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2026年浙江省中考数学模拟试卷四
一、选择题(每题3分,共30分)
1．纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形和轴对称定义逐项分析判断如下：
A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，A符合题意；
B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，B不符合题意；
C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，C不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】先根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析各选项图形是否同时满足两个条件，进而确定正确选项。
2．如果，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：原式
∵
∴原式
故选：C.
【分析】将拆分为，代入已知条件计算即可.
3．下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解某班同学的跳远成绩
B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况
D．了解某批次汽车的抗撞击能力
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、适合全面调查；
B、由于市场了冰激凌的数量太大且全面调查具有破坏性，故适合抽查；
C、由于全面中学生的数量太大难以操作，故适合抽查；
D、由于全面调查具有破坏性，故适合抽查；
故答案为：A.
【分析】当样本容量太大难以操作且调查具有破坏性时不适宜进行全面调查.
4．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，用直尺测得弹簧的长度y(cm)随所挂物体的质量x(kg)变化关系的图象如图所示，则下列结论中错误的是(　　)
A．未挂物体时，弹簧的长度为8cm
B．当所挂的物体超过5kg时，弹簧的长度不会发生变化
C．所挂物体为2k g时，弹簧的长度为12 cm
D．弹簧的长度随着所挂物体质量的增加而增加
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图像可知，当x=0时，y=8，故A正确，不符合题意，
B、由图像可知，当x＞5时，y的值未发生变化，故B正确，不符合题意，
C、由图像可知，当x=2时，y=12，故C正确，不符合题意，
D、由图像可知，当质量超过5kg时，弹簧的长度不变，故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据弹簧与所挂物体质量关系的图像，分析各选项描述是否符合图像信息即可.
5．在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵点A(a，-b)在第一象限内，
∴a>0，-b>0，
∴b<0，
∴点B((a，b)在第四象限，
故答案为：D．
【分析】根据直角坐标系中第一象限的点，横坐标＞0，纵坐标＞0，即可得出a、b的正负，根据第四象限的点，横坐标＞0，纵坐标＜0，可得出结论，
6．若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在反比例函数中，k=-9<0
∴函数图象的两个分支分别在第二，四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大
∵在第二象限
∴
∵再第四象限，且1<3
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E为OC上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE， EF交CD于点G，连结BE， CF．当四边形 BCFE为平行四边形时，若sin∠DAC=k，则 的值为(　　)
A．k B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，且，
∵，
∴，
设，则，
由折叠得，
在中，；
∴，
又四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】设，根据菱形的性质和争先的定义求出，再根据折叠可得，利用勾股定理求出，，然后推理得到是平行四边形，即可得到，，再根据平行线得到，利用对应边成比例解答即可．
8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故答案为：B．
【分析】设有x人，y辆车，根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行”列二元一次方程组解答即可．
9．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
、得，
值相等，
，，三点共线，符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
综上，，，三点共线，此时，
则，
即，
．
故答案为：．
【分析】分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，求出k值，然后代入计算解答即可．
10．如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（　　）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：∵直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令得，令得，
∴，
如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，
设，则，
∴，
∵，
∴，设，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵在上，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
∵关于对称，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴是，
∴，
故选C．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，设，则，根据两点间距离可得DT，OT，再根据正切定义可得，设，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，则，设，则，解直角三角形可得BL，根据边之间的关系可得OL，OT，根据反比例函数k的几何意义建立方程，解方程可得，再根据点的坐标可得，，根据关于原点对称的点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得CD，DE，CE，再根据勾股定理逆定理可得是，再根据三角形面积即可求出答案.
二、填空题(每题3分,共18分)
11．已知一个正多边形的每一个外角为 30°，则这个多边形的边数为　 　.
【答案】12
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】∵任何一个正边形的外角和都为
故答案为：12.
【分析】用多边形的外角和360°除以一个外角的度数得到边数解答即可.
12．已知，那么 的值为 .
【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴x+2=0，y﹣1=0，
∴x=﹣2，y=1，
∴（x+y）2026=（﹣2+1）2026=1．
故答案为：1．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出x和y的值，然后代入代数式解答．
13．从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
当a=-1，b=1时，，方程有解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=1，b=-1时，，方程无解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=2，b=-1时，，方程无解；
当a=2，b=1时，，方程无解；
故方程有实数根的概率为
故答案为：.
