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四川成都市金堂中学校等学校2025-2026学年高三下学期4月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6.人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需的时间单位：，其中为常数在此条件下，训练个单位的数据量与训练个单位的数据量所需的时间之差为，当训练个单位的数据量所需的时间为时，( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥中，，，且为中边上的高．给出以下结论：；等于直线与平面所成的角；是二面角的平面角．其中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机事件，满足：，，则( )
A. 事件与互为对立事件
B. 如果，那么
C. 如果事件，互斥，那么
D. 如果事件，相互独立，那么
10.已知函数的部分图象如图，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 是函数的图象的一个对称中心
D. 函数的对称轴方程为，
11.设过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则不存在最小值
C. 若，则弦的中点的轨迹方程为
D. 若，直线与直线：相交于点，则直线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则实数 ．
13.已知等差数列中，，，则 ．
14.若定义在区间上的函数，其导函数为，且，，则称为区间上的“函数”、若为区间上的“函数”，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图；在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的动点，且．
若平面，判断点在何位置，并证明你的结论；
当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
设函数．
讨论函数的单调性；
证明：存在正实数，使得时，函数有且只有个零点．
18.本小题分
已知直线：，椭圆：过椭圆的右焦点的直线与椭圆相交于点，．
判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并证明你的结论：
过点作直线的垂线，与直线相交于点，
(ⅰ)求面积的最小值：
(ⅱ)证明：直线与椭圆有且只有一个公共点．
19.本小题分
某种特制提示器有红、黄、绿三种颜色的提示灯，提示灯每隔秒亮一次，如果前一次亮红灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为；如果前一次亮黄灯，紧接着亮红灯和绿灯的概率分别为和；如果前一次亮绿灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为现开启这种提示灯，第一次亮红灯．
求第三次亮灯为红灯的概率；
设第次亮灯为红灯的概率为，当时，
(ⅰ)求；
(ⅱ)该提示灯亮哪种颜色灯的概率最大？为什么？
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
有，即，
，，
，；
由的结论有，
又，，
由三角形面积公式有
，，
在中，由余弦定理有
，，
的周长．

16.解：方法：若平面，则为中点，
理由如下：
在直三棱柱中，，
平面，平面，
平面，
又平面平面，
故，，
又，，
又，，
即为的中点，从而为的中点，
故当平面时，为中点；
方法：以为原点，以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由得
取，得，，
则平面的一个法向量，
欲使平面，即使平面，
则，，
得，可知为的中点，
故当平面时，为中点；
方法：不妨设，，
则三棱锥的体积
，
当且仅当，即时取“”，
此时，，分别为，的中点，
过点作于点，
可知为的中点，连接，则，
在直三棱柱中，平面，
，，
平面，，
是二面角的平面角，
，，，，
，
则，
故当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面的夹角的余弦值为．
方法：三棱锥的体积为
，
当且仅当，即时取“”，
此时，平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，可知，
则，
故当三棱锥的体积取得最大值时，平面与平面的夹角的余弦值为．

17.解：由，可知，
，
当时，，
则当时，，当时，，
此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，，
则当时，，当时，，当时，，
此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递增；
当时，，
则当时，，当时，，当时，，
此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
综上所述：当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
由可知，当时，
是函数的极大值点，极大值，
函数的极小值，
令，
即，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则是的极大值点，即的极大值为，
又当时，，则的值域为
即的极小值取值范围是
又，则存在，使得，即为方程的根，
当时，在上单调递增，则，即，
又当时，，当时，，
存在正实数，使得时，函数有且只有个零点．

18.解：直线与以线段为直径的圆相离，
理由如下：由已知，右焦点的坐标为，
设点，，
其中，，
令点，到直线的距离分别为，，
则
，
同理，，
设为的中点，点到直线的距离为，
则，
显然，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，
直线与以线段为直径的圆相离；
方法：由题意知直线不与轴重合，
由已知，直线的方程可设为，
联立得，
，
则，
由得，
，
当且仅当，即垂直于轴时取“”，
根据平面几何知识，此时同时取得最小值，
的面积，
故面积的最小值为．
方法：由题意知直线不与轴重合，
由已知，直线的方程可设为，
联立得，
，
则，
由得，
，
过焦点且与直线垂直的直线方程为，
则，，
的面积
，令，，
则，，
于是，
当时，单调递增，
当，即时，
取得最小值，最小值为，
故面积的最小值为；
(ⅱ)欲证直线与椭圆有且只有一个公共点，
只需证明在点处切线的斜率等于直线的斜率，
由(ⅰ)得，，其中，
依题意，直线的斜率存在，设为，
则的方程为，
联立
得，
由于直线与椭圆仅有一个公共点，则由，
得，
，
即，
解得，
过焦点且与直线垂直的直线方程为，
则，，
只需证明，即证明恒成立即可，
即只需证明，
即证明，
即证明，
只需证明满足方程即可，
根据(ⅰ)中的方程，
显然是方程的一个根，
，
由此可知，直线与椭圆有且只有一个公共点．

19.解：设事件“第次亮灯为红灯”，事件“第次亮灯为黄灯”，
则第三次亮灯为红灯的概率：
；
方法：(ⅰ)设事件“第次亮灯为绿灯”，，，，
，
则，
，，
即，由于，
则是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
即，
由得
，
，
即；
(ⅱ)由(ⅰ)可知，
，
当时，
，当且仅当时取等号，
当时，，，
综上，，当且仅当时取等号，
亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率，
又
，即，
故，
，
当时，，，
当时，，，
，即亮红灯的概率大于亮绿灯的概率，
综上所述，当时，该提示灯亮红色灯或亮黄色灯的概率一样大，当时，该提示灯亮红色灯的概率最大．
方法：(ⅰ)设事件“第次亮灯为绿灯”，
，，，
，
即，
，
即，
，即，
，
由得，
，
将代入得，
，
，，
，且，
是以为首项，为公比的等比数列，
，即，
故，
，
即；
，
当时，
，当且仅当时，取等，
当时，，
，当且仅当时，取等，
即亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率，
又，
，
当时，，，
当时，，，
，即亮红灯的概率大于亮绿灯的概率，
综上所述，当时，该提示灯亮红色灯或亮黄色灯的概率一样大，当时，该提示灯亮红色灯的概率最大．

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