资源简介

2025-2026学年高三下学期一模数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．已知集合 A＝{x∈N*|﹣2＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则 A∩B＝（ ）
A． B．{1，2} C．{0，1，2} D．{1，2，3}
2．复数 （ ）
A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i
3．设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 ，则 S7＝（ ）
A．32 B．64 C．84 D．108
4．已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2（c，0）的直线 l与 C交于
A，B两点，若|AF1|+|BF1|＝5c，则椭圆 C离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
5． 的展开式的常数项为（ ）
A．210 B．252 C． D．
6．偶函数 f（x）与其导函数 f′（x）的定义域均为 R，f（x）在区间[2023，2024]上单调递减，对任意 x∈
R恒有 f′（x）＝f′（2﹣x）成立，若 ，则（ ）
A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b）
C．f（b）＜f（a）＜f（c） D．f（c）＜f（a）＜f（b）
7．已知三棱锥 P﹣ABC的底面 ABC是边长为 2的正三角形，PA⊥平面 ABC，D，E分别是 PB，PC上的
点，且 DE∥BC，平面 ADE⊥平面 PBC，三棱锥 A﹣PDE的体积与四棱锥 A﹣BCED的体积之比为 9：
1
7，则该三棱锥 P﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C．3 D．
8．已知 a＞0，b＞0且 a+b＝1，则 的最小值是（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
二．多选题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．定义在 R上的函数 f（x）满足 ，则（ ）
A．函数 f（x）的解析式为 f（x）＝9x﹣4×3x+3
B．函数 f（x）图象的对称轴为直线 x＝2
C．函数 f（x）的单调递增区间为[log32，+∞）
D．函数|f（x）|在 上的最大值为
10．已知随机事件 A，B满足 ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．事件 A，B互相独立 B．
C． D．
11．已知 Sn是等差数列{an}的前 n项和，且 S6＞S7＞S5，下列说法正确的是（ ）
A．d＞0
B．S12＞0
C．数列{Sn}的最大项为 S11
D．|a6|＞|a7|
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12．已知向量 （﹣2，3）， （1，2），则 ．
13．已知抛物线 y＝ax2（a＞0），在 y轴正半轴上存在一点 P，使过 P的任意直线交抛物线于M、N，都有
为定值，则点 P的坐标为 ．
14．已知点 F为抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点，过点 F的直线 l交抛物线于 A，B两点，若|AF|+4|BF|的
最小值为 9，则 p＝ ．
2
四．解答题：共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（13分）△ABC的内角 A、B、C的对边分别是 a、b、c，已知 ．
（1）求 A；
（2）若△ABC是锐角三角形，c＝3，求△ABC周长的取值范围．
16．（15分）如图，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC， ，BC＝2AB．现将△ABD
沿对角线 BD翻折到△PBD，使平面 PBD⊥平面 ABCD．若平面 PAD∩平面 PBC＝l1，平面 PAB∩平面
PCD＝l2，直线 l1与 l2确定的平面为平面α．
（1）证明：l1∥BC；
（2）求平面α与平面 PAD所成角的余弦值．
17．（15分）某品牌电脑公司为了更好地了解甲、乙、丙三类机型电脑的质量情况，从某商场已售的这三
类机型电脑中各随机抽取了 120台进行跟踪调查，得到各类机型电脑三年内出现故障的概率如表：
电脑机型 甲 乙 丙
概率
3
（1）某物管公司同时购置了甲、乙、丙三类机型电脑各一台，记η表示这三台电脑三年以内出现故障的
台数，求η的分布列及数学期望．
（2）已知该品牌电脑公司新研发了一款丁机型电脑，该电脑公司为了对丁机型电脑合理定价，将该机
型电脑同一时间段在某销售商场按不同价格销售，所得数据如图所示．若销量 Y（台）与单价 X（元）
服从线性关系 ，且该机型电脑的出厂价为 3605元/台，求该销售商场销售丁机型电脑
获得的利润最大时，每台丁机型电脑的售价．
18．（17分）已知函数 f（x）＝lnx﹣ax，g（x）＝ax2+（a﹣1）x﹣1（a∈R）．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若 f（x）有两个零点，求 a的取值范围；
（3）若 a∈Z，且不等式 f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立，求 a的最小值．
19．（17分）已知椭圆Γ： 1（a ），M（0，m）（m＞0），A是Γ的右顶点．
