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2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（三）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆.
难度系数：0.60（计算过程：0.85×5 + 0.80×5 + 0.70×5 + 0.70×5 + 0.70×5 + 0.65×5 + 0.60×5 + 0.45×5 + 0.60×6 + 0.55×6 + 0.45×6 + 0.70×5 + 0.65×5 + 0.45×5 + 0.65×13 + 0.55×15 + 0.60×15 + 0.40×17 + 0.35×17 = 89.05 ÷ 150 ≈ 0.60）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·新疆·四月适应性检测） 一组数据 的中位数为 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 C
【详解】 数据从小到大排列为 .数据个数为6，中位数为中间两个数 和 的平均数.由中位数为 ，有 ，解得 .
【易错警示】 常见错误：忘记将数据按从小到大排序；对偶数个数据的中位数取法错误，误取为第3个数.
【规律总结】 通法：求一组数据的中位数，必须先将数据从小到大排序.若数据个数 为奇数，则中位数为最中间的数 ；若 为偶数，则中位数为最中间两个数 与 的平均数.
2.（2026·山西T8联盟·联考） 已知复数 的实部与虚部相等，则实数 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 B
【详解】 复数 .由实部与虚部相等，得 ，即 ，解得 ，.
【易错警示】 常见错误：复数除法运算时，分母实数化过程中符号出错；混淆实部和虚部（虚部是实数 ，不是 ）.
【规律总结】 通法：复数 的运算，分子分母同乘分母的共轭复数 ，即 ，再化为标准形式 .
3.（2026·重庆·二诊） 已知向量 与 满足 ，，且 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 C
【详解】 .
【易错警示】 常见错误：公式 中符号记错，尤其是将点积为负时忘记变号.
【规律总结】 通法：求向量的模长，通常先求模长的平方，即利用公式 .技巧：熟记此公式是解决向量模长问题的关键.
4.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模） 若 ，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 B
【详解】 因为 在 上单调递增，所以 ，可得 .由 ，且 在 上单调递增，可得 ，即 .由 在 上单调递增，可得 .综上，，即 .
【易错警示】 常见错误：不能将 转化为底数或指数相同的形式进行比较；对不同函数的单调性记忆不清.防错方法：比较几个指数幂的大小时，常通过转化为同底数或同指数，或引入中间值（如0，1）进行比较.
【规律总结】 通法：比较指数式或对数式大小，通常利用函数的单调性，结合中间量（如 或 ）进行判断.技巧：熟记指数函数、对数函数、幂函数的单调性是解决此类问题的基础.
5.（2026·云南玉溪·模拟） 已知圆 ，直线 ，设 为圆 上的一动点，则 点到直线 的最大距离为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 C
【详解】 直线 可化为 ，可知直线 恒过定点 .圆 的圆心为 ，半径 .圆心 到直线 的距离最大值为 ，而 为圆上动点，所以点 到直线 的最大距离等于圆心 到直线 的最大距离加上圆的半径.圆心 到直线 的距离的最大值为 .所以 点到直线 的最大距离为 .
【易错警示】 常见错误：求出定点 后，直接将点 到圆上点的最大距离 作为 到直线 的最大距离.防错方法：明确几何关系，点 到直线 的距离的最大值等于圆心到该直线的距离的最大值加上半径.
【规律总结】 通法：对于过定点的动直线，圆上一点到该直线的最大距离问题，常转化为圆心到定点的距离加上半径.技巧：先找到动直线过的定点，这是解题关键.
6.（2026·山西T8联盟·联考） 已知 ，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 A
【详解】 对于 和 ，由于底数 ，指数 ，根据指数函数的单调性，可得 .对于 和 ，直接比较困难.因为 且 与 均大于1，取对数比较：，.比较 等价于比较 和 ，即比较 与 .构造函数 ，求导得 .当 时，， 单调递增.因为 ，所以 ，即 ，从而 ，即 ，所以 .综上，.
【易错警示】 常见错误：直接利用估算或特殊值法，导致判断错误.防错方法：对于底数和指数均不同的幂值比较大小，常用取对数后构造函数的方法.
【规律总结】 通法：比较形如 与 的大小，常通过取对数转化为 与 的比较，进而构造函数 或 等，利用函数单调性求解.技巧：熟记函数 在 递增，在 递减.
7.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模） 古巴比伦泥板(大英博物馆藏K90泥板)上记录的月相变化数列，是人类早期对天文现象进行数学描述的重要例证.该数列将满月等分为240份，记数列 为第 天月球被太阳照亮部分占满月的份数(其中 且 )组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的 ，即 份；第15天为满月，即 .若在数列 中，前5项构成公比为 的等比数列，第5项到第15项构成公差为 的等差数列，且 均为正整数，则第10天可见部分占满月的（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 D
【详解】 由题知，，，，即 ，所以 .因为 均为正整数，当 时，；当 时，，满足；当 时，.所以 .那么 .此时月球被太阳照亮部分占满月的 .
【易错警示】 常见错误：未正确理解“第5项到第15项构成等差数列”的含义，导致项数计算错误（如 ）.防错方法：明确从第 项到第 项（）的项数为 .
【规律总结】 通法：解决等差、等比数列综合应用题，关键在于根据定义设立通项或求和方程，并结合题目中的整数条件进行讨论求解.技巧：利用 为正整数，通过整除性缩小范围.
8.（2026·山西卓越联盟·质量检测） 已知函数 ，若 时，，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】 D
【详解】 令 ，则 .当 时，， 在 上单调递减，所以 .当 时，，从而 ，与题意矛盾.
当 时，.设 ，， 在 上单调递增.又 .
