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第2课时 利用对角线判定平行四边形
北师版·八年级数学下册
复习回顾
平行四边形的 判定方法 几何语言 图示
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形
定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AB=CD，AD=BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形
定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AB∥CD，AB=CD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
探索新知
活动：如图，将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD。
A
C
B
D
想一想：△AOB≌△COD 吗？四边形 ABCD 的对边之间有什么关系？你得到什么结论？
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA=OC，OB=OD。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
A
B
C
D
O
证明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB。
∴AD=CB，∠ADO=∠CBO。∴ AD∥CB。
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【知识要点】
定理 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
A
B
C
D
几何语言：
∵ OA=OC，OB=OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
O
证明：如图所示，连接BD，交AC于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
（平行四边形的对角线互相平分）。
∵AE=CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE=OF。
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
例2 已知：如图，在 □ABCD 中，E，F 分别为 AD 和 CB 的中点。
求证：四边形 BFDE 是平行四边形。
A
B
C
D
O
E
F
对应训练
1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别是OA和OC的中点，四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由。
【选自教材P163】
D
A
B
C
O
E
F
解：四边形 BFDE 是平行四边形。理由如下:
在 □ABCD 中，AC，BD 互相平分，∴OA=OC，OB=OD。
∵E，F分别是 OA，OC 的中点，
∴OE=OA，OF=OC。∴OE=OF。
又∵OB=OD，∴ 四边形 BFDE 是平行四边形。
思考：我们知道平行四边形的对角相等，那么反过来，对角相等的四边形是平行四边形吗？请你试着证明。
A
B
C
D
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
A
B
C
D
证明：∵∠A =∠C，∠B =∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴∠A+∠B=180°，∴AD∥CB。
同理可得：AB∥CD。
∴四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形的定义）。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
思考·交流
比较平行四边形的性质定理和判定定理，它们有怎样的关系？
平行四边形的性质 平行四边形的判定
定理：平行四边形的对边相等。 定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
定理：平行四边形的对角相等。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
定理：平行四边形的对角线互相平分 定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形的性质定理与判定定理是互为逆命题的真命题。
平行四边形判定方法的选择：
已知条件 证明思路
边 一组对边相等 ①证明另一组对边相等
②证明该组对边平行
一组对边平行 ①证明另一组对边平行
②证明该组对边相等
对角线 对角线相交 证明对角线互相平分
当堂练习
1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A.对角线互相平分 B.一组对角相等
C.一组对边相等 D.对角线互相垂直
2.四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形（ ）
A. OA=OC，OB=OD B. ∠BAD=∠BCD，AB∥CD
C. AD∥BC，AD=BC D. AB=CD，AO=CO
A
D
3.若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB=OD，AC=14 cm，则当OA=______ cm时，四边形ABCD是平行四边形。
7
4.如图，在直角坐标系中，有点A(－2, 0)，B(2, 0)，C(0, 1)，另在x轴下方有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，
则点D的坐标是________。
(0, －1)
5.如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB。求证：CD=AF。
证明：∵FC∥AB，
∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC。
又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE=EF。
∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形。
∴CD=AF。
6.如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作两条直线分别与AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四点。
求证：四边形EGFH是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥CB。
∴∠OAE=∠OCF。
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF。
同理可得：OG=OH。
∴四边形EGFH为平行四边形。
课堂小结
平行四边形的判定方法 定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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