资源简介

(共18张PPT)
邮票的张数
一堂关于方程的探索之旅
李红梅
时间：2026年4月
课堂约定：亮出你的观点！
表示同意！
当你完全认同老师或同学的观点时，请亮出红色卡片。
表示疑问！
当你不认同或对问题有疑惑时，请亮出黄色卡片。
表示补充！
当你有新的见解或想要补充时，请亮出蓝色卡片。
互动时刻 · TRY IT
Q1. 同学们，你们喜欢上数学课吗？请亮出你的卡片！
Q2. 我们来做个小测试：2 + 3 = 6，这个等式对吗？
Q3. （老师自拟一个有趣的开放性问题），请大家思考后，勇敢亮出你的观点！
解决问题，你选哪一派？
昨天作业最后一题解题方法统计
班级答题数据分布
方程法选择人数 (60.5%) 略高于算术法 (39.5%)
算术法 · 思考理由
选择算术法的同学，能说说你的理由吗？
预设回答：解题步骤简单、计算过程直接、思维跳跃性强
方程法 · 核心优势
选择方程法的同学，你们又为什么选择它呢？
预设回答：解题思路清晰、顺向思维易理解、逻辑严密不易出错
一位伟大的数学家——丢番图
他被誉为“方程之父”，为了展示方程的力量，他在墓碑上刻下了这样一段独特的墓志铭：
“过路人啊，这里安葬着丢番图。他生命的六分之一是愉快的童年；再过十二分之一，面颊长满胡须；又过七分之一，走进婚礼殿堂。五年后天赐贵子，然而孩子的生命只有父亲的一半。儿子死后，父亲在悲伤中研究数论度过了四年，也结束了尘世的生涯。”
课堂思考：想知道丢番图活了多少岁吗？结合我们刚学的知识，你觉得用什么数学方法解决这个问题更合适呢？
回顾：用方程解决问题的“四步曲”
01
找等量关系
KEY · 关键
02
设未知数，列方程
CORE · 核心
03
解方程
CALC · 计算
04
检验，写答
FULL · 完整
互动投票
这四个步骤中，你觉得哪一步最有挑战性？（可以多选哦）
今天的目标：攻克两大难点！
让我们一起走进《邮票的张数》，去解开这些数学谜题！
01
锁定“等量关系”
面对冗长的应用题文字，如何抽丝剥茧，快速梳理已知条件，精准定位题目中隐藏的等量关系？
02
巧设“未知数”并列方程
当题目中存在两个相关联的未知数时，设哪个为 x 解题更简便？如何依据等量关系列出正确的方程？
—— 积极思考 · 合作探究 · 突破自我 ——
情境问题：他们各有多少张邮票？
中国清代大龙邮票 · 珍贵的历史印记
关键数学信息
① 姐姐的邮票张数 = 弟弟的邮票张数 × 3
② 姐姐张数 + 弟弟张数 = 180 张
核心求解目标
需要计算出：姐姐和弟弟两人，分别拥有多少张邮票？
课堂互动思考
观察情境图，你能完整复述出题目给出的两个关键条件吗？
并尝试用自己的话说说，我们最终要解决什么问题？
第一步：火眼金睛找等量关系
根据信息1和信息2，你能从题目描述中提炼出哪些核心的等量关系？
信息 01：倍数关系
题目描述：姐姐的邮票张数是弟弟的 3 倍。
等量关系：姐姐的张数 = 弟弟的张数 × 3
信息 02：总和关系
题目描述：姐姐和弟弟两个人，一共有 180 张邮票。
等量关系：姐姐的张数 + 弟弟的张数 = 180
课堂互动 · 思维碰撞
谁愿意分享一下你找到的等量关系？你觉得哪种写法更符合我们的“顺向思维”习惯？试着把它写在练习本上。
第二步：两个未知数，怎么办？
“问题来了：姐姐和弟弟的邮票张数都不知道，出现了两个未知数！
面对这种情况，我们该如何巧妙地设未知数呢？”
核心解题思路
利用题目中的一个等量关系，用一个未知数的代数式去表示另一个未知数。
这样就能把“二元”难题，成功转化为我们熟悉的“一元”问题！
解题思路：“设一表二，列方程”
STEP 01 · 设未知数
选择：设弟弟有 x 张邮票。
表示：根据“姐姐的张数 = 弟弟 × 3”，姐姐有3x张邮票。
STEP 02 · 列方程
依据：根据“姐姐的张数 + 弟弟的张数 = 180张”。
列出：x + 3x = 180
互动思考
我们为什么这样设未知数？依据是什么？方程又是根据哪个等量关系列出的？带着这些问题，我们进入下一步的求解。
解方程：合并同类项
列出方程
x + 3x = 180
