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2026年浙江省中考数学模拟试卷五
一、选择题(每题3分,共30分)
1．若⊙O内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径r可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠B为(　　)
A．75° B．55° C．40° D．70°
3．如图，已知折扇骨柄长OA为30cm，折扇完全张开时∠AOB的度数为120°，此时弧AB 的长是(　　)
A．10πcm B．20πcm C．150πcm D．300πcm
4． 已知 ab>0，一次函数y= ax+b与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
5．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；弧生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢 瓜、瓠各长几何 大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的胡芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少 (注：1尺=10寸)设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，则下列方程组正确的是(　　)
A． B．
C． D．
6．如图，正方形 ABCD中， AB=3，点 E， F分别在边 AB， CD上， ∠EFD=60°.将四边形 EBCF沿 EF折叠得到四边形 EB' C' F，且点 B'恰好在 AD边上，连结 EC' ，则 EC'的长是（　　)
A．4 B． C． D．
7．如图，AB为半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD切半圆于点D，AE⊥CE于点E，交半圆于点F，已知AE=6， CE=8，则OD的长为(　　)
A． B．4 C． D．
8．如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF.若AB=6，BC=7，则△ABF的周长为(　　)
A．13 B．14 C．15 D．16
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在反比例函数0）的图象上，P是矩形OABC内的一点，连结PO，PA，PB，PC，若图中阴影部分的面积为10，则k为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
10．我们约定：在平面直角坐标系中，与轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”， 是该函数的“零点”．则下列结论正确的是（　　）
①对于反比例函数，存在实数使得该函数是零点函数；
②对于一次函数，不论为何值，该函数始终存在唯一的零点；
③若二次函数的两个零点互为相反数，则且；
④若二次函数的两个零点为，，且，则
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
二、填空题(每题3分,共18分)
11． 若点（m，n)在直线y=-2x+4上， 则代数式2m+n-1的值是　 　。
12． 如图，是五边形的4个外角，若，则　 　．
13．设 x1， x2是方程 的两个根，则
14．不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为　 　.
15． 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB，DC可分别绕点A，B转动，当AB， DC转动到∠BAE=60°， ∠ABC=45°时，点E在DC的延长线上，若AE=10cm，则AB=　 　 cm。
16．小明在数学活动课上制作了两张卡片：一张是正方形ABCD，其中点 O是正方形对角线的交点，另一张是等腰直角三角形 BPQ，且 BQ=BC=4.他将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点 B 处，然后绕着点 B 逆时针旋转三角形.当他旋转到某个角度时，发现三角形卡片的另外两个顶点 P，Q与正方形的一个顶点 D 恰好三点共线.此时 DQ的长度为　 　.
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．计算：
18．解分式方程：
19．以下是某同学计算 的部分过程：
第一步
第二步
第三步
=……
老师在批改这道题时，发现了其中的错误。
（1）上述解题过程中，从第　 　步开始出现错误；
（2）请你给出正确的解答过程并求出当a=-3时分式化简后的值.
20． 已知O是坐标原点， A， B的坐标分别为（3，0)， （2，2)。
（1）把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE，请在坐标系中作出△ODE；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形 使新图与原图的相似比为2：1；
（3）直接写出△OA1B1的面积为　 　。
21．2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）参加这次调查的学生人数为______，图①中 m的值为______；
（2）求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数；
（3）通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率．
22．在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求的度数．
23．为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
24．如图1，△ABC中，AB=AC，P为BC中点，点D在AB上（不与A，B重合），过点D作DM⊥BC，垂足为M，连结CD，过CD的中点E作EN⊥BC，垂足为N.
（1）若BC=8，当D为AB中点时，求PM的长.
（2）求的值.
（3）如图2，连结AE，过点E作EQ⊥AE交DM于点Q，连结BQ，求证：QB=QD.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在O内且点P到圆心O的距离为5，
∴r>5
故答案为：D.
