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第五章 分式与分式方程提优测评卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·江苏扬州宝应期中)下列分式是最简分式的是( ).
A. B. C. D.
2.若a，b是实数，且分式 则3a+b的值是( ).
A. 10 B. 10或 2 C. 2 D.非上述答案
3.(2025·山东枣庄薛城区期末)根据下列表格中的部分信息，分式y可能是( ).
x … -2 1 0 1 2
y … 无意义 ● ● 0
A. B. C. D.
4.(2025·陕西西安经开区期末)分式运算 的结果是x-1，则□处的运算符号是( ).
A. + B.- C. × D. ÷
5.若分式 中的x，y的值都变为原来的3倍，则此分式的值( ).
A.不变 B.是原来的9倍 C.是原来的三分之一 D.是原来的3倍
6.若分式 则分式 的值等于( ).
A.
7.已知 则关于A 的值，下列说法正确的是( ).
A.当x=1时,其值为1 B.当x=-1时,其值为1
C.当x<2时,其值为正数 D.当x>2时,其值小于1
8.(2025·齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程 无解，那么实数m的值是( ).
A. m=1 B. m=-1 C. m=1或m=-1 D. m≠1且m≠-1
9.已知x为实数，且 那么 的值为( ).
A. 1 B. - 3或1 C. 3 D. - 1或 3
10.已知代数式 第一次操作将 作为新的x代入 中化简后得到新的式子记为 第二次操作将 作为新的x代入F 中化简后得到新的式子记为 第三次操作将 作为新的x代入F 中化简后得到新的式子F ，…，以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有( ).
②若 则 ③不存在整数x，使得 的值为负整数.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·陕西宝鸡期末)已知 和 互为相反数，则x的值为 .
12.(2025·河北张家口桥西区期中)如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 .
13.(2025·福建福州晋安区期末)已知 则 的值是 .
14.(2025·四川达州开江期末改编)已知： 则 的值为 .
15.已知x为整数，且分式 的值为整数，则x可取的值为 .
16.(2025·陕西榆林苏州中学月考)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的 倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列出的分式方程为 .
17.若正数a,b,c满足 则
18.如图所示,已知长方形 ABCD 的长AD=30cm,宽AB=20cm,如果把长方形ABCD 的长增加x cm,则得到长方形 ABEF;如果把长方形 ABCD 的宽增加x cm,则得到长方形 AMND.若长方形ABEF 与长方形AMND 的面积之比为5:6,则x= .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2025·石家庄二模)下面是两道习题及其错误的解答过程.
习题1：计算
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
习题2：解方程
解：两边同乘((x-3),得x=2-3,……第一步
x=-1,……第二步
经检验，x=-1是原方程的解.……第三步
(1)分别写出习题1、习题2的解答过程是从第几步出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程.
20.(6分)记式子
(1)填空：若要使式子A 有意义，则a值不能为 ；
(2)化简A.
21.(8分)定义关于☆的一种新运算： (a,b是实数，且 a≠b),例如：
(1)求3☆(-5)的值.
(2)是否存在x的值，使得x☆1=1☆x-3成立 若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.
22.(8 分)(2025·大庆二模)先化简,再求值: 其中 x 是整数且满足不等式组
23.(8分)已知关于x的分式方程
(1)当m=1时，解分式方程；
(2)若方程无解，求m的值.
24.(8分)阅读下面解题过程：已知 求 的值.
解：
即
请借鉴上述方法解答下面的题目：
已知 求 的值.
25.(10分)(2025·重庆中考)列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个.
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
26.(12分)(1)[读读做做]
观察下面的式子，探索它们的规律.
用正整数n表示这个规律是 .
(2)[问题解决]
一容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出 水，第二次倒出的水量是 水的 第三次倒出的水量是 水的 第四次倒出的水量是 水的 第n次倒出的水量是 水的 按照这种倒水方式，这1L水能否倒完
(3)[拓展探究]
①解方程：
②化简：
1. A [解析]A. 符合最简分式的定义.故本选项符合题意；→最简分式的标准是分子、分母不含有公因式，不能再约分
B. 的分子、分母含有公因数3，则它不是最简分式.故本选项不符合题意；
的分子、分母含有公因式m，则它不是最简分式.故本选项不符合题意；
的分母为(x+1)(x-1)，所以该分式的分子、分母含有公因式(x+1)，则它不是最简分式.
故本选项不符合题意.故选 A.