【分析】列举所有a和b的值的情况，得到方程有实数根的结果数，然后利用概率公式计算解题.
14．如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是　 　.
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把P（m，4）代入y=x+2得m+2=4，
解得m=2，即P点坐标为（2，4），
所以方程组的解是．
故答案为：．【分析】先根据一次函数的解析式y=x+2求出P点坐标，然后根据二元一次方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解答即可．
15． 如图，在菱形ABCD 中， 点E在AD上， 连结BE， 作点A 关于直线BE对称点A'， 连结A'E 交BD 于点 F， 若点A' 恰为CD 的中点，则△BEF与△ABE 的面积比为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长E'A交BC延长线于点G，取BD中点O，连接A'O，连接A'B，
设菱形的边长为4，DE=x，
则由菱形可得
，
∵点A为DC的中点，
∴△EDA'≌△GCA'(AAS).
∴DE=CG=x， A'E=A'G，
由对称可知，
∴GE=GB，
∴8-2x=4+x，
解得
∵点A为DC的中点，点O为DB中点，
∴A'O∥BC，
∴A'O∥DE，
∴△DEF∽△OA'F，
故答案为：
【分析】延长EA'交BC延长线于点G，取BD中点O，连接A'O， 连接A'B， 先证明 则DE=CG=x，A'E=A'G， 然后证明GE=GB，则8-2x=4+x， 求出 可得A'O为 中位线，则可证明 则 再将共高三角形面积比化为底之比求解即可.
16．如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：将沿折叠使点落在点处，
点与点关于直线对称，，
垂直平分，
，，
点是的中点，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
【分析】由翻折可得垂直平分，而点是的中点，则，然后得到，即可得到，进而得到，推理得到，根据勾股定理即可求出，再证明，根据对应边成比例求出长，根据线段的和差解答即可．
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．计算：
【答案】解：原式
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，0指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
18．化简求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的乘除法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x=3代入即可求出答案.
19．已知如图，在中，，．
（1）作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，求证：．
【答案】（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
，
，
∴，
∴，
在和中，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据角平分线定义可得∠ABD，根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
，
，
∴，
∴，
在和中，
∴.
20．学校计划在各班设立“图书角”，为合理搭配各类书籍，校团委以“我最喜爱的书籍”为题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型有A哲学，B历史、C科学、D文学．根据调查统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
类别 人数
A哲学 20
B历史 60
C科学 180
D文学 m
（1）本次参与调查的学生共有多少人，并求出m的值；
（2）求扇形统计图中B所对应的圆心角的度数；
（3）所收集整理的四类书籍中，全校2000名学生中喜欢哲学类型书籍的大约有多少人？
【答案】（1）解：本次参与调查的学生共有（人）
∴
（2）解：扇形统计图中B 所对应的圆心角
（3）解：人；
∴全校2000名学生中喜欢哲学类型书籍的大约有100人
【知识点】扇形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）首先由C类别的人数和所占的百分比求出总人数，然后减去其他类别的人数即可求出D类别的人数，得到m的值，；
（2）用乘以B类别所占的百分比即可求出扇形统计图中B所对应的圆心角度数；
（3）用2000乘以样本中A的人数所占的百分比即可求解．
（1）解：本次参与调查的学生共有（人）
∴；
（2）解：扇形统计图中B 所对应的圆心角；
（3）解：人；
∴全校2000名学生中喜欢哲学类型书籍的大约有100人．
21．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、．
（1）若，求的度数；
（2）已知，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出，，根据两直线平行内错角相等得，根据等腰三角形得性质得出，再计算角度，解答即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一得性质得出，再利用ASA证明，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定即可解答．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
22．定义：P（x，y）与Q（y，x）为“对偶点”，对于函数y=f（x），若至少有一组对偶点在其图象上，且x≠y，则称该函数为“湖湘对偶函数”.