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上
∴∠BAD=40°，AD=AB
∴
故答案为：D
【分析】根据旋转性质可得∠BAD=40°，AD=AB，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，弧AB的长为
故选：B.
【分析】根据弧长公式计算即可.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ab>0
①当a>0，b>0时
一次函数y= ax+b图象经过一，二，三象限，y随着x的增大而增大
反比例函数经过一，三象限，A正确，C错误
②当a<0，b<0时
一次函数y= ax+b图象经过二，三，四象限，y随着x的增大而减小
反比例函数经过二，四象限，B，D错误
故答案为：A
【分析】根据一次函数，反比例函数的图象与系数的关系分类讨论即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵1尺=10寸，
∴高9尺就是90寸，
所以
故选： D.
【分析】设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度90寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解.
6．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD，∠A=90°
∴∠EFD=∠BEF=60°
∵将四边形 EBCF沿 EF折叠得到四边形 EB' C' F，且点 B'恰好在 AD边上
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°
∴∠AB'E=90°-∠AEB'=30°
∴B'E=2AE
设BE=x，则B'E=x，AE=3-x
∴2(3-x)=x
解得：x=2
由折叠性质可得，B'E=2，B'C'=3
∴
故答案为：B
【分析】根据正方形性质可得AB∥CD，∠A=90°，则∠EFD=∠BEF=60°，根据折叠性质可得∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，再根据补角可得∠AEB'，再根据直角三角形两锐角互补可得∠AB'E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E=2AE，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，根据边之间的关系建立方程，解方程可得x，由折叠性质可得，B'E=2，B'C'=3，再根据勾股定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，
∵ AE⊥CE ， AE=6， CE=8，
∴，
∴OC=10-r，
又∵ CD切半圆于点D，
∴OD⊥CE，
∴OD∥AE，
∴△CDO∽△CEA，
∴，
即，
解得，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出AC长，然后根据切线可得OD∥AE，即可得到△CDO∽△CEA，再根据对应边成比例解答即可.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∵AB=6，BC=7，
∴△ABF的周长=AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=6+7=13，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图得到DE是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AF=CF，再根据三角形周长公式计算即可.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
∵点在反比例函数上，
∴，
由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20.
【分析】 设点的坐标为，根据矩形面积与反比例函数的几何意义得到k=ab，根据题意得到阴影部分面积为矩形面积的一半解答即可．
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数的概念；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①∵反比例函数与x轴不相交，
∴不存在零点，
∴不存在实数使得该函数是零点函数；
∴①不正确；
②∵时，，
∴一次函数的零点为；
∴②正确；
③设二次函数与x轴的两个交点为，
∵二次函数的两个零点互为相反数，
∴，
∴且互为相反数；
∴③不正确；
④∵二次函数的两个零点为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴④正确．
故选：D．
【分析】
① 双曲线与坐标轴没有交点，故结论错误；
② 一次函数始终交x轴于点，故结论正确；
③ 若抛物线存在两个零点，则关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，即，若两根互为相反数，则且，即a、c异号，由于a的符号未知，故结论错误；
④ 由题意知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，因为，则由根与系数关系知，所以，故结论正确．
11．【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可得 2m＋4＝n，
∴2m＋n＝4，
∴2m＋n 1＝4 1＝3，
故答案为：3．
【分析】将点（m，n）代入直线解析式，得到2m＋n＝4，再整体代入计算求值即可．
12．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ x1， x2是方程 的两个根
∴
∴
故答案为：-1
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，再整体代入代数式即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋子中绿球的个数为6，
球的总数为13，
所以抽到绿球的概率为，
故答案为：．
【分析】根据概率公式解答即可．
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F
∴∠AFE=∠BGE=90°
∵∠BAE=60°
∴∠AEF=90°-∠BAE=30°
∵AE=10cm
∴
∵∠ABC=45°
∴∠BEF=90°-∠ABC=45°
∴∠ABC=∠BEF=45°
∴
∴
故答案为：
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据直角三角形两锐角互余可得∠AEF，再根据含30°角的直角三角形性质可得AF，EF，根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
是等腰直角三角形，
将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形，
∴三角形BPQ可视为 绕着点B逆时针旋转得到的，
由勾股定理得：
由旋转性质得：
当点Q在线段PD上，如图1所示；
则
点Q在线段DP的延长线上，如图2所示；
综上，DQ的长为 或
故答案为：或.
