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2026届高考 3月月考试题
高三数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．已知（1+i）2z＝3+2i，则 z的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
2．幂函数 在（0，+∞）上是减函数，则 m的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知集合 A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|2﹣x＞2}，则 A∩B＝（ ）
A．（0，3） B．（0，1） C．（﹣3，0） D．（﹣1，0）
4．已知 ， ，向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ）
A．12 B．4 C． D．
5．下列函数中是减函数的为（ ）
A．f（x）＝x B．f（x）＝x2
C．f（x）＝2x D．
6．已知各项均为正数的等比数列{an}是单调递增数列，a5＝5，2（a3+a7）＝a3 a7，则 a9＝（ ）
A． B． C．10 D．20
7．甲盒中有 3个红球和 2个白球，乙箱中有 2个红球和 3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）．先
从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
1
8．若椭圆 C：ax2+by2＝1与直线 x+y＝1交于点 A，B，点M为 AB的中点，直线 OM（O为原点）的斜率
小于 ，则椭圆 C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若 A，B，C，D是空间任意四点，则有
B．已知 ，则 在 上的投影向量为
C．若 ，则 A，B，C，G四点共面
D．若向量 ，则称（m，n，k）为 在基底 下的坐标，已知 在单位正交基
底 下的坐标为（1，2，3），则 在基底 下的坐标为
10．已知双曲线 ，则下列选项中正确的是（ ）
A．C的焦点坐标为（0，±4）
B．C的顶点坐标为（±3，0）
C．C的离心率为
D．C的焦点到渐近线的距离为 3
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 a ，（a+b）（sinB﹣sinA）＝c（sinB﹣sinC），
则（ ）
A．
B．△ABC的周长的最大值为
C．当 b最大时，△ABC的面积为
D．b﹣c的取值范围为
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
2
12．一水平放置的平面四边形 OABC，用斜二测画法画出它的直观图 O'A'B'C'如图，此直观图恰好是一个
边长为 1的正方形，则原平面四边形 OABC周长为 ．
13．若（2+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a x88 ，则 a1+a2+a3+…+a8＝ ．
14．已知函数 ，若 f（ x）＝ a有四个不同的解 x1， x2， x3， x4，且 x1
＜x2＜x3＜x4，则 的最小值为 ．
四．解答题：共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（13分）已知数列{an}满足 an+1﹣an＝8n+4，a1＝4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求 ．
16．（15分）据市场调查，某厂生长的某种产品的广告费用支出 x（万元）与销售额 y（万元）之间有如下
的对应数据，由散点图知，销售额 y（万元）与广告费用支出 x（万元）呈线性相关．
x 2 4 5 6 8
y 10 20 40 30 50
（1）求销售额 y（万元）与广告费用支出 x（万元）的线性回归方程；
（2）据（1）的结果，如果厂家准备投入广告费用为 10万元时，预测销售额是多少万元？
（3）据（1）的结果，如果该厂的广告费用每增加投入 2万元，销售额估计能平均增加多少万元？
附：参考公式： ，
参考数据： ，
3
17．（15分）已知空间几何体 P﹣ABCD的底面 ABCD是一个直角梯形，其中∠BAD＝90°，AD∥BC，AB
＝BC＝a，AD＝2a，且 PA⊥底面 ABCD，PD与底面成 30°角．
（1）若 8，求该几何体的体积；
（2）若 AE垂直 PD于 E，证明：BE⊥PD；
（3）在条件（2）之下，PB上是否存在点 F，使得 EF∥BD，若存在，求出该点的坐标；若不存在，
请明理由．
18．（17分）已知函数 f（x）＝2ex﹣sinx﹣1，g（x）＝1﹣aln（x+1）．
（1）求 f（x）在 x＝0处的切线方程；
（2）当 a＝1时， ，数列 满足 x1∈（0，1），且 xn+1＝h（xn），证
明：xn+1+xn+3＞2xn+2；
（3）当 x∈[0，π]时，f（x）≥g（x）恒成立，求 a的取值范围．
19．（17分）已知点 A与 B（2，1）关于直线 y＝x对称，且点 A在抛物线 C：y2＝2px（p＞0）上，设 F
抛物线 C的焦点．
（1）求抛物线 C的标准方程；
（2）设点 P是抛物线 C上一动点，求|PF|+|PB|的最小值；
（3）过点 A作两条互相垂直的直线，与抛物线 C的另一交点分别为 M，N，作 AH⊥MN，垂足为 H，
是否存在定点 G，使得|GH|为定值，若存在求出定点 G的坐标及|GH|的值，若不存在说明理由．
4
