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2026年浙江省中考数学模拟试卷三
一、选择题(每题3分,共30分)
1．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： 则A不符合题意，
则B符合题意，
则C不符合题意，
则D不符合题意，
故选： B.
【分析】利用同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可.
2．我国天问二号探测器正奔赴小行星执行探测与采样任务．截至2025年12月，该探测器累计行程已达1.8亿公里．将数“180000000”用科学记数法表示为(　　)
A．1.8×107 B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 180000000= ，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．如图，点 A、B、C均在⊙O上，连接AO、BO、AC、BC.若∠AOB=70°， ∠A=50°，则∠OBC的度数为（　　)
A．15° B．20° C．25° D．35°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=70°，
∴∠C=35°，
∵∠A=50°，
∴∠OBC+∠AOB=∠A+∠C，
即∠OBC+70°=50°+35°，
∴∠OBC=15°。
故答案为：A.
【分析】首先根据圆周角定理可得出∠C=35°，进而根据三角形内角和及对顶角相等，可得出∠OBC+∠AOB=∠A+∠C，即可得出∠OBC的度数。
4．为坚持“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节.其中，甲报名参加了独唱比赛，共有20位评委进行打分，打分情况如图所示.下列说法中，正确的是(　　)
A．m的值是3 B．20个分数中，最高分是90分
C．20个分数中，中位数是85分 D．20个分数中，众数是70分
【答案】C
【知识点】条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、m=20-6-4-8=2，不是3，故选项A错误；
B、20个分数中100分有2人，故最高分是100分，不是90分，故选项B错误；
C、20个分数，按从小到大排列，第10和11个分数为80分和90分，故中位数为 (分)，故选项C正确；
D、20个分数中，最多的分数是90分，不是70分，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】用总人数减去4、6、8可得m的值判断A；20个分数中100分有2人，故最高分是100分，可判断B；根据中位数定义可求出中位数，可判断C；最多的分数是90分，故可判断D.
5．关于反比例函数下列说法中错误的是（　　）
A．它的图象分布在一、三象限
B．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
C．当x>0时，y的值随x的增大而减小
D．当x>-1时，y<-3
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴它的图象分布在一、三象限，选项A说法正确；
若点在它的图象上，则满足，可得，因此点也满足函数解析式，故选项B说法正确；
∵，
∴当时，的值随的增大而减小，选项C说法正确；
对于选项D，当时，，当时，，
因此当时，不是所有都满足，选项D说法错误．
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数函数的图象和性质逐项判断解答即可．
6．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步 ”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步 ”设长为x步，则下列方程正确的是（　　）
A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864 D．2（x+x+12）=864
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可列方程为．
故答案为：A.
【分析】设长为步，则宽为步，利用矩形面积公式列方程解答即可．
7．我们知道”若则“，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（　　）
A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价
B．配制一种盐水，盐和水的质量比是1：8，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变
C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间
D．一个长方形的长和宽的比是3：2，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变
【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：题中给出性质：若，则，即两个比值相等时，前项和与后项和的比值仍等于原比值，据此分析各选项：
选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意；
选项B中，设原盐水中盐质量为，水质量为，得，新加入盐，水，得，满足，根据性质得，盐和水的比不变，因此浓度不变，完全符合题中知识，符合题意；
选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意；
选项D中，原长宽比，增加的长和宽的比是，不满足的前提，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】结合各选项的实际场景，判断符合题中给出的性质的解答即可．
8．若二次函数 的图象如图所示，则一次函数y=ax+b图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数的图象可知：a＜0，，
∴b＞0，
∴ 一次函数y=ax+b图象经过第一，二，四象限。
A：一次函数y=ax+b图象经过第二，三，四象限，所以A不符合题意；
B：一次函数y=ax+b图象经过第一，二，三象限，所以B不符合题意；
C：一次函数y=ax+b图象经过第一，二，四象限，所以C符合题意；
D：一次函数y=ax+b图象经过第一，三，四象限，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】首先根据二次函数图象的开口方向及在平面直角坐标系中的位置，可得出a，b的符号，进而根据a，b的符号即可得出一次函数y=ax+b图象的大致位置。
9．如图1，将Rt△EFG与正方形ABCD按如图所示的方式摆放，边FG在直线BC上，∠EGF=90°，EG=FG=10cm，AB=16cm，Rt△EFG以2cm/s的速度沿着BC方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动，在运动过程中，当Rt△EFG与正方形ABCD重叠部分面积为18cm2时，其运动时间为（　　）
A．10 B．20 C．1或10 D．2或20
【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；分类讨论
【解析】【解答】解：设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，则点运动的距离为，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
分三种情况讨论：
当时，点在点左侧或重合，点在上，此时重叠部分为直角梯形，其高为，下底为，如图，
设交于点，则为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
令，整理得，
解得，，
∵，
∴；
当时，点在上，点在上（未到达）， 此时 完全在正方形内部，如图
∴，
∵，
∴此时无解；
当时，点在右侧，点在左侧，此时重叠部分为（为与的交点），如图，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点运动的总距离为，初始在左侧处，点相对于的位置为，
∴，
∴，
令，即，
解得或，
∴或，
∵，
∴，
综上所述，当重叠部分面积为时，运动时间为或．
故答案为：C.