① 若 ，则 ， 在 上小于0，在 上大于0.此时 在 上恒成立， 在 上单调递减，所以 ，满足题意.
② 若 ，则 ，存在 使得 .当 时，，， 单调递减，则 ，与 恒成立矛盾.
③ 若 ，则 ，存在 使得 .当 时，，， 单调递增，所以 ，满足题意.
综上，实数 的取值范围是 .
【易错警示】 常见错误：直接分离参数，但由于函数结构复杂导致求导困难或讨论不全面.防错方法：对于含参不等式恒成立问题，若能分离参数则优先分离，若不能，则直接构造函数讨论单调性和最值.本题先利用特殊点 缩小参数范围是关键.
【规律总结】 通法：已知不等式恒成立求参数范围，常通过构造函数，利用导数研究函数的最值.技巧：对于含有对数、幂函数的复杂函数，可尝试通过找特殊点（如 ）的函数值或导数值来缩小参数讨论范围，此即“端点效应”或“特殊点效应”.
【一题多解】
解法一：同上（构造函数讨论法）.
解法二：分离参数法（部分分离）.由 ，得 .但此分式求导讨论仍较复杂，不如解法一通过找特殊点 及导数的特殊值进行分类讨论来得直接.
对比：解法一（构造函数分类讨论）逻辑清晰，是解决此类问题的通法.解法二（分离参数）思路直接，但后续求导分析难度大.在考试中，若分离参数后函数形式简洁易分析，则优选分离参数法；否则，构造函数直接讨论更稳妥.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·山西卓越联盟·质量检测） 春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为 ，则（ 　　）
A. 该组数据的平均数为
B. 该组数据的众数与中位数相同
C. 该组数据的极差为
D. 该组数据的方差为
【答案】 BCD
【详解】 数据总和为 ，平均数为 ，A错误.数据从小到大排列为 ，众数为 ，中位数为 ，B正确.极差为 ，C正确.方差为 ，D正确.
【易错警示】 常见错误：计算平均数时出错，导致方差计算错误；对中位数、众数的概念混淆.防错方法：计算方差时先求平均数，再求各项与平均数的差的平方和，最后除以数据个数.
【规律总结】 通法：计算样本数字特征时，先排序.众数（出现次数最多）、中位数（排序后中间位置的数或中间两数的平均）、极差（最大值减最小值）、方差（各数据与平均数差的平方和的平均数）.
10.（2026·山西·小高考五） 已知双曲线 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 ，两条渐近线的夹角为 ，点 在 上，且 ，设直线 与 轴的交点为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】 BC
【详解】 双曲线 ，。渐近线方程为 。
对于A：设渐近线 的倾斜角为 ，渐近线 的倾斜角为 ，则 。两条渐近线的夹角 满足 。故A错误。
对于B：由 知四边形 为平行四边形，从而 且 。又 ，，设 ，由向量相等可得 与 关于某点对称。结合双曲线方程，可求得 。故B正确。
对于C：由 可得 ，即 ，所以 在 的左侧4个单位。又直线 交 轴于 ，设 ，通过坐标运算可得 ，即C正确。
对于D：计算 ，由坐标可得该点积并非28，故D错误。
综上，正确选项为BC。
【易错警示】 常见错误：渐近线夹角公式记忆错误（分母处符号）；向量相等转化坐标时忽略正负号；点积运算坐标代入错误。
【规律总结】 通法：双曲线渐近线夹角问题，利用到角公式或两直线夹角公式；向量相等问题直接转化为坐标方程，与圆锥曲线方程联立求解。
11.（2026·吉林长春·质量监测二） 景区在春节期间推出 ， 两种游玩套餐，已知某游客第一次选择 ， 两种游玩套餐的概率分别为 和 ，若该游客第一次选择 套餐，则第二次选择 套餐的概率为 ；若该游客第一次选择 套餐，则第二次选择 套餐的概率为 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 该游客第一次选择 套餐，第二次也选择 套餐的概率为
B. 该游客第一次选择 套餐的概率比第二次选择 套餐的概率小
C. 若该游客第二次选择 套餐，则他第一次选择 套餐的概率为
D. 若该游客第二次选择 套餐，则他第一次选择 套餐的概率为
【答案】 BCD
【详解】 设事件 为“第一次选择 套餐”，事件 为“第二次选择 套餐”.由题知，，，，.
对于 A，该游客第一次选择 套餐，第二次也选择 套餐为事件 ，其概率为 ，故 A 错误.
对于 B，由全概率公式，.因为 ，故 B 正确.
对于 C，，故 C 正确.
对于 D，，故 D 正确.
【易错警示】 常见错误：混淆条件概率 与积事件概率 ；全概率公式应用错误.防错方法：清晰定义事件，熟记条件概率公式 和全概率公式 .
【规律总结】 通法：解决条件概率与全概率问题，首先要设出基本事件，然后用字母表示各概率.利用概率树状图可以帮助理解事件间的先后和条件关系.
【一题多解】
对于选项C、D，也可用缩小样本空间法，但此处用定义法更为严谨和通用.
对比：直接利用条件概率和全概率公式计算是通用解法.对于样本空间较小的问题，也可以使用列举法（如画树状图），但本题状态转移概率已明确，直接套用公式更为高效.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·贵州毕节·二模） 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 的面积为__.
【答案】
【详解】 由余弦定理可得 .因为 ，所以 ，.故 的面积为 .
【易错警示】 常见错误：余弦定理公式记错（如符号记反）；由 求 时未注意角的范围，导致正负号错误.防错方法：熟记余弦定理的几种变形，求角时先确定角的范围，确保正弦值非负.