5
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C D D C C
二．多选题
题号 9 10 11
答案 AD BC BCD
三．填空题
12．8．
13．﹣5．
14．﹣3．
四．解答题
15．解：（1）数列{an}满足 an+1﹣an＝8n+4，a1＝4，
可得 an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a2﹣a1）+a1＝（8n﹣4）+（8n﹣12）+...+12+4
n（4+8n﹣4）＝4n2，对 n＝1也成立；
（2）由 ，则 ，
故
．
16．解：（1）因为 ，
， ，
所以 ，
6
，
故回归方程为 ；
（2）由（1）知 ，所以当 x＝10时，代入得到 y＝10×6.5﹣2.5＝62.5，
即估计销售收入 y的值为 62.5万元．
（3）由回归方程为 可知，斜率 ，
表示该厂的广告费用每增加投入 1万元，销售额估计能平均增加 6.5万元，
所以该厂的广告费用每增加投入 2万元，销售额估计能平均增加 13万元．
17．解：（1）如图，建立空间直角坐标系，
则 A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，2a，0）， ，
， ，
∴ ，∴a＝2，
此时 ；
（2）证明： ，∴ ，
因为 ，
∴ ，∴BE⊥PD；
（3）由 EF∥BD，E点的竖坐标为 ，∴F点的竖坐标为 ，
∴设 ，由 ∥ ，可得 ，解得 ，
7
∴存在 ．
18．解：（1）因为 f（x）＝2ex﹣sinx﹣1，
所以 f′（x）＝2ex﹣cosx，
所以 f（0）＝2﹣0﹣1＝1，f'（0）＝2﹣1＝1，
所以 f（x）在 x＝0处的切线方程为 y﹣1＝x，
即 y＝x+1；
（2）证明：因为当 a＝1时，g（x）＝1﹣ln（x+1），
所以 （x＞0），
则 h'（x） ，
所以当 x∈（0，1）时，h'（x）＜0；当 x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0；
所以 h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以 h（x）min＝h（1）＝1，
所以 h（x）≥1，
因为 x1∈（0，1），x2＝h（x1）＞1，x3＝h（x2）＞1， ，
由此可得 xn+1＝h（xn）＞1，
要证 xn+1+xn+3＞2xn+2，即证 xn+3﹣xn+2＞xn+2﹣xn+1，
又 xn+3＝h（xn+2），xn+2＝h（xn+1），
即证 h（xn+2）﹣xn+2＞h（xn+1）﹣xn+1，
令 ，
则 ，
所以 m（x）在[1，+∞）上为减函数，且 m（x）max＝m（1）＝0，
所以 m（x）≤0，
因为 xn+2﹣xn+1＝h（xn+1）﹣xn+1＝m（xn+1），
又 xn+1＞1，所以 m（xn+1）＜0，
所以 xn+2﹣xn+1＜0，则 xn+2＜xn+1，
所以 m（xn+2）＞m（xn+1），
即 h（xn+2）﹣xn+2＞h（xn+1）﹣xn+1，
8
所以 xn+3﹣xn+2＞xn+2﹣xn+1成立，原式得证．
（3）因为 f（x）﹣g（x）＝2ex+aln（x+1）﹣2﹣sinx≥0恒成立，x∈[0，π]，
令 m（x）＝2ex+aln（x+1）﹣2﹣sinx，x∈[0，π]，
则 m（0）＝2﹣2＝0，
所以当 x∈[0，π]时，f（x）≥g（x）等价于 m（x）≥m（0）恒成立．
由于 ，x∈[0，π]，
（i）当 a≥0时，m'（x）≥2ex﹣1＞0，函数 y＝m（x）在[0，π]上单调递增，
所以 m（x）≥m（0）＝0，在区间[0，π]上恒成立，符合题意；
（ii）当 a＜0时， 在[0，π]上单调递增，
m'（0）＝2+a﹣1＝1+a．
①当 1+a≥0，即﹣1≤a＜0时，m'（x）≥m'（0）＝1+a≥0，
函数 y＝m（x）在[0，π]上单调递增，
所以 m（x）≥m（0）＝0在[0，π]上恒成立，符合题意；
②当 1+a＜0，即 a＜﹣1时，m'（0）＝1+a＜0， ，
若 m'（π）≤0，即 a≤﹣（π+1）（2eπ+1）时，m′（x）在（0，π）上恒小于 0，
则 m（x）在（0，π）上单调递减，m（x）＜m（0）＝0，不符合题意；
若 m′（π）＞0，
即﹣（π+1）（2eπ+1）＜a＜﹣1时，存在 x0∈（0，π），使得 m'（x0）＝0，
所以当 x0∈（0，π）时，m'（x）＜0，
则 m（x）在（0，x0）上单调递减，
则 m（x）＜m（0）＝0，不符合题意．
综上所述，a∈[﹣1，+∞）．
19．解：（1）∵点 A与 B（2，1）关于直线 y＝x对称，∴A（1，2），
又点 A在抛物线 C上，∴22＝2p×1，解得 p＝2，
所以 C的方程为 y2＝4x．
（2）如图，过点 P作 PQ垂直于抛物线的准线 x＝﹣1，垂足为 Q，则|PF|＝|PQ|，
9
∴|PF|+|PB|＝|PQ|+|PB|≥|BB′|＝3，
即|PF|+|PB|的最小值为 3．
（3）设直线 MN的方程为 x＝ty+m，设 M（x1，y1），N（x2，y2）．
由 ∴y2﹣4ty﹣4m＝0，
∴Δ＝16t2+16m＞0，∴t2+m＞0，
∴
，
∵（y1﹣2）（y2﹣2）≠0，∴ ，
∴y1y2+2（y1+y2）+20＝0，
∴﹣4m+8t+20＝0，∴m＝5+2t，
∴直线 MN的方程为 x＝ty+m＝ty+5+2t＝（y+2）t+5，即直线 MN过定点 D（5，﹣2）．
∵AH⊥MN，∴点 G为 AD中点时，|GH|为定值，此时 G（3，0），
且 ．
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