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第3课时 平行四边形性质与判定的综合应用
北师版·八年级数学下册
新课导入
如图，在笔直的铁轨下，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴进行交流。
实际问题
几何问题
1
2
a
b
A
B
C
D
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1=∠2=90°。
∴AC∥BD。
∵AB∥CD，
∴四边形 ACDB 是平行四边形（平行四边形的定义）。
∴AC=BD（平行四边形的对边相等）。
探索新知
例3 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D。
求证：AC=BD。
1
2
a
b
A
B
C
D
1
2
a
b
A
B
C
D
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等（如图，AC=BD）。
这个距离称为平行线之间的距离。
【知识要点】
简记为：两条平行线间的距离处处相等。
思考1：两条平行线之间的距离和两点间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
两点间的距离
连接两点的线段的长度
A
B
点到直线的距离
点到直线的垂线段的长度
a
A
两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度
b
A
B
a
联系：都是指某一条线段的长度。
对应训练
1.如图，直线 a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，垂足分别为 E，G，则下列说法中错误的是（ ）
A. AB=CD
B. CE=FG
C. A，B 两点之间的距离就是线段 AB 的长
D. 直线 a，b 之间的距离就是线段 CD 的长
D
对应训练
2.如图，直线 l1∥l2，△ABC 的面积为10，则 △DBC 的面积（ ）
A.大于10 B.小于10 C.等于 10 D.不确定
C
思考2：夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？为什么？画一画，想一想。
由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知其围成的封闭图形为平行四边形，所以夹在两条平行线间的平行线段都相等。
尝试·交流
每人准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并与同伴讨论各自画图的正确性。
提示：根据平行四边形的定义和平行四边形的判定定理作图。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC（平行四边形的定义）。
∴∠MDF=∠NBE。
∵DM=BN，DF=BE，∴△MDF≌△NBE。
∴MF=NE，∠MFD=∠NEB。∴∠MFE=∠NEF。
∴MF∥NE。
∴四边形MENF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
例4 已知：如图，在 □ABCD 中，点 M，N 分别在边 AD 和 BC 上，点 E，F 在对角线 BD 上，且 DM=BN，DF=BE。
求证：四边形 MENF 是平行四边形。
A
B
C
D
N
M
E
F
解：在□ABCD 中，∵AB∥CD，
∴ ∠ABC+∠C=180°。
∵∠ABC=70°，
∴∠C=180°－∠ABC=110°。
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=35°。
∵DF∥BE，∴∠CFD=∠CBE=35°。
∴∠CDF=180°－∠C－∠CFD=180°－110°－35°=35°。
对应训练
3.如图，在□ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数。
【选自教材P165】
A
B
C
D
E
F
当堂练习
1.在同一平面内，直线 a∥c，且直线 a 到直线 c 的距离是 2；直线 b∥c，直线 b 到直线 c 的距离为5，则直线 a 到直线 b 的距离为（ ）
A. 3 B. 7 C. 3或7 D.无法确定
C
2.如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形（不包括 △ABD）有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
3.如图，在△ABC中，AB=AC=15，D在BC边上，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是_________。
30
4.如图所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，在 AB 的延长线上截取 BE=AB，BF=BD，连接 CE，DF，相交于点 M。求证：CD=CM。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC， AB=DC。
又∵BE=AB，
∴BE∥DC，BE=DC。
∴四边形BDCE是平行四边形。
∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F。
同理，∠BDM=∠DMC。
∵BD=BF，∴∠BDF=∠F。
∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM。
5.如图，在 △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC，△ABC 的顶点在相互平行的三条直线 l1，l2，l3 上，且 l1 与 l2 之间的距离为 2，l2 与 l3 之间的距离为 3，求 AC 的长。
A
C
B
l1
l2
l3
解：如图，过A，C两点分别作 AD⊥l3 于点D，CE⊥l3于点E，
∴∠ADB=∠BEC=90°∴∠DAB+∠ABD=90°。
∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠EBC=90°，
∴∠DAB=∠EBC。
又∵∠ADB=∠BEC=90°，AB=BC，
∴△DBA≌△ECB(AAS)，∴BD=CE=2+3=5。
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，AD=3，
∴AB2=AD2+DB2=32+52=34。
∴BC2=AB2=34。
在 Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，
∴AC== =2。
A
C
B
l1
l2
l3
D
E
课堂小结
平行四边形
性质
判定
夹在两条平行线间的线段处处相等
五种判定方法
对边平行，对边相等，对角相等
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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