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(共5张PPT)
习题6.3
北师版八年级数学下册
1.
〉知识技能
已知：在 △ABC 中，D，E，F 分别是边 BC，CA， AB 的中点。
求证：四边形 AFDE 的周长等于AB + AC。
∴ C四边形AFDE = AF+DF+DE +AE=AF+EC +BF +AE= AB+AC 。
证明：由题意得 DF，DE 是 △ABC 的中位线，
∴ DF = AC = CE，DE = AB = BF。
A
B
C
D
E
F
2.
求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
已知：如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC的中点。
求证：AD 与 EF 互相平分。
证明：如图，连接 DE，DF。
∵ D，E，F 分别为 BC，AB，AC的中点，
∴ DE，DF 是△ABC的中位线。∴ DE // AF，DF // AE。
∴ 四边形 AEDF 是平行四边形。 ∴ AD，EF互相平分。
3.
如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H 分别是 AB，CD，AC，BD 的中点。四边形 EGFH 是平行四边形吗？请证明你的结论。
> 数学理解
证明：由题意得 FG 和 EH 分别是△ACD和△ABD的中位线，
解：四边形 EGFH 是平行四边形。
∴ FG//AD，FG= AD，EH//AD，EH= AD。
∴ FG//EH，FG = EH。
∴ 四边形 EGFH 是平行四边形。
4.
在本节随堂练习第 2 题中，如果 M，N 两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？请说明理由。
> 问题解决
解：如图，找一点 O，步测 OA 并延长 AO 至点 D，使OA=OD。同理使 OB = OC。
∵ ∠AOB = ∠COD ，
∴ △AOB≌△DOC (SAS)， ∴ AB = DC。
∴ 步测出 CD 的长即为 A，B 间的距离。(共12张PPT)
习题6.1
北师版八年级数学下册
1.
〉知识技能
如图，小明用四根木条钉成一个□ ABCD木框，推动 AB 得到□ A'BCD'。已知∠ABA' = 15°，∠A'=140°，求 ∠ABC的度数。
解：∵四边形A'BCD'是平行四边形，∴ A'D'//BC。
∴ ∠A'+∠A'BC = 180° 。
∴ ∠A′BC = 180°－ ∠A' = 180°－ 140°= 40°。
∴ ∠ABC = ∠ABA' + ∠A'BC = 15°+ 40°= 55°
2.
如图，在□ABCD中，∠ADC=125°，∠CAD=21°，求 ∠ ABC和 ∠ CAB的度数。
解:在 ABCD中，∠ABC=∠ADC=125°，AD//BC，
∴ ∠ACB = ∠CAD = 21°。
∴ ∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=180°-125°-21°= 34°。
3.
已知：如图，在□ABCD中，E，F分别是 BC 和 AD上的点，且 BE = DF。
求证：△ABE≌△CDF。
解：在□ABCD中， ∠B = ∠D，AB = DC。
又∵BE = DF，∴ △ABE ≌△CDF(SAS)。
4.
一个平行四边形场地的周长是 50 m ，其中一边长 16m，求其他三边的长度。
解：设与长为 16m 的边长相邻的另一边长为 x m。
根据平行四边形的性质有 (16+x)×2=50，解得 x = 9。
所以，其他三边的长度分别为 9m，16m，9m。
5.
如图 (单位：cm)，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，求 OB 的长度及□ABCD的面积。
解：在Rt△ABD中, AD=8，AB=10，
∵ 平行四边形的对角线互相平分，
∴
∴ OB= BD = 3，S□ABCD = AD·BD = 8×6 = 48 。
6.
已知：如图，点 O 为□ABCD的对角线 BD 的中点，经过点 O 的直线分别交 BA 的延长线、DC 的延长线、边 AD、边 BC 于点 E，F，G，H。
> 数学理解
(1) 求证：AE = CF。
(2) 你还能找到哪些相等的线段？
请说明理由。
解: (1)证明：在□ABCD中，OB=OD，AB CD，
则∠EBO = ∠FDO。
∵ ∠EOB = ∠FOD，
∴△EBO≌△FDO(ASA)。
∴ BE = DF，即 AB+AE = CD+CF。 ∴ AE = CF。
(2)解: AG=CH，EG=FH，OG=OH，OE=OF等。
7.
如图，四边形ABCD是平行四边形，若直线 m 经过点 B，D，则它将□ABCD分成形状、大小完全相同的两部分。请再画出一些具有这样作用的直线。这样的直线有什么共同特征？请用所学知识解释你的发现。
> 解决问题
解：如图所示。
所有的直线都相交于同一点，该点为□ABCD对角线的交点。经过平行四边形中心（对角线交点）的直线将这个四边形分成两个部分，这两个部分可以通过绕对角线交点旋转180°而相互得到。这是平行四边形的中心对称性的体现。
8.
