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广东省梅州市北师大版 2025-2026学年八年级数学下学期期中考试培优卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题 3分，满分 30分）
1．中国的航天事业蓬勃发展，取得了显著的进展和突破．下列航天图标中，其文字上方的
图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中，已知 ， ，D为 边上一点，且 ．则
（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 中，分别以点 A，C为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧交于 M，
N两点：作直线 ，分别交 于 D，E两点．若 ， 的周长为
，则 的周长为（ ）
A．15cm B．16cm C． D．
5．如图，将 绕点 C顺时针旋转 得到 ．若点 A，D，E在同一条直线上，
，则 的长为（ ）
A．5 B． C． D．
6．一个多边形的每个外角都是 ，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．如图，在 中， 为 边上的一点， ， 为 边上一点， 垂直平分
试卷第 1页，共 3页
，若 ，则 的周长为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
8．如图， 沿 方向平移 后，得到 ，已知 ， ，则 a
的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线 经过 和 两点，则不等式组 的解集
为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在 中，∠C＝90°，∠B＝30°，以 A为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、
AC于点M和 N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点 P，连
结 AP并延长交 BC于点 D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点 D在 AB的垂直平分线上；④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每小题 3分，满分 18分）
11．如图， 的外角 和 的平分线相交于点 F，连接 ．若 ，
则 ________ ．
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12．如图， 中， ．将 绕点 顺时针旋转，使点 的对应点 恰好落
在 边上，点 的对应点为 ，连接 ，若 ，则 ________ ．
13．已知 ，则 ______ ．（填“ ”，“ ”，“ ”）
14．如图，已知在 中， ，点 D为 外一点，且 ，连接 并延
长 交 的延长线于点 E．若 ， ，则
________________ ．
15．如果不等式组 无解，则 m的取值范围是______．
16．如图， 中， ，点 E为 中点．点 D在 右侧，
，且 ，射线 交 于点 F，若 为等腰三角形，则线段
的长为____________________ ．
三、解答题（17、18、19题每题 6分，20、21每题 8分，22、23每题 9分，24、
25每题 10分，共计 72分，解答题要有必要的文字说明）
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17．解不等式（组）：
(1)解不等式： ．
(2)解不等式组： ，并在数轴上表示解集．
18．如图，在平面直角坐标系中，三角形 三个顶点的坐标分别为
．将三角形 平移，点 平移到格点 的位置，点 ， 平
移后的对应点分别是 ，得到三角形 ．
(1)点 的坐标为___________；
(2)在平面直角坐标系中，画出三角形 ；
(3)三角形 的面积为___________．
19．如图，在 中， 于点 平分 交 于点 E．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)若 ，求 的长．
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20．如图，在四边形 中， ， 是 上的一点，且 ，连接
， ， ．
求证：
(1) ．
(2) ．
21．如图，已知点 ，直线 与 x轴、y轴分别交于点 A，B．
(1)若 的面积为 8，求 m的值；
(2)直线 与 相交于点 P，与 y轴相交于点 C，连接 ．当 取得最小值
时，求 m的值；
(3)在（2）的条件下，当 时，对于 x的每一个值，函数 的值大于函数 的
值，直接写出 k的取值范围．
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22．“石台硒茶”是安徽省池州市石台县特产，我县优越的自然环境赋予了茶叶独特的品质，
富含茶多酚、咖啡因、茶氨酸等核心营养成分，广受人们的喜爱． 为了满足顾客需求，某
电商平台决定购进 A种包装和 B种包装的茶叶进行销售．两种包装的茶叶进货价和销售价
如表：
类别 A 种 B 种
进货价（元/件）
销售价（元/件）
(1)第一次，该平台用 5400元购进了 A，B两种共 100件，求两种茶叶各购进了多少件？
(2)第二次，该平台根据第一次的销售情况，决定再次购进 A，B两种茶叶 120件（两种茶叶
的进货价不变），但 A种的进货量不超过 B种的 ，应如何设计进货方案才能获得最大利润，
最大利润是多少？
23．如图，点 为线段 上一点，分别以 、 、 为底作顶角为 的等腰三角形，
顶角顶点分别为 D、E、F（点 E、F在 的同侧，点 在另一侧）．
(1)求证： ；
(2)求证： 为等边三角形；
(3)连接 ，若 ，请直接写出 的长．
24．如图，点 ， ，且 a、b满足 ．
（1）如图 1，求 的面积；
（2）如图 2，点 C在线段 AB上（不与 A、B重合）移动， ，且 ，猜
想线段 AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；
（3）如图 3，若 P为 x轴上异于原点 O和点 A的一个动点，连接 PB，将线段 PB绕点 P
顺时针旋转 至 PE，直线 AE交 y轴于点 Q，当 P点在 x轴上移动时，线段 BE和线段
BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值．
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25．在 中， ， ，点 D在射线 上，点 E在射线 上，
，设 ．
(1)当 时，求 的度数；
(2)如图 1，当 D在线段 上时，求证： ；
(3)若 ，将点 A绕着点 E顺时针旋转 得到 ，直线 与直线 相交于点 F，当
为直角三角形时，请求出 CD的长．
