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(共60张PPT)
综合与实践
综合与实践类问题有三个典型特征，分别是综合、实践、创新．因
此解决这类问题首先要擅于动手，按题目要求操作或者画图，然后要善
于关联，把操作或画图得到的图形与基本几何图形关联，还要擅于发
现，这类问题都需要学生创新探究．
教材中的综合与实践(含新教材)
主题1 数与式
1． (素材来源：新教材人教七上P63综合与实践)综合与实践
阅读材料：
【材料1】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，
约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”
就是几进制，几进制的基数就是几．
十进制数234＝2×102＋3×101＋4×100，记作：234(规定：当a≠0
时，a0＝1)．
七进制数(123)7＝1×72＋2×71＋3×70，记作：(123)7.
二进制数(1011)2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20，记作：(1011)2.
各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制
数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应正整数次幂，然后将
这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数．
【材料2】把一个十进制数转化为与其相等的二进制数，一般按照
“除以2取余数”的方法，将余数从下向上逆序排列，就是结果，同样地
将十进制数化为与其相等的七进制数，可用“除以7取余数”的方法，再
将余数从下向上逆序排列即可，如：
【材料3】二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同
的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进
一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规
则如下：
加法：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝10(2)．
减法：0－0＝0，1－0＝1，1－1＝0，10(2)－1＝1(同一数位不够减
时，向高一位借1当2)．
解决问题：
(1)①将六进制数(123)6转化成十进制数的值为 ；
②将十进制数47转化成二进制数的值为 ．
(2)若三进制数a＝(1210)3，四进制数b＝(303)4，试比较a与b的大
小关系并说明理由．
51
(101111)2
②提示：由题意，得
∴将十进制数47转化成二进制数的值为(101111)2.
(3)进位制数的加减法运算：(结果仍用二进制表示)
①(10110)2＋(111)2＝ ；
②(1000100)2－(10111)2＝ ．
(2) 解：a＜b.理由如下：
a＝(1210)3＝1×33＋2×32＋1×31＋0×30＝27＋18＋3＋0＝48，
b＝(303)4＝3×42＋0×41＋3×40＝48＋0＋3＝51.
∵48＜51，∴a＜b.
(11101)2
(101101)2
主题2 方程(组)与不等式(组)
2． (素材来源：人教七上P109数学活动)综合与实践
某兴趣小组要利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设
计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设
计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆
原理推导得：(m0＋m)·l＝M·(a＋y)，其中秤盘质量为m0 g，重物质
量为m g，秤砣质量为M g，秤纽与秤盘的水平距离为l cm，秤纽与零刻
线的水平距离为a cm，秤砣与零刻线的水平距离为y cm.
【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1 000 g，零刻线与末刻线的距离定为50 cm.
任务：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，
a的方程；
解：(1)由题意，得m＝0，y＝0.
又m0＝10，M＝50，∴10l＝50a.∴l＝5a.
(2)当秤盘放入质量为1 000 g的重物，秤砣从零刻线移至末刻线
时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)由题意，得m＝1 000，y＝50.
又m0＝10，M＝50，
∴(10＋1 000)l＝50(a＋50)．∴101l＝5a＋250.
(3)根据(1)和(2)所列方程，求出l和a的值．
(3)由(1)(2)得 解得
主题3 函数
3． (素材来源：新教材北师八下P180综合与实践)综合与实践．
【活动驱动】某街道办事处积极落实国家垃圾分类政策，计划在所
辖小区内安装垃圾分类宣传版面及分类垃圾箱，旨在提升居民垃圾分类
意识与参与度．为评估这一举措的有效性，并进一步优化方案，现邀请
友谊班同学作为小小环保员，研究如何购买这
批物资性价比更高．
【方案实施】同学们走访调查了居民对垃圾分类的了解程度、日常
分类行为及对现有宣传版面、垃圾箱的满意程度，同时实地记录各商场
和垃圾生产厂家对垃圾箱的定价，得到如下方案：
方案一：从垃圾箱加工厂直接购买，购买所需的费用y1与购买的垃
圾箱个数x(个)满足如图1所示的函数关系；
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2(包括租赁机器的费用
和生产垃圾箱的费用)与生产的垃圾箱个数x(个)满足如图2所示的函
数关系．
【问题解决】(1)①方案一中每个垃圾箱的价格是 元；
②方案二中租赁机器的费用是 元，生产一个垃圾箱的费
用是 元．
150
20 000
50
(2)请分别求出y1，y2关于x的函数关系式．
解：(2)设y1＝ax.把(100，15 000)代入，得15 000＝100a.
