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玉溪一中 2025—2026学年下学期高三检测（二模）
数学试题评分参考
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C A B C B
【解析】
6．解：由题可知 ， ，由 ，得 ，
由椭圆的定义可得 ， ，
设 ，则 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
又 ，故 ，
即 为直角三角形， ，
在 中，由勾股定理得 ，
，解得 或 舍去 ，
在 中，由勾股定理得 ，
又 ，代入 ，整理得 ，所以离心率 ．
8．设小球的半径为 ，所以小球的表面积为 ，所以 ，
在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示：
数学试题评分参考第 1页（共 8页）
因为小球的半径 ，
所以 ，
又 都是等边三角形，所以 ，
圆台的上、下底面圆的半径分别为 ，
母线长 ，
所以圆台的侧面积为 ，
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，
其半径为 ，其面积为 ，
综上，圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为 ．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 BD ABD ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
题号 12 13 14
答案 1 2 18
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解： 因为 ，
由正弦定理可得：
，
由三角形内角和定理， ，
故 ，代入上式化简：
数学试题评分参考第 2页（共 8页）
，
则 ，因为 ，
所以 ，
故： ，
因 ，故 ，
则 ，即 ．
由 ，可得：
，
则 ，则 ，
因为 ，所以
，
即 ，
解得 ，
因为 ，故 ，则 ， ．
由正弦定理， ， ，其中 ，
．
三角形面积公式 ，把 及 代入得，
，
将 、 代入化简：
，
两边约去 ，得 ，故 ．
16．（15分）
数学试题评分参考第 3页（共 8页）
解： 由题意， ， ， ， 分别为棱 ， 的中点， ．
， ．
为等边三角形， 为 中点， ．
又 ， ， 平面 ， 平面 ．
平面 ， ．
如图，在底面 内过点 作 的平行线即面 与底面 的交线．
由题意可得 ，即 ．
故底面 的面积为 ．
设底面 上的高为 ，则 ，于是 ．
注意到侧面 是边长为 的正三角形，取 中点 ．
连接 ，则 ，从而 平面 ．
取 中点 ，连接 ，则 ．
于是，以点 为坐标原点， ， ， 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
．
于是 ， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 即
数学试题评分参考第 4页（共 8页）
解得 即 ．
由线面所成角的定义可知， ， ，
17．（15分）
解：当 时， ， ，
由题意知 ， 恒成立，
所以 ，
因为 ，所以
所以 ，当且仅当 时，取等号．
所以 ，则 ．
证明：因为
，
所以曲线 关于点 成中心对称图形．
解：因为 ，否则解集中含有 又由 知 ，否则 ，从而
，
由题意知 ， ，且 ，
， ，
令 ，
又 ， ，
令 ，
又 ， ，
令 ，得 ，
数学试题评分参考第 5页（共 8页）
此时 ，
故 在 上单调递增，所以对 ， 恒成立，
综上所述， 的取值范围为
18．（17分）
解： Ⅰ 甲每次解开密码的概率为 ，
乙每次解开密码的概率为 ，每次是否解开密码也互不影响，
设 甲成功解密一份文件 ， 甲成功解密两份文件 ， 乙成功解密一份文件 ，
乙成功解密两份文件 ，
概率 ， ，
根据独立性性质知 ， ，
解得 ， ；
由 知， ， ，
设 “甲乙两人两次一共解开密码 次的事件”，
则 ， 与 互斥， 与 ， 与 分别相互独立，
，
甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为 ；
Ⅱ 由题知， ，
，
， ， ， ，
设 “甲乙两人两次一共解开密码 次的事件”，
则 ， 与 互斥， 与 ， 与 分别相互独立，
，
，
，当且仅当 时等号成立，
数学试题评分参考第 6页（共 8页）
．
甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为 ．
19．（17分）
解： 直线与 轴交于 ，所以 ．
离心率 ，所以 ，故 ．
所以双曲线 的标准方程为 ．
经检验，当一条切线斜率不存在时，不符合题意．
因点
设切线斜率为 ，切线方程为 ，与双曲线方程联立得：
．
令 ．
整理得： ，由于 ，所以 且
上式整理得： ．
由题意， 有两个相异实根，所以 ，且 ．
整理得： ，解得： ．
综上所述， 的取值范围是
设 ，
直线 和 方程分别为 和 ．
联立得点
又点 在直线上，代入整理得：
在直线 方程中，令 ，得点
，故直线 方程为： ．
设直线 与直线交点为 ，联立两直线方程：
解得： ．
设直线 与直线交点为 ，
数学试题评分参考第 7页（共 8页）
同理可得： ．
由 式，比较可得 和 表达式的分子分母分别相等．
故 A， 两点重合，所以直线 与 的交点在定直线 上．
数学试题评分参考第 8页（共 8页）绝密★启用前
玉溪一中 2025—2026学年下学期高三检测（二模）
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在
答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置
贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将
答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知全集 ，集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.复数 的虚部为