（1）判断函数y=2x+1是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”；
（2）若二次函数y=x2+mx+n是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）；
（3）已知二次函数y=-x2+4x+k的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点H（9，2）的“对偶点”在函数图象上，点P是函数图象上一动点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且．
联立方程组
解得
此时，不满足．
故函数不是“湖湘对偶函数”．
（2）解：由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组
化简得．
因为，两边除以，化简得
代入，
整理为，
因为有唯一“对偶点”，所以该方程有唯一解，
故判别式，
所以；

（3）解：点的“对偶点”为，代入，
得，解得，
故函数解析式为．
令，得，
解得或．
故，，
所以．
令，得，故，
故，
由题意得．
设，则，得．
当时，，，无实根．
当时，，即，
解得，
所以点P的坐标为或．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-面积问题；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据“湖湘对偶函数”的定义得到方程组，求出x=y判断解答即可；
（2）由“湖湘对偶函数”定义得到，两式相减可得，进而求出，再代入函数解析式，整理为，然后根据根的判别式解答即可；
（3）求出点H的“对偶点”为，求出二次函数的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点坐标为，，，则，即可得到△ABC的面积，设，然后根据题意得到．求出的值，即可求出点P的坐标即可．
23．2026年1月25 日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德(AlexHonnold)成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人.亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点.在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点 N，他在距离楼底60米的A处观察(即AM=60米)，用测倾器测得攀登难点 N的仰角为60°，然后沿斜坡向上走到 B 处观察，测得攀登难点 N 的仰角为45°.已知点A，C，M在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为1：3(即 测倾器高度忽略不计.
（1）求攀登难点 N的高度(即 MN的长)；
（2）求观察点 B 的铅直高度(结果保留根号).
【答案】（1）解：∵在Rt△AMN中，AM=60，∠NAM=60°
∴MN=AM·tan∠NAM=60米，
故该攀登难点 N的高度为米
（2）解：如图，过B作BD⊥AC交AC 于点D，BE⊥MN交MN 于点E，
又MN⊥MC，∴四边形 BDME 是矩形.
∴EM=BD，BE=MD，
设BD=x，则EM=BD=x，
∵在 Rt△ABD中，
∴AD=3x，MD=AM+AD=60+3x，
∵在 Rt△NBE中，∠NBE=45°，∴NE=BE，
又
解得
故观察点 B 的铅直高度为( 米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△AMN中，根据正切的定义解答即可；
（2）过B作BD⊥AC交AC 于点D，BE⊥MN交MN 于点E，即可得到四边形 BDME 是矩形，设BD=x，然后在Rt△ABD和Rt△NBE中利用正切的定义求出AD和NE长，然后根据BE=DE列方程求出x的值解答即可.
24． 如图1，已知△ABC的高 点E是边AB上的动点，以DE为直径作圆O，交边AB于F，交线段BD于N，交线段AD于M．
（1）求证： ∠DAB=∠FDB．
（2）如图2，连结CF，若CF恰好经过点M．
①求 的值．
②求DN的长．
【答案】（1）证明：是直径，
，则，
为三角形的高，
，
；
（2）解：①，，
，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
四边形内接于圆，
，
，
，且，
，
则；
②，
∴设
作于点，则，
，，
，则，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由圆周角定理的推论得到，再根据同角的余角相等证明即可；
（2）①先根据正切的定义求出，根据勾股定理求出AB长，再根据正弦的定义求出，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可；
②作于点，则，设即可得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到，再推理得到，求出，即可得到NP长，解答即可．
1 / 12026年浙江省中考数学模拟试卷四
一、选择题(每题3分,共30分)
1．纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如果，则=（　　）
A． B． C． D．
3．下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解某班同学的跳远成绩
B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况
D．了解某批次汽车的抗撞击能力
4．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，用直尺测得弹簧的长度y(cm)随所挂物体的质量x(kg)变化关系的图象如图所示，则下列结论中错误的是(　　)
A．未挂物体时，弹簧的长度为8cm
B．当所挂的物体超过5kg时，弹簧的长度不会发生变化
C．所挂物体为2k g时，弹簧的长度为12 cm
D．弹簧的长度随着所挂物体质量的增加而增加
5．在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．若点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E为OC上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE， EF交CD于点G，连结BE， CF．当四边形 BCFE为平行四边形时，若sin∠DAC=k，则 的值为(　　)
A．k B． C． D．
8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若车乘坐人，则有人步行，问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．在平面直角坐标系中，四个点的坐标分别为，，，．若一次函数的图象经过上述四个点中的三个点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例交于C、D两点，直线OD交反比例于点E，连接CE交y轴于点F，若CF：EF=1：4，则△DCE的面积为（　　）
A．8 B．5 C．7.5 D．6
二、填空题(每题3分,共18分)
11．已知一个正多边形的每一个外角为 30°，则这个多边形的边数为　 　.
