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第2课时 平行四边形的对角线特征
北师版·八年级数学下册
复习回顾
我们学行四边形的哪些性质？
文字叙述 几何语言
边 对边平行 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC。
对边相等 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=DC。
角 对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D。
A
B
C
D
探索新知
活动1：如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起，在它们的对角线交点处钉一个图钉O，将其中一个平行四边形绕O旋转 180°，你发现了什么？
O
发现：平行四边形的对角线互相平分。
你能证明它吗
已知：如图，□ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O。
求证：OA=OC，OB=OD。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形的对边相等），
AB∥CD（平行四边形的定义）。
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO。
∴△ABO≌△CDO。
∴OA=OC，OB=OD。
A
B
C
D
O
还有其他证法吗
【知识要点】
定理 平行四边形的对角线互相平分。
A
B
C
D
O
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA = OC，OB = OD。
对应训练
1.已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点 O，OA，OB，AB 的长分别为 3，4，5，求其他各边及两条对角线的长度。
【选自教材P156】
解：如图，∵ 平行四边形的对角线互相平分，
∴OC=OA=3，OD=OB=4。
∴AC=6，BD=8。
∵AB=5，OA=3，OB=4，32+42=52，
∴△AOB为直角三角形，OB⊥OA，即 AC⊥BD。
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得AD===5，
∴BC=AD=5，CD=AB=5。
∴其他各边的长都是5，两条对角线的长分别是6，8。
对应训练
2.如图，□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE ⊥ BC，垂足为点 E。若 AB = 3，AO = 2，BC = 5，则 AE 的长为
_______。
3
4
5
S△ABC = AB·AC = BC·AE
AE = =
例2 已知：如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F。
求证：OE=OF。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO（平行四边形的对角线
互相平分），
AD∥BC（平行四边形的定义）。
∴∠ODE=∠OBF。
∵∠DOE=∠BOF，∴△DOE≌△BOF。∴OE=OF。
思考：改变直线 EF 的位置，OE=OF 还成立吗？
请判断下列图中，OE=OF 还成立么？
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
F
E
E
F
F
E
同例1易证明 OE = OF 还成立。
小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等。
你能根据平行四边形的性质判定下列涂色部分的面积的大小有怎样的关系？
S1
S2
S3
S4
△AOD≌△COB
S1=S3
△AOB≌△DOC
S2=S4
△AOB与△AOD
等底同高
S1=S2
∴S1=S2=S3=S4
小结：平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形。
对应训练
3.如图，在 □ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 为边 AD 上任意一点。若 △AOB 的面积为 6，则 △BCE 的面积为_______。
12
尝试·思考
还记得小学学过的梯形的“样子”吗？画一画，将它与平行四边形比较，并试着给出梯形的定义。
一组对边平行
一组对边不平行
两组对边分别平行
定义：一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。
平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底。
上底
下底
不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形。
腰
腰
高
尝试·交流
等腰梯形是轴对称图形吗？将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现？与同伴进行交流。
小结：等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形在同一底上的两个角相等。
对应训练
4.如图，一块梯形玻璃破损成三块，测量发现a∥b，∠1=110°，∠4=125°，求∠2和∠3的度数。
【选自教材P156】
解：∵a∥b，
∴∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°。
∴∠2=180°－∠1=180°－110°=70°，
∠3=180°－∠4=180°－125°=55°。
当堂练习
1.如图，在 □ABCD 中，全等三角形共有（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
C
2.如图，在 □ABCD 中，AD=3，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC+BD=10，则 △BOC 的周长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
D
3.如图，在梯形 ABCD 中，BC∥AD，AB=BC=CD=AD，点 A 与原点重合，点 D(4, 0) 在 x 轴上，则点 C 的坐标是（ ）
A.(3, 2) B.(3, ) C.(, 2) D.(2, 3)
B
4.如图，在□ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的直线交AD的延长线于点E，交CB的延长线于点F，求证：DE=BF。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC。
∴∠EAO=∠FCO。
∵O为AC的中点，∴OA=OC。
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)。∴AE=CF。
∴AE－AD=CF－BC，即DE=BF。
课堂小结
平行四边形
性质
边：平行四边形的两组对边分别平行，平行四边形的对边相等。
角：平行四边形的对角相等。
对角线：平行四边形的对角线互相平分。
梯形
定义
一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。
性质
等腰梯形是轴对称图形；等腰梯形在同一底上的两个角相等。
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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