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2025—2026学年山东省职教高考研究联合体第三次联合考试
数学试题 2026-01
本试卷分卷一(选择题)和卷二(非选择题)两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生
请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
卷 一 ( 选 择 题 共 6 0 分 )
一、选择题(本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符
合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上)
1 .设集合A= { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } ,若全集U=A∪B,则 C v (A∩B ) =
A.{1,2,3,4} B. {1,4 }
C.{2,3} D . { 1 }
2.已知 则M 与N 的大小关系为
A. M≥N B. M≤N
C . M > N D . M < N
3 . 已 知 复 数 z = i ( - 2 + i ) , 则
A.1 B.2 C. D.
4.函数 的定义域为
B.(0,1] D. (0,
5.化简:
A.0
6.若直线l过点(1,2),(3,0),则该直线的倾斜角为
A.45° B.60° C.135° D.150°
7.将直线l :x+y-2=0绕点(2,0)顺时针旋转90°得到直线l ,则直线l 的方程为
A . 2 x - y + 4 = 0 B . x + y - 2 = 0
C . x - y - 2 = 0 D . 2 x - y - 4 = 0
8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯 ”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，自上而下相邻两层中，下一
层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层所挂灯的盏数为
A.3 B.4 C.5 D.6
9.已知某同学罚篮的命中率为 ，且每次罚篮都互不影响，则他连续罚篮3次，只命中1次的
概率为
A. B. C. D.
(数学试题 共 4 页 ) 第1页
10.已知 lga+ lgb=0(a>0,b>0,且a≠1,b≠1),则函数 f(x)=a 与 g ( x ) = l o g b x 的图像
可能为
11.已知a>0,a≠1,m,n∈R,则“m>n”是“a">a"”的的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
的二项展开式的中间项为
A . - 1 6 0 B.60x C.160x
13.在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆x
交于点 则下列各式正确的是
14.已知过点 P(3,1)的直线与圆 相 切 于 点 A , 则 | P A | =
A.16 B.4 C . 2 1
15.已知函数 其中a>0且a≠1,对任意x ,x ∈R,当.
时总有 则实数a 的取值范围为
A.(1,
C.[1,
16.现从甲、乙等7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选
的所有不同选法种数为
A.120 B . 6 0 C.30 D . 2 0
17.一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的6个红球、x个绿球，现采用不放回的方式从中
依次随机取2个球，若取出的2个球都是红球的概率为 则x=
A.3 B.4 C.10 D.12
18.如图所示,在正方体ABCD-A B C D 中,M 是AB 的中点,则与直
线 D M相交的是
A.直线 BB B.直线 AB
C.直线AC D . 直 线 B C
( 数 学 试 题 共 4 页 ) 第2页
19.已知抛物线 的焦点为F，点Q(1，m)在抛物线上，且|QF|=2，则该抛物线
的准线方程为
A . x = - 1 B . x = - 2 C. x=1 D. x=2
20.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给
出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，大正方形由4个相同
的直角三角形与中间的小正方形拼接而成，若直角三角形中较小的锐角为θ，
大正方形的面积是1，小正方形的面积是 ，则 的值为
A.1 C.
卷 二 ( 非 选 择 题 共 6 0 分 )
二、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填写在答题卡相应题号的横线上)
21.如图所示，△A'B'C '为水平放置的△ABC 的斜二测直观图，若 则
△ABC 绕y轴旋转一周形成的几何体的体积为 .
22.某职业学校三年级共有800名学生，现采用系统抽样的方法从中随机抽取50人参加社团
活动，将全体学生进行编号，分别为1~800，若第3号码段抽到的学生编号为36，则最后号
码段抽到的学生编号为 .
23.已知向量a，b均为单位向量，且 则 < a , b > = .
24.已知在函数f(x)=4s in (ωx+φ)与直线y=2的交点中，距离最近的两交点间的距离为
π/3，那么函数f(x)的最小正周期为 .
25.已知椭圆 的左、右焦点分别为 F ，F ，P为椭圆上的一点，且
若△PF F 的面积为4,则b= .
三、解答题(本大题5个小题，共40分.请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上)
26.(7分)已知等差数列{an}的前n项和为 Sn,且.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{b }满足( ,求{b }的前n项和 Tn.
(数学试题 共 4 页 ) 第3页
27. (8分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=
AB,E 为PB的中点.
(1)求证:AE⊥平面 PBC;
(2)求直线 AC 与平面PBC 所成角的大小.
28.(8分)已知函数
( 1 )若f (x+2 )为偶函数,求函数 f (x )的解析式;
(2 )已知函数 f(x)在[1,+∞)上的最小值为2a,求实数a的值.