A. B. C. D.
3.已知数列 中， ，记 为 的前 项和， ，则 的值为
A. B. C. D.
4.已知 ，则
A. B. C. D.
5.若函数 ，则 的定义域为
A. B. C. D.
6.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 为 上一点．直线 与
交于另一点 ，若 ， ，则 的离心率为
A. B. C. D.
数学试题第 1页（共 4页）
7.我市某校共有 名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用
餐经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有 的学生第二天会到楼下食堂用午餐
而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有 的学生第二天会到楼上食堂用午餐，则一学
期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为
A. 700 B. 800 C. 900 D. 1000
8.某个圆锥容器的轴截面是边长为 的等边三角形，一个表面积为 的小球在该容器内自由
运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.若小明坐公交上班的用时 X（单位:分钟)和骑自行车上班的用时 Y（单位：分钟)分别满足
X~N（30, )，Y~N（34, )，且同一坐标系中 X的密度曲线与 Y的密度曲线在 t=38分钟
时相交，则下列说法正确的是
A. P（X>38)< P（Y>38)
B. P（24 X 36)=P（32 Y 36)
C. 若 X的密度曲线与 Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为 ，则 <30
D. 若要在 34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
10.如图，已知圆台的轴截面为 ，其中 ， ， 为圆弧 的中
点， ，则
A. 圆台的体积为
B. 圆台母线所在直线与平面 所
成角的最大值为
C. 过任意两条母线作圆台的截面，截面
面 积的最大值为
D. 过 ， ， 三点的平面与圆台下底面的交线长为
11.已知函数 ， ，若存在 ， ，使得 成
立，则
A. 当 时， B. 当 时，
数学试题第 2页（共 4页）
C. 当 时， D. 当 时， 的最小值为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知函数 是偶函数，则 ．
13.已知函数 ， ，若 ，且 在
上单调递增，则 的值为 ．
14.已知函数 ，设曲线 在点 处切线的
斜率为 ，若 ， ， 均不相等，且 ，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 ．
求 ；
若 ，且 的面积为 ，求 的值．
16．（15分）
已知三棱锥 中，侧面 是边长为 的正三角形， ， ，
， ， ，平面 与底面 的交线为直线．
若 ，证明：
若三棱锥 的体积为 ， 为交线上的动点，
若直线 与平面 的夹角为 ，求 的取值范围．
17．（15分）
已知函数 ．
若 ，且 ，求 的最小值
数学试题第 3页（共 4页）
证明：曲线 是中心对称图形
若 ，当且仅当 ，求 的取值范围．
18．（17分）
随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等
安全为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，
参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只
有一次解密机会 已知甲每次解开密码的概率为 ，乙每次解开密码的概率为
，每次是否解开密码也互不影响设 甲成功解密一份文件 ， 甲成功
解密两份文件 ， 乙成功解密一份文件 ， 乙成功解密两份文件 ，
Ⅰ 已知概率 ， ，
（ⅰ）求 ， 的值．
（ⅱ）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率．
Ⅱ 若 ，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值．
19．（17分）
双曲线 的一个顶点在直线 上，且其离心率为 ．
求双曲线 的标准方程
若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直
线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点已知点 在直线上，且过点 恰好可作双曲
线 的两条切线，设这两条切线的切点分别为 和 ．
（ⅰ）设点 的横坐标为 ，求 的取值范围
（ⅱ）设直线 和直线 分别与直线 交于点 和点 ，证明：直线 和直线 的
交点在定直线上．
（双曲线 以点 为切点的切线方程为 ）
数学试题第 4页（共 4页）

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