【分析】分为点Q在线段PD上；点Q在线段DP的延长线上两种情况，利用正方形的性质得到△BOC是等腰直角三角形，再根据旋转的性质和勾股定理求出PD长，再根据线段的和差解答即可.
17．【答案】解：原式
=3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的定义、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可．
18．【答案】解：等式两边同时乘(x+3)(x-3)得： 2(x+3)-(x-3)=0，
解得x=-9
经检验，x=-9是分式方程的解，
∴原方程的解为x=-9.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】分式方程两边同时乘以(x+3)(x-3)，化为整式方程，求出整式方程的解并检验解答即可.
19．【答案】（1）二
（2）解：原式
当a=-3时 原式
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算化简，再将a值代入即可求出答案.
20．【答案】（1）解：见解析；如图， 把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE， △ODE即为所求；
（2）解：见解析；如图，在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1，使新图与原图的相似比为2：1， △OA1B1即为所求：
（3）12
【知识点】三角形的面积；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：（3）△OA1B1的面积为
故答案为：12
【分析】（1）根据旋转性质作图即可.
（2）根据位似图形性质即可求出答案.
（3）根据三角形面积即可求出答案.
21．【答案】（1）40人；15
（2）解：，
答：参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中两男的结果有6种，
选中两男的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）参加这次调查的学生人数为人，
∴，
，
故答案为：40人；15；
【分析】
（1）根据总人数=每天使用手机为2小时的人数10所占的百分比；根据百分比m=每天使用手机为4小时的人数调查的总人数，计算即可解答；
（2）根据圆心角度数=手机使用平均时长为4小时的百分比，计算即可解答；
（3）画出树状图得到共有12种等可能的结果，然后再根据概率公式计算即可解答．
（1）解：参加这次调查的学生人数为人，
∴，
，
故答案为：40人；15；
（2）解：，
答：参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中两男的结果有6种，
选中两男的概率为．
22．【答案】（1）证明：∵，平分，
∴，
∴∠CEF=90°，
∵，
∴∠BFD=90°，
∵∠ECF+∠CEF+∠CFE=∠BFD+∠FDB+∠FBD=180°，
∴，
在和中，
∵，
∴.
（2）证明：∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴.
（3）解：∵，
∴△BCD为等腰三角形，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得，再证，然后利用证明即可；
（2）由(1)可得，进而得出，由等腰三角形的性质得，得，即可得出结论；
（3）先说明是等腰三角形，则∠，，则，再由直角三角形的性质得的度数．
（1）∵，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴
（2）∵，平分，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
（3）∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：设购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题中的两个相等关系“3件A种农产品的费用+2件B种农产品的费用=660，4件A种农产品的费用+1件B种农产品的费用=630”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题中的两个不等关系“A种农产品的件数≤B种农产品件数的3倍，m件种农产品的费用+（40-m）件B种农产品的费用≤5400”列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的范围，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，根据总利润=m件种农产品的利润+（40-m）件B种农产品的利润可得总利润w与m之间的函数关系式，然后由一次函数的性质即可求解．
（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
24．【答案】（1）解：连结AP，如图.
因为AB=AC，P为BC中点，所以AP⊥BC.
因为DM⊥BC，D为AB中点，
所以DM∥AP，
所以BM=MP=2
（2）连结AP，由(1)知BP=PC，同理得MN=CN.