29.(8分)如图所示，河流两侧有在同一平面内的A，B，C，D四个标点，现要不过河测量河对
面A，B两点间的距离，测绘人员在 C，D 一侧，测得CD=20米，∠ :
30°,∠CDB=45°,∠BDA=60°,求 A,B 两点间的距离.
30.(9分)已知双曲线 的离心率为 ，右焦点到双曲线的一条渐近线
的距离为1.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)已知斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB 的面积为
求直线AB 的方程.
(数学试题 共 4 页 ) 第4页
2025—2026学年山东省职教高考研究联合体第三次联合考试
数学试题答案及评分标准
卷一(选择题 共60分)
一、选择题(本大题20个小题,每小题3分,共60分)
1.B 【解析】由题意得U=A∪B={1,2,3,4},A∩B={2,3},所以 U(A∩B)={1,4}.
2.A 【解析】因为M-N=x2-x+3-(x+2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以M≥N.
3.D 【解析】因为z=i(-2+i)=-2i-1,所以|z|= (-2)2+(-1)2= 5.
【 】 {1-x≥0, 14.C 解析 由题意得 解得x< ,所以函数 ()的定义域为 1 , 3 f x -∞, ÷.1-3x>0 è 3
5.B 【解析】 AB→-CD→+BD→=AB→+BD→-CD→=AD→-CD→=AD→+D→C=A→C.
6.C 【解析】因为直线l过点(1,2)和点(3,0),所以直线l的斜率
0-2
k= =-1,设直线3-1 l
的倾斜角为α,则k=tanα=-1,且0≤α<180°,所以α=135°.
7.C 【解析】由题意得,直线l1,l2 垂直,所以可设l2:x-y+c=0,因为l2 过点(2,0),所以
2-0+c=0,解得c=-2,所以直线l2 的方程为x-y-2=0.
8.A 【解析】设顶层的灯数是a1,则每一层灯数形成以2为公比的等比数列{an},所以由题
a (1-27)
意可得S 17= 1-2 =381
,解得a1=3,所以塔的顶层所挂灯的个数为3.
9.A 【解析】由题意可知,该同学罚篮的命中次数服从二项分布,每次罚篮的命中率为
2,所
3
2 2以 23次罚篮命中1次的概率P=C1 1 3× × ÷3 3 =9.è
1
10.D 【解析】由lga+lgb=0,可知 =b,故f(x)=a-x=bx,所以函数f(x)=a-x与函数a
g(x)=logbx 的单调性相同,只有D选项符合.
11.D 【解析】取
1
a= ,m=2,n=1时,满足m>n,但是 1
2 1 1 1
÷
2 2 = <
1
÷
4 2 =
,即此时am
è è 2
1
a= ,m=1,n=2时,满足am>an,但此时m立,所以“m>n”是“am>an”的既不充分也不必要条件.
6 r
12.D 【解 析】 2 x2 - ÷ 的 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 为x Tr+1=C
r 2 6-r 2
è 6
(x ) - ÷ =
è x
(-2)rCrx12-3r,中间一项为第四项T =(-2)3 3 12-3×3 3 36 3+1 C6x =-160x ,即中间项为-160x .
3 4 3 3
13.C 【解析】由题意得sinα=- ,5 cosα=
,
5 tanα=-
,所以 ( ) ,
4 tanπ-α =-tanα=4
(数学试题答案及评分标准 共5页) 第 1页
A错误; (
3 3
sinπ+α)=-sinα= ,B错误;5 cos
π

2-α
÷=sinα=- ,5 C
正确;sin(2π+α)=sinα
è
3
=- ,D错误5 .
14.B 【解析】将圆x2+y2+2x+4y-4=0化为(x+1)2+(y+2)2=9,则圆心C(-1,
-2),半径r=3,所以|PC|= (-1-3)2+(-2-1)2=5,|PA|= |PC|2-r2=4.
( ) ( )
15.A 【解析】
f x -f x
因为对任意x1,x2∈R,当x1≠x2 时总有
1 2 <0,所以f(x)在x -x R2 1
ì 2-a
2>0,
上单调递增,

故有 ía>1, 解得1 (2-a2)-1≤a-1,
16.C 【解析】首先要从除甲、乙外的其他5人里选一人,有C15 种选法,然后3人进行全排
列,有A33 种排法.根据分步乘法计数原理,甲、乙两人都入选的不同选法种数为C15A33=5×3×
2×1=30.
17.B 【解析】由题意得,从袋中不放回地依次随机取出2个球,取出的2个球都是红球的概
率是1,则 6×5 1( ,解得 (负值舍去)3 6+x)(5+x)=3 x=4 .
18.C 【解析】因为直线AC1,D1M 都在平面ABC1D1 内且不平行,所以直线AC1 与直线
D1M 相交,C正确.由图像法或者反证法易知A,B,D选项错误.