∴a＝150.∴y1＝150x.
设y2＝kx＋b.
把(0，20 000)和(100，25 000)代入，得
解得
∴y2＝50x＋20 000.
(3)试说明该街道办事处购买垃圾箱时，选择哪种方案更优惠．
(3)当y1＜y2，即150x＜50x＋20 000时，解得x＜200.
当y1＝y2，即150x＝50x＋20 000时，解得x＝200.
当y1＞y2，即150x＞50x＋20 000时，解得x＞200.
∴当x＜200时，选择方案一更优惠；
当x＝200时，两种方案费用一样；
当x＞200时，选择方案二更优惠．
主题4 图形的性质
4． (素材来源：人教八下P30阅读与思考)综合与实践
【主题】探索勾股定理的证明
【问题提出】勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表
明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理
的图形，请你根据图形及提示证
明勾股定理．(图中所有直角三角
形都是以c为斜边，a，b为直角
边的全等三角形)
【问题解决】(1)图1是勾股定理的一种证法，请你将以下证明过程
补充完整．
证明：正方形Ⅰ的面积为 ＋2ab，正方形Ⅱ的面积
为 ＋2ab，根据正方形Ⅰ与正方形Ⅱ的边长相等，可得等式
＝ ，化简得a2＋b2＝c2.
a2＋b2
c2
a2＋
b2＋2ab
c2＋2ab
(2)图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的
直角三角形围成的．请你根据图2写出勾股定理的另一种证明方法．
(2)证明：由图可知大正方形的面积＝4个三角形的面积＋小正方形
的面积．
∴c2＝4× ab＋(b－a)2
＝2ab＋a2－2ab＋b2＝a2＋b2.
【拓展应用】(3)若图2中大正方形ABCD的边长为13，小正方形
EFGH的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？
(3)解：由题意，得a2＋b2＝132＝169，b－a＝7.
∴(b－a)2＝a2＋b2－2ab＝169－2ab＝49.
∴2ab＝120.
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝169＋120＝289.
∴a＋b＝17(负值已舍去)．
∴直角三角形两直角边之和为17.
主题5 图形的变化
5． (素材来源：北师九上P163综合与实践)综合与实践
【主题】探索视力表中的数学知识(以标准对数视力表为例)
【操作】步骤一：如图1，用硬纸板制作视力表中视力为0.1，0.2所
对应的“E”，并依次编号为Ⅰ，Ⅱ，将它们竖直放在水平桌面上，开口的
底部与桌面的接触点为D1，D2，顶部记为P1，
P2，点D1，D2到观测点O的距离分别记为l1，l2，
P1D1的长记为b1，P2D2的长记为b2；
步骤二：将Ⅱ号“E”沿水平桌面移动，使得P1，P2与点O在一条直
线上．
【结论】在D1处用Ⅰ号“E”测得的视力与在D2处用Ⅱ号“E”测得的视
力相同．
【问题探究】(1)如图1， 与 之间存在什么关系？请说明理由．
(2)若b1＝72 mm，l1＝5 m，可计算出l2＝3 m时，b2
＝ mm.
43.2
【拓展运用】(3)如果将视力表中的两个“E”放在如图2所示的平面
直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，Ⅰ号“E”与Ⅱ
号“E”的相似比为2∶1，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为(－
3，4)，则点P的坐标为 ．
(－6，8)
解： ＝ .理由如下：
由题意，得P1D1∥P2D2.
∴△OP1D1∽△OP2D2.
∴ ＝ .∴ ＝ .∴ ＝ .