已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC。求证：∠B=C。
证明: 过点 D 作 DE//AB 交 BC 于点 E ，
∵ AD//BC，∴ 四边形 ABED 为平行四边形。
∴ AB = DE。
又∵ AB=DC，∴ DE = DC，∴ ∠DEC = ∠C，∠B = ∠C。
∴ ∠DEC=∠B。
E(共27张PPT)
习题6.2
北师版八年级数学下册
1.
〉知识技能
如图，AC//DE，点 B 在 AC 上，且 AB = DE = BC。找出图中的平行四边形，并说明理由。
解：四边形 ABDE，BCDE 都是平行四边形，理由如下：
∵ AB DE，∴ 四边形 ABDE 是平行四边形。
∴ BC DE，∴ 四边形 BCDE 为平行四边形。
2.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠B= ∠D，∠1=∠2。
求证：四边形 ABCD 是平行四边形。
证明: ∵ ∠1=∠2，∴ AB//CD。 ∴ ∠B+∠BCD = 180°。
∵ ∠B=∠D，∴ ∠BCD+∠D=180°。 ∴ BC//AD。
∵ AB//CD，BC//AD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。
3.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥ CD，∠B=∠D。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明: ∵ AB//CD。 ∴ ∠B+∠BCD = 180°。
∵ ∠B=∠D，∴ ∠BCD+∠D=180°。 ∴ BC//AD。
∵ AB//CD，BC//AD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。
4.
已知：如图，在□ABCD中，E，F分别是 AB 和 CD上的点，AE = CF，M，N 分别是 DE 和 BF 的中点。
求证：四边形 ENFM 是平行四边形。
∴四边形 ENFM 是平行四边形。
证明: ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB CD。
又∵ AE=CF，DF=CD-CF，BE=AB-AE，∴ BE DF。
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形。 ∴ DE BF。
∵ M, N分别是DE，BF的中点， ∴ EM FN 。
5.
已知：如图，在□ABCD中，E，F 分别是边 CD 和 AB 上的点，AE//CF，BE 交 CF 于点 H，DF 交 AE 于点 G。求证：EG = FH。
∵ FD // BE， AE // FC，
证明: ∵□ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD，AB CD。
∵ AE//CF，∴四边形 AFCE 是平行四边形。
∴ AF = CE。 ∴ BF = AB-AF = CD-CE = DE。
∵ BF//DE，∴四边形 BFDE 是平行四边形。∴ FD//BE 。
∴ 四边形 FHEG 是平行四边形。 ∴ EG = FH。
6.
小明是这样画平行四边形的，如图，将三角尺 ABC的一边 AC 贴着直尺推移到 A1B1C1 的位置，这时四边形 ABB1A1 就是平行四边形。请解释小明这样做的道理。
> 数学理解
解：小明的操作是一个平移的过程，因为平移前后对应点的连线平行且相等，即AA1 BB1，所以四边形ABB1A1 就是平行四边形。
7.
如图，□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点E，F分别在 OB 和 OD 上。请你添加适当的条件，使四边形 AECF 是平行四边形，并说明理由。
∴ 四边形 AECF 是平行四边形。
解：（答案不唯一）补充条件为 BE = DF。理由如下：
在□ABCD中，∵ OA = OC, OB = OD, OE = OB-BE,
OF = OD-DF，BE = DF，
∴ OE=OF，即 AC 与 EF 互相平分。
8.
如图，为了检验一块木板相对的两个边缘是否平行，木工师傅常常把两把曲尺的一边紧靠木板一个边缘，再看木板另一个边缘对应曲尺上的刻度是否相等，如果刻度相等，那么木工师傅就判断木板相对的两个边缘平行。请解释木工师傅这样做的道理。
解：从操作过程可以说明，夹于两把曲尺中间的那个四边形是平行四边形（一组对边平行且相等），因而木板相对的两个边缘平行。
9.
如图，4×4 方格纸中小正方形的边长为 1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点 C，使得△ABC 的面积为 2。满足条件的点 C 有几个
解：6个，如图。
10.
求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
> 问题解决
∴ 2∠A + 2∠B = 2∠B + 2∠C = 360° ，
已知：如图，在四边形 ABCD 中，
∠A = ∠C，∠B = ∠D。
求证：四边形 ABCD 是平行四边形。
证明: ∵ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴ ∠A + ∠B = ∠B + ∠C = 180° 。
∴ AD//BC，AB//CD，四边形 ABCD 是平行四边形。
11.