【分析】设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，分三种情况讨论重叠部分的面积：当时，重叠部分为直角梯形；当时，三角形完全在正方形内部，重叠部分为三角形，不变；当时，三角形部分移出正方形，重叠部分为等腰直角三角形；列出关于的函数关系式解答即可．
10．如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（　　）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：∵直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令得，令得，
∴，
如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，
设，则，
∴，
∵，
∴，设，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵在上，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
∵关于对称，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴是，
∴，
故选C．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，设，则，根据两点间距离可得DT，OT，再根据正切定义可得，设，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，则，设，则，解直角三角形可得BL，根据边之间的关系可得OL，OT，根据反比例函数k的几何意义建立方程，解方程可得，再根据点的坐标可得，，根据关于原点对称的点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得CD，DE，CE，再根据勾股定理逆定理可得是，再根据三角形面积即可求出答案.
二、填空题(每题3分,共18分)
11．将一张长方形纸沿虚线折叠，若 ∠1=50°，则 ∠2的度数为　 　.
【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意知：，
∵，
故答案为：．
【分析】根据平角的定义和折叠的性质可得解答即可．
12． 已知 的整数部分是x，小数部分是y，则 　 　.
【答案】3
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：3
【分析】估算无理数的范围可得x，y值，再代入代数式，结合平方差公式即可求出答案.
13．在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：
将抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是
故答案为：
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
14．如图，为了方便行人过马路，打算修建一座高5m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长度为　 　m.
【答案】5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图
∵i=BC：AC=1：2，BC=5
∴AC=2BC=10
∴
故答案为：5
【分析】根据坡度为AC，再根据勾股定理即可求出答案.
15．如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC 的平分线交BC 于点D，交圆于点 E.若AB=5，AC=3，AE=6，则 DE=　 　.
【答案】3.5
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
又∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴，即，
解得AD=2.5，
∴DE=AE-AD=6-2.5=3.5，
故答案为：3.5 .
【分析】连接BE，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAE，再根据∠E=∠C，即可得到△ABE∽△ADC，根据对应边成比例求出AD长，然后根据线段的和差解答即可.
16．我们定义“正整数迭代生成体系”如下：对于任意正整数m，构造“m-迭代数列{an}”，生成规则为：
⑴初始项a1=m；
⑵当n≥2时，若前一项为奇数时，则an=3an-1+1，若前一项为偶数时，则；
⑶当数列中首次出现数字1时，停止迭代.称迭代停止前的所有项（含初始项a1，不含数字1）构成“前置序列”，前置序列的项数记为L（m），前置序列中所有项的和记为S（m）.
根据上述定义，下列说法正确的是　 　 .
①当m=5时，L（5）=5；
②当m=5时，S（m）=21；
③存在正整数m，使得L（m）=3；
④对于任意正整数m，S（m）必为奇数.
【答案】①③
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：对于①②：当时，（奇数）（偶数）（偶数）（偶数）（偶数）（停止迭代），前置序列为，，，，，共项，
∴，，故①正确，②错误；
对于③：当时， （停止迭代）．前置序列为，，，共项，
∴，因此存在这样的正整数，故③正确；
对于④：由③可知，当时，前置序列为，，，
∴是偶数，与必为奇数矛盾，故④错误；
综上所述，正确的结论为①③．
故答案为：①③
【分析】根据新定义的运算法则得到可得时，前置序列为，，，，，求出L(m)和S(m)判断①②；时，前置序列为，，， 求出L(8)和S(8) 判断③④解答即可．
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据实数的运算计算即可.