【规律总结】 通法：已知三边求三角形面积，通常先用余弦定理求出一个角的余弦值，再转化为正弦值，最后用面积公式 求解.
13.（2026·辽宁鞍山·二模） 将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为__.
【答案】
【详解】 5人分到3个小组，每组至少1人至多2人，则分组方式只能是 .先将5人分成 三组.先选1人单独成组，有 种选法；剩余4人平均分成2组，有 种分法，故分组方法共 种.再将三组分配到三个不同小组，有 种方法.所以总安排方法数为 种.
甲乙恰好被分到同一小组.若甲乙在2人组，则从其余3人中选1人组成三人中的另一组，但总分组是 ，甲乙所在组为2人，另一2人组从剩余3人中选2人，最后1人独组.即 种分组方式.然后分配到三个组，有 种.所以共有 种.若甲乙在2人组中的情况只有这一种.故概率 .
【易错警示】 常见错误：分组分配问题中的平均分组未除以组数的阶乘，导致重复计数；对“甲乙恰好被分到同一小组”的情况分类不全.防错方法：遵循“先分组，再分配”的原则，分组时注意均匀分组与不均匀分组的区别.
【规律总结】 通法：对于分组分配问题，先分组后分配.若分组中存在平均分组，则必须除以相同元素个数的阶乘（即组数的阶乘）来消除顺序带来的重复.
14.（2026·山西卓越联盟·质量检测） 已知四面体 的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 ，， 是边长为 的正三角形，，则四面体 的体积为__.
【答案】 或
【详解】 取 中点 ，连接 ，则 平面 .设球心为 ，过 作 平面 ，垂足为 ，则 是 的外心，.取 中点 ，则 .球半径 满足 ，得 .
由 ，得 ，.
当点 与 在 两侧时，（取绝对值）.此时 到平面 的距离 计算得体积为 .
当点 与 在 同侧时， 到平面 的距离 .体积为 .
【易错警示】 常见错误：只考虑球心与几何体的一种位置关系，忽略另一种情况，导致漏解.防错方法：对于没有给出明确位置关系的几何体外接球问题，要考虑球心与各面的相对位置，通常会有多种情况.
【规律总结】 通法：求几何体的外接球体积或表面积，关键是求出外接球的半径 .对于一般四面体，常通过找两个面的外心，作垂线，交点即为球心，再利用勾股定理求 .
【一题多解】
解法一：几何法（如上）.通过找球心、计算相关线段长度，利用二面角等几何关系求高.
解法二：建系法.由于 是正三角形，且 ，该四面体具有一定的对称性，可通过建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程求解，再求点到面的距离得体积.
对比：几何法对空间想象能力要求高，但计算相对简单.建系法思路直接，但坐标设定和计算量可能较大.本题采用几何法能更好体现几何关系，且效率更高.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·贵州毕节·二模） （13分）
设数列 满足 .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 求数列 的前 项和 .
【答案】 （1） ；（2） .
【详解】 （1） 当 时，，得 .
当 时，由 ，
可得 .
两式相减得 ，所以 .
当 时，，符合上式.
综上，数列 的通项公式为 .
（2） 由 （1） 得 .
所以 .
【易错警示】 常见错误：利用 时，未注意 的条件，且未检验 的情况是否满足通项公式；裂项相消时未注意符号和剩余项.
【规律总结】 通法：已知数列前 项和与项的关系求通项，常用 .对于分式型数列求和，常采用裂项相消法.
16.（2026·甘肃·二模） （15分）
如图，在多面体 中， 为矩形，，， 分别与平面 垂直，，，， 分别是 ， 的中点.
（1） 求证： 平面 ；
（2） 若 共面，求平面 和平面 所成角的余弦值.
【答案】 （1） 证明见解析；（2） .
【详解】 （1） 连接 .因为 是矩形， 是 的中点.又 平面 ， 平面 ，所以 .在梯形 中， 是 的中点，故 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2） 以 为原点，建立空间直角坐标系 .由题意得 ，，，，，.
易证平面 平面 .因为 共面，且平面 分别与两平行平面相交，交线平行，故 为平行四边形.由 与 互相平分于 ，可得 .
设平面 的法向量为 .由 ，，得 .取 ，得 ，即 .也可取 .
平面 的法向量可取为 .
设平面 与平面 所成角为 ，则 .
所以平面 和平面 所成角的余弦值为 .
【易错警示】 常见错误：在建立空间直角坐标系时，坐标写错，导致后续法向量计算出错.防错方法：建系后，按一定顺序（如逆时针）逐个点核对坐标.
【规律总结】 通法：证明线面平行，常在面内找一条与已知直线平行的直线.求二面角，常用空间向量法，即求出两个半平面的法向量，再利用法向量的夹角公式求得二面角的余弦值.
17.（2026·贵州毕节·二模） （15分）
某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入 (单位：万元)与销售额 (单位：万元)的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：
，，，.
（1） 求销售额 关于直播带货中平台流量推广投入 的线性回归方程；
（2） 该公司计划下一场直播投入总额10万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入 万元 ()，主播佣金激励投入 () 万元.根据以往经验，主播佣金激励投入 万元的销售额为 () 万元；平台流量推广的效果仍符合(1)中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额.
参考公式：线性回归方程 中，，.
【答案】 （1） ；（2） 分配6万元投入平台流量推广、4万元投入主播佣金时销售额最大，最大销售额为76万元.
【详解】 （1） 由题知，，.
计算回归系数：
.
.
所以回归方程为 .
（2） 方案一：全部投入平台流量推广，即 ，销售额为 万元.
方案二：平台流量推广投入 万元，主播佣金投入 万元.总销售额为两部分之和：.
