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复习题
北师版八年级数学下册
1.
〉知识技能
在□ABCD中，已知 AB = 6，AD为□ABCD周长的
，求 BC 的长度。
解：设 AD = 2x，□ABCD 的周长为 7x，
则 (6+2x)×2 = 7x，
∴ BC = AD = 2x = 8。
解得 x = 4。
2.
在四边形ABCD中，∠A = 30°∠B = 150°∠C = 30°，AB = 2，求 DC 的长度。
∴四边形 ABCD 是平行四边形。 ∴ DC = AB = 2。
解: ∵ ∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，
∴ AD // BC， ∴ AB // CD。
3.
如图，在□ABCD中，点 E，H，F，G 分别在边AB，BC，CD，AD上，EF//AD，GH//CD，EF 与GH 相交于点O，图中共有多少个平行四边形
解：共有9个平行四边形，
分别是□AEOG，□GOFD，
□EBHO，□OHCF，□AEFD，
□EBCF，□ABHG，□GHCD，□ABCD。
4.
已知：如图，在□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E，F。求证: ∠BAE = ∠DCF。
证明: 在□ABCD中，∵ AB//CD，∴ ∠ABE = ∠CDF。
∵ AE⊥BD，CF⊥BD ∴ ∠AEB = ∠CFD = 90°。
又∵ ∠BAE = 90°- ∠ABE，∠DCF = 90°- ∠CDF，
∴ ∠BAE = ∠DCF。
5.
已知：如图，点 E 在□ABCD的边 BC 的延长线上，且 CE = BC。求证：四边形 ACED 是平行四边形。
证明: 在□ABCD中，AD // BC 且 AD = BC。
∵ E 是 BC 延长线上一点， ∴ CE // AD。
又∵ CE = BC， ∴ CE = AD，
∴ 四边形 ACED 是平行四边形。
6.
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B = 90°，AD = 2，BC = 5，∠C = 60°，求 CD 的长度。
在Rt△DEC中，∵ ∠CED = 90°，∠C = 60 ，
解: 如图，过点 D 作 DE ⊥ BC 交 BC 于点 E。
∵ ∠B = 90°，即 AB ⊥ BC，∴ 易得 AB // DE。
∵ AD // BC ， ∴ 四边形 ABED 是平行四边形。
∴ BE = AD = 2，∴ CE = BC-BE = 5 - 2 = 3 。
∴ ∠CDE = 30° 。 ∴ CD = 2CE = 6。
E
7.
如图，剪两张对边平行的纸条，随意交又叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成了一个四边形。线段 AB 和 CD 的长度有什么关系
解: ∵ AB // CD，AD // BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。
∴ AB = CD 。
8.
如图，在□ABCD 中，已知 AB = 4cm，BC = 9cm， ∠B = 30°，求□ABCD 的面积。
E
解：如图，过点A作 AE ⊥ BC 于点 E。
∵ 在Rt△AEB中，∠B = 30°，AB = 4cm，
∴ S□ABCD = AE·BC = 2×9 = 18 ( cm )。
∴ AE = AB = 2 cm。
9.
画一个□ABCD，使∠B = 45，AB = 2cm，BC = 3cm。
解：如图所示。
10.
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，P，Q 是对角线 BD 上的两点，且 BP = DQ。求证：AP CQ。
∵ BP = DQ， ∴ △ABP ≌ △CDQ ( SAS )。
∵ AP = CQ，∠APB = ∠CQD 。
∵ ∠APQ = 180°- ∠APB，∠CQP = 180°- ∠CQD。
证明: ∵ 在□ABCD中，AB CD，∴ ∠ABD = ∠BDC。
∴ ∠APQ = ∠CQP 。 ∴ AP // CQ ，∴ AP CQ
11.
已知：如图，在□ABCD中， ∠ABC 的平分线交 AD于点 E，∠BCD 的平分线交 AD 于点 F，交 BE 于点G。求证: AF = DE。
∵ AB = DC ，∴ AE = DF 。
证明：在□ABCD中，AD // BC，AB = DC，
∴ ∠AEB = ∠EBC。
∵ BE平分∠ABC， ∴ ∠ABE = ∠EBC。
∴ ∠ABE = ∠AEB ，∴ AB = AE。同理 DF = DC。
∵ AE = AF + EF，DF = DE + EF ， ∴ AF = DE 。
12.