18．解不等式组 并将解集在数轴上表示出来.
【答案】解：
解不等式①得： x≤2，
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为
数轴表示如下所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
19．先化简，再求值：，其中
【答案】解：，
．
当时，原式．
【知识点】负整数指数幂；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先运算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，因式分解约分，再根据负指数幂求得x的值，将x的值代入计算即可．
20． “冰雪为卷，和谐为轴”，2026年2月6日，第25届冬奥会在意大利米兰隆重召开，恰逢丙午马年春节，同学们利用春节假期时间，观看了多场冬奥会比赛，为中国选手加油鼓劲，为了传递奥运精神，某校安排七年级同学制作题为“筑梦冰雪，相约冬奥”的小报，学校开学后将收集到的“冬奥小报”进行打分评比，并随机抽取了部分学生的“冬奥小报”评比成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①该校七年级部分学生“冬奥小报”评比成绩的频数分布表和扇形统计图：
组别 分组（分) 频数
A 50≤x<60 5
B 60≤x<70 a
C 70≤x<80 12
D 80≤x<90 15
E 90≤x≤100 8
②C组的数据为70， 71， 72， 72， 72， 74， 75， 76， 76， 77， 78， 79.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）共抽取了　 　名七年级学生，其中a=　 　.
（2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是　 　；随机抽取的这部分学生成绩的中位数是　 　分.
（3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为2：8，请估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数.
【答案】（1）50；10
（2）36°；77.5
（3）解：该校3000名学生中成绩在E组的学生人数为 （人)，
则获得一等奖的学生人数为 （人).
答：估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数为96人.
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为15÷30%=50人
a=50-5-12-15-8=10人
故答案为：50；10
（2）A组所在扇形的圆心角度数是
将数据按从小到大的顺序排列，处在最中间的数为77，78
∴抽取的这部分学生成绩的中位数是
故答案为：36°；77.5
【分析】（1）根据D组的人数与占比可得总人数，再用总人数减去其他组的人数可得a值.
（2）根据360°乘以A的占比可得圆心角度数，再根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据3000乘以E组的占比可得E组的人数，再乘以一等奖的比例即可求出答案.
21．如图， 在△ABC中， ∠CAB=90°， 以AB为直径作半⊙O， 点D 是该半圆上的点，连结AD交BC于点E，AE=BE.
（1） 求证： E为BC的中点；
（2） 若AC=AE=6， 求 的长.
【答案】（1）证明：
∴CE=BE，
∴E为BC的中点；
（2）解：如图，连接OD，
由(1)知CE=AE，
∵AC=AE=6，
∴AC=CE=AE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CAE=∠C=60°，
∴∠BAD=∠ABE=30°，
∴∠BOD=60°， BC=2AC=12，
的长

【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的性质得到 根据等腰三角形的性质得到 求得 得到CE=BE，证明结论即可；
(2)连接OD，由(1)知(CE=AE，推出 是等边三角形，得到 求得 BC=2AC=12，根据勾股定理得到 于是得到 的长.
22．如图，直线（，为常数，）与双曲线（为常数且）相交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出关于的不等式的解集；
（3）连接、，求的面积．
【答案】（1）解：由题意，将点代入双曲线解析式，
，
．
双曲线为．
（2）或
（3）解：在双曲线为，
，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
，
设与轴交于点，则坐标，
，
答：的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】（2）解：根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面，
∴关于的不等式的解集为或．
【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入双曲线解析式即可求出答案.
（2）当一次函数图象在反比例函数图象的上时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）将点A坐标代入反比例函数解析式可得，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式可得，再根据y轴上点的坐标特征可得坐标，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：由题意，将点代入双曲线解析式，
，
．
双曲线为．
（2）解：根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面，
∴关于的不等式的解集为或．
（3）解：在双曲线为，
，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
，
设与轴交于点，则坐标，
，
答：的面积为．
23．如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC=15km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，
（1）求岛A与港口B之间的距离．
（2）求 tan C．
【答案】（1）解：过点作
∵，
∴，
∴．
，
．
在中，，
；

（2）解：在中，，
∴．
∵，
，
．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过点作，根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例求出长，再根据正弦的定义解答即可；
（2）先根据余弦的定义求出AM长，再求出AD长，进而计算∠C的正切值即可．
24．已知抛物线过点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C.点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E.