设PN=a，MP=b，
则NC=MN=a+b，BP=PC=PN+NC=2a+b，
所以BM=BP-MP=2a，
所以
（3）证明：连结AQ，延长QE至点F，使FE=QE，连结AF，CF，分别过点F，Q作FH⊥AC于点H，QI⊥AB于点I，在AH上取点G，使FG=FC.

因为AE⊥QE，
所以AQ=AF.
因为E为CD中点，
所以DE=EC，
∠DEQ=∠CEF，
所以△DEQ≌△CEF，
所以DQ=CF=FG，∠DQE=∠CFE，所以DQ∥CF.
由DM⊥BC，AB=AC，FG=FC，
所以∠ABC=∠ACB，
所以∠QDI=∠FCH=∠FGH，
所以△QDI≌△FGH，
所以QI=FH，
则Rt△QAI≌Rt△FAH，
所以∠QAI=∠FAH，
所以△QAB≌△FAC，
所以QB=FC，
所以QB=QD
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解答即可；
（2）设，表示BP长，然后根据线段的和差表示BM长，求出比值解答即可；
（3）连结AQ，延长QE至点F，使FE=QE，连结AF，CF，分别过点F，Q作FH⊥AC于点H，QI⊥AB于点I，在AH上取点G，使FG=FC.根据SAS得到△DEQ≌△CEF，即可得到DQ=CF=FG，∠DQE=∠CFE，再依次证明△QDI≌△FGH，Rt△QAI≌Rt△FAH，△QAB≌△FAC，证明结论即可．
1 / 12026年浙江省中考数学模拟试卷五
一、选择题(每题3分,共30分)
1．若⊙O内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径r可以是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在O内且点P到圆心O的距离为5，
∴r>5
故答案为：D.
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可.
2．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠B为(　　)
A．75° B．55° C．40° D．70°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上
∴∠BAD=40°，AD=AB
∴
故答案为：D
【分析】根据旋转性质可得∠BAD=40°，AD=AB，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
3．如图，已知折扇骨柄长OA为30cm，折扇完全张开时∠AOB的度数为120°，此时弧AB 的长是(　　)
A．10πcm B．20πcm C．150πcm D．300πcm
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，弧AB的长为
故选：B.
【分析】根据弧长公式计算即可.
4． 已知 ab>0，一次函数y= ax+b与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ab>0
①当a>0，b>0时
一次函数y= ax+b图象经过一，二，三象限，y随着x的增大而增大
反比例函数经过一，三象限，A正确，C错误
②当a<0，b<0时
一次函数y= ax+b图象经过二，三，四象限，y随着x的增大而减小
反比例函数经过二，四象限，B，D错误
故答案为：A
【分析】根据一次函数，反比例函数的图象与系数的关系分类讨论即可求出答案.
5．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；弧生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢 瓜、瓠各长几何 大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的胡芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少 (注：1尺=10寸)设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，则下列方程组正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： ∵1尺=10寸，
∴高9尺就是90寸，
所以
故选： D.
【分析】设两蔓相遇时瓜蔓的长度为x寸，葫芦蔓的长度为y寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度90寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解.
6．如图，正方形 ABCD中， AB=3，点 E， F分别在边 AB， CD上， ∠EFD=60°.将四边形 EBCF沿 EF折叠得到四边形 EB' C' F，且点 B'恰好在 AD边上，连结 EC' ，则 EC'的长是（　　)
A．4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD，∠A=90°
∴∠EFD=∠BEF=60°
∵将四边形 EBCF沿 EF折叠得到四边形 EB' C' F，且点 B'恰好在 AD边上
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°
∴∠AB'E=90°-∠AEB'=30°
∴B'E=2AE
设BE=x，则B'E=x，AE=3-x
∴2(3-x)=x
解得：x=2
由折叠性质可得，B'E=2，B'C'=3
∴
故答案为：B
【分析】根据正方形性质可得AB∥CD，∠A=90°，则∠EFD=∠BEF=60°，根据折叠性质可得∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，再根据补角可得∠AEB'，再根据直角三角形两锐角互补可得∠AB'E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E=2AE，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，根据边之间的关系建立方程，解方程可得x，由折叠性质可得，B'E=2，B'C'=3，再根据勾股定理即可求出答案.
