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章末复习
北师版·八年级数学下册
知识结构
平行四边形
梯形
等腰梯形
定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形
性质
判定
应用
两条平行线之间的距离
中位线
一组对边平行，另一组对边不平行
两腰相等
知识回顾
平行四边形的性质
边 对边平行
对边相等
角 对角相等
邻角互补
对角线 对角线互相平分
对称性 中心对称图形
A
B
C
D
O
考点一：平行四边形的性质
1.如图，在□ABCD和□DCEF中，AD=DE，且∠BAD=65°，∠F=105°，则∠DAE的度数为______。
20°
考点一：平行四边形的性质
2.如图，在□ABCD中，E为BC的中点，过点E作EF⊥AB 于点 F，延长DC交FE的延长线于 G，连接DF，已知∠FDG=45°。
（1）求证：DG=FG；
证明：∵EF⊥AB，∴ ∠GFB=90°。
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDG =45°，
∴∠DFG=180°－∠GFB－∠AFD=45°。 ∴DG=FG。
解：由（1）得∠FDG=∠DFG=45°，∴ ∠G=90°。
在 Rt△GDF 中，DG2+GF2=DF2。
∵DF=8，∴易得 DG=GF=8。
∵E 为 BC 的中点，BC=10，
∴CE=BE=BC=5。
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD∥AB，∴∠GCE=∠FBE。
又∵∠CEG=∠BEF，∴△ECG≌△EBF(ASA)，
∴GE=FE=GF=4。在Rt△CGE 中，CG==3，
∴CD=DG－CG=8－3=5。
（2）已知BC=10，DF=8，求CD的长。
平行四边形的 判定方法 几何语言 图示
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形
定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AB=CD，AD=BC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形
定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AB∥CD，AB=CD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形
定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA∥OC，OB=OD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
O
平行四边形判定方法的选择：
已知条件 证明思路
边 一组对边相等 ①证明另一组对边相等
②证明该组对边平行
一组对边平行 ①证明另一组对边平行
②证明该组对边相等
对角线 对角线相交 证明对角线互相平分
考点二：平行四边形的判定
3.如图，点E、F是□ABCD对角线上两点，在条件：①DE=BF；②∠ADE=∠CBF；③AF=CE；④∠AEB=∠CFD 中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（ ）
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
D
考点二：平行四边形的判定
4.如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED是平行四边形。
证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF。
又∵∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE。
∵∠B=∠DEF，
∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形。
5.如图，AB=CD，AD=BC，E，F 是BD上的两点，且 AE∥CF。若∠AED =80°，∠ADB=30°，则∠BCF的度数为______。
70°
考点三：平行四边形性质和判定的综合应用
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠ADC，
∴∠BAE=∠DCG。
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ABE=∠ABC，∠CDG=∠ADC，∴∠ABE=∠CDG，
∴△ABE≌△CDG(ASA)，∴BE=DG，∠AEB=∠CGD，
∴ BE∥DG，∴ 四边形BGDE是平行四边形。
考点三：平行四边形性质和判定的综合应用
6.如图，在□ABCD中，BE，DG 分别平分∠ABC，∠ADC，交 AC 于点 E，G。
（1）求证：四边形 BGDE 是平行四边形；
A
D
B
C
E
G
F
解：如图，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H。
∵BE 平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EH=EF=3。
∵AB=CD，AD=CB，且□ABCD的周长为28，
∴2AB+2CB=28，∴AB+CB=14，
∴S△ABC=S△ABE+S△CBE=AB·EF+CB·EH
=×3(AB+CB)=×3×14=21，
∴S△CDA=S△ABC=21，∴S□ABCD=S△CDA+S△ABC=21+21=42。
（2）过点E作 EF⊥AB 于点 F，若□ABCD 的周长为28，EF=3，求□ABCD 的面积。
A
D
B
C
E
G
F
H
A
B
C
D
E
三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
几何语言：
∵ DE 为 △ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，且DE=BC。
考点四：三角形的中位线
7.如图， 在 □ABCD 中，AB=8，对角线 AC，BD 交于点 O，P是 AB 的中点，连接 DP，E 是 DP 的中点，连接 OE，则 OE 的长是______。
2
考点四：三角形的中位线
8.如图，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，连接 BD，EF。
（1）若 AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求 EF 的长；
（2）若∠BDC－∠ABD=90°，求证：AB2+CD2=4EF2。
A
D
B
C
E
F
∴PE∥AB，且PE=AB=3，PF∥CD，且PF=CD=4。
又∵∠ABD=30°，∠BDC=120°，
∴∠EPD=∠ABD=30°，∠DPF =180°－∠BDC=60°，
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°。
在Rt△EPF 中，由勾股定理，得 EF==5。
A
D
B
C
E
F
P
（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E，F 分别是 AD，BC 的中点，AB=6，CD=8，
∴PE，PF 分别是△ADB，△BCD 的中位线，
A
D
B
C
E
F
P
（2）证明：∵E，F分别是AD，BC的中点，∴PE，PF分别是△ABD和△BCD的中位线，∴PE∥AB，且PE=AB，PF∥CD，且 PF=CD，
∴∠EPD=∠ABD，∠DPF=180°－∠BDC。
∵∠BDC－∠ABD=90°，∴ ∠BDC=90°+∠ABD，
∴∠EPF =∠EPD+∠DPF
=∠ABD +180°－∠BDC=∠ABD+180°－(90°+∠ABD)=90°，
∴PE2+PF2=(AB)2+(CD)2=EF2，∴AB2+CD2=4EF2。
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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