一张平行四边形纸片 ABCD，AD > AB。
(1)
(2)
你还有哪些方法能折出一个平行四边形？选择其中一种，说明你的方法的正确性。
如图，折叠平行四边形纸片ABCD，可以得到∠BAD和∠BCD的平分线，其中∠BAD的平分线交BC于点E， ∠BCD的平分线交AD于点F。请证明：四边形AECF是平行四边形。
∴ AE//CF。∴四边形 AECF 是平行四边形。
解: (1) 证明：在□ABCD中，AD//BC，∠BAD=∠BCD。
∵ AE，CF分别平分∠BAD，∠BCD，
∵ AD//BC，∴ ∠DAE = ∠BEA， ∴ ∠BEA = ∠BCF。
∴ ∠DAE = ∠BAD，∠BCF= ∠BCD。 ∴ ∠DAE = ∠BCF。
(2) 合理即可。
※12.
《几何原本》中有这样一道作图题：作一个平行四边形，使它的一个内角等于给定角，面积等于给定多边形的面积。如图，已知四边形ABCD和∠α，如何作□MNGK，使∠N=∠α，且□MNGK的面积等于四边形ABCD的面积
(1)
(2)
请用尺规作□MNGK 。
如何确定□MNGK的一条边长及这条边上的高？
解(1)先将四边形 ABCD 转化为等面积的，再将
转化为等面积的平行四边形，从而确定平行四边形的一条边长及这条边上的高。具体步骤为：连接，过作交延长线于；作的中线，过作，在上截取合适长度确定平行四边形的底，通过作垂线段确定高，再进行翻倍操作。
(2)作∠N = ∠α ，在其两条边上截取符合边长的线段，然后分别作平行线得到平行四边形MNGK。
13.
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别在AO，BO，CO，DO上。
(1)
如果， 那么四边形EFGH是平行四边形吗？请证明你的结论。
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形。
解: (1) 四边形 EFGH 是平行四边形。证明如下：
∴ EG 与 FH 互相平分，
∵ AE = AO，BF= BO，CG= CO，DH= DO，且在
□ABCD中，AO = CO，BO = DO，
∴ EO= AO= CO= GO，FO= BO= DO= HO。
(2)
如果， 那么四边形EFGH是平行四边形吗？请证明你的结论。
13.
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别在AO，BO，CO，DO上。
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形。
(2) 四边形 EFGH 是平行四边形。证明如下：
∴ EG 与 FH 互相平分，
∵ AE = AO，BF= BO，CG= CO，DH= DO，且在
□ABCD中，AO = CO，BO = DO，
∴ EO= AO= CO= GO，FO= BO= DO= HO。
(3)
如果， 其中n为大于 1 的正整数，那么上述结论还成立吗？
13.
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别在AO，BO，CO，DO上。
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形。
(3) 成立。理由如下：
∴ EG 与 FH 互相平分，
∴ 同(2)得 EO= AO= CO= GO，FO= BO=
DO= HO。
14.
如图，小刚在做作业时，发现一道题中有部分文字被污染了。请在被污染的位置补充适当条件，并完成证明。
已知：如图，在四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上， ∠ 1=∠2，3=∠4。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
∴四边形 ABCD 是平行四边形。
解：（答案不唯一）补充的条件为 AE = CF。
证明: ∵ AE=CF，∴ AE + EF = CF + EF，即AF = CE。
又∵ ∠2 = ∠1，∠4 = ∠3，∴△ADF≌△CBE(AAS）。
∴ AD = CB，∠DAF = ∠BCE。∴ AD // CB ，
※15.
如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作直线 l，交 CD 边于点 E。
> 联系拓广
点B、点C、点D到直线 l 的距离之间有怎样的关系？你是怎么发现的？请证明你的结论。
(1)
(2)
将□ABCD绕点A按顺时针方向旋转，你还能发现哪些结论？选择其中一个结论加以证明。
解: (1) 点B到直线 l 的距离等于点C，D到直线 l 的距离之和。证明如下：
如图，过点C作CF//直线 l 交AB于点F，过点B作BM⊥l于点M，交CF于点G，过点D作DN⊥CF于点N，交 l 于点H，过点C作CP⊥ l于点P，则 DN ⊥ l ，BM ⊥ CF，∠DNC = ∠BMA = 90°，CP = GM = HN。
∴ DN=BM，∴ DN-HN=BM-MG=BM-CP，
∴ △CDN ≌ △ABM (AAS) 。
∵在□ABCD中，AB//CD，AB=CD，∴四边形AECF为平行四边形，∴∠BAM=∠DCN，
即DH=BM-CP，∴ BM=DH+CP，即点 B 到直线 l 的距离等于点 C，D 到直线 l 的距离之和。
(2) （答案不唯一）点A到点B的竖直距离与点C到点D的竖直距离相等。由(1)可得△CDN ≌ △ABM，
∴ CN = AM，即点 A 到点 B 的竖直距离与点 C 到点D 的竖直距离相等。

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