7．如图，AB为半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD切半圆于点D，AE⊥CE于点E，交半圆于点F，已知AE=6， CE=8，则OD的长为(　　)
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：设圆的半径为r，
∵ AE⊥CE ， AE=6， CE=8，
∴，
∴OC=10-r，
又∵ CD切半圆于点D，
∴OD⊥CE，
∴OD∥AE，
∴△CDO∽△CEA，
∴，
即，
解得，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出AC长，然后根据切线可得OD∥AE，即可得到△CDO∽△CEA，再根据对应边成比例解答即可.
8．如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE与BC交于点F，连结AF.若AB=6，BC=7，则△ABF的周长为(　　)
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：DE是线段AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∵AB=6，BC=7，
∴△ABF的周长=AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=6+7=13，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图得到DE是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到AF=CF，再根据三角形周长公式计算即可.
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在反比例函数0）的图象上，P是矩形OABC内的一点，连结PO，PA，PB，PC，若图中阴影部分的面积为10，则k为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：设点的坐标为，
∵点在反比例函数上，
∴，
由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20.
【分析】 设点的坐标为，根据矩形面积与反比例函数的几何意义得到k=ab，根据题意得到阴影部分面积为矩形面积的一半解答即可．
10．我们约定：在平面直角坐标系中，与轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”， 是该函数的“零点”．则下列结论正确的是（　　）
①对于反比例函数，存在实数使得该函数是零点函数；
②对于一次函数，不论为何值，该函数始终存在唯一的零点；
③若二次函数的两个零点互为相反数，则且；
④若二次函数的两个零点为，，且，则
A．①② B．③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数的概念；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①∵反比例函数与x轴不相交，
∴不存在零点，
∴不存在实数使得该函数是零点函数；
∴①不正确；
②∵时，，
∴一次函数的零点为；
∴②正确；
③设二次函数与x轴的两个交点为，
∵二次函数的两个零点互为相反数，
∴，
∴且互为相反数；
∴③不正确；
④∵二次函数的两个零点为，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴④正确．
故选：D．
【分析】
① 双曲线与坐标轴没有交点，故结论错误；
② 一次函数始终交x轴于点，故结论正确；
③ 若抛物线存在两个零点，则关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，即，若两根互为相反数，则且，即a、c异号，由于a的符号未知，故结论错误；
④ 由题意知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，因为，则由根与系数关系知，所以，故结论正确．
二、填空题(每题3分,共18分)
11． 若点（m，n)在直线y=-2x+4上， 则代数式2m+n-1的值是　 　。
【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可得 2m＋4＝n，
∴2m＋n＝4，
∴2m＋n 1＝4 1＝3，
故答案为：3．
【分析】将点（m，n）代入直线解析式，得到2m＋n＝4，再整体代入计算求值即可．
12． 如图，是五边形的4个外角，若，则　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
13．设 x1， x2是方程 的两个根，则
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ x1， x2是方程 的两个根
∴
∴
故答案为：-1
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，再整体代入代数式即可求出答案.