12．已知，那么 的值为 .
13．从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为　 　．
14．如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P（m，4），则方程组的解是　 　.
15． 如图，在菱形ABCD 中， 点E在AD上， 连结BE， 作点A 关于直线BE对称点A'， 连结A'E 交BD 于点 F， 若点A' 恰为CD 的中点，则△BEF与△ABE 的面积比为　 　.
16．如图，平行四边形中，点E是的中点，连接，将沿折叠使点B落在点F处，连接和，延长交于点G，和相交于点H，若，，，则的长为　 　．
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．计算：
18．化简求值：，其中．
19．已知如图，在中，，．
（1）作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，求证：．
20．学校计划在各班设立“图书角”，为合理搭配各类书籍，校团委以“我最喜爱的书籍”为题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型有A哲学，B历史、C科学、D文学．根据调查统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
类别 人数
A哲学 20
B历史 60
C科学 180
D文学 m
（1）本次参与调查的学生共有多少人，并求出m的值；
（2）求扇形统计图中B所对应的圆心角的度数；
（3）所收集整理的四类书籍中，全校2000名学生中喜欢哲学类型书籍的大约有多少人？
21．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、．
（1）若，求的度数；
（2）已知，求证：四边形是平行四边形．
22．定义：P（x，y）与Q（y，x）为“对偶点”，对于函数y=f（x），若至少有一组对偶点在其图象上，且x≠y，则称该函数为“湖湘对偶函数”.
（1）判断函数y=2x+1是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”；
（2）若二次函数y=x2+mx+n是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）；
（3）已知二次函数y=-x2+4x+k的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点H（9，2）的“对偶点”在函数图象上，点P是函数图象上一动点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求点P的坐标.
23．2026年1月25 日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德(AlexHonnold)成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人.亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点.在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点 N，他在距离楼底60米的A处观察(即AM=60米)，用测倾器测得攀登难点 N的仰角为60°，然后沿斜坡向上走到 B 处观察，测得攀登难点 N 的仰角为45°.已知点A，C，M在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为1：3(即 测倾器高度忽略不计.
（1）求攀登难点 N的高度(即 MN的长)；
（2）求观察点 B 的铅直高度(结果保留根号).
24． 如图1，已知△ABC的高 点E是边AB上的动点，以DE为直径作圆O，交边AB于F，交线段BD于N，交线段AD于M．
（1）求证： ∠DAB=∠FDB．
（2）如图2，连结CF，若CF恰好经过点M．
①求 的值．
②求DN的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形和轴对称定义逐项分析判断如下：
A、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，A符合题意；
B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，B不符合题意；
C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，C不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】先根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析各选项图形是否同时满足两个条件，进而确定正确选项。
2．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：原式
∵
∴原式
故选：C.
【分析】将拆分为，代入已知条件计算即可.
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、适合全面调查；
B、由于市场了冰激凌的数量太大且全面调查具有破坏性，故适合抽查；
C、由于全面中学生的数量太大难以操作，故适合抽查；
D、由于全面调查具有破坏性，故适合抽查；
故答案为：A.
【分析】当样本容量太大难以操作且调查具有破坏性时不适宜进行全面调查.
4．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图像可知，当x=0时，y=8，故A正确，不符合题意，
B、由图像可知，当x＞5时，y的值未发生变化，故B正确，不符合题意，
C、由图像可知，当x=2时，y=12，故C正确，不符合题意，
D、由图像可知，当质量超过5kg时，弹簧的长度不变，故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据弹簧与所挂物体质量关系的图像，分析各选项描述是否符合图像信息即可.
