ ３ n Qn Qn ＝ １－３ ＝
３n＋１－３,( 分)
２ １
所以 ７n
(n＋１) ３n＋１－３ ７n(n＋１)＋３n＋２－９
Tn＝Sn＋Qn＝ ６ ＋ ２ ＝＝ ．
(２分)６
— ３ —
２９．【解】　(１)因为 (
x
x)＝２sin x x
x x x
f ２ sin ＋cos
÷
２ ２ －１＝２sin
２ ＋２sin cos －１
è ２ ２ ２
x x
＝２sin cos － ２x ＝sinx－cosx＝ ２sin π ２ ２ １－２sin
÷
２ x

－ ÷．(４ ２
分)
è è
所以 π ２f α＋ ÷４ ＝ ２sinα＝１
,解得sinα＝
è ２．
因为α是三角形的一个内角,所以
π ３π
α＝ 或 ．(２分)４ ４
(２)由(１)知,f(x)＝ ２sin
πx － ÷４ ．
列表:
è
x π ３π ５π ７π ９π４ ４ ４ ４ ４
π ０ π π ３πx－４ ２ ２ ２π
２sin π x － ÷４ ０è ２ ０ － ２ ０
(２分)
描点连线可得图像为
(２分)
３０．【解】　(１)函数f(x)＝ax２－２ax＋２＋b＝a(x－１)２－a＋２＋b,
因为f(x)的图像开口向上,对称轴为x＝１,所以f(x)在[１,３]上单调递增,
所以f(１)＝１,f(３)＝６,(２分)
{－a＋２＋b＝１,联立方程可得 解得 ５, １a＝ b＝ ( 分)３a＋２＋b＝６, ４ ４．２
(２)由(１)得f(x)
５ ５ ９
＝４x
２－２x＋
,
４
则 ( ５ ５ ９ ５ ９g x)＝f(x)＋mx＝４x
２－２x＋mx＋
２ ５ ÷
４＝４x ＋ m－２ x＋
,
è ４
其对称轴 ５－２mx＝ ,(２分)５
因为在[２,５]上是单调函数,所以
５－２m 或５－２m
５ ≤２ ５ ≥５
,(２分)
解得 ５m≥－ 或 (２ m≤－１０．１
分)
所以实数m 的取值范围为{m ５m≥－ 或２ m≤－１０}．(１分)
— ４ —

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