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2025-2026学年第二学期 3月教学质量调研试题
高三数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、单选题:本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1．已知集合 M＝{x|x＝2n，n∈Ζ}，N＝{x|x＝4n，n∈Ζ}，则 M∩N＝（ ）
A． B．Z C．M D．N
2．在各项均为正数的等比数列{an}中， 2a5a9 25，则 a6a8的最大值是（ ）
A．25 B．5 C． D．
3．已知随机变量ξ～N（2，σ2），且 P（ξ≤a﹣3b）＝P（ξ≥b），则当 时， 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，给编号为ξ的正六边形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同．若
有 3种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．96种 B．66种 C．48种 D．30种
5．已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1，F2，P为双曲线右支上一点，△PF1F2的内
切圆圆心为 I，连接 PI并延长交 x轴于点Q，若 ， ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．4
1
6．函数 f（x）对 x∈R，f（x+2）＝f（4﹣x），且 f（x+6）为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 x∈（0，3]时 f（x）＝2x，则 f（8）＝4
B．f（x）的周期为 6
C．f（x）的图象关于（﹣6，0）中心对称
D．f（2025）+f（3）≠0
7．如图，平面四边形 ABCD中， ，△ACD为正三角形，以 AC为折痕将△ACD折起，使 D
点达到 P点位置，且二面角 P﹣AC﹣B的余弦值为 ，当三棱锥 P﹣ABC的体积取得最大值，且最
大值为 时，三棱锥 P﹣ABC外接球的体积为（ ）
A．π B． C． D．
8．已知 a，b，c，均大于 1，满足
，则下列不等式成立的是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c
二．多选题:本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分
9．已知复数 （i为虚数单位），则（ ）
A．z的虚部为 1
B．z的共轭复数为﹣1+i
C．在复平面内，z对应的点在第一象限
D．若复数 z0满足|z0|＝1，则|z﹣z0|的取值范围为
10．已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数 f（x）的最小正周期是 2
B．ω＝1
C．
D．函数 y＝f（x）的图象向右平移 个单位得到一个偶函数的图象
2
11．已知数列{an}是无穷数列，Sn是数列{an}的前 n项和．若 是递减数列，则称数列{an}具有“和性
质”，则下列说法正确的是（ ）
A．若 an＝﹣3n+4，则数列{an}具有“和性质”
B．若数列{an}具有“和性质”，则 ，
C．若数列{an}满足 ，则数列{an}具有“和性质”
D．若数列{an}，{bn}具有“和性质”，且 an＞0，bn＞0，则数列{anbn}具有“和性质”
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12．二项式 展开式中的常数项为 ．
13．已知 ，则 sin4θ+cos4θ＝ ．
14．已知定义在 R上的函数 f（x+1）是奇函数，当 x∈[1，+∞）时， ，则不等
式 f（x2﹣2x）+f（x）≤0的解集为 ．
四．解答题：共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15．（13分）△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）若 a＝4，b+c＝8，求△ABC的面积；
（2）若角 C为钝角，求 的取值范围．
16．（15分）一个限时闯关游戏共有 A和 B两关，挑战者可以任意选择其中一关作为第一关，只有闯过第
一关才能挑战第二关．已知挑战者甲能闯过 A的概率为 ，能闯过 B的概率为 ，在闯过 A的条件下能
闯过 B的概率为 ．
（1）求甲在闯过 B的条件下能闯过 A的概率；
（2）第一关挑战失败者记 0分，挑战 A成功记 1分，挑战 B成功记 2分．若甲等可能地从 A和 B中选
择一关作为第一关，求甲挑战得分 X的数学期望 E（X）．
3
17．（15分）已知椭圆 的短轴长为 2，且离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 E的方程；
（Ⅱ）设椭圆 E的上、下顶点分别为点 A，B，过点 M（0，2）的直线 l与椭圆 E交于不同两点 P（x1，
y1），Q（x2，y2），且 y1＞y2，直线 AP与直线 BQ交于点 N，求证：点 N在一条定直线上．
18．（17分）如图，在三棱锥 A﹣BCD中，∠ACD＝∠BDC ，AC＝BD＝1，CD＝x，记二面角 A﹣CD﹣B
的大小为θ，M，N分别为 AD，BC的中点．
（1）求证：CD⊥MN；
（2）若 x ，求三棱锥 A﹣BCD的体积；
（3）设在三棱锥 A﹣BCD内有一个半径为 r的球，0＜x≤2，且θ＝x，求证：r ．
19．（17分）已知函数 f（x） ax﹣lnx，a∈R．
（1）当 a＝1时，求函数 f（x）在 x＝1处的切线方程；
（2）讨论函数 f（x）的单调性；
（3）当函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，且 x1＜x2．证明：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．