这是一个开口向下的二次函数，对称轴为 .因为 ，所以当 时， 取得最大值， 万元.
因为 ，所以方案二更优.应分配6万元用于平台流量推广，4万元用于主播佣金激励，此时最大销售额为76万元.
【易错警示】 常见错误：回归系数公式中的 分子分母计算错误；二次函数求最值时，未注意定义域或最值点是否在定义域内.防错方法：牢记回归系数公式，计算仔细；对于二次函数最值，先判断开口，求出对称轴，再结合定义域求最值.
【规律总结】 通法：线性回归问题，关键是利用公式求出 和 .对于决策优化问题，通常是根据题意建立目标函数（如利润、销售额等），再利用函数性质（如二次函数、导数等）求最值.
18.（2026·四川南充·二诊） （17分）
已知椭圆 的离心率 ，.
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 过点 作两条斜率存在且不为零的直线 ，分别交 于 和 ，且满足 .
（i） 证明：直线 的斜率之和为定值；
（ii） 求四边形 面积的最大值.
【答案】 （1） ；（2） （i） 证明见解析，（ii） .
【详解】 （1） 由题意，.由 ，得 .代入 得 ，即 .代入 ，得 ，解得 ，则 .所以椭圆方程为 .
（2） （i） 设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .则直线 方程为 .设 .联立 ，整理得 .由韦达定理及弦长公式，可得 .
同理可得 .
由 ，得 .
化简得 ，展开得 ，即 .因为 存在且不为零，所以 ，又 ，故 ，为定值.
（ii） 由 （i） 知 ，设 ，则 .设 的方程为 .利用弦长公式求出 .同理， 方程为 ，.四边形 的面积 ，其中 为两直线夹角.由于斜率互为相反数，两直线关于过 的水平直线对称，其夹角 满足 .计算可得 的表达式，通过换元（令 等）或求导求其最大值.最终得面积最大值为 .
【易错警示】 常见错误：利用弦长公式时，化简出错，导致 的结果不正确；在利用 推出 的关系时，化简不彻底.防错方法：严格按照弦长公式的推导步骤进行计算，对于复杂的代数式化简要仔细，可以分步进行.
【规律总结】 通法：处理直线与圆锥曲线相交的弦长问题，通常设出直线方程，与曲线联立，利用韦达定理和判别式，结合弦长公式求解.对于定值或定点问题，关键在于通过计算消去参数，得到常数或定点坐标.
【一题多解】
解法一：代数法（如上）.直接设直线方程，联立方程，利用弦长公式和韦达定理进行复杂代数运算，求出面积表达式，再求最值.
解法二：利用直线的参数方程.设直线 的参数方程为 ，代入椭圆方程，利用 的几何意义求 ，过程会简洁很多.
对比：解法一代数法思路直接，是通法，但计算量大.解法二参数方程法计算量较小，但对参数方程的掌握要求较高.在考试中，若对参数方程熟悉，可优先选用解法二以提高解题速度和准确率.
19.（2026·云南玉溪·模拟） （17分）
已知函数 ，.
（1） 当 时，讨论 的单调性；
（2） 当 时，试求出正整数 的最小值，使 存在唯一的极值点；
（3） 若 在 上有零点，求证：.
【答案】 （1） 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.（2） .（3） 证明见解析.
【详解】 （1） 当 时，，定义域为 .当 时， 恒成立， 在 上单调递增.当 时，令 ，得 .当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减.
（2） 当 时，.设 .要求 有唯一极值点，即 有唯一变号零点.
当 时，.但 ，存在另一个零点，不唯一.
当 时，.在 上，，， 单调递减.又 ，所以 在 内有唯一零点.当 时，，.当 时，.故此时 有唯一变号零点， 符合要求.所以正整数 的最小值为 .
（3） 若 在 上有零点，设为 ，则 .此式可看作点 在直线 上.则 表示点 到原点距离.由点到直线距离公式，.所以 .令 ，易知 ，即 .故 .设 ，求导得 .易知 在 上单调递减，在 上单调递增.所以 .故 .
【易错警示】 常见错误：（1） 讨论单调性时忽略定义域；（2） 求极值点唯一性时，只考虑导函数等于0，未考虑是否为变号零点或是否在定义域内还有其他零点；（3） 证明不等式时，将 直接放缩为 ，未说明 的严密性.
【规律总结】 通法：讨论含参函数的单调性，先求导，再对参数分类讨论，令导数大于0或小于0，求出单调区间.证明涉及零点的代数不等式，常通过转化构造新函数，利用导数研究其最值.本题第三问巧用“点到直线距离”的几何意义，将二元不等式转化为一元函数最值，是解决此类问题的巧妙方法.
【一题多解】
针对第(3)问：
解法一：几何距离法（如上）.将代数式赋予几何意义，转化为原点到直线的距离.
解法二：柯西不等式法.由 ，利用柯西不等式 .此法更为直接，避开了点到直线距离的几何解释.
对比：解法二（柯西不等式）过程更加简洁、直接，是处理此类已知线性等式的二元最值问题的首选方法.解法一（几何距离法）也很巧妙，体现了数形结合思想.在考试中，优先推荐使用柯西不等式，效率更高.
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2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（三）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆.
