资源简介

2025级高一第二学期阶段性考试数学试卷
命题人： 审题人：
第Ⅰ卷 选择题
一．单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1 i．若复数 z满足 z ，则 z在复平面内对应的点位于（ ）
1 i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1
2．在梯形 ABCD中， AB∥CD ,CD 3AB ，点E在对角线 AC上，且 AE EC ，则DE （ ）
2

AB 2
3 1
A． AD B． AB AD
3 2 2

C． 2AB
1 1
AD D． AB
3
AD
3 2 2
3．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为 2的
等腰梯形OA B C ，则原梯形面积为（ ）
A．2 B． 2 C．4 D． 2 2

4．已知向量 a 1,1 ，b 3, 1 ， = 2 ，则 c在 a 上的投影向量为（ ）
A． 2, 2 B． 2, 2 C． 1, 1 D． 1,1
5．下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是
（ ）
A． B． C． D．
6．如图，滨江公园内有一块三角形形状的草坪 ABC，经测量得 AB 30m，
AC 40m，BC 10 13m，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现
打算铺设一条小路DE（其中，点D在边 AB上，点 E在边 AC上），若DE
恰好将该草坪的面积平分，则D,E两点间的最小距离为（ ）m .
A． 40 B．30 5 C．30 D．10 6
试卷第 1页，共 4页
7．如图所示，将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器
中，此时盖子恰好能够盖上．已知该杯状容器的深度为 h，则当冰球
完全融化为水时的深度约为（ ）
π π π
参考数据： 1.253，3 1.161，4 1.062， 2 1.4， 3 1.73
2 2 2
A．0.48h B．0.54h C．0.67h D．0.75h
8．奔驰定理：已知O是 ABC内的一点，若 BOC、 AOC、 AOB的面积分别记为 S1、 S2、

S3，则 S1 OA S2 OB S3 OC 0 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常
优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，
故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是 ABC的垂心，且

2OA 3OB 4OC 0，则 tan A （ ）
A 6 6 3 6． B． C． D． 6
4 2 4
二、多项选择题：本题共 3 小题，毎小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，有选错得 0 分，部分选对的得部分分.
9．圆台的上、下底面半径分别为 1和 2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为 180°，则圆
台的（ ）
A．母线长为 2 B．表面积为11π C．高为 3 D．体积为 2 3
10．若四面体 ABCD的三组对棱分别相等，即 AB CD, AC BD, AD BC，则下列正确的是（ ）
A．四面体 ABCD每组对棱相互垂直
B．四面体 ABCD每个面的面积相等
C．连接四面体 ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分
D．从四面体 ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90 且小于180
1
11．如图，已知等腰梯形 ABCD中， AB / /CD， AD DC BC AB 1，点M ， N分别为线
2
段 AD，BC上的动点且DM BN 0 1 ，点 、Q为线段 AB、
DC的中点，则以下结论正确的是（ ）
1 A．PQ AD BC2
MPN 2πB．
3

C．若 I 为 的外心，则DI / /DC

D PM PN 3．
2
试卷第 2页，共 4页
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分．
a

12．已知向量 (1, 2)

，b (2, 3)．若向量 c (x, y)满足 c a / /b c ， (a b )，则
x _____________， y _____________．
13．已知复数 z1, z2是实系数一元二次方程的两个根，若 z1 iz2，则 z1 i 的最小值为_____.
14．祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，
意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个
空心铁质半球壳，外半径为 3cm，内半径为1cm（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已
知浸入水中部分的深度为1cm，则浸入水中部分的体积为______cm3．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题 13分)已知向量 a，b满足 a 5， b 4， a b b ．

(1)求 a与b的夹角的余弦值；

(2)求 2a b .

