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吉林省长春市2026届高三质量监测（二）
数学试卷
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
4．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
5．的展开式中的系数为160，则（ ）
A．-2 B． C． D．2
6．某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（ ）

A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
7．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数，若且，则（ ）
A．9 B．21 C．27 D．30
二、多选题
9．已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A．的虚部是 B．在复平面内对应的点在第二象限
C． D．
10．已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则下列有关函数及其性质的描述正确的是（ ）
A．
B．为函数图象的一条对称轴
C．将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象
D．函数的单调递减区间为
三、单选题
11．景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为
B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小
C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为
D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为
四、填空题
12．已知函数，若，则的取值范围是___________．
13．在中，，，，的面积为______________.
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是___________．
五、解答题
15．为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）．
性别 身高 合计
低于170cm 不低于170cm
男 8 24 32
女 12 6 18
合计 20 30 50
(1)依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？
(2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16．在数列中，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
17．如图，三棱柱的所有棱长均为2，且．
(1)证明：；
(2)若三棱柱的体积为3，求平面与平面所成角的余弦值．
18．已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为．
(1)求的方程；
(2)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值．
19．在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量（单位：千只）与时间（单位：月），满足函数，其波动呈现“往复波动，逐渐稳定”的特征．
定义：若函数在上满足：1．震荡性：在上无限次正负交替；2．衰减性：任意给定正实数，存在实数，使得当时，．则称为震荡衰减函数．
(1)求在内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必证明）．
(2)根据定义判断函数在上是否为震荡衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明理由．
(3)设．求证：无最大值．
参考答案
1．B
2．A
3．C
4．D
5．D
6．C
7．B
8．D
9．BD
10．AC
11．BCD
12．
13．/
14．
15．（1），
依据的独立性检验，可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联．
（2）从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率
16．（1）由题意，故，
，结合可知为递增数列，可得
故，即数列是公比为3的等比数列．
（2）由（1）可得，即，
采用分组求和方式．设为数列的前项和．为数列的前项和．
则①
②
①-②可得：
即．
又．
故．
17．（1）取中点，连接，，
又因为是等边三角形，所以，
又因为，，所以是等边三角形，所以，
又因为，平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）由三棱柱的体积为3．可知三棱锥的体积为1．
即,
解得，即，所以，又，
所以以为原点．以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以平面的一个法向量为，
又
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，
.
即平面与平面所成角的余弦值为．
18．（1）抛物线的焦点，准线为，
抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值，即，即，故的方程为．
（2）由题意可知直线斜率存在，设的方程为，与抛物线联立消去可得
，则，，
则，
的中点在直线上，
即，即，
由弦长公式可知，
点到直线的距离为，
即的面积为，
令，，则，
则，
令，则
令可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因此在处取得最大值，即的最大值为，
即面积的最大值为．
19．（1）由函数，则．
在上，令，则和，
当，当时，，
则为极小值点，为极大值点，在内的所有极值点皆为使得的点，即在这些极值点处，波动量的增长率为0．
（2）由（1）可知．
在上无限次正负交替，则满足震荡性：
又，
令．则，令．
当时，，则满足衰减性．
综上，满足震荡性和衰减性，是震荡衰减函数．
（3），，
不难看出恒成立，
即若存在最大值点，则．
现研究在上的单调性
①当时，,
由于，故故；
②当时，，；
③当时，，
其中为锐角，，即，
当时，，当时，，
综上，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
由，
而，
即在上无最大值点．

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