难度系数：0.60（计算过程：0.85×5 + 0.80×5 + 0.70×5 + 0.70×5 + 0.70×5 + 0.65×5 + 0.60×5 + 0.45×5 + 0.60×6 + 0.55×6 + 0.45×6 + 0.70×5 + 0.65×5 + 0.45×5 + 0.65×13 + 0.55×15 + 0.60×15 + 0.40×17 + 0.35×17 = 89.05 ÷ 150 ≈ 0.60）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·新疆·四月适应性检测） 一组数据 的中位数为 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·山西T8联盟·联考） 已知复数 的实部与虚部相等，则实数 （ 　　）
A. B. C. D.
3.（2026·重庆·二诊） 已知向量 与 满足 ，，且 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
4.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模） 若 ，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
5.（2026·云南玉溪·模拟） 已知圆 ，直线 ，设 为圆 上的一动点，则 点到直线 的最大距离为（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2026·山西T8联盟·联考） 已知 ，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模） 古巴比伦泥板(大英博物馆藏K90泥板)上记录的月相变化数列，是人类早期对天文现象进行数学描述的重要例证.该数列将满月等分为240份，记数列 为第 天月球被太阳照亮部分占满月的份数(其中 且 )组成的数列，第1天月球被太阳照亮部分占满月的 ，即 份；第15天为满月，即 .若在数列 中，前5项构成公比为 的等比数列，第5项到第15项构成公差为 的等差数列，且 均为正整数，则第10天可见部分占满月的（ 　　）
A. B. C. D.
8.（2026·山西卓越联盟·质量检测） 已知函数 ，若 时，，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·山西卓越联盟·质量检测） 春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为 ，则（ 　　）
A. 该组数据的平均数为
B. 该组数据的众数与中位数相同
C. 该组数据的极差为
D. 该组数据的方差为
10.（2026·山西·小高考五） 已知双曲线 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 ，两条渐近线的夹角为 ，点 在 上，且 ，设直线 与 轴的交点为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11.（2026·吉林长春·质量监测二） 景区在春节期间推出 ， 两种游玩套餐，已知某游客第一次选择 ， 两种游玩套餐的概率分别为 和 ，若该游客第一次选择 套餐，则第二次选择 套餐的概率为 ；若该游客第一次选择 套餐，则第二次选择 套餐的概率为 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 该游客第一次选择 套餐，第二次也选择 套餐的概率为
B. 该游客第一次选择 套餐的概率比第二次选择 套餐的概率小
C. 若该游客第二次选择 套餐，则他第一次选择 套餐的概率为
D. 若该游客第二次选择 套餐，则他第一次选择 套餐的概率为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·贵州毕节·二模） 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 的面积为____________.
13.（2026·辽宁鞍山·二模） 将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为____________.
14.（2026·山西卓越联盟·质量检测） 已知四面体 的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 ，， 是边长为 的正三角形，，则四面体 的体积为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·贵州毕节·二模） （13分）
设数列 满足 .
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 求数列 的前 项和 .
16.（2026·甘肃·二模） （15分）
如图，在多面体 中， 为矩形，，， 分别与平面 垂直，，，， 分别是 ， 的中点.
（1） 求证： 平面 ；
（2） 若 共面，求平面 和平面 所成角的余弦值.
17.（2026·贵州毕节·二模） （15分）
某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入 (单位：万元)与销售额 (单位：万元)的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：
，，，.
（1） 求销售额 关于直播带货中平台流量推广投入 的线性回归方程；
（2） 该公司计划下一场直播投入总额10万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入 万元 ()，主播佣金激励投入 () 万元.根据以往经验，主播佣金激励投入 万元的销售额为 () 万元；平台流量推广的效果仍符合(1)中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额.
参考公式：线性回归方程 中，，.
18.（2026·四川南充·二诊） （17分）
已知椭圆 的离心率 ，.
（1） 求椭圆 的方程；
（2） 过点 作两条斜率存在且不为零的直线 ，分别交 于 和 ，且满足 .
（i） 证明：直线 的斜率之和为定值；
（ii） 求四边形 面积的最大值.
19.（2026·云南玉溪·模拟） （17分）
已知函数 ，.
（1） 当 时，讨论 的单调性；
（2） 当 时，试求出正整数 的最小值，使 存在唯一的极值点；
（3） 若 在 上有零点，求证：.
答案解析
1.（2026·新疆·四月适应性检测）
【答案】 C
【详解】 数据从小到大排列为 .数据个数为6，中位数为中间两个数 和 的平均数.由中位数为 ，有 ，解得 .
【易错警示】 常见错误：忘记将数据按从小到大排序；对偶数个数据的中位数取法错误，误取为第3个数.
【规律总结】 通法：求一组数据的中位数，必须先将数据从小到大排序.若数据个数 为奇数，则中位数为最中间的数 ；若 为偶数，则中位数为最中间两个数 与 的平均数.
2.（2026·山西T8联盟·联考）
【答案】 B
【详解】 复数 .由实部与虚部相等，得 ，即 ，解得 ，.
【易错警示】 常见错误：复数除法运算时，分母实数化过程中符号出错；混淆实部和虚部（虚部是实数 ，不是 ）.
【规律总结】 通法：复数 的运算，分子分母同乘分母的共轭复数 ，即 ，再化为标准形式 .
3.（2026·重庆·二诊）
【答案】 C
【详解】 .
【易错警示】 常见错误：公式 中符号记错，尤其是将点积为负时忘记变号.
【规律总结】 通法：求向量的模长，通常先求模长的平方，即利用公式 .技巧：熟记此公式是解决向量模长问题的关键.
4.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）
【答案】 B
【详解】 因为 在 上单调递增，所以 ，可得 .由 ，且 在 上单调递增，可得 ，即 .由 在 上单调递增，可得 .综上，，即 .
【易错警示】 常见错误：不能将 转化为底数或指数相同的形式进行比较；对不同函数的单调性记忆不清.防错方法：比较几个指数幂的大小时，常通过转化为同底数或同指数，或引入中间值（如0，1）进行比较.