思考与合并
x 代表1个x，3x 代表3个x，合并后系数相加：
(1+3)x = 180 4x = 180
系数化为 1
方程两边同时除以4，得到未知数的值：
x = 45
最终答案
弟弟拥有的卡片数量
数量为 x，即45 张
姐姐拥有的卡片数量
数量为 3x，即 3×45 =135 张
条条大路通罗马——不同的解法
方法二
解：设姐姐有 x 张邮票，那么弟弟有 (x ÷ 3) 张。
方程：x + (x ÷ 3) = 180
思路：以姐姐为参照标准
方法三
解：设弟弟有 x 张邮票，那么姐姐有 (180 - x) 张。
方程：3x = 180 - x
思路：利用总数关系表示
互动讨论
对比这几种方法，你更喜欢哪一种？为什么？
提示：计算步骤的多少
最优解：设“一倍量”为x
计算最简便！
今日新发现：解决两个未知数的秘诀
▍问题核心特点
已知条件中必然包含两个未知数，且存在两个相互独立的等量关系，这是我们构建方程解题的关键切入点。
STEP 01
“设”一个
选择其中一个未知数设为 x。通常建议优先选择题目中的“一倍量”或标准量。
STEP 02
“表”一个
利用题目中一个已知的等量关系，把另一个未知数用含 x 的代数式完整表示出来。
STEP 03
“列”一个
利用剩下的另一个等量关系，将所有量代入，最终列出一元一次方程进行求解。
小试牛刀：差倍问题
题目变式挑战
如果把题目改为“姐姐的邮票张数是弟弟的 3 倍，姐姐比弟弟多 90 张邮票。” 请你思考并计算：姐姐和弟弟他们各自有多少张邮票？
STEP 01 · 梳理等量关系
先根据题目中的“3倍”倍数关系和“多90张”的差值关系，用数学语言清晰地表达出数量之间的逻辑联系，这是列方程的重要基础。
STEP 02 · 列方程并求解
通常设“1倍量”（弟弟的邮票数）为 x，将梳理好的等量关系转化为标准的数学方程，最后解方程并检验计算结果是否符合题意。
思考小贴士：差倍问题的核心是“倍数”与“差值”的结合。找准哪个量是“1倍量”（较小数），并将其设为未知数 x，是解决这类问题的关键突破口！
升级挑战：和差问题
核心问题：邮票分配
“姐姐和弟弟一共有 180 张邮票，姐姐比弟弟多 90 张邮票。” 请根据已知条件，分别计算出姐姐和弟弟各有多少张邮票？
01. 梳理等量关系
寻找题目中的“一共”和“多”两个关键信息，将文字语言转化为数学等式，明确数量间的逻辑关系。
02. 列出方程并求解
设定合适的未知数（如设弟弟为 x），依据等量关系列出标准方程，并按照解方程的步骤完整计算出结果。
终极挑战：算出丢番图的年龄！
丢番图墓志铭原文
“过路人啊，这里安葬着丢番图。下面的数字，可以告诉你他一生有多长。
他生命的六分之一是愉快的童年；再过了生命的十二分之一，面颊上长满胡须；又过了生命的七分之一，走进婚礼殿堂；五年后天赐贵子。
可是命运给孩子的光辉生命只有父亲的一半。儿子死后，父亲在数论研究中度过了最后的四年，也结束了尘世生涯。”
—— 古希腊·亚历山大城
核心解题思路
STEP 01 · 设定未知数
设丢番图的总年龄为 x 岁，这是列方程的基础。
STEP 02 · 代数拆解生命阶段
用含 x 的式子分别表示：童年(x/6)、少年(x/12)、婚前(x/7)等。
STEP 03 · 寻找等量关系
“各阶段时间之和 + 5年 + 4年 = 总年龄 x”，据此列出方程。
这节课，我收获了……
知识 · 进阶
学会了如何构建数学模型，利用方程思维高效解决含有两个未知数的复杂应用问题。
方法 · 秘诀
彻底掌握了解题“三部曲”：设未知数 → 列表整理 → 列出方程，让解题思路不再混乱。
思想 · 升华
深刻体会到了方程思想的核心魅力，将生活中复杂的数量关系转化为简洁的数学符号。
课堂互动 · 思维碰撞
“谁愿意和大家分享一下，你在解决实际问题时，印象最深刻的一个小技巧？”
数学之美，在于逻辑与智慧。
感谢聆听，期待下次探索！
THANKS FOR WATCHING

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