2. A [解析]:∵分式
∴b≠-4.
又
∴3a+b=3×2+4=10.故选 A.
3. B
4. D [解析] 故选D.
5. B [解析]由题意,得
∴若分式 中的x，y的值都变为原来的3倍，则分式的值变为原来的9倍.故选 B.
6. B [解析]整理已知条件,得y-x=2xy,∴x-y=-2xy.
将x-y=-2xy整体代入分式，得
故选 B.
7. D [解析
当x=1时，分母为0，分式无意义，故A不符合题意；
当x=-1时，分母为0，分式无意义，故B不符合题意；
当x<2且x≠±1，x≠0时，其值是正数或负数，故C不符合题意；
当x>2时，其值大于0且小于1，故D符合题意.故选 D.
8. C [解析]方程去分母,得 mx-x=2(1-x),整理,得(m+1)x=2.
∵原方程无解，
∴①整式方程无解,则m+1=0,解得1m=-1,
②分式方程有增根,则x-1=0,解得x=1,把x=1代入(m+1)x=2,得m+1=2,解得m=1.综上,m=1或m=-1.故选 C.
9. B [解析]设 方程变形为 去分母，得 即 分解因式,得(y-1)(y+3)=0,则y=1或y=-3,经检验，y=1与y=-3都为原分式方程的解，则 的值为-3 或1.故选 B.
10. C
11.3
12.1 [解析]被盖住的部分为
利用被减数等于差加上减数得到被盖住的部分，然后进行同分母的加法运算
13.7 [解析]
则
14.1 [解析]
∴原式=1.
15.0或2或3 [解析]
的值为整数,∴x-1可以取1,2,-1,-2.
①当x-1=1时,x=2;
②当x-1=2时,x=3;
③当x-1=-1时,x=0;
④当x-1=-2时,x=-1.
∵x -1≠0,∴x≠±1,∴x=-1不符合题意.
综上所述，x可取的值为0或2或3.
[解析]∵规定时间为x天，
∴用慢马派送所需时间为(x+1)天，用快马派送所需时间为(x-2)天.
根据题意，得
17. [解析]∵abc=1,a,b,c都为正数,
由①②，解得
18.20 [解析]∵AF=(30+x) cm,AM=(20+x) cm,∴长方形 ABEF 的面积为20(30+x)cm ,长方形 AMND 的面积为30(20+x)cm ,根据题意,得 解得x=20.经检验,x=20是原分式方程的解.
19.(1)习题1是从第一步出现错误的，习题2 是从第一步出现错误的.
(2)选习题1
选习题2
方程两边同乘(x-3),得x=2(x-3)+3,
去括号,得x=2x-6+3,
解得x=3,
经检验，x=3是原方程的增根，
所以原分式方程无解.
20.(1)0,1,-2
(2)由题意，得
去分母,得x=-x-3(x-1),
解得
经检验， 是原方程的解.
∴原方程的解为
∴存在 使x☆1=1☆x-3成立.
由①,得x≤-1,由②,得x≥-3,
∴-3≤x≤-1.
∵x是整数,∴x=-1或-2或-3.
∵x+1≠0,x+2≠0,x-2≠0,
∴x=-3.当x=-3时,原式
23.(1)当m=1时,原方程为
去分母,得x-2(3-x)=-1,
解得
经检验， 是原方程的解，
∴原分式方程的解为
(2)去分母,得-x-2m(x-3)=m,整理,得(2m+1)x=5m.
∵分式方程无解，
∴方程(2m+1)x=5m无解或方程(2m+1)x=5m的解为x=3.
若方程(2m+1)x=5m无解,
则2m+1=0且5m≠0,
解得
若方程(2m+1)x=5m的解为x=3,则3(2m+1)=5m,解得m=-3.
综上所述，当 或-3时，方程无解.
把等式两边都变为倒数
25.(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个，则每天生产乙种文创产品的数量是(x-50)个，
根据题意,得3x-4(x-50)=100,
解得x=100,
∴x-50=100-50=50.
故该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个，每天生产乙种文创产品的数量是50个.
(2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个，
根据题意，得
利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”，可列出关于y的分式方程
解得y=20,
经检验，y=20是所列方程的解，且符合题意.
故每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个.
(2)前n 次倒出的水总量为
∴按这种倒水方式，这1L水倒不完.
(3)①原方程整理，得
解得
经检验， 是原方程的解，
∴原方程的解为

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