主题6 统计与概率
6． (素材来源：北师七上P191综合与实践)近年来，我国人口老龄
化程度进一步加深，引起全社会的广泛关注．某校为引导学生关注社会
生活，关爱老年人，就当地老年人的生活状况展开调查研究．学校对当
地某社区部分老年人对于生病问题的应对方式进行了问卷调查，经过整
理、分析，得到结果并形成如下调查报告：
课题主题 当地老年人的生活状况调查——生病问题的应对方式
活动目标 关注社会生活，关爱老年人，增强社会责任意识，促进全
面发展
调查方式
数据的收
集、整理
与描述 您好！这是一份关于生病问题的应对方式的调查问卷，请
选择一项您最常使用的方式，在其后的括号内打“√”，非常
感谢您的配合！
A． 子女陪同去医院就诊( )
B． 独自去医院就诊( )
C． 自己在家里服用备用药( )
D． 请人帮忙购药( )
E． 雇佣他人陪同去医院就诊( )
数据的收
集、整理
与描述 将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
调查结论 ……
(1)这次调查采用的调查方式是 (填“全面调查”或“抽
样调查”)，在扇形统计图中，“D”所占的百分比为 ，“C”所在
扇形的圆心角的度数为 ，请补全条形统计图；
解：
抽样调查
16%
144°
(1)补全条形统计图如图所示．
(2)根据调查结果，估计该社区500名老年人中，感觉身体不适时选
择独自去医院就诊的人数；
(2)500× ＝160(人)．
答：根据调查结果，估计该社区500名老年人中，感觉身体不适时
选择独自去医院就诊的有160人．
(3)请你结合上述调查报告写出两条通过分析获取的信息．
(3)①当感到身体不适时，选择自己在家里服用备用药的老人有
20人，占被调查总人数的40%；②当感到身体不适时，选择独自去
医院就诊的老人人数是选择请人帮忙购药的人数的2倍．(答案不唯
一，合理即可)
实践操作型
7． 综合与实践
数学活动课上，同学们以“黄金三角形”为主题展开探究活动．
【查阅资料】在等腰三角形中，若底与腰的比是 ，则这个三
角形是黄金三角形．
【动手操作】如图1是老师展示的一张邮票，同学们发现邮票中五
角星的五个角都是36°，并制作了相同五角星如图2所示，∠A的度数为
36°，且AD＝AB＝1，于是猜测△ABD是黄金三角形．
【解决问题】(1)∠CBD＝ °；
36
(2)求证：△ABD是黄金三角形；
(2)证明：如答图1，作BH平分∠ABD，交AD于点H.
∵AB＝AD＝1，∠A＝36°，
∴∠ABD＝∠D＝ ×(180°－36°)＝72°.
∴∠HBD＝∠ABH＝ ∠ABD＝ ×72°＝36°.
∴∠A＝∠ABH，∠BHD＝∠A＋∠ABH＝72°＝∠D．
∴BH＝BD＝AH. ∴HD＝AD－AH＝AD－BD．
∵∠HBD＝∠A，∠D＝∠D，∴△BHD∽△ABD． ∴ ＝ .∴BD2＝AD·HD＝AD·(AD－BD)，即BD2＋AD·BD－AD2＝0.
∵Δ＝AD2－4(－AD2)＝5AD2，∴BD＝ .∴BD＝
AD(负值已舍去)．∴ ＝ .∴△ABD是黄金三角形．
(3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝18°，BC＝
1，求AB的长．
(3)解：如答图2，在△ABC内部作∠ACE＝∠A． ∴∠BEC＝∠ACE
＋∠A＝36°，CE＝AE.
∵∠ACB＝90°，∠A＝18°，∴∠B＝90°－18°＝72°.
∴∠BCE＝180°－72°－36°＝72°＝∠B．
∴BE＝CE. ∴BE＝AE＝ AB． ∴AB＝2BE.
由(2)知△CBE是黄金三角形．∴ ＝ .
∵BC＝1，∴ ＝ .∴BE＝ ＝ .∴AB＝2BE＝ ＋1.
8． (2025苏州)综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC中，∠ACB
＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝
CE＝12 cm.
【观察感知】
(1)如图1，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，
AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长．(结果保留根号)
解：(1)∵△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠ABC
＝45°.
∵△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，∴∠CDE＝60°.∴∠AFD
＝∠CDE－∠A＝60°－45°＝15°.
在Rt△ABC中，AC＝AB· sin ∠ABC＝12× ＝ (cm)．在
Rt△CDE中，CD＝CE·tan E＝12× ＝4 (cm)．∴AD＝AC－CD
＝(6 -4 ) cm.
【探索发现】
(2)在图1的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针
方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上．(如图2)
①求线段AD的长；(结果保留根号)
(2)①如图，
过点C作CG⊥DE，垂足为G. ∵△CDG中，∠CGD＝90°，∠CDE＝60°，CD＝4 cm，
∴DG＝CD· cos ∠CDE＝2 cm，CG＝CD· sin ∠CDE＝6 cm.
∵△CGA中，∠CGA＝90°，AC＝6 cm，CG＝6 cm，∴AG＝
＝6(cm)．∴AD＝AG＋DG＝(6+2 ) cm.
②判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
②AB⊥DE. 理由如下：
∵在Rt△CGA中，∠CGA＝90°，AG＝CG＝6 cm，∴∠CAG＝∠ACG＝45°.
又∵∠BAC＝45°，∴∠DAB＝∠CAG＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.∴AB⊥DE.
探究迁移型
9． (2024兰州)综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，
探究动点运动的几何问题，如图，在△ABC中，点M，N分别为
AB，AC上的动点(不含端点)，且AN＝BM.
