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3 三角形的中位线
北师版·八年级数学下册
新课导入
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的大小和形状都相同，怎么设计合理的解决方案呢？
探索新知
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？
A
B
C
连接每两边的中点，看看得到了什么样的图形？
D
E
F
4个全等的三角形
【知识要点】
A
B
C
D
E
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。
两层含义：
① 如果 D、E 分别为 AB、AC 的中点，那么 DE 为△ABC 的中位线；
② 如果 DE 为 △ABC 的中位线，那么 D、E 分别为 AB、AC 的中点。
问题1：一个三角形有几条中位线？你能在 △ABC 中画出它所有的中位线吗？
A
B
C
D
E
F
有三条。如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF。
问题2：如图，将 △ADE 绕点 E 按顺时针方向旋转180°到 △CFE 的位置，这样就得到了一个与 △ABC 面积相等的□DBCM。
A
B
C
D
E
F
M
你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？
DE和边BC的关系
位置关系：平行
数量关系：DE=BC
能证明你的猜想吗
已知：如图，DE 是 △ABC 的中位线。
求证：DE∥BC，DE=BC。
A
B
C
D
E
平行
角相等
平行四边形
倍长短线
全等
一条线段是另一条线段的一半
线段相等
分析：
证明：如图，延长DE至F，使FE=DE，连接CF。
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE，
∴△ADE≌△CFE。
∴∠A=∠ECF，AD=CF。
∴CF∥AB。
∵BD=AD，
∴CF=BD。
∴四边形DBCF是平行四边形。∴DF∥BC，DF=BC。
∴DE∥BC，DE=BC。
A
B
C
D
E
F
1
2
【知识要点】
三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
A
B
C
D
E
几何语言：
∵ DE 为 △ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，且DE=BC。
问题3：三角形的中位线与中线一样吗？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
中位线
中线
相同点：都是与中点有关的线段。
不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段。
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段。
思考：如图，如何做辅助线，将△ABC分成4块面积相等的部分？
方法一：中位线法
方法二：中线法
对应训练
1.已知三角形的各边长分别为8 cm，10 cm和12 cm，求以各边中点为顶点的三角形的周长。
【选自教材P173】
解：由三角形中位线定理可知，以三角形的各边中点为顶点的三角形的各边长分别是4 cm，5 cm和6 cm，所以其周长为4+5+6=15(cm)。
对应训练
2.如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长，由此他就知道了A，B间的距离。请解释其中的道理。
【选自教材P173】
解：∵M，N分别为AC，BC的中点，
∴根据三角形中位线定理，AB=2MN。
例 如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AB的中点，∠ADB=90°，AC=6，OE=1。求AD和BD的长度。
C
D
A
B
O
E
证明：∵□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴OA=OC，OD=OB（平行四边形的对角线互相平分）。
∵E 为 AB 的中点，
∴OE 是 △ADB 的中位线（三角形的中位线的定义）。
∴AD=2OE=2（三角形中位线定理）。
例 如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AB的中点，∠ADB=90°，AC=6，OE=1。求AD和BD的长度。
∵AC=6，OA=OC，∴OA= AC= ×6=3。
在Rt△ADO中，由勾股定理可得OD===。∴BD=2OD=2。
C
D
A
B
O
E
思考：如图，任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流。
证明：如图，连接AC。
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，HG∥AC，HG= AC。
∴EF∥HG，EF=HG。
∴四边形EFGH为平行四边形。
对应训练
3.如图，在 □ABCD 中，M 为边 AD 上的一点，AM=2DM，E、F 分别是 BM、CM 的中点。若 EF=6，则 AM 的长为______。
8
当堂练习
1.如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，若AB=10cm，AC=8cm，BC=12cm，则EF=_____，DF=_____，DE=_____，△DEF的周长为______。
5
4
6
15
2.如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC，交CD于E，若OE=3cm，则AD的长为（ ）
A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm
B
3.如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF。求证：AB=2OF。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB CD，AD=BC。
∵CE=CD，∴AB CE，
∴四边形ABEC为平行四边形。
∴BF=FC，∴OF AB，即AB=2OF。
4.如图所示，在□ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MN∥AD且MN=AD。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC。
又∵EF∥AB，∴EF∥CD。
∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形。
又∵M，N分别为□ABEF和□ECDF对角线的交点。
∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线。
∴MN∥AD且MN=AD。
课堂小结
三角形中位线
定义
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线
定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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