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2 平行四边形的判定
第1课时 利用边判定平行四边形
北师版·八年级数学下册
复习回顾
平行四边形的性质
边 对边平行
对边相等
角 对角相等
邻角互补
对角线 对角线互相平分
对称性 中心对称图形
A
B
C
D
O
探索新知
如图，要画出一个以线段AB，AD为邻边，以∠BAD为一个内角的□ABCD，你有哪些画法？与同伴进行交流。
A
B
D
我根据定义来画。
C
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
除了定义外，是否还存在其他的判定方法呢？
活动1：用两根长 30 cm 的木条和两根长 20 cm 的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？
20cm
30cm
猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
A
B
C
D
证明：如图，连接BD。
1
4
2
3
在△ABD和△CDB中，
∵ AB=CD，AD=CB，BD=DB，
∴△ABD≌△CDB。
∴∠1=∠2，∠3=∠4。
∴AB∥CD，AD∥CB。
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）。
【知识要点】
定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
A
B
C
D
几何语言：
∵ AB=CD，AD=BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
对应训练
1.如图，AC=BD，AB=CD=EF，CE=DF。图中有哪些互相平行的线段？请说明理由。
A
C
B
D
E
F
【选自教材P161】
解：AC∥BD，CE∥DF，AB∥CD∥EF。
理由如下:
∵AC=BD，AB=CD=EF，CE=DF，
∴四边形 ABDC 与四边形 CDFE 都是平行四边形。
∴AC∥BD，CE∥DF，AB∥CD∥EF。
活动2：取两根长度相等的细木条，你能将它们摆放在一张纸上，使得这两根细木条的四个端点恰好是一个平行四边形的四个顶点吗？
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
已知：如图，在四边形ABCD中，AB CD。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
A
B
C
D
证明：如图，连接AC。
∵ AB∥CD，
∴∠BAC = ∠DCA。
又∵AB = CD，AC = CA，
∴△ABC≌△CDA，
∴BC = DA。
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
【知识要点】
定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
A
B
C
D
几何语言：
∵ AB=CD，AB∥CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
例1 已知：如图，在 □ABCD 中，E，F 分别为 AD 和 CB 的中点。
求证：四边形 BFDE 是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB（平行四边形的对边相等），
AD∥CB（平行四边形的定义）。
∵E，F分别为AD和CB的中点，
∴ED=AD，FB=CB。
∴ED=FB，ED∥FB。
∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
对应训练
2.如图，线段AD是由线段BC经过平移得到的，分别连接AB，CD，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。
【选自教材P161】
A
B
C
D
解：四边形ABCD是平行四边形。
理由如下：
由平移的特性，知BC=AD，BC∥AD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
对应训练
3. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在直线 AD 的两侧，AE = DF，∠A = ∠D，AB = DC。求证：四边形 BFCE 是平行四边形。
证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即 AC=BD。
在△ACE和△DBF 中，
∵AC=BD ，∠A=∠D， AE=DF，
∴△ACE≌△DBF(SAS)。
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF。
∴ CE∥BF，∴四边形 BFCE 是平行四边形。
当堂练习
1.下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AD∥BC B. AB=CD，AD=BC
C. AB∥CD，AD=BC D. AB∥CD，AB=CD
C
2.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD。若∠D=120°，则∠C的度数为（ ）
A.60° B.70°
C.80° D.90°
D
A
B
C
A
3.如图，△ABC≌△A′B′C′，点B，C′，C，B′在同一直线上，且B与B′不重合，则以点A，B，A′，B′为顶点的四边形一定是_____________。
平行四边形
4.如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，已知 AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，连接 AD。
求证：四边形ABED是平行四边形。
证明：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F。
∵BE=CF，∴ BE+CE=CF+CE，
∴BC=EF。
∴△ABC≌△DEF(ASA)，
∴AB=DE。
又∵AB∥DE，
∴ 四边形 ABED 是平行四边形。
5.如图，分别以△ABC的三边为边在BC同侧作等边三角形ABD、等边三角形ACF、等边三角形BCE，连接DE，EF。求证：四边形ADEF为平行四边形。
证明：∵ △ABD，△ACF，△BCE都是等边三角形，
∴AB=DB=DA，AC=FC=FA，BC=EC=BE，
∠BCE=∠ACF=∠CBE=∠ABD=60°。
∴∠BCE－∠ACE=∠ACF－∠ACE，即∠BCA=∠ECF；
∠CBE－∠ABE=∠ABD－∠ABE，即∠CBA=∠EBD。
∴△BCA≌△ECF(SAS)，△BCA≌△BED(SAS)。
∴AB=FE，AC=DE。∴AD=EF，AF=DE。
∴ 四边形ADEF为平行四边形。
课堂小结
平行四边形的判定方法：
定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
A
B
C
D
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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