14．不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋子中绿球的个数为6，
球的总数为13，
所以抽到绿球的概率为，
故答案为：．
【分析】根据概率公式解答即可．
15． 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB，DC可分别绕点A，B转动，当AB， DC转动到∠BAE=60°， ∠ABC=45°时，点E在DC的延长线上，若AE=10cm，则AB=　 　 cm。
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F
∴∠AFE=∠BGE=90°
∵∠BAE=60°
∴∠AEF=90°-∠BAE=30°
∵AE=10cm
∴
∵∠ABC=45°
∴∠BEF=90°-∠ABC=45°
∴∠ABC=∠BEF=45°
∴
∴
故答案为：
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据直角三角形两锐角互余可得∠AEF，再根据含30°角的直角三角形性质可得AF，EF，根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．小明在数学活动课上制作了两张卡片：一张是正方形ABCD，其中点 O是正方形对角线的交点，另一张是等腰直角三角形 BPQ，且 BQ=BC=4.他将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点 B 处，然后绕着点 B 逆时针旋转三角形.当他旋转到某个角度时，发现三角形卡片的另外两个顶点 P，Q与正方形的一个顶点 D 恰好三点共线.此时 DQ的长度为　 　.
【答案】或
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
是等腰直角三角形，
将三角形卡片的一个顶点固定在正方形的顶点B处，然后绕着点B逆时针旋转三角形，
∴三角形BPQ可视为 绕着点B逆时针旋转得到的，
由勾股定理得：
由旋转性质得：
当点Q在线段PD上，如图1所示；
则
点Q在线段DP的延长线上，如图2所示；
综上，DQ的长为 或
故答案为：或.
【分析】分为点Q在线段PD上；点Q在线段DP的延长线上两种情况，利用正方形的性质得到△BOC是等腰直角三角形，再根据旋转的性质和勾股定理求出PD长，再根据线段的和差解答即可.
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．计算：
【答案】解：原式
=3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的定义、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可．
18．解分式方程：
【答案】解：等式两边同时乘(x+3)(x-3)得： 2(x+3)-(x-3)=0，
解得x=-9
经检验，x=-9是分式方程的解，
∴原方程的解为x=-9.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】分式方程两边同时乘以(x+3)(x-3)，化为整式方程，求出整式方程的解并检验解答即可.
19．以下是某同学计算 的部分过程：
第一步
第二步
第三步
=……
老师在批改这道题时，发现了其中的错误。
（1）上述解题过程中，从第　 　步开始出现错误；
（2）请你给出正确的解答过程并求出当a=-3时分式化简后的值.
【答案】（1）二
（2）解：原式
当a=-3时 原式
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算化简，再将a值代入即可求出答案.
20． 已知O是坐标原点， A， B的坐标分别为（3，0)， （2，2)。
（1）把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE，请在坐标系中作出△ODE；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形 使新图与原图的相似比为2：1；
（3）直接写出△OA1B1的面积为　 　。
【答案】（1）解：见解析；如图， 把△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△ODE， △ODE即为所求；
（2）解：见解析；如图，在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1，使新图与原图的相似比为2：1， △OA1B1即为所求：
（3）12
【知识点】三角形的面积；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：（3）△OA1B1的面积为
故答案为：12
【分析】（1）根据旋转性质作图即可.
（2）根据位似图形性质即可求出答案.
（3）根据三角形面积即可求出答案.
21．2024年，教育部先后印发对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理的通知，简称五项管理，是教育部旨在推进立德树人，促进学生身体健康、全面发展的重大举措．成都立格实验学校高度重视并积极推进五项管理．为了解立格学子手机使用情况，学校调查了部分学生寒假每天手机使用平均时长．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）参加这次调查的学生人数为______，图①中 m的值为______；
（2）求参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数；
（3）通过调查分析发现，手机使用时长和学习成绩成负相关，为此，学校准备在参与调查的每天手机使用平均时长为1小时的四位同学（三男一女）中任选两位同学在全校做分享交流，请用列表或画树状图的方法，求选中两男的概率．
【答案】（1）40人；15
（2）解：，
答：参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中两男的结果有6种，
选中两男的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）参加这次调查的学生人数为人，
∴，
，
故答案为：40人；15；
【分析】
（1）根据总人数=每天使用手机为2小时的人数10所占的百分比；根据百分比m=每天使用手机为4小时的人数调查的总人数，计算即可解答；
（2）根据圆心角度数=手机使用平均时长为4小时的百分比，计算即可解答；
（3）画出树状图得到共有12种等可能的结果，然后再根据概率公式计算即可解答．
（1）解：参加这次调查的学生人数为人，
∴，
，
故答案为：40人；15；
（2）解：，
答：参与调查的这组学生手机使用平均时长为4小时的圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中两男的结果有6种，
选中两男的概率为．
22．在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求的度数．
【答案】（1）证明：∵，平分，
∴，
∴∠CEF=90°，
∵，
∴∠BFD=90°，
∵∠ECF+∠CEF+∠CFE=∠BFD+∠FDB+∠FBD=180°，
∴，
在和中，
∵，
∴.