16．( 2本小题 15分)已知向量 a cos x, 2cosx ，b 2 3,sinx ，函数 f x a b．
(1)求 f x 的单调递减区间；
π
(2)将函数 f x 1图象上所有点的横坐标缩短为原来的 2 ，再向右平移 个单位得到 g x 的图象，12
g x π π 求 在 , 上的值域． 12 6
试卷第 3页，共 4页
17．(本小题 15分)上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇
形空地 AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为60
米， AOB
π
，动点 P在扇形 AOB的弧上，点Q在半径OB上，且 PQ //OA .
3
(1)当OQ 40米时，求分隔栏 PQ的长；
(2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角OPQ
的面积S的最大值.
18．(本小题17分)已知 ABC内角 A,B,C 的对边为 a,b,c，点M 是 ABC的内心，若a 2 ,
3bcos A asin B．
(1)求角 A；
(2) 2 3延长 AM 交 BC于点D，若 AD ，求 ABC的周长；
3
(3)求 AM 的取值范围．

19．(本小题 17分)在平面直角坐标系 xOy中，对于非零向量 a x1, y1 ，b x2 , y2 ，定义这两
x1y2 x2 y1
个向量的“相离度”为 d a,b ，容易知道a，b平行的充要条件为 d a,b 0
x2 y2 2
．
1 1 x2 y
2
2
r
(1)已知 a 2,1 ，b 4,2 ，求 d a,b ；

(2)①已知 a，b的夹角为 1和 c， d的夹角为 2，证明： d a,b d c,d 的充分必要条件是
sin 1 sin 2；

②在 ABC中， AB 2， AC 4
4
，DC 2BD且 AD ，若 PA PB PC 0，求 d PA,PB3 ．
试卷第 4页，共 4页2025级高一第二学期阶段性考试数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C D D D C B ABC BC ABC
7 7
12． , 13 2． 14．2
9 3 2

15．（1）∵ a b b ， a 5， b 4，

∴ a b b a b b 2 0，

∴5 4 cos a
, b 16 0 ，

∴ cos a
,b 4 ；
5

（2）由（1）知 a
b 5 4 4 5
16，


∴ 22a b 4a 2 b2 4a b 4 25 16 4 16 52，

∴ 2a

b 2 13 ；

16 1 2

．（ ）因为向量 a cos x, 2cosx ，b 2 3,sinx ，函数 f x a b ，
f x 2 3cos2所以 x 2sinxcosx 3cos2x sin2x 3
2sin 2x
π
3，
3
π 2kπ 2x π 3π令 2kπ， k Z ，
2 3 2
x π 7π解得 kπ, kπ

12 12 ， k Z ，
π 7π
所以 f x 的单调递减区间为 kπ, kπ

， k Z．
12 12
f x 2sin π （2）由（1）知 2x 3 3 ，
1 π
函数 f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 2 ，再向右平移 个单位，12
则 g x 2sin4x 3 ，
x π , π 4x π , 2π

当 时， ， sin4x
3
,1 ，
12 6

3 3 2
则 g x 2sin4x 3 0,2 3 ．
所以 g x π π 在 , 的值域为 0,2 3 . 12 6
17．（1）因为 PQ //OA，所以 PQO π AOB
2π
，
3
在△OPQ中，OQ 40，OP 60，
由余弦定理得OP2 OQ2 PQ2 2OQ PQcos PQO，
答案第 1页，共 4页
即3600 1600 PQ2 40PQ，解得 PQ 20 6 20或 PQ 20 6 20 （舍去），
所以 PQ的长为 20 6 20米；
2π
（2）因为 PQ //OA， PQO ，
3
设 OPQ AOP ，
π π
0, 3 ，则
POQ ，
3
OP OQ
OPQ 在△ 中，由正弦定理得 sin 2π sin ，
3
OQ 60sin 120 sin
所有 3 3 ，
2
S 1OP OQ sin POQ 3600 π则 OPQ sin sin

2 3 3
3600 π 1 π 1

2 3
sin 2 6
600 3 sin 2
2 6 2
，

2 π π , 5π sin(2 π ) 1 ,1 当
6 6 6
时， .
6 2
sin 当 2
π
1 π ，即 时，△OPQ面积取得最大值，最大值为6 300 3平方米. 6
18．（1）因为 3bcos A a sin B，所以根据正弦定理得 3 sin B cos A sin Asin B，
化简得 sin B sin A 3 cos A 0 .
因为 sin B 0，所以 sin A 3 cos A 0 .
π
所以 tan A 3，因为0 A π，所以 A .3
（2）