【规律总结】 通法：比较指数式或对数式大小，通常利用函数的单调性，结合中间量（如 或 ）进行判断.技巧：熟记指数函数、对数函数、幂函数的单调性是解决此类问题的基础.
5.（2026·云南玉溪·模拟）
【答案】 C
【详解】 直线 可化为 ，可知直线 恒过定点 .圆 的圆心为 ，半径 .圆心 到直线 的距离最大值为 ，而 为圆上动点，所以点 到直线 的最大距离等于圆心 到直线 的最大距离加上圆的半径.圆心 到直线 的距离的最大值为 .所以 点到直线 的最大距离为 .
【易错警示】 常见错误：求出定点 后，直接将点 到圆上点的最大距离 作为 到直线 的最大距离.防错方法：明确几何关系，点 到直线 的距离的最大值等于圆心到该直线的距离的最大值加上半径.
【规律总结】 通法：对于过定点的动直线，圆上一点到该直线的最大距离问题，常转化为圆心到定点的距离加上半径.技巧：先找到动直线过的定点，这是解题关键.
6.（2026·山西T8联盟·联考）
【答案】 A
【详解】 对于 和 ，由于底数 ，指数 ，根据指数函数的单调性，可得 .对于 和 ，直接比较困难.因为 且 与 均大于1，取对数比较：，.比较 等价于比较 和 ，即比较 与 .构造函数 ，求导得 .当 时，， 单调递增.因为 ，所以 ，即 ，从而 ，即 ，所以 .综上，.
【易错警示】 常见错误：直接利用估算或特殊值法，导致判断错误.防错方法：对于底数和指数均不同的幂值比较大小，常用取对数后构造函数的方法.
【规律总结】 通法：比较形如 与 的大小，常通过取对数转化为 与 的比较，进而构造函数 或 等，利用函数单调性求解.技巧：熟记函数 在 递增，在 递减.
7.（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）
【答案】 D
【详解】 由题知，，，，即 ，所以 .因为 均为正整数，当 时，；当 时，，满足；当 时，.所以 .那么 .此时月球被太阳照亮部分占满月的 .
【易错警示】 常见错误：未正确理解“第5项到第15项构成等差数列”的含义，导致项数计算错误（如 ）.防错方法：明确从第 项到第 项（）的项数为 .
【规律总结】 通法：解决等差、等比数列综合应用题，关键在于根据定义设立通项或求和方程，并结合题目中的整数条件进行讨论求解.技巧：利用 为正整数，通过整除性缩小范围.
8.（2026·山西卓越联盟·质量检测）
【答案】 D
【详解】 令 ，则 .当 时，， 在 上单调递减，所以 .当 时，，从而 ，与题意矛盾.
当 时，.设 ，， 在 上单调递增.又 .
① 若 ，则 ， 在 上小于0，在 上大于0.此时 在 上恒成立， 在 上单调递减，所以 ，满足题意.
② 若 ，则 ，存在 使得 .当 时，，， 单调递减，则 ，与 恒成立矛盾.
③ 若 ，则 ，存在 使得 .当 时，，， 单调递增，所以 ，满足题意.
综上，实数 的取值范围是 .
【易错警示】 常见错误：直接分离参数，但由于函数结构复杂导致求导困难或讨论不全面.防错方法：对于含参不等式恒成立问题，若能分离参数则优先分离，若不能，则直接构造函数讨论单调性和最值.本题先利用特殊点 缩小参数范围是关键.
【规律总结】 通法：已知不等式恒成立求参数范围，常通过构造函数，利用导数研究函数的最值.技巧：对于含有对数、幂函数的复杂函数，可尝试通过找特殊点（如 ）的函数值或导数值来缩小参数讨论范围，此即“端点效应”或“特殊点效应”.
【一题多解】
解法一：同上（构造函数讨论法）.
解法二：分离参数法（部分分离）.由 ，得 .但此分式求导讨论仍较复杂，不如解法一通过找特殊点 及导数的特殊值进行分类讨论来得直接.
对比：解法一（构造函数分类讨论）逻辑清晰，是解决此类问题的通法.解法二（分离参数）思路直接，但后续求导分析难度大.在考试中，若分离参数后函数形式简洁易分析，则优选分离参数法；否则，构造函数直接讨论更稳妥.
9.（2026·山西卓越联盟·质量检测）
【答案】 BCD
【详解】 数据总和为 ，平均数为 ，A错误.数据从小到大排列为 ，众数为 ，中位数为 ，B正确.极差为 ，C正确.方差为 ，D正确.
【易错警示】 常见错误：计算平均数时出错，导致方差计算错误；对中位数、众数的概念混淆.防错方法：计算方差时先求平均数，再求各项与平均数的差的平方和，最后除以数据个数.
【规律总结】 通法：计算样本数字特征时，先排序.众数（出现次数最多）、中位数（排序后中间位置的数或中间两数的平均）、极差（最大值减最小值）、方差（各数据与平均数差的平方和的平均数）.
10. （2026·山西·小高考五）
【答案】 BC
【详解】 双曲线 ，。渐近线方程为 。
对于A：设渐近线 的倾斜角为 ，渐近线 的倾斜角为 ，则 。两条渐近线的夹角 满足 。故A错误。
对于B：由 知四边形 为平行四边形，从而 且 。又 ，，设 ，由向量相等可得 与 关于某点对称。结合双曲线方程，可求得 。故B正确。
对于C：由 可得 ，即 ，所以 在 的左侧4个单位。又直线 交 轴于 ，设 ，通过坐标运算可得 ，即C正确。
对于D：计算 ，由坐标可得该点积并非28，故D错误。
综上，正确选项为BC。
【易错警示】 常见错误：渐近线夹角公式记忆错误（分母处符号）；向量相等转化坐标时忽略正负号；点积运算坐标代入错误。
【规律总结】 通法：双曲线渐近线夹角问题，利用到角公式或两直线夹角公式；向量相等问题直接转化为坐标方程，与圆锥曲线方程联立求解。
11.（2026·吉林长春·质量监测二）
【答案】 BCD
【详解】 设事件 为“第一次选择 套餐”，事件 为“第二次选择 套餐”.由题知，，，，.