（2）证明：∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴.
（3）解：∵，
∴△BCD为等腰三角形，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得，再证，然后利用证明即可；
（2）由(1)可得，进而得出，由等腰三角形的性质得，得，即可得出结论；
（3）先说明是等腰三角形，则∠，，则，再由直角三角形的性质得的度数．
（1）∵，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴
（2）∵，平分，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
（3）∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，点是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【答案】（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：设购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题中的两个相等关系“3件A种农产品的费用+2件B种农产品的费用=660，4件A种农产品的费用+1件B种农产品的费用=630”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题中的两个不等关系“A种农产品的件数≤B种农产品件数的3倍，m件种农产品的费用+（40-m）件B种农产品的费用≤5400”列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的范围，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，根据总利润=m件种农产品的利润+（40-m）件B种农产品的利润可得总利润w与m之间的函数关系式，然后由一次函数的性质即可求解．
（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
24．如图1，△ABC中，AB=AC，P为BC中点，点D在AB上（不与A，B重合），过点D作DM⊥BC，垂足为M，连结CD，过CD的中点E作EN⊥BC，垂足为N.
（1）若BC=8，当D为AB中点时，求PM的长.
（2）求的值.
（3）如图2，连结AE，过点E作EQ⊥AE交DM于点Q，连结BQ，求证：QB=QD.
【答案】（1）解：连结AP，如图.
因为AB=AC，P为BC中点，所以AP⊥BC.
因为DM⊥BC，D为AB中点，
所以DM∥AP，
所以BM=MP=2
（2）连结AP，由(1)知BP=PC，同理得MN=CN.
设PN=a，MP=b，
则NC=MN=a+b，BP=PC=PN+NC=2a+b，
所以BM=BP-MP=2a，
所以
（3）证明：连结AQ，延长QE至点F，使FE=QE，连结AF，CF，分别过点F，Q作FH⊥AC于点H，QI⊥AB于点I，在AH上取点G，使FG=FC.

因为AE⊥QE，
所以AQ=AF.
因为E为CD中点，
所以DE=EC，
∠DEQ=∠CEF，
所以△DEQ≌△CEF，
所以DQ=CF=FG，∠DQE=∠CFE，所以DQ∥CF.
由DM⊥BC，AB=AC，FG=FC，
所以∠ABC=∠ACB，
所以∠QDI=∠FCH=∠FGH，
所以△QDI≌△FGH，
所以QI=FH，
则Rt△QAI≌Rt△FAH，
所以∠QAI=∠FAH，
所以△QAB≌△FAC，
所以QB=FC，
所以QB=QD
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解答即可；
（2）设，表示BP长，然后根据线段的和差表示BM长，求出比值解答即可；
（3）连结AQ，延长QE至点F，使FE=QE，连结AF，CF，分别过点F，Q作FH⊥AC于点H，QI⊥AB于点I，在AH上取点G，使FG=FC.根据SAS得到△DEQ≌△CEF，即可得到DQ=CF=FG，∠DQE=∠CFE，再依次证明△QDI≌△FGH，Rt△QAI≌Rt△FAH，△QAB≌△FAC，证明结论即可．
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