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广东汕尾市陆丰市玉燕中学2025-2026学年高二下学期素养测试4数学试卷
一、单选题
1．已知函数的导函数为，则（ ）
A． B．1 C．5 D．
2．已知等差数列的前3项和为18，，则（ ）
A．18 B．15 C．14 D．10
3．已知为平行四边形，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，、两点在河的两岸，为了测量、之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出、之间的距离是，，，则、两点之间的距离为（ ）．
A．50 B． C．100 D．
5．对于直线，若与均在集合内取值，则不同的直线条数共有（ ）
A．101 B．91 C．90 D．72
6．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
7．微信是人们的一个重要社交平台，它有一个功能是可以发朋友圈.微信发朋友圈时，可以最多同时分享9张照片，这9张照片排成三行三列，如九宫格的形式.某人参加了2021年中国共产党建党100周年的一个庆祝活动，拍摄了一些照片，准备将其中的9张不同照片分享给他的朋友，这9张照片中，有3张是不同三人的演讲，有3张是不同演员的双人朗诵，有3张是不同单位的合唱，那么该人在分享照片的时候，每行每列都是不同类别照片的排法有（ ）种.
A．2592 B．1296 C．648 D．108
8．已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．角为第三象限角的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
10．下列不等式中，恒成立的有（ ）
A． B． C． D．
11．设数列的前项和为，且，若，则下列结论正确的有（ ）
A． B．当时，取得最小值
C．当时，的最小值为7 D．当时，取得最小值
三、填空题
12．若，则________．
13．已知等比数列的前项和为，若，，则________.
14．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为________.
四、解答题
15．已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为．
(1)求双方需要进行第三局比赛的概率；
(2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率．
16．已知数列满足，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前n项和．
17．如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
18．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：函数有且仅有两个零点．
19．已知椭圆：的焦距为2，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，是椭圆上的两个点，且，证明：为定值；
(3)将椭圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.若点，点，在曲线上，且，求的最大值.
参考答案
1．C
2．A
3．C
4．D
5．B
6．C
7．A
8．A
9．ABD
10．BCD
11．ABD
12．32
13．21
14．
15．（1）若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局，
因为前两局比赛中，双方各先手一次，
故双方需要进行第三局比赛的概率．
（2）记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥，
由，
，
，
得．
16．（1）∵，∴，
即，又，
∴，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，∴，
∴，
则
.
17．（1）因为是正三角形，M为AB中点，所以CM⊥AB，
因为平面平面ABC，所以，
又平面
所以平面
又因为平面，所以，
连接，易得，
所以，所以，
又因为，所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）取AC中点O，连接，易知三条直线两两垂直，
以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
由（1）知平面的一个法向量为，又，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
18．（1）当时，，则，
所以，所以切线方程为，即．
（2）由题意得，
若函数存在单调递减区间，则在上有解，
所以在上有解，
因为函数在上单调递减，
所以，故．
（3）由题意得，则，
令，则，
令可得，（舍）或，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又，，，
所以存在，使得，即，
所以当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
因为时，，，
所以存在，使得，
又，
所以存在，使得，
所以函数有且仅有两个零点．
19．（1）由题意得解得
所以椭圆的方程为.
（2）当直线或其中一条斜率不存在时，.
当直线，斜率存在且均不为0时，设直线：，，
由得，
所以.
同理可得，所以.
综上，.
（3）解法一：
设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为，
则代入中得：.
设的中点为，因为，所以
所以，即.
所以.
解法二：
设曲线上任意一点坐标为，对应椭圆上点坐标为，
则代入中得：.
设原点到直线，的距离分别为，，则.
.
所以，当且仅当时取得等号.
即的最大值为.

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