（1）当m=3时，求抛物线的解析式；
（2）如图1，在（1）的条件下，若，求直线AF的解析式；
（3）要使得成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）；
（4）如图2，，当m为何值时，OD的长度等于1
【答案】（1）解：当m=3时，二次函数的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0），
∴设二次函数的交点式为y=a（x+1）（x-3），
∴-3a=-4，
解得
∴函数的解析式为；
（2）对于二次函数
令x=0，可得y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），则OC=4，
∵∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵OB=3，OC=4
如图，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG=∠BCG，AF⊥CG，
设G到BC的距离为d，则d=OG，
∵∠OCG=∠OAD，
∵A（-1，0），则OA=1，
设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），代入
解得
∴直线AF的解析式；
（3）当m=4时，OB=OC=4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∵∠DCE=∠DEC，
∴∠CDE=90°，则D，O重合，F，B重合，
又∵F是第四象限的点，
∴当∠OCB>45°时，则∠CDF<90°，m>4，
∴要使得∠DCE=∠DEC成立，m的取值范围为m>4
（4）∵OD=OA=1，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠ADO=45°，
∴∠OCB=∠DCE=∠DEC=67.5°，
在Rt△OBC中，∠OBC=22.5°，
如图所示，取H（4，0），
∴OC=OH，
∴△OCH是等腰直角三角形，
∴∠OCH=45°，
∴∠HCB=∠OBC=22.5°，
即
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据解析式求得点C的坐标，进而求出，作的角平分线交轴于点，根据角平分线的性质得到d=OG，利用三角形的面积求得，然后求出∠OAD的正切，从而求得点的坐标，求出一次函数的解析式即可．
（3）先找到临界值，当时，△OBC是等腰直角三角形，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，即当时，解答即可解；
（4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而求出，取即可得到是等腰直角三角形，进而求得，根据线段的和差解答即可．
1 / 12026年浙江省中考数学模拟试卷三
一、选择题(每题3分,共30分)
1．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
2．我国天问二号探测器正奔赴小行星执行探测与采样任务．截至2025年12月，该探测器累计行程已达1.8亿公里．将数“180000000”用科学记数法表示为(　　)
A．1.8×107 B． C． D．
3．如图，点 A、B、C均在⊙O上，连接AO、BO、AC、BC.若∠AOB=70°， ∠A=50°，则∠OBC的度数为（　　)
A．15° B．20° C．25° D．35°
4．为坚持“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节.其中，甲报名参加了独唱比赛，共有20位评委进行打分，打分情况如图所示.下列说法中，正确的是(　　)
A．m的值是3 B．20个分数中，最高分是90分
C．20个分数中，中位数是85分 D．20个分数中，众数是70分
5．关于反比例函数下列说法中错误的是（　　）
A．它的图象分布在一、三象限
B．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
C．当x>0时，y的值随x的增大而减小
D．当x>-1时，y<-3
6．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步 ”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步 ”设长为x步，则下列方程正确的是（　　）
A．x（x-12）=864 B．x（x+12）=864
C．x（12-x）=864 D．2（x+x+12）=864
7．我们知道”若则“，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（　　）
A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价
B．配制一种盐水，盐和水的质量比是1：8，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变
C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间
D．一个长方形的长和宽的比是3：2，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变
8．若二次函数 的图象如图所示，则一次函数y=ax+b图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图1，将Rt△EFG与正方形ABCD按如图所示的方式摆放，边FG在直线BC上，∠EGF=90°，EG=FG=10cm，AB=16cm，Rt△EFG以2cm/s的速度沿着BC方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动，在运动过程中，当Rt△EFG与正方形ABCD重叠部分面积为18cm2时，其运动时间为（　　）
A．10 B．20 C．1或10 D．2或20
10．如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（　　）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
二、填空题(每题3分,共18分)
11．将一张长方形纸沿虚线折叠，若 ∠1=50°，则 ∠2的度数为　 　.
12． 已知 的整数部分是x，小数部分是y，则 　 　.
13．在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是　 　.
14．如图，为了方便行人过马路，打算修建一座高5m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长度为　 　m.
15．如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC 的平分线交BC 于点D，交圆于点 E.若AB=5，AC=3，AE=6，则 DE=　 　.
