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福建省厦门市 2025-2026 学年高一下学期数学期中达标测试题(一)
注意事项:1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 作答选考题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出四个选 项中，只有一项符合题目要求。)
1. 复数 的虚部是( )
A. i B. -i C . 1 D . -1
2. 在 中，D为BC的中点，E为 边上的点，且 ，则 ()
A. B.
C. D.
3. 平面 与平面 平行的充分条件可以是( )
A. 内有无穷多条直线都与 平行；
B. 直线 ，直线 ，且 ；
C. 直线 ，且直线 不在 内，也不在 内；
D. 内的任何一条直线都与 平行.
4. 已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5. 在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 若用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形是( )
A .
B .
C.
D.
7. 在 中，角 的对边分别为 ，则 ( )
A. 1 B. C. D.
8. 已知正方形 的边长为2,动点 在以 为圆心且与 相切的圆上,则 BP 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分。)
9. 已知 为关于 的方程 在复数范围内的一个根，则 ( )
A.
B.
C. 为纯虚数
D. 为关于 的方程 的另一个根
10. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”， 即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，
减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 把以上文字写成公式，即 ( 为三角形的面积， 、 、 为三角形的三边). 现有 满足 ，且 的面积 ，则下列结论正确的是( )
A. 的周长为 B. 的三个内角满足
C. 的外接圆半径为 D. 的中线 的长为
11. 已知多面体 的底面 为正方形， 均垂直于底面 ， ，且 ， ， ， 四点共面. 下列说法正确的是( )
A.
B. 若多面体 存在外接球，则该外接球的表面积为
C.
D. 若 ，则三棱锥 的内切球半径为
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。)
12. 设 分别是 的边 ， 上的点， ， . 若 为实数) ，则 的值是_____
13. 在正三棱柱 中，D 为棱 的中点，若 是面积为 6 的直角三角形，则此三棱锥 ， 的体积为_____.
14. 在 中，角 所对的边分别为 是边 上一点， ，且 ， 和 的面积分别为 ， ，对于给定的正数 m，当 取得最小值时， _____.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15. 如图，在正方体 中，是 的中点， ， ， 分别是BC， ， 的中点，求证:
(1)直线 平面 ；
(2)平面 平面 .
16. 在 中， 分别为角 ， ， 所对的边，已知 ， .
(1)若 的面积等于 ，求边 ；
(2)若 ，求 的面积；
(3)求 周长的最大值.
17. 已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ，轴截面等腰三角形 PAC 的顶角为 ，若 的面积为 .
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值.
18. 已知平面向量 是单位向量，且 .
(1)求向量 ， 的夹角；
(2)若 ，向量 与向量 共线，且 ，求向量 .
19. 如图，在 中， ， ，且 ， ， 为线段 上的两个动点 在 的右侧),且
(1)若 时，求 的长；
(2)若 的面积是 的面积的 倍，求 的大小；
(3)当 为何值时， 的面积最小，最小面积是多少？
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.A
5.B
6. A
7. B
8.C
9.AD
10.
11 . ACD
12.
13.
14.
15. (1) 通过证明 来证得 平面 .
(2)通过证明 平面 ，结合(1)来证得平面 平面 .
(1)
连接 ，在三角形SBC 中， 是 的中点， 是BC的中点，所以 ， 平面 平面 ，所以 平面 .
(2)
在三角形BCD 中， 分别是 的中点，所以 ，
由于 平面 平面 ，所以 平面 ，
由(1)得 平面 ，
因为 ，所以平面 平面 .
16. ( 1 )由余弦定理得: ，
由 ，则 ，即 ，
联立方程组 ，解得 ， ；
(2) 由题得 ，
即 ,
当 时， ，则 ，
故 ,
当 时， ，即 ，
则有 ，即 ，则 ，
则 ；
(3) 由正弦定理得
又 ，则当 时，有 ，
故 周长的最大值为 .
17. (1)设圆锥母线长、底面半径分别为 、 ，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为 ,则 ,解得 ,
又 ，所以 ，
又因为 的面积为 ，
，解得 (负值舍去)，
又 ,所以 ,
圆锥的侧面积 .
(2)作出轴截面如图所示:由(1)可知 ，
设圆柱底面半径 ，即 ，
则圆锥的高 ,
所以 ,即圆柱的高为 ,
所以圆锥内接圆柱的侧面积 ,
当且仅当 ,即 时取等号,
所以圆锥内接圆柱的侧面积的最大值为 .
18. ( 1 )因为 ，所以 ，
又因为 是单位向量，设夹角为 ，所以 ，
解得 ,
又 ,
所以 .
( 2 )因为 ，所以 ，即 ，
设 ，则有 ，
因为向量 与向量 共线,
所以 ,解得 ,
联立两式得: 或 ,
所以 为 或 .
19. (1) 由 ,得 ,
又 ，则 ， ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得
，则 ，
因为 ，所以 ，
,
(2)设 ，
因为 的面积是 的面积的 倍，
所以 ，即 ，
在 中， ，
由 ,得 ,
从而 ，即 ，而 ，
由 ，得 ，所以 ，即 .
(3)设 ，由(2)知 ，
又在 中,由 ,得 ,
所以
,
所以当且仅当 ,
即 时， 的面积取最小值为 .

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