【 p19.A 解析】抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=- ,因为抛物线上的点Q(1, )到焦2 m
点F 的距离为2,所以1- p - ÷2 =2
,解得
è p=2
,所以抛物线的准线方程为x=-1.
20.D 【解析】根据题意,设大正方形的边长为1,则每个直角三角形的长直角边为cosθ,短直
角边为sinθ,所以小正方形的边长为cosθ-sinθ.因为小正方形的面积是
1,所以(
25 cosθ-sinθ
)2
1
= ,又因为θ为直角三角形中较小的锐角,所以
1
25 cosθ>sinθ
,所以cosθ-sinθ= .因为5 sin
2θ
1 24
+cos2θ=1,所以(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ= ,解得25 2sinθcosθ=
,所以
25 1+2sinθcosθ=
49,即( 49 7
25 cosθ+sinθ
)2= ,所以25 cosθ+sinθ=
,所以sin25 θ-cos
2θ=(sinθ+cosθ)(sinθ-
7 7
cosθ)= × 1 - ÷5 5 =-è 25.
卷二(非选择题 共60分)
二、填空题(本大题5个小题,每小题4分,共20分)
21.6π 【解析】将直观图化成平面图,可知∠BCA=90°,AC=A'C'=3,BC=2B'C'=2,
△ABC 绕y 轴旋转一周形成的几何体是一个圆锥,其底面圆的半径r=3,高h=2,所以圆锥
体积 1V= πr2
1
3 h=3π×3
2×2=6π.
(数学试题答案及评分标准 共5页) 第 2页
22.788 【解析】由题意得,抽样间隔为
800
=16,系统抽样可以看成是一个公差为16的等差50
数列,且第三项a3=36,所以最后一项a50=a3+(50-3)×16=788,即最后一组抽到的学生
编号为788.
π 1
23. 【解析】由3 a
,b均为单位向量,可得|a|=|b|=1,设a 与b的夹角为θ,因为 ·(2b 2a
+b)=1,所以b·(2a+b)=2,即2a·b+b2=2|a|·|b|cosθ+|b|2=2cosθ+1=2,解得
1
cosθ= ,又因为θ∈[,],所以
π
2 0π θ=3.
24.π 【解析】由
1
4sin(ωx+φ)=2,得sin(ωx+φ)= ,设距离最近的两交点为(x1,2),( ,2 x2
ì πωx1+φ=2kπ+ ,
2),
6
则 í 其中k∈Z,两式相减得
2π π
ω(x2-x1)= ,又x2-x1= ,所以ω=
5π 3 3
ωx2+φ=2kπ+ , 6
2,所以函数f(x)的最小正周期
2π
T=ω=π.
25.2 【解析】由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,两边平方得|PF1|2+|PF 22| +
2|PF1|·|PF2|=4a2①.因为PF→1·PF→2=0,所以PF→⊥PF→1 2,在Rt△PF 21F2 中,|PF1|+
1
|PF 2 2 2 2 22|=|F1F2|=4c ②.①-②得2|PF1|·|PF2|=4(a -c )=4b2,所以2|PF1|
·
|PF2|=b2,由△PF1F2 的面积为
1
4,得S△PF1F2=2|PF1|
·|PF2|=b2=4,b>0,所以b
=2.
三、解答题(本大题5个小题,共40分)
26.解:(1)设数列{an}的公差为d,
{a4=8,
ìa1+3d=8,

由 得 í ( ) ……………………………………… (1分)
S4=2a ,
4× 4-1
5 4a1+ 2 d=2
(a +4d),
1
解得{a1=2,………………………………………………………………………………… (, 1分)d=2
所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n.…………………………………… (1分)
(2)由(1)知b an 2n nn=2 =2 =4,…………………………………………………………… (1分)
b n+1
所以b =4,n+1
4
1 b = 4n =4
, ……………………………………………………………… (1分)
n
所以数列{bn}是首项为4,公比为4的等比数列,………………………………………… (1分)
( n) n+1
所以{bn}的前 项和
4× 1-4 4 -4
n Tn= = .……………………………………… ( 分)1-4 3 1
27.(1)证明:因为在△PAB 中,PA=AB,E 为线段PB 的中点,
所以AE⊥PB,……………………………………………………………………………… (1分)
因为PA⊥底面ABCD,BC 底面ABCD,所以BC⊥PA,
(数学试题答案及评分标准 共5页) 第 3页
因为底面ABCD 为正方形,所以BC⊥AB,
而AB∩PA=A,AB 平面PAB,PA 平面PAB,
所以BC⊥平面PAB,……………………………………………………………………… (1分)
又因为AE 平面PAB,
所以AE⊥BC,……………………………………………………………………………… (1分)
又因为PB∩BC=B,PB 平面PBC,BC 平面PBC,
所以AE⊥平面PBC.……………………………………………………………………… (1分)
(2)解:连接CE(图略),
因为AE⊥平面PBC,
所以∠ACE 为直线AC 与平面PBC 所成的角,………………………………………… (1分)
