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1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边角特征
北师版·八年级数学下册
这些都是日常生活中常见的情形，它们是否都具有相似的特征？
这些都是什么形状？
新课导入
生活中的平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
A
B
C
D
如图，记作“□ABCD”，
读作“平行四边形ABCD”。
几何语言：
∵AB∥DC，AD∥BC（已知），
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）。
探索新知
平行四边形的有关概念：
1.平行四边形中相对的边称为对边（AB与DC，AD与BC），相对的角称为对角（∠A与∠C，∠D与∠B）。
2.平行四边形中相邻的边称为邻边，相邻的角称为邻角。
3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线。如图：AC、BD。
A
B
C
D
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
思考：根据三角形的学习经验，你认为对平行四边形应研究哪些内容？
思考·交流
（1）平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗？
（2）你还发现平行四边形有哪些性质？与同伴进行交流。
活动1：如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起，在它们的对角线交点处钉一个图钉O，将其中一个平行四边形绕O旋转 180°，你发现了什么？
O
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
活动2：将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来。
你发现了什么？
平行四边形的对边相等、对角相等。
请你尝试证明！
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形。
求证：AB=CD，BC=DA。
A
B
C
D
分析：要证明两条线段相等，你常用什么方法？在平行四边形中能直接使用这种方法吗？你能构造出可以使用这种方法的图形吗？
四边形问题
三角形问题
转化
A
B
C
D
1
3
4
2
证明：如图，连接AC。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， BC∥DA
（平行四边形的定义）。
∴∠1=∠2，∠3=∠4。
∵AC=CA，
∴△ABC≌△CDA。
∴AB=CD，BC=DA。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， BC∥DA
（平行四边形的定义）。
∴∠A+∠B =180°，∠B+∠C =180°。
∴∠A =∠C。
同理可得： ∠B =∠D。
试一试
请你证明：平行四边形的对角相等。
A
B
C
D
【知识要点】
A
B
C
D
定理 平行四边形的对边相等。
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD = BC，AB = DC。
定理 平行四边形的对角相等。
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，∠B =∠D。
对应训练
1.已知平行四边形一个内角的度数，能确定其他内角的度数吗？请说明理由。
【选自教材P155】
解：能，因为平行四边形对角相等，相邻两角和为180°，所以已知一个内角的度数能确定其他内角的度数。
对应训练
2.如图，四边形ABCD是平行四边形。求：
（1）∠ADC和∠BCD的度数；
（2）AB和BC的长度。
【选自教材P155】
解:（1）在□ABCD中，∠ADC=∠ABC=56°，AB∥CD，
∴ ∠BCD=180°－∠ABC=124°。
（2）∵ 平行四边形的对边相等，
∴ AB=CD=25，BC=AD=30。
例1 已知：如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF。
求证：BE=DF。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形的对边相等），AB∥CD（平行四边形的定义）。
∴∠BAE=∠DCF。
又∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF。
∴BE=DF。
对应训练
3.如图，在□ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，EF，BD交于点O，且OB=OD。求证：AE=CF。
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO。
又∵OD=OB，∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF(ASA)，
∴DE=BF，∴ DE－AD=BF－BC，即AE=CF。
当堂练习
1.如图，□ABCD的对角线的交点在原点。若A(－1, 2)，则点C的坐标是（ ）
A.(2, －1) B.(－2, 1)
C.(1, －2) D.(－1, －2)
C
2.如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的度数是（ ）
A. 61° B. 109°
C. 119° D. 122°
C
3.如图，在□ABCD中，若∠B=60°，AB=6，BC=10，AE⊥CD于点E，则CE的长度为______。
1
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，P，Q是对角线BD上的两个点，且BP=DQ。求证：
AP∥QC，AP=QC。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC。
∴∠ABP=∠CDQ。
∵BP=DQ，∴△ABP≌△CDQ(SAS)。
∴∠APB=∠CQD，AP=QC。
∴∠APQ=180°－∠APB=180°－∠DQC=∠CQP。
∴AP∥QC。
课堂小结
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
对称性
中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
性质
边：平行四边形的两组对边分别平行，平行四边形的对边相等。
角：平行四边形的对角相等。
A
B
C
D
O
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。

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