如图，△ABC 的三边长分别为 a，b，c，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，再以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形。求这个小三角形的周长。
解：设所求小三角形的三边长分别为 a'，b' ，c'。
根据三角形中位线定理
∴ C小三角形 = a' + b' + c' =
13.
已知：如图，点 O 是□ABCD 的对角线 BD 的中点，E，F分别是边 BC 和 AD 上的点，且AE//FC。
求证：EF 经过点 O。
证明：如图，连接 AC。
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AC与BD互相平分，且 AD // BC。∴点 O 是 AC 的中点。
∵ E，F分别是BC，AD上的点，∴ AF//CE。
又∵ AE//FC，∴四边形 AECF 是平行四边形，
∴ AC 与 EF 互相平分。
∵ 点 O 是 AC 的中点，
∴ 点 O 是 EF 的中点，即 EF 经过点 O。
14.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为 E，F，DE = BF，∠ADB = ∠CBD。
求证：四边形 ABCD 是平行四边形。
证明：∵ ∠ADB=∠CBD，∴ AD // BC， ∴ ∠DAE = ∠BCF ，
∵ DE ⊥ AC，BF ⊥ AC， ∴ ∠DEA = ∠BFC = 90°。
又∵ DE = BF ， ∴ △DEA≌△BFC ( AAS ) 。
∴ AD = CB 。 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。
15.
如图，DE 是 △ABC 的中位线，过点 E 作 AB 的平行线，交 BC 于点 F，过点 A 作 BC 的平行线，交直线 EF 于点G。请利用这个图形证明三角形的中位线定理。
证明: ∵ AB // EF，AG // BC，
∴ 四边形ABFG为平行四边形，∠GAE = ∠C。
∴ AB = FG，AG = BF。
∵ E为AC的中点， ∴ AE = CE。
> 数学理解
又∵ ∠AEG = ∠CEF， ∴ △AEG ≌ △CEF( ASA )，
∵ D 为 AB 的中点，
∴ AG = CF，EG = EF = FG，∴ AG = BF = CF。
又∵ AD // EG， ∴ 四边形 ADEG 为平行四边形，
∴ AG=DE，AG//DE。∴ DE//BC，DE=BF=CF = BC。
∴ AD = BD = AB，∴ AD = EG 。
16.
用六个全等的正三角形拼成如图所示的图形，请找出图中所有的平行四边形，并选择其中之一加以证明。
∴ ∠BAF+∠ABO=180°，∴ AF // BO。同理 AB // OF。
解:有6个平行四边形，分别是：□FABO，□ABCO，□BCDO，□CDEO，□DEFO，□EFAO。选择□FABO，证明如下：
∵ △ABO 和 △AFO 都是正三角形，
∴ ∠ABO=∠AFO=∠BAO=∠FAO=∠AOB=∠AOF=60°，
∴ ∠BAF = ∠BOF = 120° 。
∴ 四边形FABO 是平行四边形。
17.
已知: 如图，直线 MN 与□ABCD 的对角线 AC 平行，延长DA，CB，AB，DC，分别交 MN 于点 E，F，G，H。求证：EF = GH。
证明: ∵ E，F，G，H 在直线 MN 上，MN//AC，
∴ EF // AC，GH // AC。
由□ABCD 得 AD//BC，AB//DC。
∵ E，F，G，H 分别在 DA，CB，AB，DC 的延长线上，
∴ AE // CF，AG // CH 。
∴ 四边形 AEFC、四边形 AGHC 均是平行四边形。
∴ EF = AC，AC = GH ，∴ EF = GH。
18.
小华要做一个平行四边形木框，他有七根木条，长度分别为：①3 cm，②5 cm，③3 cm，④6 cm，⑤5 cm，⑥8 cm，⑦9 cm。请你帮他选一选，用哪四根木条可以组成一个平行四边形木框？请说明理由。
> 问题解决
解：①②③⑤可以组成一个平行四边形木框。
理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
19.