16．我们定义“正整数迭代生成体系”如下：对于任意正整数m，构造“m-迭代数列{an}”，生成规则为：
⑴初始项a1=m；
⑵当n≥2时，若前一项为奇数时，则an=3an-1+1，若前一项为偶数时，则；
⑶当数列中首次出现数字1时，停止迭代.称迭代停止前的所有项（含初始项a1，不含数字1）构成“前置序列”，前置序列的项数记为L（m），前置序列中所有项的和记为S（m）.
根据上述定义，下列说法正确的是　 　 .
①当m=5时，L（5）=5；
②当m=5时，S（m）=21；
③存在正整数m，使得L（m）=3；
④对于任意正整数m，S（m）必为奇数.
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．计算：
18．解不等式组 并将解集在数轴上表示出来.
19．先化简，再求值：，其中
20． “冰雪为卷，和谐为轴”，2026年2月6日，第25届冬奥会在意大利米兰隆重召开，恰逢丙午马年春节，同学们利用春节假期时间，观看了多场冬奥会比赛，为中国选手加油鼓劲，为了传递奥运精神，某校安排七年级同学制作题为“筑梦冰雪，相约冬奥”的小报，学校开学后将收集到的“冬奥小报”进行打分评比，并随机抽取了部分学生的“冬奥小报”评比成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①该校七年级部分学生“冬奥小报”评比成绩的频数分布表和扇形统计图：
组别 分组（分) 频数
A 50≤x<60 5
B 60≤x<70 a
C 70≤x<80 12
D 80≤x<90 15
E 90≤x≤100 8
②C组的数据为70， 71， 72， 72， 72， 74， 75， 76， 76， 77， 78， 79.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）共抽取了　 　名七年级学生，其中a=　 　.
（2）在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是　 　；随机抽取的这部分学生成绩的中位数是　 　分.
（3）该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为2：8，请估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数.
21．如图， 在△ABC中， ∠CAB=90°， 以AB为直径作半⊙O， 点D 是该半圆上的点，连结AD交BC于点E，AE=BE.
（1） 求证： E为BC的中点；
（2） 若AC=AE=6， 求 的长.
22．如图，直线（，为常数，）与双曲线（为常数且）相交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出关于的不等式的解集；
（3）连接、，求的面积．
23．如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC=15km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，
（1）求岛A与港口B之间的距离．
（2）求 tan C．
24．已知抛物线过点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C.点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E.
（1）当m=3时，求抛物线的解析式；
（2）如图1，在（1）的条件下，若，求直线AF的解析式；
（3）要使得成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）；
（4）如图2，，当m为何值时，OD的长度等于1
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： 则A不符合题意，
则B符合题意，
则C不符合题意，
则D不符合题意，
故选： B.
【分析】利用同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 180000000= ，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOB=70°，
∴∠C=35°，
∵∠A=50°，
∴∠OBC+∠AOB=∠A+∠C，
即∠OBC+70°=50°+35°，
∴∠OBC=15°。
故答案为：A.
【分析】首先根据圆周角定理可得出∠C=35°，进而根据三角形内角和及对顶角相等，可得出∠OBC+∠AOB=∠A+∠C，即可得出∠OBC的度数。
4．【答案】C
【知识点】条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、m=20-6-4-8=2，不是3，故选项A错误；
B、20个分数中100分有2人，故最高分是100分，不是90分，故选项B错误；
C、20个分数，按从小到大排列，第10和11个分数为80分和90分，故中位数为 (分)，故选项C正确；
D、20个分数中，最多的分数是90分，不是70分，故选项D错误.
故答案为：C.
【分析】用总人数减去4、6、8可得m的值判断A；20个分数中100分有2人，故最高分是100分，可判断B；根据中位数定义可求出中位数，可判断C；最多的分数是90分，故可判断D.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴它的图象分布在一、三象限，选项A说法正确；
若点在它的图象上，则满足，可得，因此点也满足函数解析式，故选项B说法正确；
∵，
∴当时，的值随的增大而减小，选项C说法正确；
对于选项D，当时，，当时，，
因此当时，不是所有都满足，选项D说法错误．
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数函数的图象和性质逐项判断解答即可．
6．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可列方程为．
故答案为：A.