【初步尝试】(1)如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将
MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN＝DB，请思
考并证明；
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，AB＝AC．
由旋转的性质，得
DM＝AM，∠AMD＝120°.∴∠DMB＝60°.
又AN＝BM，∠A＝∠DMB，
∴△ANM≌△MBD(SAS)．∴MN＝DB．
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图
2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于点E，交BC
于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB． 试
猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；
(2)解：四边形AFBD是平行四边形．理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.
由旋转的性质，得MA＝MD，∠DMA＝∠DMB＝90°.
∴∠MAD＝∠MDA＝45°.
∴∠MAD＝∠ABF＝45°.∴AD∥BF.
在△ANM和△MBD中，
∴△ANM≌△MBD(SAS)．∴∠AMN＝∠MDB．
∵AE⊥MN，∴∠AMN＋∠MAE＝90°.
∵∠MDB＋∠MBD＝90°，∴∠MBD＝∠MAF.
∴DB∥AF. ∴四边形AFBD是平行四边形．
【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，
AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，连接BN，CM，请直接写出BN＋CM
的最小值．
(3)解：BN＋CM的最小值为4 .
提示：如图，过点A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，连接GM，GC，BG，过点G作GO⊥CB，交CB的延长线于点O. ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∴∠GAM＝∠BCN＝45°，BC＝ ＝4 .∵AN＝BM，∴AB－BM＝AC－AN，即AM＝CN. 又AG＝CB，∴△GAM≌△BCN(SAS)．∴GM＝BN. ∴BN＋CM＝GM＋CM≥CG.
∴当点G，M，C三点共线时，BN＋CM的值最小，最小值为CG的
值．∵∠GAM＝∠ABC＝45°，∴AG∥BC． ∴∠BAC＝∠ABG＝
90°.∵∠BAG＝45°，∴∠AGB＝180°－∠ABG－∠BAG＝45°.∴GB
＝AB＝4.∴∠GBO＝180°－∠ABG－∠ABC＝45°.∵∠BOG＝90°，
∴∠GBO＝45°.∴OG＝OB． ∴GB＝ OB＝ OG. ∴OG＝OB＝
2 .∴OC＝OB＋BC＝ .在Rt△GOC中，GC＝
＝4 .
∴BN＋CM的最小值为4 .
综合与应用
10． (2024宁夏)综合与实践
如图1，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线交外角
∠CAM的平分线于点E.
【发现结论】结论1：∠AEB＝ ∠ACB．
【发现结论】结论1：提示：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠ABE. ∵AE是∠CAM的平分线，∴∠CAM＝2∠EAM. ∵∠CAM＝∠ACB＋∠ABC，∴2∠EAM＝∠ACB＋2∠ABE. ∵∠EAM＝∠AEB＋∠ABE，∴2(∠AEB＋∠ABE)＝∠ACB＋2∠ABE. ∴∠AEB＝ ∠ACB．
结论2：当图1中∠ACB＝90°时，如图2所示，延长BC交AE于点
F，过点E作AF的垂线交BF于点G，交AC的延长线于点H. 则AE与
EG的数量关系是 ．
结论2：提示：由结论1知，∠AEB＝ .
∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝ ∠ACB＝45°.
∵EH⊥AF，∴∠AEH＝90°.∴∠AEB＝∠BEG＝45°.∵∠ABE＝∠GBE，BE＝BE，∴△ABE≌△GBE(ASA)．∴AE＝EG.
AE＝EG
【应用结论】(1)求证：AH＝GF；
【应用结论】(1)证明：由结论2知，AE＝EG.
在Rt△AFC中，∠EFG＋∠EAH＝90°.
在Rt△AEH中，∠EHA＋∠EAH＝90°.
∴∠EFG＝∠EHA．
在△EFG和△EHA中，
∴△EFG≌△EHA(AAS)．∴AH＝GF.
(2)在图2中连接FH，AG，延长AG交FH于点N，补全图形，求
证：FN＝NH＋ AE.
(2)证明：补全图形如图所示．
∵AE＝EG，∴在Rt△AEG中，
AG＝ ＝ AE，
∠EAG＝∠AGE＝45°.
由(1)，得△EFG≌△EHA． ∴EF＝EH.
∵∠FEH＝90°，
∴∠EFH＝∠EHF＝45°.
∴∠AFN＝∠FAN＝45°，∠NGH＝∠AGE＝45°.
∴FN＝AN，∠NGH＝∠NHG＝45°.∴NG＝NH.
又AN＝GN＋AG，∴FN＝NH＋ AE.

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