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参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D D D D B A D
二、填空题
11．
12． / 度
13．
14．
15．
16． 或
三、解答题
17．【详解】（1）解：去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为 1， ；
（2）解：解不等式①得 ，
解不等式②得 ，
不等式组的解集为： ，
解集在数轴上表示为：
18．【详解】（1）解：根据题意，点 的坐标为 ；
（2）解：由题意得， 向右平移 6个单位长度，向下平移 2个单位长度得到 ，
则如图： 即为所求．
（3）解：三角形 的面积为 ．
19．【详解】（1）证明：∵ 于点 D，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 交 于点 E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形；
（2）解：∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 3．
20．【详解】（1）解： ，
和 均为直角三角形．
在 和 中，
，
．
（2） ，
∴ ，
，
，
，
，
∴ ．
21．【详解】（1）解：∵直线 与 x轴、y轴分别交于点 A，B，
∴当 时， ；当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
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∵ 的面积为 8，
∴ ，
∴ （负数舍去），
∴m的值为 2；
（2）解：由题意，作出 Q关于直线 对称的点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 轴，
∵ ，
∴ ．
由题意，当 ，C，P在一直线上时， 取最小值为 ，
∴ 在直线 上．
∴ ．
∴ （不合题意，舍去）或 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
当 时， 即 ，解得 ，
∵ 时，对于 x的每一个值， 的值大于函数 的值，
∴ ．
22．【详解】（1）解：设电商平台购进 A种茶叶 件，则购进 B种茶叶 件，
根据题意得 解得 ，
∴电商平台购进 A种茶叶 件，B种茶叶 件；
（2）解：设电商平台购进 A种茶叶 件，获得的利润为 元，
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根据题意得 ，解得 ，
，
；
随 的增大而增大，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时 B种茶叶有： (件)，
答：当电商平台购进 A种茶叶 30件，B种茶叶 90件时，获得的利润最大，最大利润为 3090
元
23．【详解】（1）证明：延长 交 于 H，连接 ，
如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理： ， ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴四边形 、四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（3）解：如图 3，过 E作 于 M，
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∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
中， ，
由①知： 是等边三角形，
∴ ．
24．【详解】解：（1）∵（a﹣1）2+|2b﹣2|＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣2＝0，
∴a＝1，b＝1，
∴A（1，0）、B（0，1），
∴OA＝1，OB＝1，
∴△AOB的面积＝ ×1×1＝ ；
（2）线段 AC、BD、CD之间的数量关系为 CD＝BD+AC；
证明：∵OA＝OB＝1，∴∠OAB=∠OBA=45°，
将△AOC绕点 O逆时针旋转 90°得到△OBF，如图 2，
则∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠FOB＝∠AOC，OF=OC，BF=AC，
∵∠DBA＝90°，∴∠DBF＝180°，即 B、D、F三点共线，
∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠FOD＝∠DOC，
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在△ODF与△ODC中， ，
∴△ODF≌△ODC（SAS），
∴DC＝DF，
∴DF＝BD+BF＝BD+AC；
即 CD＝BD+AC；
（3）BQ是定值，且 BQ=2；
作 EF⊥OA于 F，在 FE上截取 FD＝PF，连接 PD，如图 3，则∠BAO＝∠PDF＝45°，
∴∠PAB＝∠PDE＝135°，
∵∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°，
∴∠BPA＝∠PED，
在△PBA与△EPD中， ，
∴△PBA≌EPD（AAS），
∴AP＝ED，
∴FD+ED＝PF+AP，即 FE＝FA，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，
∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，
∴OA＝OQ＝1，
∴BQ＝2，即 BQ是定值．
25．【详解】（1）解：∵ ， ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明：如图，过 E作 于点 H，交 于点 H，连接 并延长交 延长线于
点 M，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：①当点 D在 上时，
∵点 A绕着点 E顺时针旋转 得到 ，
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∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
过 E作 于点 H，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ；
②当 在 延长线上时，
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同理可得 ，
∴ ，
当 时， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
综上， 的长为 或 ．
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