设PA=AB=BC=2,
在等腰直角三角形ABC 中,AC= AB2+BC2= 22+22=22,
在等腰直角三角形PAB 中,PB= PA2+AB2=22,则斜边上的高AE= 2,…… (1分)
所以在 中, AE 2 1Rt△AEC sin∠ACE= = = ,……………………………………… (1分)AC 22 2
所以直线AC 与平面PBC 所成角的大小为30°.………………………………………… (1分)
28.解:(1)因为f(x)=x2-ax+a+1,
所以f(x+2)=(x+2)2-a(x+2)+a+1=x2+(4-a)x-a+5, ………………… (2分)
又因为函数f(x+2)为偶函数,
所以a-4=0,解得a=4,………………………………………………………………… (1分)
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-4x+5.………………………………………… (1分)
(2)由于函数f(
a
x)的图像开口向上,对称轴为直线x= ,故讨论如下:2
a
①当 >1,即a>2时,函数f(x)在 ê
é a ù
ê1, úú 上单调递减,在
éa
êê ,+∞ ÷ 上单调递增,2 2 2
当 ax= 时,(x)有最小值,即 (x) = a
a2
f f min f ÷=- +a+1=2a,………………… ( 分)2 è2 4 1
整理得a2+4a-4=0,
解得a=±22-2(舍);…………………………………………………………………… (1分)
a
②当 ,即2≤1 a≤2
时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,
当x=1时,f(x)有最小值,即f(x)min=f(1)=2=2a,解得a=1,合乎题意.……… (1分)
综上所述a=1.……………………………………………………………………………… (1分)
29.解:在△ACD 中,∠DAC=180°-∠ADC-∠ACD=180°-(60°+45°)-30°=45°,……
…………………………………………………………………………………………… (1分)
根据正弦定理得 AC CD= ,………………………………………………… ( 分)sin∠ADC sin∠DAC 1
即 AC 20 ,
sin(60°+45°)=sin45°
解得AC=10(1+ 3)(米), ……………………………………………………………… (1分)
(数学试题答案及评分标准 共5页) 第 4页
在△BCD 中,∠DBC=180°-∠BCD-∠CDB=45°,………………………………… (1分)
所以∠CDB=∠DBC,△BCD 为等腰三角形,有BC=CD=20(米),………………… (1分)
在△ABC 中,由余弦定理得AB = AC2+BC2-2AC·BCcos∠BCA
= [10(1+ 3)]2+202-2×10(1+ 3)×20×cos60°
= 600
=106(米),…………………………………………… (2分)
即A,B 两点间的距离为106米.………………………………………………………… (1分)
2 2
30.解:()
y
1 设双曲线
x
a2- 2=1
(a>0,b>0)右焦点的坐标为(c,0),b
不妨取双曲线的一条渐近线 by= ,即ax bx-ay=0
,
所以右焦点到该渐近线的距离 |bc| bcd= = =b,
b2+(-a)2 c
即b=1,……………………………………………………………………………………… (1分)
因为c ,2 2 2,
a= 2a +b =c
所以a2+1=(2a)2,
解得a=1, ………………………………………………………………………………… (1分)
所以双曲线的标准方程为x2-y2=1.…………………………………………………… (1分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=2x+t,
x2-y2=1,
联立方程{y=2x+t,
消去y,整理得3x2+4tx+t2+1=0,
所以Δ=16t2-12(t2+1)>0,即t∈(-∞,- 3)∪(3,+∞),……………………… (1分)
2
由根与系数的关系,得 4 t +1x1+x2=- ,3tx1x2=
,
3
故|AB|= (x -x )2+(y 2 2 22 1 2-y1) = 1+k |x1-x2|= 5× (x1+x2)-4x1x2 =
25
t2-3,………………………………………………………………………………… (1分)3
点 到直线 |t|O AB 的距离d= , ………………………………………………………… (1分)
5
2
所以 1 1 25 |t| |t|× t -3S△OAB=2|AB|×d=
2
2× 3 t -3× =
,
5 3
即|t|× t
2-3 2
= ,……………………………………………………………………… (1分)3 3
整理得t4-3t2-4=0,
所以t=±2,………………………………………………………………………………… (1分)
因为±2∈(-∞,- 3)∪(3,+∞),
所以直线AB 的方程为2x-y+2=0或2x-y-2=0.………………………………… (1分)
(数学试题答案及评分标准 共5页) 第 5页

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