【分析】设长为步，则宽为步，利用矩形面积公式列方程解答即可．
7．【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：题中给出性质：若，则，即两个比值相等时，前项和与后项和的比值仍等于原比值，据此分析各选项：
选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意；
选项B中，设原盐水中盐质量为，水质量为，得，新加入盐，水，得，满足，根据性质得，盐和水的比不变，因此浓度不变，完全符合题中知识，符合题意；
选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意；
选项D中，原长宽比，增加的长和宽的比是，不满足的前提，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】结合各选项的实际场景，判断符合题中给出的性质的解答即可．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数的图象可知：a＜0，，
∴b＞0，
∴ 一次函数y=ax+b图象经过第一，二，四象限。
A：一次函数y=ax+b图象经过第二，三，四象限，所以A不符合题意；
B：一次函数y=ax+b图象经过第一，二，三象限，所以B不符合题意；
C：一次函数y=ax+b图象经过第一，二，四象限，所以C符合题意；
D：一次函数y=ax+b图象经过第一，三，四象限，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】首先根据二次函数图象的开口方向及在平面直角坐标系中的位置，可得出a，b的符号，进而根据a，b的符号即可得出一次函数y=ax+b图象的大致位置。
9．【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；分类讨论
【解析】【解答】解：设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，则点运动的距离为，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
分三种情况讨论：
当时，点在点左侧或重合，点在上，此时重叠部分为直角梯形，其高为，下底为，如图，
设交于点，则为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
令，整理得，
解得，，
∵，
∴；
当时，点在上，点在上（未到达）， 此时 完全在正方形内部，如图
∴，
∵，
∴此时无解；
当时，点在右侧，点在左侧，此时重叠部分为（为与的交点），如图，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点运动的总距离为，初始在左侧处，点相对于的位置为，
∴，
∴，
令，即，
解得或，
∴或，
∵，
∴，
综上所述，当重叠部分面积为时，运动时间为或．
故答案为：C.
【分析】设运动时间为秒，与正方形重叠部分面积为，分三种情况讨论重叠部分的面积：当时，重叠部分为直角梯形；当时，三角形完全在正方形内部，重叠部分为三角形，不变；当时，三角形部分移出正方形，重叠部分为等腰直角三角形；列出关于的函数关系式解答即可．
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：∵直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令得，令得，
∴，
如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，
设，则，
∴，
∵，
∴，设，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵在上，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
∵关于对称，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴是，
∴，
故选C．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，设，则，根据两点间距离可得DT，OT，再根据正切定义可得，设，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，则，设，则，解直角三角形可得BL，根据边之间的关系可得OL，OT，根据反比例函数k的几何意义建立方程，解方程可得，再根据点的坐标可得，，根据关于原点对称的点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得CD，DE，CE，再根据勾股定理逆定理可得是，再根据三角形面积即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意知：，
∵，
故答案为：．
【分析】根据平角的定义和折叠的性质可得解答即可．
12．【答案】3
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：3
【分析】估算无理数的范围可得x，y值，再代入代数式，结合平方差公式即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：
将抛物线向左平移2个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是
故答案为：
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
14．【答案】5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图
∵i=BC：AC=1：2，BC=5
∴AC=2BC=10
∴
故答案为：5
【分析】根据坡度为AC，再根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】3.5
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
又∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴，即，
解得AD=2.5，
∴DE=AE-AD=6-2.5=3.5，
故答案为：3.5 .
【分析】连接BE，根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAE，再根据∠E=∠C，即可得到△ABE∽△ADC，根据对应边成比例求出AD长，然后根据线段的和差解答即可.
16．【答案】①③
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：对于①②：当时，（奇数）（偶数）（偶数）（偶数）（偶数）（停止迭代），前置序列为，，，，，共项，
∴，，故①正确，②错误；
对于③：当时， （停止迭代）．前置序列为，，，共项，
∴，因此存在这样的正整数，故③正确；
对于④：由③可知，当时，前置序列为，，，
∴是偶数，与必为奇数矛盾，故④错误；
综上所述，正确的结论为①③．
故答案为：①③
【分析】根据新定义的运算法则得到可得时，前置序列为，，，，，求出L(m)和S(m)判断①②；时，前置序列为，，， 求出L(8)和S(8) 判断③④解答即可．
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据实数的运算计算即可.