对于 A，该游客第一次选择 套餐，第二次也选择 套餐为事件 ，其概率为 ，故 A 错误.
对于 B，由全概率公式，.因为 ，故 B 正确.
对于 C，，故 C 正确.
对于 D，，故 D 正确.
【易错警示】 常见错误：混淆条件概率 与积事件概率 ；全概率公式应用错误.防错方法：清晰定义事件，熟记条件概率公式 和全概率公式 .
【规律总结】 通法：解决条件概率与全概率问题，首先要设出基本事件，然后用字母表示各概率.利用概率树状图可以帮助理解事件间的先后和条件关系.
【一题多解】 （对于选项C、D，也可用缩小样本空间法，但此处用定义法更为严谨和通用）
对比：直接利用条件概率和全概率公式计算是通用解法.对于样本空间较小的问题，也可以使用列举法（如画树状图），但本题状态转移概率已明确，直接套用公式更为高效.
12.（2026·贵州毕节·二模）
【答案】
【详解】 由余弦定理可得 .因为 ，所以 ，.故 的面积为 .
【易错警示】 常见错误：余弦定理公式记错（如符号记反）；由 求 时未注意角的范围，导致正负号错误.防错方法：熟记余弦定理的几种变形，求角时先确定角的范围，确保正弦值非负.
【规律总结】 通法：已知三边求三角形面积，通常先用余弦定理求出一个角的余弦值，再转化为正弦值，最后用面积公式 求解.
13.（2026·辽宁鞍山·二模）
【答案】
【详解】 5人分到3个小组，每组至少1人至多2人，则分组方式只能是 .先将5人分成 三组.先选1人单独成组，有 种选法；剩余4人平均分成2组，有 种分法，故分组方法共 种.再将三组分配到三个不同小组，有 种方法.所以总安排方法数为 种.
甲乙恰好被分到同一小组.若甲乙在2人组，则从其余3人中选1人组成三人中的另一组，但总分组是 ，甲乙所在组为2人，另一2人组从剩余3人中选2人，最后1人独组.即 种分组方式.然后分配到三个组，有 种.所以共有 种.若甲乙在2人组中的情况只有这一种.故概率 .
【易错警示】 常见错误：分组分配问题中的平均分组未除以组数的阶乘，导致重复计数；对“甲乙恰好被分到同一小组”的情况分类不全.防错方法：遵循“先分组，再分配”的原则，分组时注意均匀分组与不均匀分组的区别.
【规律总结】 通法：对于分组分配问题，先分组后分配.若分组中存在平均分组，则必须除以相同元素个数的阶乘（即组数的阶乘）来消除顺序带来的重复.
14.（2026·山西卓越联盟·质量检测）
【答案】 或
【详解】 取 中点 ，连接 ，则 平面 .设球心为 ，过 作 平面 ，垂足为 ，则 是 的外心，.取 中点 ，则 .球半径 满足 ，得 .
由 ，得 ，.
当点 与 在 两侧时，（取绝对值）.此时 到平面 的距离 计算得体积为 .
当点 与 在 同侧时， 到平面 的距离 .体积为 .
【易错警示】 常见错误：只考虑球心与几何体的一种位置关系，忽略另一种情况，导致漏解.防错方法：对于没有给出明确位置关系的几何体外接球问题，要考虑球心与各面的相对位置，通常会有多种情况.
【规律总结】 通法：求几何体的外接球体积或表面积，关键是求出外接球的半径 .对于一般四面体，常通过找两个面的外心，作垂线，交点即为球心，再利用勾股定理求 .
【一题多解】
解法一：几何法（如上）.通过找球心、计算相关线段长度，利用二面角等几何关系求高.
解法二：建系法.由于 是正三角形，且 ，该四面体具有一定的对称性，可通过建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程求解，再求点到面的距离得体积.
对比：几何法对空间想象能力要求高，但计算相对简单.建系法思路直接，但坐标设定和计算量可能较大.本题采用几何法能更好体现几何关系，且效率更高.
15.（2026·贵州毕节·二模）
【答案】 （1） ；（2） .
【详解】 （1） 当 时，，得 .
当 时，由 ，
可得 .
两式相减得 ，所以 .
当 时，，符合上式.
综上，数列 的通项公式为 .
（2） 由 （1） 得 .
所以 .
【易错警示】 常见错误：利用 时，未注意 的条件，且未检验 的情况是否满足通项公式；裂项相消时未注意符号和剩余项.
【规律总结】 通法：已知数列前 项和与项的关系求通项，常用 .对于分式型数列求和，常采用裂项相消法.
16.（2026·甘肃·二模）
【答案】 （1） 证明见解析；（2） .
【详解】 （1） 连接 .因为 是矩形， 是 的中点.又 平面 ， 平面 ，所以 .在梯形 中， 是 的中点，故 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2） 以 为原点，建立空间直角坐标系 .由题意得 ，，，，，.
易证平面 平面 .因为 共面，且平面 分别与两平行平面相交，交线平行，故 为平行四边形.由 与 互相平分于 ，可得 .
设平面 的法向量为 .由 ，，得 .取 ，得 ，即 .也可取 .
平面 的法向量可取为 .
设平面 与平面 所成角为 ，则 .