4
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B B C C D B
二．多选题
题号 9 10 11
答案 ACD ACD ACD
三．填空题
12．40．
13． ．
14．{x|﹣1≤x≤2}．
四．解答题
15．解：（1）因为 ，
所以由余弦定理得（c﹣2b）cosA+acosC＝0，
所以由正弦定理得（sinC﹣2sinB）cosA+sinAcosC＝0，
又因为 sinCcosA+sinAcosC＝sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，
所以 sinB（1﹣2cosA）＝0，
因为 0＜B＜π，所以 ，
因为 0＜A＜π，所以 ，
因为 a＝4，b+c＝8，
所以由余弦定理得 b2+c2﹣bc＝16，
所以（b+c）2﹣3bc＝16，所以 bc＝16，
所以△ABC的面积 ；
（2）因为角 C为钝角，所以 ，
5
所以 ，所以 0＜sinB ，
因为 ，所以 ，
则 的取值范围为（ ，+∞）．
16．解：（1）已知挑战者甲能闯过 A的概率为 ，能闯过 B的概率为 ，在闯过 A的条件下能闯过 B
的概率为 ，
则 ，
所以甲在闯过 B的条件下能闯过 A的概率为 ；
（2）第一关挑战失败者记 0分，挑战 A成功记 1分，挑战 B成功记 2分，
若甲等可能地从 A和 B中选择一关作为第一关，
X的可能取值为 0，1，2，3，记甲挑战得分为 X，
，
，
，
，
所以 ．
17．（Ⅰ）解：因为椭圆 的短轴长为 2，且离心率为 ．
所以 b＝1，e ，所以 a＝2，
所以椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）证明：P（x1，y1），Q（x2，y2），且 y1＞y2，设直线 l的方程为 y＝kx+2，
由 ，得（4k2+1）x2+16kx+12＝0，Δ＝（16k）2﹣4×12（4k2+1）＞0，
x1+x2 ，x1x2 ，
y1+y2＝k（x1+x2）+4 4 ，y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）
6
＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4 4 ；
直线 BQ的方程为：y x﹣1，
因为点 P在椭圆上，所以 ，即 1 （1+y1）（1﹣y1），
所以 1﹣y1 ，
直线 AP的方程为：y x+1 x+1，
联立直线 AP和 BQ的方程得： （y+1） （y﹣1），
所以（ ）y ，
所以 y 1 ；
而 x1x2+4（1+y1）（1+y2）＝x1x2+4（y1+y2）+4y1y2+4
4 4 4 ；
所以 y＝1 1 1 ．
所以点 N在一条定直线 y 上．
18．解：（1）证明：设 CD中点为 E，连接 ME，NE，
因为 M，N分别为 AD，BC的中点，所以 ME∥AC，NE∥BD，
又 ，所以 CD⊥ME，CD⊥NE，
又 ME∩NE＝E，ME，NE 平面 MNE，
所以 CD⊥平面 MNE，
又 MN 平面 MNE，
所以 CD⊥MN；
7
（2）过 M作 MO⊥NE交 NE于 O，由（1）知 CD⊥平面 MNE，MO 平面 MNE，
所以 CD⊥MO，又 MO⊥NE，CD∩NE＝E，CD，NE 平面 BCD，
所以 MO⊥平面 BCD，又 CD⊥ME，CD⊥NE，平面 ACD∩平面 BCD＝CD，
所以∠MEN就是二面角 A﹣CD﹣B的平面角，
因为 ，θ ，AC＝BD＝1，
所以 ， ，
又 MO⊥平面 BCD，M是 AD中点，
所以 ；
（3）证明：由（2）知， ，过 O作 OH∥CD交 BD于 H，
所以 BD⊥OH，又 MO⊥平面 BCD，BD 平面 BCD，
所以 BD⊥MO，又 MO∩OH＝O，MO，OH 平面 MOH，
所以 BD⊥平面 MOH，MH 平面 MOH，
所以 BD⊥MH， ，
设△ABD的高 h′，
所以 ，
又 AC＝BD＝1， ，
所以△ABD≌△BAC，
即 ，
所以三棱锥 A﹣ BCD的表面积 ，
，
所以三棱锥 A﹣BCD的内切球半径 ，
所以 ，
即 ．
19．（1）解：当 a＝1时，f（x） x﹣lnx，f′（x）＝﹣x+1 ，
∴f′（1）＝﹣1，又 f（1） ，
8
∴函数 f（x）在 x＝1处的切线方程为 y （﹣1）（x﹣1），
即 2x+2y﹣3＝0；
（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝﹣x+a ，
当 a2﹣4≤0，即﹣2≤a≤2时，f′（x）≤0，此时 f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当 a2﹣4＞0，即 a＜﹣2或 a＞2时，
若 a＞2，当 x∈ ∪ 时，f′（x）＜0，
当 x∈ 时，f′（x）＞0，
∴f（x）在 ， 上单调递减，
在 上单调递增；
当 a＜﹣2时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，则 f（x）在（0，+∞）上单调递减．
综上所述，当 a≤2时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当 a＞2时，f（x）在 ， 上单调递减，
在 上单调递增；
（3）证明：由（2）知，当 a＞2时，f（x）有两个极值点 x1，x2，且满足 ．
由题意知，0＜x1＜1＜x2，
∴4f（x1）﹣2f（x2）
2lnx2
．
令 g（x） （x＞1），
则 g′（x）
则当 x∈（1， ）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当 x∈（ ，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）
单调递减，
9
∴ 1+3ln2．
即 4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．
10

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