（1）若Γ的焦点是（2，0），求离心率 e；
（2）若 a＝4，且Γ上存在一点 P，满足 2 ，求 m；
（3）若 AM中垂线 l的斜率为 2，l与Γ交于 C、D两点，∠CMD为钝角，求 a的取值范围．
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参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C A C A A A
二．多选题
题号 9 10 11
答案 AC AC BD
三．填空题
12．4．
13． ．
14．2．
四．解答题
15．解：（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
即
因为 C∈（0，π），则 sinC＞0，所以， ，则 ，
因为 0＜A＜π，则 ，所以， ，解得 ．
（2）由正弦定理可得 ，即 ，
所以， ， ，易知 0 ，
所以，
，
5
因为△ABC为锐角三角形，且 ，则 得 ，
所以， ，
因为 ，
所以， ，
所以， ．
16．解：（1）证明：在直角梯形 ABCD中，∵AD∥BC，又 AD 平面 PAD，BC 平面 PAD，∴BC∥平
面 PAD，
∵BC 平面 PBC，平面 PAD∩平面 PBC＝l1，∴l1∥BC；
（2）设 AB∩CD＝Q，则直线 l2为直线 PQ，由（1）知 l1∥BC，
由题意知 PD＝PB，取 BD的中点 O，连接 PO，
则 PO⊥BD，∵平面 PBD⊥平面 ABCD，平面 PBD∩平面 ABCD＝BD，∴PO⊥平面 ABCD，
取 BC的中点 E，连接 DE，则四边形 ABED为正方形，连接 OA，OE，则 OE⊥OB，
∴OE，OB，OP两两垂直，
以 O为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则 B（0，1，0），C（2，﹣1，0），A（﹣1，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1），Q（﹣2，﹣1，0），
， ， ， ，
设平面α的法向量为 ，则 ， ，
∴ ，取 y1＝1，得 ，
设平面 PAD的法向量为 ，则 ， ，
∴ ，取 y2＝1，得 ，
∴ ，
∴平面α与平面 PAD所成角的余弦值为 ．
6
17．解：（1）根据题意知，η的所有可能取值为 0，1，2，3，
所以 ，
p（η＝1） ，
，
，
所以η的分布列为：
η 0 1 2 3
P
所以 ；
（2）根据题图可得， ，x＝3725，
代入回归方程得 ，所以 Y＝﹣0.1X+432.5，
设获得的利润为 W元，则 W＝（﹣0.1X+432.5）（X﹣3605）＝﹣0.1X2+793X﹣432.5×3605，
此函数的图象开口向下，对称轴为直线 3965，
所以当 X＝3965时，W取得最大值，
即该销售商场销售丁机型电脑获得最大利润时，每台丁机型电脑的售价为 3965元．
18．解：（1）由题意，x＞0， ，
当 a≤0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；
当 a＞0时，令 f′（x）＝0，得 ，
当 ，f′（x）＞0，当 ，f′（x）＜0，
∴f（x）在 单调递增，在 单调递减．
综上，当 a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当 a＞0时，f（x）在 单调递增，在 单调递减．
（2）f（x）＝lnx﹣ax有两个零点，等价于 lnx﹣ax＝0有两个实数根，即 lnx＝ax，
7
即 ，等价于 y＝a与 有两个交点．
由 得，x＝e，
当 x∈（0，e），h′（x）＞0，当 x∈（e，+∞），h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，e）单增，（e，+∞）单减．且 ，h（1）＝0，
x→0，h（x）→﹣∞，x→+∞，h（x）→0，且 x∈（e，+∞）时，h（x）＞0，图象如图，
∴a的取值范围是 ；
（3）不等式 f（x）≤g（x）为 lnx﹣ax≤ax2+（a﹣1）x﹣1，
所以不等式（lnx+x+1）≤ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，
所以 在（0，+∞）上恒成立．
设 ，则 ，
当 x＞0时，x+1＞0，（x2+2x）2＞0，
又φ（x）＝x+2lnx在（0，+∞）上是增函数， ，φ（1）＝1＞0，
所以存在 ，使得φ（x0）＝0，
当 0＜x＜x0时，φ（x）＜0，h′（x）＞0；
当 x＞x0时，φ（x）＞0，h′（x）＜0，
即 h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
φ（x0）＝x0+2lnx0＝0， ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
8
又因为 a∈Z，所以 amin＝1，所以 a的最小值为 1．
19．解：（1）由题意，c＝2，故 ，故 ；
（2）由题意，A（4，0），不妨设 P（xP，yP），故 ， ，
由 ，得 ，即 ，
故 ，由 P在椭圆上，故 ，解得 （负根舍）；
（3）由题意，AM斜率为 ，故|OA|＝2|OM|，a＝2m，
所以可设 AM中点为 ，则 l方程为 ，
设 C（x1，y1），D（x2，y2），
由 ，得（16m2+5）x2﹣24m3x+9m4﹣20m2＝0，
Δ＝（﹣24m3）2﹣4（16m2+5）（9m4﹣20m2）＝1100m4+400m2＞0，
所以 ，
因为 ， ，
因为∠CMD为钝角，且 C、D、M不共线，
故 ，
即 5 ，
解得 ，所以 ，又 ，所以 ．
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