18．【答案】解：
解不等式①得： x≤2，
解不等式②得：
∴原不等式组的解集为
数轴表示如下所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
19．【答案】解：，
．
当时，原式．
【知识点】负整数指数幂；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先运算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，因式分解约分，再根据负指数幂求得x的值，将x的值代入计算即可．
20．【答案】（1）50；10
（2）36°；77.5
（3）解：该校3000名学生中成绩在E组的学生人数为 （人)，
则获得一等奖的学生人数为 （人).
答：估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数为96人.
【知识点】扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）总人数为15÷30%=50人
a=50-5-12-15-8=10人
故答案为：50；10
（2）A组所在扇形的圆心角度数是
将数据按从小到大的顺序排列，处在最中间的数为77，78
∴抽取的这部分学生成绩的中位数是
故答案为：36°；77.5
【分析】（1）根据D组的人数与占比可得总人数，再用总人数减去其他组的人数可得a值.
（2）根据360°乘以A的占比可得圆心角度数，再根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据3000乘以E组的占比可得E组的人数，再乘以一等奖的比例即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：
∴CE=BE，
∴E为BC的中点；
（2）解：如图，连接OD，
由(1)知CE=AE，
∵AC=AE=6，
∴AC=CE=AE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CAE=∠C=60°，
∴∠BAD=∠ABE=30°，
∴∠BOD=60°， BC=2AC=12，
的长

【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的性质得到 根据等腰三角形的性质得到 求得 得到CE=BE，证明结论即可；
(2)连接OD，由(1)知(CE=AE，推出 是等边三角形，得到 求得 BC=2AC=12，根据勾股定理得到 于是得到 的长.
22．【答案】（1）解：由题意，将点代入双曲线解析式，
，
．
双曲线为．
（2）或
（3）解：在双曲线为，
，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
，
设与轴交于点，则坐标，
，
答：的面积为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】（2）解：根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面，
∴关于的不等式的解集为或．
【分析】（1）根据待定系数法将点B坐标代入双曲线解析式即可求出答案.
（2）当一次函数图象在反比例函数图象的上时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）将点A坐标代入反比例函数解析式可得，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式可得，再根据y轴上点的坐标特征可得坐标，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：由题意，将点代入双曲线解析式，
，
．
双曲线为．
（2）解：根据函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面，
∴关于的不等式的解集为或．
（3）解：在双曲线为，
，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
，
设与轴交于点，则坐标，
，
答：的面积为．
23．【答案】（1）解：过点作
∵，
∴，
∴．
，
．
在中，，
；

（2）解：在中，，
∴．
∵，
，
．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）过点作，根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例求出长，再根据正弦的定义解答即可；
（2）先根据余弦的定义求出AM长，再求出AD长，进而计算∠C的正切值即可．
24．【答案】（1）解：当m=3时，二次函数的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0），
∴设二次函数的交点式为y=a（x+1）（x-3），
∴-3a=-4，
解得
∴函数的解析式为；
（2）对于二次函数
令x=0，可得y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），则OC=4，
∵∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵OB=3，OC=4
如图，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG=∠BCG，AF⊥CG，
设G到BC的距离为d，则d=OG，
∵∠OCG=∠OAD，
∵A（-1，0），则OA=1，
设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），代入
解得
∴直线AF的解析式；
（3）当m=4时，OB=OC=4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∵∠DCE=∠DEC，
∴∠CDE=90°，则D，O重合，F，B重合，
又∵F是第四象限的点，
∴当∠OCB>45°时，则∠CDF<90°，m>4，
∴要使得∠DCE=∠DEC成立，m的取值范围为m>4
（4）∵OD=OA=1，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠ADO=45°，
∴∠OCB=∠DCE=∠DEC=67.5°，
在Rt△OBC中，∠OBC=22.5°，
如图所示，取H（4，0），
∴OC=OH，
∴△OCH是等腰直角三角形，
∴∠OCH=45°，
∴∠HCB=∠OBC=22.5°，
即
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据解析式求得点C的坐标，进而求出，作的角平分线交轴于点，根据角平分线的性质得到d=OG，利用三角形的面积求得，然后求出∠OAD的正切，从而求得点的坐标，求出一次函数的解析式即可．
（3）先找到临界值，当时，△OBC是等腰直角三角形，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，即当时，解答即可解；
（4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而求出，取即可得到是等腰直角三角形，进而求得，根据线段的和差解答即可．
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