5．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵点A(a，-b)在第一象限内，
∴a>0，-b>0，
∴b<0，
∴点B((a，b)在第四象限，
故答案为：D．
【分析】根据直角坐标系中第一象限的点，横坐标＞0，纵坐标＞0，即可得出a、b的正负，根据第四象限的点，横坐标＞0，纵坐标＜0，可得出结论，
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵在反比例函数中，k=-9<0
∴函数图象的两个分支分别在第二，四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大
∵在第二象限
∴
∵再第四象限，且1<3
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，且，
∵，
∴，
设，则，
由折叠得，
在中，；
∴，
又四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】设，根据菱形的性质和争先的定义求出，再根据折叠可得，利用勾股定理求出，，然后推理得到是平行四边形，即可得到，，再根据平行线得到，利用对应边成比例解答即可．
8．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故答案为：B．
【分析】设有x人，y辆车，根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行”列二元一次方程组解答即可．
9．【答案】D
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
、得，
值相等，
，，三点共线，符合题意；
设，，三点共线，
代入一次函数中可得，
将分别代入、可解得，
值不相等，
，，三点不共线，不符合题意；
综上，，，三点共线，此时，
则，
即，
．
故答案为：．
【分析】分四种情况讨论：假设，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线；，，三点共线，将共线三点代入一次函数解析式，求出k值，然后代入计算解答即可．
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理的逆定理；求正切值
【解析】【解答】解：∵直线y=2x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令得，令得，
∴，
如图，过点作轴的垂线，垂足分别为，
设，则，
∴，
∵，
∴，设，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵在上，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
∵关于对称，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴是，
∴，
故选C．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，设，则，根据两点间距离可得DT，OT，再根据正切定义可得，设，根据相似三角形判定定理可得，则，根据直线平行判定定理可得，则，设，则，解直角三角形可得BL，根据边之间的关系可得OL，OT，根据反比例函数k的几何意义建立方程，解方程可得，再根据点的坐标可得，，根据关于原点对称的点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得CD，DE，CE，再根据勾股定理逆定理可得是，再根据三角形面积即可求出答案.
11．【答案】12
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】∵任何一个正边形的外角和都为
故答案为：12.
【分析】用多边形的外角和360°除以一个外角的度数得到边数解答即可.
12．【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴x+2=0，y﹣1=0，
∴x=﹣2，y=1，
∴（x+y）2026=（﹣2+1）2026=1．
故答案为：1．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出x和y的值，然后代入代数式解答．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
当a=-1，b=1时，，方程有解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=1，b=-1时，，方程无解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=2，b=-1时，，方程无解；
当a=2，b=1时，，方程无解；
故方程有实数根的概率为
故答案为：.
【分析】列举所有a和b的值的情况，得到方程有实数根的结果数，然后利用概率公式计算解题.
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把P（m，4）代入y=x+2得m+2=4，
解得m=2，即P点坐标为（2，4），
所以方程组的解是．
故答案为：．【分析】先根据一次函数的解析式y=x+2求出P点坐标，然后根据二元一次方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解答即可．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：延长E'A交BC延长线于点G，取BD中点O，连接A'O，连接A'B，
设菱形的边长为4，DE=x，
则由菱形可得
，
∵点A为DC的中点，
∴△EDA'≌△GCA'(AAS).
∴DE=CG=x， A'E=A'G，
由对称可知，
∴GE=GB，
∴8-2x=4+x，
解得
∵点A为DC的中点，点O为DB中点，
∴A'O∥BC，
∴A'O∥DE，
∴△DEF∽△OA'F，
故答案为：
【分析】延长EA'交BC延长线于点G，取BD中点O，连接A'O， 连接A'B， 先证明 则DE=CG=x，A'E=A'G， 然后证明GE=GB，则8-2x=4+x， 求出 可得A'O为 中位线，则可证明 则 再将共高三角形面积比化为底之比求解即可.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：将沿折叠使点落在点处，
点与点关于直线对称，，
垂直平分，
，，
点是的中点，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
【分析】由翻折可得垂直平分，而点是的中点，则，然后得到，即可得到，进而得到，推理得到，根据勾股定理即可求出，再证明，根据对应边成比例求出长，根据线段的和差解答即可．
17．【答案】解：原式
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，0指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的乘除法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x=3代入即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
，
，
∴，
∴，
在和中，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据角平分线定义可得∠ABD，根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
，
，
∴，
∴，
在和中，
∴.