如图，点M 是 ABC的内心,则 AM平分角 A，则 BAD CAD .
6
因为 S ABC S ABD S ACD ，
1
所以 bc sin A
1
c AD sin BAD 1 b AD sin CAD，
2 2 2
2 c b
化简得：bc ①.
3
根据余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cosA b2 c2 bc b c 2 3bc 4 ②，
2 2
①②联立方程组解得： b c 3bc b c 2 b c 4 .
解得b c 2 4 4 4 1 5 ，又b c 0，所以b c 1 5 .
2
所以 ABC的周长为 a b c 2 1 5 3 5 .
答案第 2页，共 4页
（3）设三角形 ABC内切圆半径为 h .
S S S S 1 π 3因为 ABC ABM ACM BCM bc sin bc .2 3 4
S ABM S ACM S
1
BCM bh
1 ch 1 2h 1 b 1 c 1 h .
2 2 2 2 2
3
3 1 1 bc 3bc
所以 bc 4
4
b c 1
2 2
h ，解得 h .
1 b 1 c 1 2b 2c 4
2 2
h π 1
因为 sin ，所以 AM 2h 3bc .
AM 6 2 b c 2
根据余弦定理得：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 2 c2 bc b c 3bc 4，（或者由（2）②得）
b c 2
即 b 2 c 4 3bc 3bc 3 4，故 AM 3 b c 2
b c 2 3 b c 2 3
2
又 b c 2 4 3bc 3 b c ，且 b+c>a，解得 2 b c 4 ，
2
当且仅当 b=c=2时，等号成立.
3 2 3
故 AM b c 2 0,3 3 ，
2 3
综上， AM的取值范围为 0,
3
.

2 2 1 4
19 1 d a ,b 4．（ ） ．
5 2 5 5
x x y y 2 x y x y 2
（2 cos2 a ,b d 2 a ,b 1 2 1 2 1 2 2 1）①因为 x2 2 2 2 2 2 2 21 y1 x2 y2 x1 y1 x2 y2
x2x2 y2 y2 x2 2 2 2
1 2 1 2 1
y2 x2 y1 1
x21 y21 x22 y2 ，2

且 d a ,b 0， a ,b 0, π 2，则 d a ,b 1 cos2 a ,b sin2 a ,b ，

所以 d a,b sin a ,b ．

若 d a ,b d c ,d ，等价于 sin a,b sin
所以 d a ,b d c ,d 的充分必要条件是 sin 1 sin 2；

②因DC 2BD，
答案第 3页，共 4页
1 1 2 则 AD AB BD AB BC AB AC AB AB 1 AC，3 3 3 3
2
AD 2
1 2 4 2 1 2 4
可得 AB AC AB AC AB AC，
3 3 9 9 9
16 16 16 4
即 AB AC，可得 AB AC 4，9 9 9 9
1 1
又因为 PA PB PC 0，可知点 P为 ABC的重心，则 AP AB AC，3 3
1 1 2 1
可得 PA AB AC，PB PA AB AB AC，
3 3 3 3
2 1 1
2
1 2 1 2 4
则 PA AB AC AB AC AB AC ，
3 3 9 9 9 3
2 2 1 2 4 2 1 2 4 PB 16 AB AC

AB AC AB AC ，
3 3 9 9 9 3
1 1 PA PB 2
1 2 2 1 2 1 4
AB AC

AB AC

AB AC AB AC ，
3 3 3 3 9 9 9 3
2 16
PA PB
可得 cos2 PA, PB
1
2 2
9
4 16 ，PA PB 4
3 3

所以 d PA, PB sin PA, PB 1 cos2 PA, PB 3 ．2
答案第 4页，共 4页

展开更多......

收起↑