所以平面 和平面 所成角的余弦值为 .
【易错警示】 常见错误：在建立空间直角坐标系时，坐标写错，导致后续法向量计算出错.防错方法：建系后，按一定顺序（如逆时针）逐个点核对坐标.
【规律总结】 通法：证明线面平行，常在面内找一条与已知直线平行的直线.求二面角，常用空间向量法，即求出两个半平面的法向量，再利用法向量的夹角公式求得二面角的余弦值.
17.（2026·贵州毕节·二模）
【答案】 （1） ；（2） 分配6万元投入平台流量推广、4万元投入主播佣金时销售额最大，最大销售额为76万元.
【详解】 （1） 由题知，，.
计算回归系数：
.
.
所以回归方程为 .
（2） 方案一：全部投入平台流量推广，即 ，销售额为 万元.
方案二：平台流量推广投入 万元，主播佣金投入 万元.总销售额为两部分之和：.
这是一个开口向下的二次函数，对称轴为 .因为 ，所以当 时， 取得最大值， 万元.
因为 ，所以方案二更优.应分配6万元用于平台流量推广，4万元用于主播佣金激励，此时最大销售额为76万元.
【易错警示】 常见错误：回归系数公式中的 分子分母计算错误；二次函数求最值时，未注意定义域或最值点是否在定义域内.防错方法：牢记回归系数公式，计算仔细；对于二次函数最值，先判断开口，求出对称轴，再结合定义域求最值.
【规律总结】 通法：线性回归问题，关键是利用公式求出 和 .对于决策优化问题，通常是根据题意建立目标函数（如利润、销售额等），再利用函数性质（如二次函数、导数等）求最值.
18.（2026·四川南充·二诊）
【答案】 （1） ；（2） （i） 证明见解析，（ii） .
【详解】 （1） 由题意，.由 ，得 .代入 得 ，即 .代入 ，得 ，解得 ，则 .所以椭圆方程为 .
（2） （i） 设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .则直线 方程为 .设 .联立 ，整理得 .由韦达定理及弦长公式，可得 .
同理可得 .
由 ，得 .
化简得 ，展开得 ，即 .因为 存在且不为零，所以 ，又 ，故 ，为定值.
（ii） 由 （i） 知 ，设 ，则 .设 的方程为 .利用弦长公式求出 .同理， 方程为 ，.四边形 的面积 ，其中 为两直线夹角.由于斜率互为相反数，两直线关于过 的水平直线对称，其夹角 满足 .计算可得 的表达式，通过换元（令 等）或求导求其最大值.最终得面积最大值为 .
【易错警示】 常见错误：利用弦长公式时，化简出错，导致 的结果不正确；在利用 推出 的关系时，化简不彻底.防错方法：严格按照弦长公式的推导步骤进行计算，对于复杂的代数式化简要仔细，可以分步进行.
【规律总结】 通法：处理直线与圆锥曲线相交的弦长问题，通常设出直线方程，与曲线联立，利用韦达定理和判别式，结合弦长公式求解.对于定值或定点问题，关键在于通过计算消去参数，得到常数或定点坐标.
【一题多解】
解法一：代数法（如上）.直接设直线方程，联立方程，利用弦长公式和韦达定理进行复杂代数运算，求出面积表达式，再求最值.
解法二：利用直线的参数方程.设直线 的参数方程为 ，代入椭圆方程，利用 的几何意义求 ，过程会简洁很多.
对比：解法一代数法思路直接，是通法，但计算量大.解法二参数方程法计算量较小，但对参数方程的掌握要求较高.在考试中，若对参数方程熟悉，可优先选用解法二以提高解题速度和准确率.
19.（2026·云南玉溪·模拟）
【答案】 （1） 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.（2） .（3） 证明见解析.
【详解】 （1） 当 时，，定义域为 .当 时， 恒成立， 在 上单调递增.当 时，令 ，得 .当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减.
（2） 当 时，.设 .要求 有唯一极值点，即 有唯一变号零点.
当 时，.但 ，存在另一个零点，不唯一.
当 时，.在 上，，， 单调递减.又 ，所以 在 内有唯一零点.当 时，，.当 时，.故此时 有唯一变号零点， 符合要求.所以正整数 的最小值为 .
（3） 若 在 上有零点，设为 ，则 .此式可看作点 在直线 上.则 表示点 到原点距离.由点到直线距离公式，.所以 .令 ，易知 ，即 .故 .设 ，求导得 .易知 在 上单调递减，在 上单调递增.所以 .故 .
【易错警示】 常见错误：（1） 讨论单调性时忽略定义域；（2） 求极值点唯一性时，只考虑导函数等于0，未考虑是否为变号零点或是否在定义域内还有其他零点；（3） 证明不等式时，将 直接放缩为 ，未说明 的严密性.
【规律总结】 通法：讨论含参函数的单调性，先求导，再对参数分类讨论，令导数大于0或小于0，求出单调区间.证明涉及零点的代数不等式，常通过转化构造新函数，利用导数研究其最值.本题第三问巧用“点到直线距离”的几何意义，将二元不等式转化为一元函数最值，是解决此类问题的巧妙方法.
【一题多解】 （针对第(3)问）
解法一：几何距离法（如上）.将代数式赋予几何意义，转化为原点到直线的距离.
解法二：柯西不等式法.由 ，利用柯西不等式 .此法更为直接，避开了点到直线距离的几何解释.
对比：解法二（柯西不等式）过程更加简洁、直接，是处理此类已知线性等式的二元最值问题的首选方法.解法一（几何距离法）也很巧妙，体现了数形结合思想.在考试中，优先推荐使用柯西不等式，效率更高.
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