如图，在平行四边形纸片 ABCD 中，AB = 3 cm，将纸片沿对角线 AC 折叠，BC 与 AD 交于点 E，此时 △CDE 恰为等边三角形。
(1)
(2)
求重叠部分的面积。
求 AD 的长；
∴ AE = AB' = 3 cm，AD = AE+DE = 6 cm。
解：(1)由折叠，得∠B=∠B'，AB = AB' = 3cm。
∵ △CDE是等边三角形，
∴ ∠CED=∠D=60°，CD = DE = CE。
在□ABCD中，∠B=∠D=60°，CD = AB = 3 cm。
∴ ∠B' =∠B=60°，DE = CD = 3cm。
∵ ∠AEB' = ∠CED = 60°，∴ △AEB'是等边三角形。
(2) 过点 C 作 CF⊥AD，交 AD 于点F，∴ ∠CFD = 90°。
∵∠D=60°，∴ ∠DCF=30°。
在Rt△CDF中，由勾股定理得 CD = DF + CF 。
F
∴ DF = CD = cm。
∴
(cm)。
∴
20.
如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点 A，B，C，D 处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树在池塘边不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要求的平行四边形；若不能，请说明理由。
解：能实现。如图，连接AC，BD，过点A作AE//BD，过点 B作 BF//AC，过点 C 作CG//BD，过点D作DQ//AC。AE，BF交于点 E，BF，CG交于点 F，CG，DQ交于点G，DQ，AE交于点Q。此时四边形EFGQ为平行四边形，且面积为原来的 2 倍。
21.
人们往往借助三角形来研究平行四边形或一般的多边形。对此你有哪些感悟？请写一篇小短文与同学分享。
以简驭繁：从三角形看思维之道
在几何学习中，三角形是破解复杂图形的密钥。一条对角线，能将平行四边形拆分为两个全等三角形；连接顶点，多边形也能分解为若干三角形。这背后，是数学最朴素的智慧——以简驭繁。
三角形的稳定性使其成为几何的基本单元，这种“拆解思维”早已超越数学范畴。读小说时分析人物、情节、环境三要素，编程时拆分系统模块，学习中设定小目标，都是将复杂任务拆解为基础单元的实践。当我们被难题困扰，不妨先找到问题中的“三角形”，化整为零，逐个击破。
拆解是手段，重构才是目的。通过三角形的性质反推多边形规律，如同解决问题时整合小成果，构建完整答案。这种“拆解—重构”的思维，不仅能帮我们攻克几何难题，更能应用于生活的方方面面。
从三角形到多边形，我们学到的不仅是几何知识，更是一种面对复杂的态度：再庞大的问题，都能拆解为简单部分；再深奥的道理，都源于基础。愿我们都能掌握以简驭繁的智慧，从容应对学习与生活中的挑战。
> 联系拓广
22.
如图，点 M，N 分别在□ABCD 的边 AB 和 CD 上。
(2)
(1)
已知 AM = AB，CN= CD，求证：四边形AMCN 是平行四边形；
当AM= AB，CN= CD时，四边形AMCN是平行四边形吗 如果 AM = AB，CN = CD (m>1 )呢
你能得出一个一般性的结论吗？试一试！
解：(1)证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形。
∴ AB // CD，AB = CD。
∴ AM = CN。
∴四边形 AMCN 是平行四边形。
∵ AM= AB，CN= CD，
(2)解：当AM= AB，CN= CD时，四边形AMCN是平行四边形；
当AM= AB，CN= CD(m>1)时，四边形 AMCN 是平行四边形。
结论：在□ABCD中，点M，N分别在AB，CD边上且
时，四边形AMCN是平行四边形。
23.
已知：如图，将□ABCD纸片折叠，使得点 C 落在点 A 的位置，折痕为 EF，连接 CE。求证：四边形 AFCE 是平行四边形。
又∵ AE // FC，
证明：由折叠可知，AF = FC，∠AFE = ∠CFE。
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD // BC，∴ ∠AEF = ∠CFE，∴ ∠AFE = ∠AEF，
∴ AE = AF， ∴ AE = FC。
∴ 四边形AFCE为平行四边形。

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