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福建省厦门市 2025-2026 学年高一下学期数学期中达标测试题(二)
注意事项:1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 作答选考题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出四个选 项中, 只有一项符合题目要求。)
1. 若复数 ，则 的实部与虚部的和为( )
A. -1 B. 1 C. 5 D. -5
2. 如图,已知 ,则
A. B.
C. D.
3. 如图，在三棱柱 中，已知点 ， 分别在 ， 上，且 经过 的重心，点 ， 分别是 ， 的中点，且平面 平面 ， 给出下列结论:①EF//GH；②GH//平面 ；③GHEF ；④平面 平面 .其中正确的是( )
A. ①② B. ③④
C. ①②③ D. ②③④
4. 已知 ，则 在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5. 在 中, ,若 最大边的边长为 ,则最小边的长为( )
A. B.
C. D.
6. 如图，一个水平放置的三角形 的斜二测直观图是等腰直角三角形 ， 若 ，那么原三角形 的周长是( )
A. B.
C. D.
7. 在锐角 中， ， ，分别为角 ， ， 的对边，若 ， ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 在矩形 中， 与 相交于点 ，过点 作 ， 则 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分。)
9. 若 ,则下列结论正确的是( )
A. B. 若 ,则 或
C. 若 ,则 D. 若 ，则
10. 在 中,角 的对边分别为 ,下列结论中正确的选项有 ( )
A. 若 ，则
B. ，则
C. 若 ,则 定为直角三角形
D. 若 且该三角形有两解,则 的取值范围是
11. 若四面体 各棱长均为 1 或 2,但不是正四面体，则该四面体外接球的表面积可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。)
12. 在 中, ,点 为 的内心,设 , ，若 ，则 _____.
13. 在正四棱台 中， ，则该棱台的体积为_____.
14. 剪纸, 又叫刻纸, 是一种镂空艺术, 是中华汉族最古老的民间艺术之一. 如图，一圆形纸片直径 ，需要剪去四边形CEC，D，可以经过对折，沿 裁剪，展开就可以得到.
已知点 在圆上且 ， . 则镂空四边形CEC，D的面积的最小值为_____ . 四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15. 正六棱柱 ，两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，高为 4,记 的中点分别为 .
(1)要经过点 和对角线 将六棱柱锯开，请说明在六棱柱表面该怎样划线， 并求截面面积;
(2)证明: ；
(3)直线 上是否存在一个点 ，使得面 面 ？若存在，求出 的长度; 若不存在,请说明理由.
16. 设 的内角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求角 ；
(2)点 为边 的中点，若 ，求 的面积；
17. 某种“笼具”由内、外两层组成, 无下底面, 内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱, 其中圆柱与圆锥的底面周长相等, 圆柱有上底面, 已知圆柱的底面周长为365.2cm，高为45cm，圆锥的母线长为30cm.
(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到 )；
(2)现要使用一种纱网材料制作 100 个 “笼具”，该材料的造价为每平方米 8 元， 共需多少元 (结果精确到 1 元)
18. 已知向量 的夹角为 ，且 (其中 ). 当 取最小值时，求 与 的夹角的大小.
19. 已知 的内角 的对边分别为 ,且
(1)求角 的大小；
(2)若 于 ，求 的面积的最小值.
参考答案
1. B
2. A
3. C
4. D
5. A
6. D
7. D
8. D
9. AD
10. ACD
11. ABC
12.
13.
14.
15. (1)取 的中点 ，连接 ，
由于 ，又 平面 平面 ，
所以 平面 平面 ，
所以平面 与平面 的交线平行于 ，
而 ，所以 ，
则四边形 即为所求截面,
,
等腰梯形 的高为 ,
所以截面面积为 ;
(2)取 、 的中点 、 ，连接 、 ， ， 因为 分别为 的中点,
,
同理 ,
因为正六棱柱中 ,
所以
所以四边形PPQQ 为平行四边形,
则
又PQ 正 面 ABCDEF, P’Q’C 面 ABCDEF ,
所以 ;
(3)不存在这样的点 ，使得面 面 ， 在正六棱柱中, CFIDE //D’E’
所以CFE’D’为梯形,
连接 延长交 的延长线于点 ，
由于 ，且 为 的中点，
则 ，
所以 ，
因为 ,
所以PF 与 共面且不平行，即PF 与 相交， 即 与面 相交,
故不存在这样的点 ，使得面 面 .
16. ( 1 )因为 ，
所以 可化为
所以 ,
整理得所以 ,即 .
由余弦定理 , 又因为 ,因此 ;
(2)因为中线 ，所以 ；
两边同时平方得 ，即 ，
在 中, ,由余弦定理可得 ,
可得 ,所以 ;
17. (1)根据题意可知这种“笼具”的体积等于外层圆柱体积减去内层圆锥体积;
由圆柱的底面周长为 可知,底面圆半径为 ,又高为 ,
所以圆柱体积为
由圆锥的母线长为 可知圆锥的高 ,
因此圆锥体积为 ;
所以这种 “笼具” 的体积为
(2)易知制作 1 个 “笼具” 所使用的纱网材料面积为圆柱侧面积与圆锥侧面积之和;
圆柱侧面积为 ,圆柱上底面面积 ;
圆锥侧面积为 ;
因此制作 100 个 “笼具” 需要的网材料面积为
,
根据材料的造价为每平方米 8 元,可知共需 元.
18. 由题意，向量 的夹角为 ，且 ， ，
可得
,
当 时,可得 ,此时 ,
又由 ,
所以 ,即 与 的夹角为 .
19. ( 1 )由 可得
，由正弦定理可得
由余弦定理可得 ,
又 ,所以 .
(2)如下图所示:
三角形面积 ,
又 ，所以 ，
由( 1 )中 可得 ，当且仅当 时，等号成立;
即 ,得 .
所以面积 ,
故 的面积的最小值为

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