20．【答案】（1）解：本次参与调查的学生共有（人）
∴
（2）解：扇形统计图中B 所对应的圆心角
（3）解：人；
∴全校2000名学生中喜欢哲学类型书籍的大约有100人
【知识点】扇形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）首先由C类别的人数和所占的百分比求出总人数，然后减去其他类别的人数即可求出D类别的人数，得到m的值，；
（2）用乘以B类别所占的百分比即可求出扇形统计图中B所对应的圆心角度数；
（3）用2000乘以样本中A的人数所占的百分比即可求解．
（1）解：本次参与调查的学生共有（人）
∴；
（2）解：扇形统计图中B 所对应的圆心角；
（3）解：人；
∴全校2000名学生中喜欢哲学类型书籍的大约有100人．
21．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质得出，，根据两直线平行内错角相等得，根据等腰三角形得性质得出，再计算角度，解答即可；
（2）根据等腰三角形的三线合一得性质得出，再利用ASA证明，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定即可解答．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
22．【答案】（1）解：“湖湘对偶函数”需满足与均在函数图象上，且．
联立方程组
解得
此时，不满足．
故函数不是“湖湘对偶函数”．
（2）解：由“湖湘对偶函数”定义，联立方程组
化简得．
因为，两边除以，化简得
代入，
整理为，
因为有唯一“对偶点”，所以该方程有唯一解，
故判别式，
所以；

（3）解：点的“对偶点”为，代入，
得，解得，
故函数解析式为．
令，得，
解得或．
故，，
所以．
令，得，故，
故，
由题意得．
设，则，得．
当时，，，无实根．
当时，，即，
解得，
所以点P的坐标为或．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-面积问题；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据“湖湘对偶函数”的定义得到方程组，求出x=y判断解答即可；
（2）由“湖湘对偶函数”定义得到，两式相减可得，进而求出，再代入函数解析式，整理为，然后根据根的判别式解答即可；
（3）求出点H的“对偶点”为，求出二次函数的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点坐标为，，，则，即可得到△ABC的面积，设，然后根据题意得到．求出的值，即可求出点P的坐标即可．
23．【答案】（1）解：∵在Rt△AMN中，AM=60，∠NAM=60°
∴MN=AM·tan∠NAM=60米，
故该攀登难点 N的高度为米
（2）解：如图，过B作BD⊥AC交AC 于点D，BE⊥MN交MN 于点E，
又MN⊥MC，∴四边形 BDME 是矩形.
∴EM=BD，BE=MD，
设BD=x，则EM=BD=x，
∵在 Rt△ABD中，
∴AD=3x，MD=AM+AD=60+3x，
∵在 Rt△NBE中，∠NBE=45°，∴NE=BE，
又
解得
故观察点 B 的铅直高度为( 米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△AMN中，根据正切的定义解答即可；
（2）过B作BD⊥AC交AC 于点D，BE⊥MN交MN 于点E，即可得到四边形 BDME 是矩形，设BD=x，然后在Rt△ABD和Rt△NBE中利用正切的定义求出AD和NE长，然后根据BE=DE列方程求出x的值解答即可.
24．【答案】（1）证明：是直径，
，则，
为三角形的高，
，
；
（2）解：①，，
，则，
∴，
∵，
∴，
解得，
四边形内接于圆，
，
，
，且，
，
则；
②，
∴设
作于点，则，
，，
，则，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
．
【知识点】圆内接四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）由圆周角定理的推论得到，再根据同角的余角相等证明即可；
（2）①先根据正切的定义求出，根据勾股定理求出AB长，再根据正弦的定义求出，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可；
②作于点，则，设即可得到，根据两角对应相等得到，利用对应边成比例得到，再推理得到，求出，即可得到NP长，解答即可．
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